Alfonso Muñoz Martín y Gerardo de Vicente Muñoz

TÉCNICAS Y MÉTODOS DE ANÁLISIS POBLACIONAL DE FALLAS

1. INTRODUCCIÓN y EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LOS MÉTODOS

DE APF

2. MÉTODOS GRÁFICOS

3. MÉTODOS BASADOS EN LA ECUACIÓN DE BOTT

3.1 MÉTODO DE INVERSIÓN DE ESFUERZOS

3.2 MÉTODO DE RIVERA CISTERNAS

4. APLICABILIDAD DE LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS

POBLACIONAL DE FALLAS

5. ESTIMACIÓN DE LA CALIDAD DE LOS RESULTADOS y

REPRESENTATIVIDAD ESTADÍSTICA

6. CONSTRUCCIÓN DE MAPAS DE TRAYECTORIAS DE

ESFUERZOS

1. INTRODUCCIÓN

El análisis estructural en zonas con deformación frágil, dentro de la corteza superior, aborda tres aspectos fundamentales: A) Definir y cuantificar la GEOMETRÍA de los cuerpos rocosos y de las estructuras que los afectan. B) Conocer y delimitar, del modo mas preciso posible, los procesos de deformación en relación al espacio y tiempo que han producido las diferentes estructuras: CINEMÁTICA. C) Estudiar las leyes que rigen el movimiento y la deformación de las masas rocosas en función de los esfuerzos que los producen: DINÁMICA. A partir de datos geológicos medidos en el campo (planos y estrías de falla), se obtienen como resultado una serie de estados de esfuerzos puntuales, que son la base para establecer los campos de esfuerzos y de deformación responsables del origen de las estructuras geológicas, según tres pasos:

a) El primer paso estados de esfuerzo y de deformación de tipo puntual, deducidos a partir de poblaciones de fallas medidas en una serie de “estaciones”. b) Se relacionan estos estados puntuales con los datos geológicos existentes en la zona, asignando en lo posible unas edades a estos movimientos (criterios geológicos de datación relativa, Geocronología, Termocronometría -f. tracks, ...). c) Definir el campo de esfuerzos que ha generado o activado una serie de fallas, y su evolución cinemática si cambia el estado de esfuerzos a lo largo del tiempo.

• Ventajas de la inversión de esfuerzos a) Permiten analizar con los mismos criterios, tanto fallas como mecanismos focales de terremotos, con lo que se convierten en puente fundamental entre los puntos de vista Geológicos y Geofísicos. b) Obtienen no sólo la orientación de la máxima compresión en la horizontal, sino la forma del tensor de esfuerzos. Es decir, las relaciones paramétricas entre los tres ejes principales. Algunos métodos permiten, incluso, obtener las características mecánicas del proceso de fracturación. c) Predicen de forma directa las características geométricas de las fallas activas (cinemática) d) Analizan poblaciones de datos, por lo que evidentemente son estadísticamente más representativos que los datos individuales.

EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LOS MÉTODOS DE APF

Desde finales de los 70, se ha venido desarrollando una metodología

de análisis de las poblaciones de fallas que consiste en el desarrollo de numerosos métodos (numéricos, gráficos geométricos y mecánicos) para obtener los paleoesfuerzos que activaron las fallas que se observan en el campo. Los que más desarrollo y difusión han alcanzado han sido los que están basados en las relaciones entre esfuerzo y deslizamiento descritas por Wallace (1951) y por Bott (1959). • Anderson (1951) fue el primer autor que estableció una relación entre

el estado de esfuerzos y la fracturación de las rocas, a partir del criterio de fracturación de Navier-Coulomb. Este modelo clásico es aún válido para sistemas de fallas de neoformación y con cabeceos “puros” (es decir, de 90º ó 0º).

• Bott (1959) propone una relación entre la orientación y la forma del elipsoide de esfuerzos que actúa sobre un plano preexistente, con la orientación de la máxima componente de cizalla (Γ) sobre dicho plano. Esta relación es la denominada Ecuación de Bott:

) R ) n-1 ( - m ( m ln

= )( 22 ′ΘTAN

siendo R’ el “stress ratio” que proporciona la forma del elipsoide de

esfuerzos y se define: σσσσ

xy

xz

--

= R′

para Θ = cabeceo de la estría sobre el plano de falla. l, m, n = cosenos directores del plano de falla. σz = esfuerzo principal vertical. σy = esfuerzo principal horizontal máximo. σx = esfuerzo principal horizontal mínimo. Según sea el valor de R’, el tipo de elipsoide será:

R’

TIPOS DE EJES

RÉGIMEN DE ESFUERZOS

R’ è -∞

σy = σx > σz

COMPRESIÓN RADIAL

R’ < 0

σy > σx > σz

COMPRESIÓN TRIAXIAL

R’ = 0

σy > σx = σz

COMPRESIÓN UNIAXIAL

0 < R’ < 1

σy > σz > σx

DESGARRE

R’ = 1

σz = σy > σx

DISTENSIÓN UNIAXIAL

R’ > 1

σz > σy = σx

DISTENSIÓN TRIAXIAL

R’ è +∞

σz > σy = σx

DISTENSIÓN RADIAL

Este método es válido para explicar los movimientos de los planos preexistentes cuando son reactivados por un nuevo campo de esfuerzos. Esta ecuación es la base de numerosos métodos posteriores de análisis poblacional.

