TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE … · Práctica No. 5 Aplicaciones. Circuitos RC, RL y RCL en serie y en paralelo 89 91 93 97 6. Apéndices Apéndice A. Tablas de Identidades,

1

2

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS

SUPERIORES DE ECATEPEC

DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y

TELEMÁTICA

PRÁCTICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE

ECUACIONES DIFERENCIALES Y

TRANSFORMADAS DE LAPLACE.

CON APLICACIONES EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS V

REALIZÓ:

ANTONIO SILVA MARTÍNEZ

3

PRESENTACIÓN

El presente manual de prácticas fue realizado, para la asignatura de Matemáticas V, el

cual, intenta proporcionar a los docentes y estudiantes un material de apoyo que facilite el

proceso enseñanza-aprendizaje, a través del trabajo en el laboratorio de cómputo,

reforzando de esta manera, la teoría mostrada en el salón de clases.

Las prácticas de este manual, son presentadas para que el estudiante logre un

aprendizaje significativo, debido a que están diseñadas de forma que el docente actúe

como guía y el alumno participe activamente, haciendo ejercicios de forma habitual y con

el software Matemático denominado Scientific WorkPlace, versión 5.0, comparando

ambos resultados.

Con lo anterior, se pretende brindar a los alumnos un manual que los encamine a la

aplicación de los conceptos teóricos, permitiendo profundizar más en los casos prácticos.

4

TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC

DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA

ÍNDICE

Página

1. Introducción al Scientific WorkPlace

1.1 Una Breve descripción del programa

1.2 Herramientas de Scientific WorkPlace

1.21.Editor de Scientific WorkPlace

1.2.2 Sintaxis de Scientific WorkPlace

1.2.3 Exportación y importación de contenidos y figuras

1.2.4 Presentación de resultados.

1.2.5 Scientific WorkPlace. Una sesión de trabajo

6

7

7

8

11

11

12

2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

2.1 Definición y Clasificación

14

2.2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de Primer Orden

2.2.1 Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

2.2.2 Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables con Scientific WorkPlace

2.2.3 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

2.2.4 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Scientific WorkPlace

2.2.5 Ecuaciones Diferenciales Exactas

2.2.6 Ecuaciones Diferenciales Exactas con Scientific WorkPlace

2.2.7 Ecuaciones Diferenciales Lineales

2.2.8 Ecuaciones Diferenciales Lineales con Scientific WorkPlace

2.2.9 Ecuación de Bernoulli

2.2.10 Ecuación de Bernoulli con Scientific WorkPlace

2.2.11 Aplicaciones. Circuitos RC y RL

16

16

18

19

21

23

25

27

30

31

34

35

5

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior

3.1 Definición y Propiedades

3.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Coeficientes Constantes

3.3 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Scientific WorkPlace

3.4 Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas con Coeficientes Constantes

3.5 Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas con Scientific WorkPlace

3.6 Aplicaciones. Circuitos RCL en Serie

41

42

46

47

53

54

4 La Transformada de Laplace


4.2 La Transformada de Laplace con Scientific WorkPlace

4.3 La Transformada Inversa de Laplace

4.3.1 Definición y Propiedades

4.4 La Transformada Inversa de Laplace con Scientific WorkPlace

4.5 Aplicaciones de la Transformada de Laplace

4.5.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

4.5.2 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales con Scientific WorkPlace

58

62

64

68

69

76

4.5.3 Circuitos RCL en Paralelo 78

5 Prácticas de Ecuaciones Diferenciales y Transformadas de Laplace con Scientific WorkPlace

Práctica No. 1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Práctica No. 2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior

Práctica No. 3 La Transformada de Laplace y la Transformada Inversa de Laplace

Práctica No. 4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Práctica No. 5 Aplicaciones. Circuitos RC, RL y RCL en serie y en paralelo

89

91

93

95

97

6. Apéndices

Apéndice A. Tablas de Identidades, Derivadas e Integrales

Apéndice B. Tablas Transformadas de Laplace

Apéndice C. Reporte de Práctica

7. Bibliografía

99

101

103

105

6

1. SCIENTIFIC WORKPLACE

1.1 Una Breve Descripción del Programa

Scientific Workplace es un software creado en la Universidad de New México, E.E. U.U.,

con antecedentes desde 1984, formalizado y patentado por MacKichan Software, Inc., en

el año de 1994. Con este software se pueden editar textos, graficar ecuaciones y resolver

problemas matemáticos de gran variedad y con notable facilidad. El programa está

basado en un sencillo procesador de textos que integra completamente matemáticas

complejas y textos técnicos en un único entorno de trabajo. Además, con el sistema de

álgebra computacional integrado en el propio programa, puede también realizarse

cálculos precisos desde el mismo editor. Finalmente, el software cuenta con tópicos

relevantes de Física y Química en una librería al final de la sección que describe el

contenido del software.

