1

Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México

Cuadernillo de Ejercicios de

Álgebra Lineal

M. en C. Luis Ignacio Sandoval Paéz

La Paz, México 2012

2

Índice

Página

Introducción Unidad I Números complejos 1.1 Definición y origen de los números complejos. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo. 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. 1.6 Ecuaciones polinómicas. Unidad II Matrices y determinantes 2.1 Definición de matriz, notación y orden. 2.2 Operaciones con matrices. 2.3 Clasificación de las matrices. 2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz. 2.5 Cálculo de la inversa de una matriz. 2.6 Definición de determinante de una matriz. 2.7 Propiedades de los determinantes. 2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta. 2.9 Aplicación de matrices y determinantes. Unidad III Sistemas de ecuaciones lineales 3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales. 3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución. 3.3 Interpretación geométrica de las soluciones. 3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer. 3.5 Aplicaciones. Unidad IV Espacios vectoriales 4.1 Definición de espacio vectorial. 4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades. 4.3 Combinación lineal. Independencia lineal. 4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. 4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. 4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. Unidad V Transformaciones lineales 5.1 Introducción a las transformaciones lineales. 5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal. 5.3 La matriz de una transformación lineal. 5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación. Referencias

3 4 10 17 22 25 28

3

Introducción

El álgebra lineal aporta, al perfil del ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver problemas. Muchos fenómenos de la naturaleza, que se presentan en la ingeniería, se pueden aproximar a través de un modelo lineal. Esta materia nos sirve para caracterizar estos fenómenos y convertirlos en un modelo lineal ya que es más sencillo de manejar, graficar y resolver que uno no lineal, de allí la importancia de estudiar álgebra lineal. Esta asignatura proporciona al estudiante de ingeniería una herramienta para resolver problemas de aplicaciones de la vida ordinaria y de aplicaciones de la ingeniería. Está diseñada para el logro de siete competencias específicas dirigidas a la aprehensión de los dominios: números complejos, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, base y dimensión de un espacio vectorial y transformaciones lineales. Esta materia proporciona además conceptos matemáticos que se aplicarán en ecuaciones diferenciales y en otras materias de especialidad. Objetivo general

Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería. Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemáticas.

4

Unidad I Números complejos

Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería.

1.1 Definición y origen de los números complejos. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo. Sección de preguntas:

1. ¿Cómo se define un número complejo? 2. ¿Cuántas formas de representar un número complejo existen? 3. ¿Cómo se obtiene el modulo de un número complejo? 4. ¿Cómo se obtiene el conjugado de un número complejo? 5. Describa como se realiza de forma general, la suma, resta y multiplicación

de números complejos. Sección de ejercicios: 1.- Sean Z1 = 5-3i, Z2 =4+2i, Z3

= -3+i

Realizar las siguientes operaciones:

2.- Con respecto a los valores en el problema uno, obtener la representación polar para cada número complejo.

3.- Sea x un número complejo

5

Sección de opción múltiple:

6

7

8

9

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. 1.6 Ecuaciones polinómicas.

10

Unidad II Matrices y determinantes

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

2.2 Operaciones con matrices.

2.3 Clasificación de las matrices.

2.4 Transformaciones elementales por renglón.

Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.

2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.

2.6 Definición de determinante de una matriz.

2.7 Propiedades de los determinantes.

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

2.9 Aplicación de matrices y determinantes.

Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar conceptos y problemas mediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales; así como en otras áreas de las matemáticas y de la ingeniería, para una mejor comprensión y una solución más eficiente. Utilizar el determinante y sus propiedades para probar la existencia y el cálculo de la inversa de una matriz.

Sección de preguntas

1.- Defina que es una matriz.

2.- ¿Qué parámetros se emplean para determinar el tamaño de una matriz?

3.- Describa como se realiza la suma y la resta de matrices.

4.- ¿Se pueden sumar o restar cualquier tipo de matrices?, sí ¿por qué?, no ¿por qué?

5.- ¿Cuál es la condición necesaria para la multiplicación de matrices?

5.- ¿La multiplicación de matrices es conmutativa?

11

6.- ¿Cómo se realiza la multiplicación de matrices?

7.- Escriba las propiedades de la matriz inversa.

8-. Mencione dos métodos diferentes para calcular la inversa de una matriz.

9.- ¿Qué es un determinante?

10.- Escriba las propiedades de un determinante.