• Es a partir de finales de los sesenta y a principios de los setenta, cuando comienza a desarrollarse la microtectónica frágil, fundamentalmente por el grupo de Montpellier (Choukroune, 1972; Mattauer, 1976...). Estos autores establecen las relaciones entre los ejes de esfuerzos principales y las microestructuras frágiles (estilolitos, juntas de extensión,...) y Arthaud (1969) propone un modelo que relaciona los ejes de esfuerzos y el movimiento de fallas preexistentes.

• En 1972 Pegoraro propone el método de los diedros rectos; un método gráfico, que Angelier y Mechler (1977) difunden y ponen en marcha posteriormente a través de ordenador. Este método es de utilidad tanto en tectónica como en sismología.

• Carey y Brunier (1974) y Carey (1976) desarrollan el primer método numérico para deducir tensores de esfuerzos a partir de planos y estrías de falla, que ha sido básico para el desarrollo de numerosos métodos posteriores.

• Es a partir de los años ochenta cuando se produce un gran auge del análisis poblacional de fallas, desarrollándose un gran número de trabajos metodológicos por diversos autores, entre los que destacan: Armijo et al. (1978, 1982), Carey (1976, 1979), Angelier (1975, 1979, 1984, 1991, 1994), Angelier et al. (1977, 1982), Etchecopar et al., (1981, 1988), Etchecopar (1984, 1990), Simón (1984, 1986, 1989, 1990), Simón et al. (1988), Michael (1984), Aleksandrowsky (1985), Sassi (1985), Reches (1978, 1983, 1987, 1990), Reches et al. (1983, 1989, 1992), Letouzey (1986), Guimerá (1984, 1989), De Vicente (1988), Galindo et al. (1988), Gephart (1990); Marrett et al. (1990), Capote et al. (1991), Will et al. (1991, 1992), Casas et al. (1990), Fry (1992), Ritz (1994), Yin y Ranalli (1995), etc...

• El Modelo de Deslizamiento (MD) de Reches (1978, 1983) supone una aproximación al problema desde un punto de vista totalmente diferente. Reches propuso un modelo para fallas frágiles en condiciones de deformación triaxiales que incluye como un caso particular el conocido modelo de fracturación de Anderson (1951).

• De Vicente (1988) propone una metodología que facilita el uso del modelo de deslizamiento, a la vez que lo aplica para el análisis de mecanismos focales de terremotos (Capote et al., 1991).

• Reches (1987; Reches et al., 1992) con su Método de Inversión de Esfuerzos (MIE) afronta el problema de la inversión para hallar el elipsoide de esfuerzos teniendo en cuenta la ecuación de Bott y los parámetros mecánicos de ruptura: cohesión © y fricción (µ). Este método permite elegir una solución entre un conjunto calculado para los distintos coeficientes de fricción (µ) de la roca, a la vez que demuestra que los métodos clásicos basados en la ecuación de Bott asumen un µ=0.

• La totalidad de los métodos proporcionan el tensor de esfuerzos reducido. Para estimar los valores reales de los esfuerzos principales, es necesario recurrir a métodos indirectos, como estimar el valor de la carga litostática en el momento de la fracturación, o a través de ensayos de mecánica de rocas. También hay algunas técnicas que permiten obtener valores cuantitativos de la diferencia de esfuerzos (ej. maclado mecánico de la calcita, paleopiezómetros).

• Actualmente, los últimos trabajos publicados referentes al tema se centran en la utilización de nuevos métodos estadísticos para obtener una solución más real y que, a la vez, minimice los errores en el cálculo de las componentes de los tensores de esfuerzos. También se encuentra en plena fase de discusión la determinación del carácter de reactivación/neoformación de una población de fallas respecto al tensor que las activa (Angelier, 1994; Yin y Ranalli, 1995).

Conviene utilizar diferentes métodos de análisis, porque si se llega

a una solución convergente a partir de diferentes aproximaciones

al problema, la fiabilidad del resultado será mayor.

Siempre hay que tener en cuenta la GEOLOGÍA (espacio/tiempo del

proceso de fracturación) a la hora de interpretar los resultados

2. MÉTODOS GRÁFICOS

(Pegoraro, 1972; Angelier y Mechler, 1977).

