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TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
duv -uv dvu
Regla nemotécnica para la integración por partes
Un Dia Vi / Una Vaca / Vestida De Uniforme
1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Para elegir “u ”, puede ayudar tomar como “u ”, la primera función que aparezca de Izquierda aDerecha en el integrando, en correspondencia con la palabra ILATE:
I = Inversas trigonométricas; L = Logarítmicas; A = Algebraicas; T = Trigonométricas; E = Exponenciales.
dv es el resto de la integral.
1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 1.: dxx senx
x u dxx sen dv
dx du x cos - dxx sen v
Se busca u y dv de la expresión anterior
Se busca du y v, respectivamente de u y dv
dv u dxx senx Así:
vdu -uv
dxcosx x cosx -Sustituyendo cx en x cosx - s
1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 2.: dxx ln
x ln u dx dv
dxx1
du x dx v
Se busca u y dv de la expresión anterior
Se busca du y v, respectivamente de u y dv
dv u dxx lnAsí:
vdu -uv
dxx1
x x lnx Sustituyendo
cx x lnx
1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 3.: dxx secx 2
x u dxx sec dv 2
dx du x an xdxsec v 2 t
Se busca u y dv de la expresión anterior
Se busca du y v, respectivamente de u y dv
dv u dxx secx 2Así:
vdu -uv
dxx tan x tanx Sustituyendo
c xsec x tanx ln
1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 4.: dxx sen-1
x sen u -1 dx dv
dxx-1
1 du
2 x dx v
Se busca u y dv de la expresión anterior
Se busca du y v, respectivamente de u y dv
dv u dxx sen-1Así:
vdu -uv
dx x-1
x x senx
2
1-Sustituyendo
1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
dv u dxx sen-1 vdu -uv
dx x-1
x x senx
2
1-Sustituyendo
Ahora, hacemos un cambio de variables a la última integral 2x-1 w
dxx 2
dw
dx2x -dw
Así: dww 2
1-
21
w w 2
1
12
21
Ejemplo 4.:
1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Regresando a:
dxx sen-1 dx x-1
x x senx
2
1-
Tenemos que
cw x senx -1
Ejemplo 4.:
cx 21 x senx -1
1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 5.: dxe x 2x2
2x u dx e dv 2x
2xdx du 2x2x e2
dxe v1
Se busca u y dv de la expresión anterior
Se busca du y v, respectivamente de u y dv
dv u dxe x 2x2
Así:
vdu -uv
dx xe ex21
2x2x2Sustituyendo
1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 5.:
dv u dxe x 2x2 vdu -uv
dx xe ex21
2x2x2Sustituyendo
Ahora, hacemos de nuevo una integración por partes a la última integral
x u dx e dv 2x
dx du 2x2x e2
dxe v1
1ª. INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo 5.: dv u dxex 2x vdu -uv
dx e 21
xe21
2x2xSustituyendo
2x2x e41
xe21
Regresando a:
Tenemos que
dxe x 2x2 dx xe ex21
2x2x2
c 2x2x2x2 e41
xe21
ex21
2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
dxricaTrigonomét fcn.
dxricaTrigonomét Identidad
2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Principales Identidades Trigonométricas:
x cos -1 x in 22 s.1.4
2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Principales Identidades Trigonométricas:
2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Principales Identidades Trigonométricas:
2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Ejemplo 1:
Separamos sen3 x:
xdx senx sen2
Sustituimos la Id. Trigonométrica:
xdx senx cos-1 2
dx x senx cos dx -x sen 2
c x cos 31
x cos 3
dxx sen3
2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Ejemplo 2:
xdxcosx sen 74
Separamos cos7 x:
xdx cosxcosxsen 64
Sustituimos la Id. Trigonométrica:
xdx cosxcosxsen324
xdx cosxsen-1xsen324
duu-1u324 du3u-1u 24 643 uu
du3u-u 64 1083 uu cuu 119
111
31
51 75 u
73
-u
csensenenen xxxs73
-xs 75 119
111
31
51
2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Ejemplo 3:
xdxsecx tan 42
Separamos cos7 x:
xdx secxsxt 222 ecan
Sustituimos la Id. Trigonométrica:
xdx secxnt1xt 222 aan
duu1u 22 duu2 4u
c 35 uu51
31
cen xxs51 35 tan
31
2ª. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Ejemplo 4:
xdxsecx tan2
xdxsec xt 2an
Sustituimos la Id. Trigonométrica:
xdxsec 1-x2sec
duxsec xsec 3
c x tan x sec x tan x sec ln tanxx sec 21
ln
c x tan x sec ln tanxx sec 21