Técnicas numéricas para el procesamiento de datos reales

Antonio Turiel

Instituto de Ciencias del Mar de Barcelona

Sumario• Introducción

• Caracterización probabilística básica: el histograma

• Cálculo de los momentos de una distribución

• Estudio de las correlaciones a dos puntos

• Análisis espectral

• Análisis en componentes principales (PCA)

• Inferencia Markoviana

• Wavelets

IntroducciónRequisitos básicos para este taller:

• Sólida formación de Matemáticas y Probabilidad

• Nociones de programación

Todos los ejemplos mostrados en este taller han sido obtenidos usando programas C cuyo código fuente está a la disposición de los estudiantes.

¿Por qué se necesita programación en el análisis de datos?

El análisis de datos se basa en la aplicación repetitiva de reglas de cálculo (generales o deducidas de modelos)

1.- Desempaquetarlos

¿Cómo usar los programas?

¿Cómo usar los programas?

2.- Cambiamos de directorio y compilamos

¿Cómo usar los programas?

3.- Ejecutamos el programa y verificamos el resultado

¿Por qué se hacen análisis de tipo estadístico?

Porque se pretende inferir principios universales, no dependientes de realizaciones particulares

¿Deterministao

aleatorio?

Caracterización probabilística básica: el histograma

Aproximación empírica a la función de densidad de probabilidad

Muestreo:

Buscamos el máximo y mínimo empíricos de esa variable

Dividimos el rango total en B cajas, de ancho:

Los lados de las cajas son de la forma:

Los puntos centrales de cada caja son de la forma:

o sea,

Eventos por caja:

Probabilidad estimada:

Si N, Ni son suficientemente grandes:

Ejemplo

Histograma B = 100

Problemas típicos: Si la distribución es muy curtótica

Histograma de la derivada

Solución: Truncar el rango estudiado

Criterio k :

con

31

… aunque se ha de tener cuidado de no cortar demasiado

Otro problema es el muestreo limitado de las colas

Criterio de significación sencillo:

Cálculo de los momentos de una distribución

Los momentos determinan propiedades de la distribución

Media:

Varianza:

Sesgo:

Curtosis:

Si los momentos enteros positivos no divergen demasiado rápido, el conjunto de todos los define

Estimación empírica:

En la práctica, es imposible obtener estimaciones precisas para p≥3

Teorema:

Análogamente,

Pero, obviamente:

Realmente, ¿es tan grave este problema?

Densidad de momento p:

Densidad empírica de momento p:

Densidades empíricas

p=1p=2p=3p=4

Estimar p=3 requiere millones de datos; p=4 miles de millones

Estudio de las correlaciones a dos puntos

Estadística de orden 2, pero distribuida espacialmente.

Correlación a dos puntos:

Si hay estacionariedad espacial (invariancia de traslación)

En este caso, la correlación coincide con la autocorrelación

Se puede simplificar el cálculo usando transformadas de Fourier

donde la transformada de Fourier se calcula:

Sobre datos numéricos, se puede usar la FFT

La inversa es igual, cambiando el signo

Inconveniente: la transformada de Fourier numérica es, en realidad, una serie de Fourier

donde la unidad de frecuencia es:

Las series son periódicas (aliasing).

La segunda mitad de los índices representan frecuencias negativas: si entonces con

La transformada de Fourier discreta de la autocorrelación discreta es el cuadrado del módulo de la transformada.

El aliasing ha de ser tratado correctamente

Función de autocorrelación discreta:

1.- Se extiende la secuencia xn con igual número de ceros:

2.- Se define la máscara de los datos:

3.- Se calculan las autocorrelaciones vía FFT:

4.- Se estima la autocorrelación contínua:

Correlación a dos puntos de la señal de ejemplo

Correlación a dos puntos de las derivadas

Correlación de los valores absolutos de las derivadas

Análisis espectralGeneralmente el análisis de la autocorrelación se aborda directa en el espacio de Fourier:

Análisis de componentes principales (PCA)

Varias series temporales:

Modelo lineal: Existen M causas independientes, que se combinan linealmente para formar las series observadas.

¿Cómo se extraen las causas? Decorrelando. Fijamos

Matriz de correlación:

Diagonalizando:

Se aplica a los datos para extraer las componentes principales

Datos originales:

Derivadas:

Inferencia MarkovianaSólo estudiaremos el grado de dependencia mutua.

Cantidad de información compartida o información mutua:

Entropía o cantidad de información:

Datos originales:

Derivadas:

Extremos empíricosCriterio 3

Wavelets¿Qué es una wavelet?

Una wavelet (wave particle) es una función oscilatoria elemental y localizada.

¿Para qué sirve una wavelet?

Las wavelet tienen dos aplicaciones principales:

• Análisis• Representación

Las wavelets están muy bien adaptadas para estudiar sistemas sin escala definida, aunque también son útiles en otras situaciones.

¿Cómo se usan las wavelets?

Las proyecciones de wavelet corren sobre todas las posiciones y escalas de observación

Esc

ala

Posición

Por medio de proyecciones de wavelet

Se pueden reconstruir las señales a partir de sus proyecciones de wavelet

Pero tal representación en wavelets es extremadamente redundante (una serie 1D se vuelve una función 2D, una imagen 2D se convierte 3D, etc)

…si la wavelet es admisible

Por ello se buscan subselecciones de escalas y posiciones más eficientes. Paradigma: caso diádico

Representación:

Análisis:

Caracterización de propiedades locales de una señal

A cada punto de la señal q se le asigna un exponente h invariante de escala: el exponente de singularidad

Donde es una wavelet sobre la que se proyecta la señal

Paradigma: Análisis de singularidades

Imagen SST Pathfinder (Cabo Hatteras, 8 de Mayo, 2000)

Exponentes de singularidad asociados

El análisis de singularidades sirve para detectar estructuras, independientemente de la escala y la amplitud

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