Se trata de un método geométrico que se basa en limitar, para cada

falla, las zonas del espacio compatibles en compresión y extensión, superponiendo estos campos en proyección estereográfica. El proceso se realiza para el conjunto de la población

B) N

s

n

B

PT

T

F

A

F

P

P

P

T

T

A

A

s

A) n

Método: Consiste en la superposición de los cuatro cuadrantes para todas las fallas de la población a analizar sobre proyección estereográfica. Las zonas en compresión o extensión, no deben ser tomadas como "ejes teóricos" de un elipsoide (son zonas acotadas del espacio con el mismo tipo de movimiento, y sólo se aproximarán a la orientación de los "ejes del elipsoide" si están muy bien definidas y si son ortogonales entre sí). VENTAJAS * Rápido y visual * Su aplicación al estudio al estudio de mecanismos focales de terremotos, que es para lo que fue ideado en principio, (los cuadrantes no son más que el mecanismo focal de una falla). INCONVENIENTES * Soluciones cualitativas (con un grado de ambigüedad a veces importante), y no aporta datos sobre la forma del elipsoide * A menudo los ejes de esfuerzos "aparentes" quedan poco o nada definidos, aparecen inclinados de un modo irreal, o éstos no son perpendiculares entre sí.

Estos problemas se solucionan en parte utilizando diagramas de densidad, es decir, dividiendo la plantilla estereográfica con isolíneas que separen las zonas con igual porcentaje de extensión y/o compresión. En este sentido se han realizado diversos trabajos para mejorar el método y solucionar algunos problemas del mismo, entre los que destacan: • Lisle (1987) impone dos condiciones para obtener mejores resultados

en la aplicación del método: 1 - Los ejes de máxima compresión y extensión deben ser perpendiculares. 2 - Ambos ejes deben de estar en parejas opuestas de diedros. • De Vicente et al. (1992) realizan un estudio de las figuras de

interferencia de diagramas de diedros rectos que se producen al sumar los diagramas de dos poblaciones de fallas con distintas características (por ejemplo inversas más desgarres). Para ello utilizan las simetrías que produce el Modelo de Deslizamiento (Reches, 1983). En este estudio se demuestra la aparición de ejes aparentemente inclinados, producto de la adición de dos diagramas originados bajo la acción de un elipsoide con un eje vertical común. También se ofrece una clasificación de los tipos de figuras interferencia de diagramas de diedros rectos que se producen al sumar fallas de características diferentes originadas bajo un mismo evento deformativo.

Sentido de Movimiento de Fallas empleado: TEÓRICONúmero de Fallas representadas: 22

10° 20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°

90°

100°

110°

120°

130°

140°

150°

160° 170°180°190°

200°

210°

220°

230°

240°

250°

260°

270°

280°

290°

300°

310°

320°

330°

340° 350°

N

COMPRESIÓN

0% 82%

Máxima Frecuencia: 18 fallas

Mínima Frecuencia: 0 fallas

Histograma de Frecuencias 50%

25%

0% 0% % de Compresión 100%

3. MÉTODOS BASADOS EN LA ECUACIÓN DE BOTT

Los métodos en general buscan un tensor de esfuerzos que minimice la diferencia entre las estrías teóricas que produciría el tensor obtenido sobre los planos de falla existentes, y las estrías reales que se han medido en el campo.

El proceso de búsqueda se realiza a través de un proceso iterativo de

prueba y cálculo de error, minimizando la función: ) t x ( = F 2ii∑

siendo: si = estría real, ti = estría teórica

Los resultados que el método proporciona son: 1 - orientaciones (dirección e inmersión) de los 3 ejes principales del tensor de esfuerzos (σ1, σ2 y σ3). 2 - magnitudes relativas de los tres ejes, definidas por el R :

σσσσ

31

32

- -

= R

No se debe confundir este R con R’ en la ecuación de Bott, siendo la equivalencia entre ambos:

R’ = 1 / R

σ1 ES VERTICAL

R’ > 1 DISTENSIÓN

R’ = R

σ2 ES VERTICAL

0 < R’ < 1 DESGARRE

R’ = 1 / (R-1)

σ3 ES VERTICAL

R’ < 1 COMPRESIÓN

σ1

σ1

σ1

σ1

σ2

σ2

σ2

σ2

σ3

σ3

σ3

σ3

R = 0 R =0.25 R = 0.5 R = 0.75 R = 1

RÉG

IMEN

NO

RMAL

RÉG

IME

N D

E D

ESG

ARRE

RÉG

IME

NIN

VER

SO

3.1 - MÉTODO DE INVERSIÓN DE ESFUERZOS

Reches (1987) y (Reches et al., 1992), proponen un nuevo método de análisis poblacional de fallas que permite obtener la orientación y magnitudes relativas del tensor de esfuerzos teniendo en cuenta la ecuación de Bott y el criterio mecánico de Navier-Coulomb.