Ejercicios

1.- Dadas las siguientes matrices, realice las operaciones que se indican ( en caso de ser posible).

2.- Dadas las matrices

Calcular:

12

3.- Demostrar que:

Siendo

4.- Sea la matriz

5.- Por qué matriz hay que multiplicar a la matriz

Para que de como resultado la siguiente matriz

6.- Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema

13

Determinantes

1. Demostrar, s in desarro l lar, que los s iguientes

determinantes valen cero:

2. Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

3. Demostrar que los s iguientes determinantes son múlt ip los

de 5 y 4 respect ivamente, s in desarro l lar los

4. Demostrar, s in desarro l lar, que el s iguiente determinante es

múlt ip lo de 15:

14

5. Demuéstrese las igualdades que se indican, s in necesidad

de desarro l lar los determinantes:

6. Resolver las s iguientes ecuaciones sin desarro l lar los

determinantes.

7. Apl icando las propiedades de los determinantes, calcular:

8. Pasando a determinantes t r iangulares, calcular e l valor de:

15

9. Calcular los determinantes de Vandermonde:

10. Hal lar la matr iz inversa de:

11. Para qué valores de x la matr iz no admite matr iz inversa?

12. Calcular e l rango de las s iguientes matr ices:

13. Resolver las s iguientes ecuaciones matr ic ia les:

1A · X = B

2 X · A + B = C

16

Aplicaciones (sistemas de ecuaciones)

Sección de preguntas

1.- Mencione el concepto de incógnita.

2.- Qué es una ecuación lineal en una sola variable.

3.- Escriba como se denota de manera general un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas.

4.- Mencione cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

Ejercicios

1.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

b)

c)

17

Unidad III Sistemas de ecuaciones lineales

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones.

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer.

3.5 Aplicaciones.

Modelar y resolver diferentes problemas de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales en el área de las matemáticas y de la ingeniería por los métodos de Gauss, Gauss-Jordan, matriz inversa y regla de Cramer. Sección de preguntas. 1.- Defina que es una incógnita (variable).

2.- Defina que es una ecuación lineal en una sola variable. 3.- Escriba como se denota de manera general un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas. 4.- Mencione cuantos métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

5.- ¿Qué significado gráfico tiene una ecuación lineal de 1, 2 y 3 incógnitas respectivamente? 6.- ¿Qué significado gráfico tiene un sistema de ecuaciones con 2 y 3 incógnitas respectivamente? 7.- Represente gráficamente un sistema de ecuaciones de 3 incógnitas con tres ecuaciones con a) Una única solución b) No hay solución c) Tiene una infinidad de soluciones. 8.- Mencione que área de las matemáticas estudia los sistemas de ecuaciones lineales.

18

9.- Mencione que tipos de fenómenos físicos se pueden modelar con los sistemas de ecuaciones lineales. 10.- Mencione que tipos de fenómenos sociales se pueden modelar con los sistemas de ecuaciones lineales. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones y ejercicios.

Obtener el sistema de ecuaciones, su representación matricial para resolverlo por el método de cramer, gauss, gauss-jordan y matriz inversa

1.- Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

2.- Una herencia de 84000 se dividió en tres fideicomisos; el primer fideicomiso recibió el doble que el segundo fideicomiso; la tasa de interés que paga cada

19

fideicomiso respectivamente es de 5 %, 7% y 9 %, anualmente. Si el rendimiento del primer año fue de 5425. Cuanto se invirtió en cada fideicomiso? 3.- En una estancia infantil se catalogan los alimentos como frutas, carnes y verduras; la estancia recibe 2500 unidades de carnes, 2400 unidades de fruta y 2100 unidades de verdura mensualmente, para preparar el menú de cada sala. En la estancia hay tres salas diferentes: lactantes, maternal y prescolar. Cada menú de lactantes tiene 20 unidades de frutas, 30 unidades de verduras y 40 unidades de carne; cada menú de maternal tiene 30 unidades de fruta, 20 de verdura y 10 de carne; cada menú de prescolar tiene 30 unidades de fruta, 30 unidades de verdura y 20 unidades de carne. Determine que cantidad del total de unidades recibidas de cada alimento debe asignarse al menú de cada sala. 4.- Un fabricante de loza, produce platos, vasos y tazas. La fabricación de platos requiere 10 minutos en la planta de mezclado, 6 en la planta de pintado y 12 en la planta de horneado. La fabricación de vasos requiere de 12 minutos en mezclado, 8 minutos en barnizado y 12 minutos en horneado y la fabricación de tazas requiere 15 minutos en mezclado, 12 en barnizado y 18 en horneado. Si la planta de mezclado esta disponible 16 horas por semana, la de barnizado 11 horas y la de horneado 18. Qué cantidad de cada tipo de loza se debe fabricar para que las plantas se usen a su máxima capacidad?