Scientific WorkPlace combina la facilidad de edición de expresiones matemáticas en su

notación natural, sin notaciones complejas, con la posibilidad de realizar cálculos desde

el mismo entorno de trabajo, gracias a la inclusión del potente motor de álgebra

computacional MuPAD 2.5, mediante el cual se pueden editar documentos y realizar

cálculos sin la necesidad de utilizar algún programa externo. Las prestaciones y

capacidades disponibles son muy amplias.

Con Scientific WorkPlace se pueden realizar cálculos simbólicos y numéricos, integrar,

diferenciar funciones, resolver ecuaciones diferenciales y algebraicas, resolver problemas

de álgebra matricial, Transformadas y Transformadas Inversas de Laplace y Fourier, etc.

Además, sencillas instrucciones, es posible crear gráficas en dos dimensiones y en tres

dimensiones en varios estilos, en sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y

esféricas, y en diferentes orientaciones.

Este software permite además componer complejos documentos técnicos con LaTex, la

aplicación estándar en composición matemática. Gracias a su enorme precisión y calidad,

se puede utilizar de manera confiable en el desarrollo de trabajos de investigación y

profesionales. En su versión 5.5, Scientific WorkPlace exporta documentos a formatos

RTF para ser importados a Microsoft Word. De este modo, las matemáticas incluidas en

sus documentos pueden convertirse a formato Microsoft Editor o Math Type 5. Además se

pueden generar presentaciones en formatos PDF.

7

1.2 Herramientas de Scientific WorkPlace

1.2.1 Editor de Scientific WorkPlace

La intención de los creadores de Scientific WorkPlace es la de poder usar la

computadora para cálculos matemáticos de forma casi natural, con notación matemática

estándar, sin la necesidad de otro lenguaje más complejo. Por ejemplo, permite graficar

una ecuación en dos dimensiones o en tres dimensiones, editar una expresión

matemática, simplificarla o factorizarla, resolver un sistema de ecuaciones lineales,

evaluar límites, derivadas e integrales de funciones, etc. Además de resolver ecuaciones

diferenciales, sistemas de ecuaciones diferenciales, Transformadas y Transformadas

Inversas de Laplace. Esto último parte del trabajo a realizar.

Con Scientific WorkPlace se puede editar y realizar cálculos matemáticos de manera

casi familiar a como lo realiza un editor de texto actualidad. Con la ayuda del mouse de la

computadora, para elegir los símbolos del panel principal del editor, haciendo un “clic”

sobre los necesarios para el documento, ver Figura 1.

Figura 1. Panel principal del editor Scientific WorkPlace

“click” mouse,

botón izquierdo

8

1.2.2 Sintaxis de Scientific WorkPlace

En ciertos sistemas y programas de cómputo, es necesario determinado arreglo de

comandos y notaciones para representar una entrada para un cálculo o evaluación de

expresiones matemáticas. En algunos de ellos, se necesitan más de 2000 operadores,

por ejemplo, para integrar la expresión:

Se necesita editar, en un sistema tradicional de computación, la expresión:

int(x^3/ (x^4-3),x)

La cual es de forma más compleja, lo que puede generar con mayor posibilidad, un error

en su sintaxis y resultado, lo cual se evita obviamente con la sencilla notación que utiliza

Scientific WorkPlace, como se verá en seguida con los siguientes ejemplos:

1. Para la edición de una integral a evaluar mediante Scientific WorkPlace, como la

anterior, se lleva a cabo mediante los siguientes pasos:

Paso Acción Resultado

1 Click

2 Click

3 Click , después 3

4 Click en el denominador

5 Repetir el paso 3

6 Escribir dx

Finalmente, se pueden adicionar límites a la integral, aplicando subscript y superscript al

operador.

9

2. Entre otra gran variedad de usos en las matemáticas y como parte fundamental de este

trabajo, puede escribir una ecuación diferencial ordinaria con Scientific WorkPlace y

obtener su solución. Mostrando su resultado, de la siguiente forma:

Editar la expresión:

dy

dx xy xy2

Elegir la operación factor del menú compute ODE, dando como resultado:

y 1

C8e12

x2

1

En el caso de una ecuación diferencial con condiciones iniciales o de frontera, se sigue el

proceso anterior, insertando la ecuación a resolver y sus condiciones iniciales en un

formato matricial, dando como resultado:

d 2y

dx2 dy

dx 6y 0

y0 7

y0 1

Dando como resultado:

y 4e2x 3e3x

3. Para graficar expresiones como la anterior, elegir plot 2D del menú compute. Scientific

WorkPlace creará una gráfica como la siguiente:

Para variar los rangos de x y y de la gráfica, ( y ) de la gráfica

hacer “click” en Edit / Properties.

10

4. Para expresiones matemáticas más complejas, se pueden utilizar radicales, paréntesis y

corchetes, contenidos en la siguiente ventana, figura 2:

Figura 2. Ventana de corchetes para expresiones matemáticas

5. Para operadores matemáticos más complejos, por ejemplo de integración, se pueden

utilizar los contenidos en la siguiente ventana figura 3:

Figura 3. Ventana de operadores para expresiones matemáticas

6. Para aplicar decoraciones a una expresión matemática, se tiene la siguiente ventana,

Figura 4.