Este método en el más restrictivo comparado con los anteriores,

dado que éstos no incorporan condiciones mecánicas (fricción o cohesión). El método proporciona los parámetros mecánicos relativos a la fracturación, tanto para fallas de nueva creación: cohesión (C0) y coeficiente de fricción interna (µ0), como para fallas reactivadas: resistencia cohesiva al deslizamiento (Cw) y coeficiente de fricción (µw). • Condiciones de aplicación:

1) - El deslizamiento sobre un plano de falla se produce en la dirección de máximo esfuerzo de cizalla resuelto, o, de un modo equivalente, perpendicular al eje de cizalla nulo (Bott, 1959). 2) - Los esfuerzos de cizalla y normales en la falla satisfacen el criterio de rotura: Γ = µ σn donde Γ y σn son las magnitudes de los esfuerzos de cizalla y normal en la dirección de deslizamiento, y µ el coeficiente de fricción. 3) - El deslizamiento se produce bajo condiciones relativamente uniformes: las fallas fueron activas bajo el mismo estado de esfuerzos, y la fricción en las fallas se puede representar como su valor medio. Se asume que la cuantía del deslizamiento y las rotaciones de las fallas son bajas. Los supuestos 1 y 3 son comunes a todos los métodos de inversión de esfuerzos publicados, mientras que no así el criterio de rotura (2) que se asume en este método.

• Método de Cálculo Cada falla se representa por dos vectores unitarios: un vector normal a la falla (Ni , i = 1,2,3 ) y otro paralelo al eje de deslizamiento (S i, i = 1,2,3). Las componentes desconocidas de esfuerzos en este sistema son σ11, σ22, σ33, Γ23, y Γ13. σ33 es la carga litostática en la dirección vertical. Dado Si como eje de deslizamiento, y Bi como eje normal al eje de deslizamiento sobre el plano de falla, entonces: B = N * S (* indica multiplicación vectorial) Siguiendo el análisis de esfuerzo desarrollado en Jaeger y Cook (1976, cap. 2) y utilizando las relaciones geométricas entre Ni y Si, el supuesto 1 se puede escribir: (σ11 - σ33) N1 B1 + (σ22 - σ33) N2 B2 + Γ23 (N2 B3 + B2 N3) + Γ13 (N1 B3 + B1 N3) + Γ12 (N1 B2 + B1 N2) = 0 y supuesto 2 : (σ11 - σ33) N1 S1 + (σ22 - σ33) N2 S2 + Γ23 (N2 S3 + S2 N3) + Γ13 (N1 S3 + S1 N3) + Γ12 (N1 S2 + S1 N2) = = µ[(σ11 - σ33) N1

2 + (σ22 - σ33) N22 + σ33

+ 2 Γ23 N2 N3 + 2 Γ13 N1 N3 + 2 Γ12 N1 N2] [3.5b] Escribiendo estas dos ecuaciones para cada una de las K fallas de la población, obtenemos un sistema de 2*K ecuaciones. Este sistema es la multiplicación de matrices:

A * D = F donde A es una matriz de 2K * 5, D es el vector de esfuerzos desconocido, (con cinco componentes), y F es un vector con 2K términos. El vector D de esfuerzos tiene la forma: (σ11 - σ33), (σ22 - σ33), Γ23, Γ13, Γ12 [3.6b]

C)B) X

X

X

1

3

2

ABAJO

NORTE

ESTE

PG

σ1

σ2

σ3

NPC

SP

C1

C3 βA)

El vector F tiene la forma: 0,0,...,.,...,σ33, σ33,... donde los primeros k términos son 0 y los K últimos términos son σ33. El sistema A*D = F es un sistema lineal sobredeterminado, en el cual A y F son conocidos por las orientaciones del plano de falla y de la estría de movimiento. El vector D se determina con métodos lineales algebraicos, y se calcula un tensor general (σ1, σ2 y σ3) con el mínimo error por el método de mínimos cuadrados.

Este procedimiento se realiza para cada coeficiente de fricción (desde 0.0 hasta 2.0), separándose un tensor cada vez → se obtienen un total de 20 soluciones diferentes para cada población. Cuando en la solución se obtiene que el esfuerzo normal a una o más fallas es tensional, la solución se considera inaceptable. • Presión de fluidos y cohesion.

Sin embargo, estos parámetros no se pueden determinar independientemente por el método que se propone. La ecuación se modifica para incluir la cohesión (C) y la Presión de fluidos (Pf): |Γ| = C + µ (σn - Pf) La ecuación que representa la primera condición permanece igual, mientras que la ec. que representa la segunda condición, pasa a ser: (σ11 - σ33) N1 S1 + (σ22 - σ33) N2 S2 + Γ23 (N2 S3 + S2 N3) + Γ13 (N1 S3 + S1 N3) + Γ12 (N1 S2 + S1 N2) = = Pc + µ[(σ11 - σ33) N1

2 + (σ22 - σ33) N22 + σ33

+ 2 Γ23 N2 N3 + 2 Γ13 N1 N3 + 2 Γ12 N1 N2] donde Pc = C + µ(σ33 - Pf). Estos cambios conducen a un cambio en el vector F 0,0,...,.,...,Pc, Pc,..., Pc Pc es la suma de las tres componentes de esfuerzos: cohesión C, presión de fluidos Pf, y esfuerzo vertical σ33. Se asume que el deslizamiento se produce primariamente en las fallas que presentan una cohesión = 0. Los esfuerzos calculados están representados por la razón de los esfuerzos principales efectivos: φi = (σi - Pp) / (σ33 - Pp) El uso de las razones de los esfuerzos efectivos en lugar de la utilización de los valores absolutos, no modifica ni las orientaciones de los esfuerzos ni el valor de φ.