Resolver por el método que se quiera:

1.

2

Resolver e l s istema homogéneo:

3 Discut i r y resolver e l s istema cuando sea compat ib le.

20

4

Discut i r y resolver e l s istema cuando sea compat ib le.

5

Estudiar los s iguientes s istemas según los d ist intos

valores de a y b.

Aplicaciones:

1.- Quicklin Publisher edita 3 tipos de libros, en encuadernación rustica, con pasta dura y empastado en piel. Para la encuadernación rustica, la empresa gasta en promedio $5 en papel, $2 en ilustración y $3 en la pasta. Para los de pasta dura los gastos son $10 en papel, $4 en ilustración y $8 en la pasta, y para los de empastado en piel $20 en papel, $12 en ilustración y $24 en pasta. Si el presupuesto permite $23500 en papel, $11000 en ilustración y $20500 en pasta por mes ¿Cuántos libros de cada categoría pueden producirse? 2.- En una papelería se venden plumas de colores el día lunes se venden en promedio 1 roja, 1 azul y 2 negras, los miércoles se venden una azul, 2 rojas y 3 negras y los viernes se venden 3 azules 7 rojas y 4 negras. Si cada caja de plumas tiene 10, >Cuantas semanas se necesitan para vender 8 cajas de plumas azules, 5 de rojas y 10 de negras?

3.- En una fábrica de ropa se producen 3 estilos de camisas, cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado; las camisas se elaboran por lotes, para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 min. Para cortarlas, 40 min. para coserlas y 50min, para planchar y empaquetar. Para coser el tipo 2 se necesitan 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3 se necesitan 65 min para cortar, 40 min

21

para coser y 15 para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se dedican 8 horas a cortar, 8 a coser y 8 a planchar y empaquetar? 4.- Un corredor de bolsa invierten en acciones de FEMSA, TELMEX y VITRO, y le esta presumiendo a un compañero que la cantidad que invirtió en ellas le trajo la máxima ganancia, pero no le quiso decir cuanto invirtió en cada una de ellas; por lo cual el compañero realizo una serie de preguntas que de manera indirecta le permitieran saber lo que quería, la información obtenida fue la siguiente: En marzo a precio de cierre las acciones valían $138900, en abril valían $131220 y en mayo valían $121280. Además buscando en los registros el segundo corredor de bolsa encuentra que en marzo las acciones valían $16.98 para FEMSA, $9 para TELMEX y $9 para VITRO, en abril $15.90 para FEMSA, $8.72 para TELMEX y $8.52 para VITRO y en mayo $14.08 para FEMSA, $8.20 para TELMEX y $8.76 para VITRO. ¿Qué cantidad de acciones compro el primer corredor de bolsa?

5.- La empresa Intertek Lab Testing planea contratar 3 compañías de relaciones públicas para encuestar a 500 clientes por teléfono, 750 vía email y 350 personalmente. La compañía M & M tiene personal para hacer 10 encuestas por teléfono, 30 vía email y 5 encuestas personales por hora. La compañía Digital, puede efectuar 20 encuestas por teléfono, 10 por correo y 10 encuestas personales por hora, y la compañía Melcher puede efectuar 10 encuestas por teléfono, 20 por correo y 15 personales por hora. ¿Por cuántas horas debe contratarse a cada compañía para obtener el número exacto de encuestas requeridas? 6.- Una fábrica de pelotas produce un modelo para niños y un modelo para niñas. Para el modelo de niñas usa 20 grs de colorante y 45 grs de material sintético, y para el modelo de niños usa 25 grs de colorante y 70grs de material sintético. Si a la semana la fábrica recibe 1675 kg de colorante y 4250 kg de material sintético cuántas pelotas se pueden producir por mes. 7.- Un agricultor mendocino prepara la tierra para sembrar repollo y ajo. Para cada parcela destinada a repollo emplea 60 kg de superfosfato triple y 150 kg de urea. Para una parcela destinada a ajo se emplean 100kg de superfosfato triple y 180 kg de urea. El agricultor dispone de 1000kg de superfosfato triple y 2220 kg de urea ¿Cuántas parcelas de cada plantación puede preparar para emplear todo el superfosfato triple y toda la urea? 8.- Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de cobre. ¿Qué cantidad de mineral se deberá extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre?