• Desviaciones y criterios de selección.

La calidad de una solución particular indicaría la desviación entre las propiedades del tensor general y las observaciones de campo. Se aplican dos tipos de desviaciones que están representadas por dos ángulos de dispersión que se describen a continuación:

1) PAM (Principal Axes Misfit Angle) (Angulo de desviación de los ejes principales). El deslizamiento a lo largo de una falla que cumple el criterio de ruptura de Coulomb puede ocurrir bajo muchos estados de esfuerzo. Sin embargo, el valor de la diferencia de esfuerzos (σ1 - σ3) es mínima sólo para una orientación del tensor de esfuerzos (Jaeger y Cook, 1976). Este tensor que hace mínima la diferencia de esfuerzos se denomina "tensor ideal" (C1 y C3). Los esfuerzos principales del tensor ideal C1 y C3 están contenidos en el plano definido por el eje de deslizamiento y la normal al plano de falla. El eje C1 forma un ángulo de B = 45 - φ/2 con el eje de deslizamiento, y un ángulo de 45 + φ/2 con la normal a la falla, siendo φ = arc tan µ.

Los ángulos entre los ejes del tensor ideal (C1, C2, C3) y los ejes del tensor general (σ1, σ2, σ3) se calculan para cada falla de la población. El ángulo de desviación medio de los ejes principales para cada falla es: t = (C1 σ̂1 + C2 σ̂2 + C3 σ̂3) / 3 Sin embargo, para casos radiales (ej. σ2 = σ3), grandes ángulos entre C2 σ̂2 y C3 σ̂3, no indican grandes desviaciones angulares entre los dos tensores. Para compensar este efecto, Reches et al., (1992) redefinen t como: t = [(1 - φ) C1 σ̂1 + φ C3 σ̂3] /2 donde φ = (σ2 - σ3) / (σ1 - σ3) PAM = {Σt} / K K = nº de fallas

C)B) X

X

X

1

3

2

ABAJO

NORTE

ESTE

PG

σ1

σ2

σ3

NPC

SP

C1

C3 βA)

2) Slip misfit (Desviación angular de deslizamiento). Es el ángulo de desviación entre el eje de deslizamiento medido en el campo y la dirección de Γ en el plano de falla. La dirección de máximo Γ se calcula sustituyendo el tensor general y la dirección del plano de falla. El SM es el ángulo medio entre el eje observado y el eje calculado de todas las fallas. • Criterio de seleccion de la solución. El ángulo SM es menos restrictivo que el PAM y puede anularse para muchos tensores generales. Por otro lado, bajo esas mismas condiciones, el PAM se anula sólo para una orientación definida por ß = 45 - φ/2. Además, el ángulo SM no está directamente constreñido por el coeficiente de fricción (µ) de la falla.

De este modo, como el tensor ideal es único para cada falla, el ángulo PAM es una estimación restrictiva y conservadora del error de la solución. Las soluciones deben tener en cuenta las siguientes premisas: 1 - µ ha de ser lo más próximo posible a 0.8 (Byerlee, 1978) 2 - los ángulos de desviación entre los ejes de deslizamiento y ejes principales observados y calculados (ángulos TAO y SIG, respectivamente) han de ser mínimos. 3 - la cohesión principal debe ser resistente al deslizamiento (C ≥ 0) y menor del 5 % del valor de la diferencia de esfuerzos para que la resistencia sea friccional.

Ejes Principales:σ1 = 85 / 323 ± 5ºσ2 = 04 / 062 ± 17ºσ3 = 00 / 332 ± 16º

σ2

σ1

σ3Estación Bedija

N = 500 Iteraciones

µ = 1.3

3.2 MÉTODO DE RIVERA-CISTERNAS (1990)

Determina un tensor regional y un mecanismo para cada terremoto compatible con dicho tensor, considerando las polaridades de las ondas P como datos de partida. El método maximiza iterativamente una función de verosimilitud, definida en base a la posición de las polaridades en la esfera focal con respecto a los planos nodales (si la polaridad se encuentra en el cuadrante correcto, la verosimilitud será tanto mayor cuanto más alejada de los planos nodales se encuentre dicha polaridad). Los parámetros del modelo son las posiciones de los tres ejes principales de esfuerzos con respecto al sistema de referencia geográfico. A continuación se toma en cuenta el factor de forma de tensor (R´) y, por otro lado también se consideran los valores del azimut y el buzamiento de los planos nodales del mecanismo. • Resultados 1. Los ejes principales (1,2,3) se representan como la intersección de ellos sobre la semiesfera inferior focal utilizando la proyección de Schmidt. También se muestran las elipses de error respectivas. 2. En la parte inferior se indican los valores del factor de forma ( θR ) de los ángulos de Euler (φ, θ, ψ ). Se debe hacer notar que cuando el valor del ángulo de Euler (θ) es próximo a 0 ó π, el primer y tercer ángulo se encuentran correlacionados. Se señalan también los valores de φ ±ψ y la varianza respectiva.

σ 3

σ 1

σ 2Forma y Orientación del Tensor de Esfuerzos

Factor de Forma : R=0.5

Orientación : σ1 : azimut = 148º inmersión = 17º

σ2 : azimut = 12º inmersión = 66ºσ3 : azimut = 240º inmersión = 17º

Calidad : Verosimilitud=0.841

Score=0.758

3. “Score”, definido como la razón entre las polaridades acertadas por los resultados y el número total de las polaridades. También se agrega el valor de la función verosimilitud (criterio más importante), que expresa la coherencia entre la función de radiación y el conjunto de polaridades dándose la situación óptima -verosimilitud próxima a 1- cuando las lecturas realizadas se sitúan en los máximos correspondientes de la función de radiación. Esta función evalúa el grado de cumplimiento de la hipótesis básica en el método de Rivera y Cisternas (1990) de que el espacio donde ocurren los terremotos es tectónicamente homogéneo, es decir, que los mecanismos focales individuales pueden ser interpretados por un solo tensor de esfuerzos. 4. Los mecanismos focales utilizando también la representación de Schmidt de la semiesfera inferior focal. En cada una de ellas se sitúan las polaridades y los planos nodales.

-10º

-10º

-5º

-5º

0º

0º

5º

5º

35º 35º

40º 40º

45º 45º

σ 3

σ 1

σ 2

R = 0.86

σ 3

σ 2

σ 1

R = 0.60

σ

σ 3

1

σ 2

R = 0.70

σ 3

σ 1 σ 2

R = 0.37

σ 3 σ 2

σ 1

R = 0.49

σ 3

σ 1

σ 2

R = 0.47

σ 3

σ 2

R = 0.36 σ 1

4.- APLICABILIDAD DE LOS MÉTODOS DE APF

La formulación del problema inverso asume que el campo de esfuerzos es homogéneo en espacio y tiempo a la escala de los datos utilizados a) la geometría del plano de falla (y su terminación) b) la superficie de la tierra (interfase aire-sólido) c) anisotropías friccionales dentro del plano de falla d) la interacción entre diferentes fallas. Sin embargo, la validez de que un estado de esfuerzos homogéneo produce el deslizamiento independiente de varios planos de falla con diferentes orientaciones, siguiendo la ecuación de Bott, es un hecho contrastado, tanto empírica como numéricamente: • Criterio empírico Los usuarios de los métodos que se basan en las premisas anteriores han señalado la consistencia de los resultados obtenidos, así como su interpretabilidad desde un punto de vista geológico y sismotectónico. Los resultados que estos métodos proporcionan presentan unas desviaciones angulares medias sorprendentemente bajas, teniendo en cuenta la incertidumbre asociada a la toma de datos en el campo y al proceso sísmico, así como la propia dispersión natural de los mismos. La congruencia entre los resultados en el cálculo de esfuerzos tectónicos obtenidos a partir de estos métodos de inversión con los obtenidos a partir de otras metodologías completamente diferentes como son las maclas de calcita (Lacombe et al., 1990; García Cuevas et al., 1995), diaclasas (Bouroz, 1990), medidas de esfuerzos in situ y roturas en sondeos (Zoback et al., 1989; Zoback, 1992). • Modelización numérica El objetivo es calcular las desviaciones entre los esfuerzos de cizalla teóricos y los deslizamientos de las fallas en situaciones críticas. Pollard et al. (1993) modelizan las geometrías de las fallas en un semiespacio elástico, con el objetivo de evaluar la variación entre la dirección del esfuerzo de cizalla resuelto sobre el plano de falla (τ) y el vector de deslizamiento.

Las conclusiones son que las desviaciones causadas por el efecto de la geometría de la falla (relación ancho/largo) y por el efecto de la superficie de la tierra (interfase aire/sólido) son insignificantes en todos los casos modelizados, dado el grado de precisión en la toma de datos. Por el contrario, en el caso de la interacción entre diferentes fallas, las desviaciones pueden ser significativas (máximo de 40º) en el caso de pequeñas fallas situadas en el extremo de grandes fallas. No obstante, incluso en estos casos, en más del 80% de los segmentos uniformemente repartidos por todas las superficies de las fallas, la desviación es menor de 10º

Dupin et al. (1993) han comprobado la validez de las premisas asumidas por los métodos de inversión mediante el análisis con elementos discretos (3-D Distinct Element Method), técnica capaz de simular en tres dimensiones la respuesta mecánica de sistemas compuestos de bloques discretos. Las principales conclusiones son: 1) En la mayor parte de los casos prácticos, la hipótesis de Wallace-Bott es válida como primera aproximación (sobre todo donde no hay interacciones mecánicas). 2) En los casos donde el espaciado entre las fallas es pequeño, o bien éstas se intersectan entre sí, los resultados sugieren que las desviaciones angulares importantes son raras.