9.- Una compañía de computadoras fabrica tres modelos de computadoras personales. Para armar una computadora del primer modelo necesita 12 horas de

22

ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus programas. Para una del segundo modelo requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por último, para una del tercer modelo requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, cuántas computadoras se pueden producir por mes? X = 34, y = 4, z = 18 10.- Un negociante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, francos franceses, y marcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este año viajó tres veces. La primera vez cambió un total de $434 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1.5 francos y 1.2 marcos por dólar. La segunda vez, cambió un total de $406 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1.2 francos, y 1.5 marcos por dólar. La tercera vez cambió $434 en total, a $125 yenes, 1.2 francos, y 1.2 marcos por dólar. ¿Qué cantidades de yenes, francos y marcos compro cada vez? x = 10500, y = 126, z = 294 6

Unidad IV Espacios vectoriales

4.1 Definición de espacio vectorial.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Comprender el concepto de espacio vectorial como la estructura algebraica que generaliza y hace abstracción de operaciones que aparecen en diferentes áreas de la matemática mediante las propiedades de adición y multiplicación por un escalar. Construir, utilizando el álgebra de vectores, bases de un espacio vectorial y determinar la dimensión del espacio correspondiente. Preguntas 1. Escriba la definición de espacio vectorial.

23

2.- Escriba la definición de subespacio vectorial.

3.- Menciona que tipo de problemas requieren de combinaciones lineales Para resolverse. 4.- ¿Qué es un conjunto generador? 5.- ¿Qué es un conjunto linealmente independiente? 6.- Mencione las diferencias entre una base canónica y cualquier otro tipo de base. 7.- ¿Cuál es la diferencia entre una base ortonormal y cualquier base arbitraria? 8.- ¿Para qué nos sirve conocer la dimensión de un espacio vectorial? 9.- Describe las propiedades del producto interno. Ejercicios 1.- Verificar que Rn, pn y Mm×n

son espacios vectoriales.

2.- Determinar si el conjunto V de pares ordenados (x, y) que satisfacen 3x + 2y =1

x − y =0

es un subespacio de R2

.

3.- Expresar al polinomio f(x) = x+x2

como combinación lineal de los polinomios

g1(x) = 1 + x, g2(x) = 1 − x − x2 y g3

(x) = 2 + x.

4.- Determinar si los vectores u = (1, 1) y v = (2,−1) generan R2

.

5.- Demostrar que las funciones f(x) = 1 + x y g(x) = x + x2

independientes pero no generan p son linealmente

2

. Explicar por qué el polinomio

h(x) = 1 − x + x

2

no se encuentra en el espacio generado por f(x) y g(x).

24

6.- Determinar si la matriz

se encuentra en el espacio generado por las matrices

7.- Determinar si los vectores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 0) y w = (0,−1, 1) generan R3

.

8.- ¿Cuál de los siguientes conjuntos forma una base para R3

?

1. u = (1,−1, 2), v = (2, 3, 5) y w = (−3, 0, 2) 2. u = (1, 1, 3), v = (1, 3, 5) y w = (1,−1, 1)

9.- Determinar si las matrices siguientes forman una base para M3×2

:

10.- Determine cual de los siguientes conjuntos es base para el espacio vectorial que se indica:

25

11.- Utilice el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base:

Unidad V Transformaciones lineales

5.1 Introducción a las transformaciones lineales.

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

5.3 La matriz de una transformación lineal.

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Aplicar las transformaciones lineales y sus propiedades para representarlas mediante una matriz de reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Sección de preguntas

1.- Escriba la definición de una transformación lineal.

26

2.- Describa que hacen las siguientes transformaciones lineales con los vectores que reciben: a) Proyección. b) Dilatación. c) Contracción. d) Reflexión. e) Rotación. 3.- ¿Cuándo una transformación lineal es inyectiva? 4.- Defina el núcleo de una transformación lineal. 5.- ¿A qué se le conoce como la imagen de una transformación lineal? 6.- Explique como una matriz puede representar a una transformación lineal. 7.- Determine cuál de las siguientes es transformación lineal:

27

28

Referencias

Introducción al álgebra lineal, Howard anton, Limusa

http://ejerciciosyexamenes.com/complejos.pdf

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices_Actividades.html