Las consideraciones a cumplir, dentro de lo posible, son: 1) Obtener el mayor número de datos posible. 2) Evitar los extremos de las fallas y las intersecciones entre ellas a la escala del afloramiento. 3) No tomar medidas donde las estrías sean curvas.

A

A'

x1

x3

− γ

x2

x3

β,

-2

0

0

24

6

-2 -4-6

24

B)A) γ (º)

40

80

120

160

0 5 10-5-10-20

0

Nº

de s

egm

ento

s de

falla

C)

5.- ESTIMACIÓN DE LA CALIDAD DE LOS RESULTADOS

La recogida de datos estructurales tiene una serie de limitaciones que es preciso conocer. Así, además del grado de representatividad de la propia estación de análisis respecto al resto de la zona de estudio, hay que tener en cuenta los errores de tipo numérico 1) Los errores instrumentales de la brújula y el clinómetro, que pueden estimarse en ± 1º para cada uno de los tres ángulos medidos (sentido de buzamiento, buzamiento y cabeceo). 2) Errores debidos a las irregularidades de la superficie de falla y de la estría, que son cuantitativamente más importantes, y que fácilmente alcanzan valores de ± 5º. 3) El error en el cálculo del tensor de esfuerzos. Para estimar el grado de calidad en el cálculo de un tensor de esfuerzos, resulta común realizar algún tipo de clasificación que tenga en cuenta el tipo y cantidad de datos utilizados, así como los parámetros de error calculados con el método empleado (Liesa y Arlegui, 1996).

Además de emplear una escala de calidad, resulta de gran interés establecer el grado de representatividad estadística de la población de fallas explicada, mediante el cálculo de los intervalos de confianza de la solución. Índice calidad (IQ) de un tensor de esfuerzos (Simón et al., 1996) El índice de calidad propuesto por Simón et al. (1996) es el producto de cuatro factores, cada uno de los cuales tiene en cuenta un parámetro distinto:

⋅

−⋅

+⋅

tc

tntt

= IQ4

17α

donde: α es el ángulo medio en grados entre las estrías teóricas y las calculadas. t es el número de fallas explicadas por el tensor. n es el número de fallas de la población no explicadas por ningún tensor c es el número de fallas que cumplen el criterio mecánico de Mohr - Coulomb [τ ≥ σn ⋅ tan (25º)] Los valores numéricos 7 y 4 se establecen para que el índice de calidad oscile en un intervalo entre 0 y 1.

Estos autores proporcionan una clasificación de los tensores según cuatro categorías, en función de su propia experiencia: Tensores RECHAZABLES è Q = 0 Tensores MEDIOCRES è 0 < Q < 0.1 Tensores BUENOS è 0.1 ≤ Q ≤ 0.4 Tensores MUY BUENOS è 0.4 ≤ Q ≤ 0.7 Tensores EXCELENTES è Q ≥ 0.7 Conviene recordar que para la evaluación de la compatibilidad mecánica, estos autores proponen que las fallas deben quedar por encima de la línea de resistencia friccional definida en el círculo de Mohr por una cohesión nula y un φ = 25º (µ = Tan φ = 0.46). Este criterio puede considerarse en cierto modo arbitrario, sobre todo si se tienen en cuenta la Ley de Byerlee (1978), y que bajo condiciones superficiales, los coeficientes de fricción pueden presentar una gran dispersión.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

B

IQ -

ETC

HEC

OPA

R

IQ - RECHES

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

A

IQ -

ETC

HE

CO

PAR

IQ - RECHES

y = 0.99x + 0.06 r =

0.51

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

10

20

30

40

50

60

70

C

Nº D

E TE

NSO

RE

S

IQ - RECHES

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

10

20

30

40

50

60

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

20

40

60

80

100

120

140

D

Nº D

E TE

NSO

RE

S

IQ - ETCHECOPAR

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

4

8

12

16

20

24

28

32

E

ÁNG

ULO

TAO

(º)

IQ - RECHES

y = 5.54 * x (r = 0.70)0.53

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

F

ÁN

GU

LO T

AO

(º)

IQ - ETCHECOPAR

y = 3.78 * x (r = 0.50)0.47

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

5

10

15

20

25

30

35y = 12.29 * X (r = 0.62)0.3

G

ÁNG

ULO

PM

A (º

)

IQ - RECHES

0 10 20 30 400

10

20

30

40y = 0.59 x + 0.81 (r = 0.60) H

ÁNG

ULO

TAO

(º)

ÁNGULO PMA (º)

• REPRESENTATIVIDAD ESTADÍSTICA: MÁRGENES DE CONFIANZA

Los márgenes de confianza se evalúan por medio de un "muestreo con reemplazamiento" (Stuart, 1984) conocido como "bootstrapping" (Efron, 1982). Como una población de fallas es una muestra finita de una población infinita de fallas, se asume que los parámetros de la población infinita se pueden estimar a través de un muestreo con reemplazamiento. Stuart (1984) establece que "el muestreo con reemplazamiento es equivalente al muestreo sin reemplazamiento de una población de tamaño infinito". Los valores medios de las muestras sumadas presentan una distribución normal sobre el valor real de la población relativa a la población original (Stuart, 1984). En una población con distribución normal, el 31.63% de las soluciones se desvían ± 1 vez la desviación estándard respecto al valor medio. El resto (68.27 %) se encuentran limitados por un margen de confianza de ± 1 desviación estándard sobre la media. El muestreo con reemplazamiento que se ha aplicado en la presente inversión sigue el procedimiento descrito a continuación: 1º) Se determina la mejor solución y el coeficiente de fricción correspondiente (µ). 2º) La población original de fallas se reemplaza por selección aleatoria hasta sumar N muestras. 3º) Se calculan N tensores de esfuerzos (para el µ seleccionado). 4º) Se computan los ejes principales medios de esfuerzos de las N soluciones y las desviaciones angulares entre cada uno de los ejes principales de cada uno de los N tensores y el correspondiente eje principal medio. 5º) Se borra el 31.63 % de las N soluciones más alejadas del valor medio. El remanente (68.27 %) de las soluciones se encuentran dentro del margen de confianza de ± 1 desviación estándard.

F1

F3

F2

FFF

Orientación Radio de ejes confianza

1 88/076; 42 00/319; 133 00/229; 13

Número de datos: 80B)

N = 500 Iteraciones

µ = 0.5

6.- CONSTRUCCIÓN DE MAPAS DE TRAYECTORIAS DE ESFUERZOS

Resulta conveniente emplear modelos matemáticos para ajustar la distribución regional de los esfuerzos. Matemáticamente, la consideración del problema general de suavizados de una distribución en 2-D de datos de orientaciones vectoriales ha sido tratada por diferentes autores en la literatura (Mendoza, 1986; Huang et al., 1987). EL PROGRAMA LISSAGE” (Lee y Angelier, 1994) Reconstruye mapas de trayectorias de paleoesfuerzos para un evento tectónico único, basándose en los resultados de múltiples determinaciones de esfuerzos locales Incluye dos métodos diferentes de interpolación (modelo lineal por medio de una distribución bivariante, y una función de peso inversamente proporcional a la distancia). El resultado es una transformación de las orientaciones locales de esfuerzos en una distribución regional en dos dimensiones de las trayectorias de los ejes principales de esfuerzos que incluye un proceso de suavizado. El grado de suavizado de las trayectorias está controlado por a) el grado de la función polinómica en el primer caso b) el valor del exponente y la distancia umbral (radio de búsqueda) para el segundo método. En la interpolación se considera el efecto de las desviaciones locales, resultantes de incertidumbres en el proceso de inversión, por medio de un valor angular de dispersión en la posición del eje.

500 520 500 5204460

4480

4500

452010 Km

A B

BRIHUEGA BRIHUEGA

Resultados: una malla regular de orientaciones de paleoesfuerzos interpolada, y un mapa de trayectorias de esfuerzo en dos dimensiones que corresponde al campo de paleoesfuerzos suavizado. Factor de Forma Dado que el programa no realiza ninguna consideración sobre la forma de los elipsoides, en nuestro caso se ha realizado una interpolación adicional del valor de R, con los mismos parámetros que los utilizados para obtener las trayectorias de los esfuerzos. De este modo se obtiene una malla de esfuerzos regular que representa tanto la variación en orientación como en magnitudes relativas de los esfuerzos a lo largo de todo el área considerada. 287.100 176.700 121 3 0 15 187.100 195.900 121 3 0 5 163.000 176.700 127 3 0 10 213.000 154.700 96 3 0 15 222.300 146.500 121 3 0 5 205.600 116.500 146 3 0 5 203.700 127.400 134 3 0 5

HUETOS1 LEGUA2

SMARTIN2TRILLO

AZAÑON

PUERTA2DURON

AUNON1I PAREJA2

MIRADOR2

ENTREPEI

VIADI

BUENDIAI

CASABUT1PRIEGO1

UCLES1

ALBALAT1

INFIERI

PINFIER2

SPEDROA

RECUENC1

SMIGUELI

BARRERO1

DESAMPAI

SAELICE1

MELOI

ROZALEN1

HUELVESA

DEGOLL2

BASCUA

SAYATONA

SEGOBRII

LUJANA

TORRUBII

MOTAAZANCARA2

OLALLA2

PAREDES2

JABALER2

PINGURU1

ZORITA1

BUJEDA2

ALMAR2

HITOA

ENTREP2

BRIHUEGA

CIFUENTES

CUENCA

AUÑON

ALBALATE GASCUENA

VALDEOLIVAS

TARANCON

BARAJAS

LORANCA

BETETA

HUETE

LA ALMARCHA

HORCAJO SANTIAGOS.LORENZO PARRILLA VALERIA

MOTA CUERVO

ALBERCA ZANCARA

PALOMARES CAMPO

VILLALBA SIERRA

VILLAREJO FUENTES

MONDEJAR

TENDILLA

TORRALBA

RÉGIMEN DE ESTADOS DEPALEOESFUERZOS

COMPRESIVO

DESGARRE

EXTENSIVO