11

Figura 4. Ventana de decoraciones para expresiones matemáticas

1.2.3 Exportación e importación de contenidos y figuras.

Debido a su compatibilidad con Windows, textos, ecuaciones y gráficas y cálculos

matemáticos en general, creados en Scientific WorkPlace, se pueden importar y

exportar directamente a otros programas de Windows.

1.3 Presentación de resultados

Se puede editar e imprimir su trabajo en pantalla e impresión con una gran variedad de

colores, con ayuda de la siguiente ventana, figura 5:

Figura 5. Ventana de colores para expresiones del Scientific WorkPlace

12

Estas aplicaciones son sólo algunas de la gran versatilidad que ofrece el Scientific

WorkPlace, las cuales se pueden ir conociendo en detalle y profundizando a medida que

se practique con el mismo.

En su versión 5.5, Scientific WorkPlace exporta documentos a formatos RTF para ser

importados a Microsoft Word. De este modo, las matemáticas incluidas en sus

documentos pueden convertirse a formato Microsoft Editor o Math Type 5. Además se

pueden generar presentaciones en formatos PDF.

Como se puede apreciar, la sencillez y utilidad del Scientific WorkPlace es muy notoria,

lo que genera un alto grado de confianza y satisfacción en el estudiante. Mediante

instrucciones sencillas y prácticamente iguales al lenguaje matemático común y corriente

que se utiliza desde cursos básicos de matemáticas. Como se verá a detalle en las

aplicaciones que se le den al programa en los ejemplos y ejercicios a tratar en este

trabajo.

Finalmente, para imprimir un documento del Scientific WorkPlace, el programa utiliza

prácticamente la misma rutina que un programa en Windows.

1.4 Scientific Workplace. Una sesión de trabajo

Para comenzar a trabajar en el Scientific WorkPlace, se deben llevar a cabo los siguientes

pasos:

1. Activar Scientific WorkPlace del menú de programas, o bien del escritorio de su PC

2. Hacer “click” el ícono New de la barra:

Open Print Spelling Copy Undo Show/Hide Table

New Save Preview Cut Paste Properties Math/Text Zoom Factor

Del menú principal para generar una sesión de trabajo

3. Del menú principal de Scientific WorkPlace, elegir la sección view y activar las

siguientes barras de trabajo:

13

Unit BigFraction Superscript Parentheses Sum Name Operators Matrix Binomial Decoration

Radical Subscript Square Integral Display Brackets Math LabelBrackets Name

Math Templates Math Objects

Lowercase Binary Negated Miscellaneous GeneralGreek Operations Relations Symbols Latin-1 Punctuation

Uppercase Binary Arrows Special LatinGreek Relations Delimiters Extended-A

4. En la sección view del menú principal se localizan más barras, que se podrán activar

de acuerdo a las necesidades de trabajo, siendo las anteriores las más elementales.

Solve Plot 3D ShowEvaluate Exact Expand Rectangular Definitions

Evaluate Simplify Plot 2D NewNumerically Rectangular Definition

14

2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

2.1 Definición y Clasificación

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si

una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice

que es Ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. En este

capítulo se desarrollan algunos métodos para resolver los tipos básicos de ecuaciones

diferenciales ordinarias. La intención de este análisis no es una disertación sobre el tema

sino bien servir de introducción a esta área tan vasta y a la vez tan importante de las

matemáticas.

2.1.1 Orden de la Ecuación

Una ecuación en la que aparecen x, y, y´, y´´,..., y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una Ecuación Diferencial Ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:

Orden 1: y´=2x

Orden 2: d²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0

Orden 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex

Orden 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx

2.1.2 Grado de la Ecuación

Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. La ecuación debe tener una forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

2.1.3 Linealidad de la Ecuación

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma

)()()(.............)()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

, es decir:

a) Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

b) En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.

c) Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

2.1.4 Tipo de la Ecuación

El tipo de la ecuación diferencial lo determina el tipo de derivadas que contiene la misma: derivada total o derivada parcial

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

http://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal

15

2.1.5 Solución de una Ecuación Diferencial

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay tres tipos de soluciones:

1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución

particular de la ecuación completa.

2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(x0,y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por

lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, este recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(x0,y0) recibe el nombre de condición

Inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

Fig. 2.1 Familia de curvas que representan la solución general de una ecuación diferencial. Por un punto P(x0,y0) perteneciente a un intervalo, sólo pasa una curva de la familia, generando la solución particular de la ecuación diferencial.

xo

P(xo,yo)

X

Y

yo

16

3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Para emprender la tarea de hallar la solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

)()()( 01 xgyxadx

dyxa

Se deben conocer diversos métodos. El método que se emplee para resolverla depende de la forma particular que presente la ecuación. Las formas más comunes son: variables separables, ecuaciones homogéneas, Ecuaciones exactas, ecuaciones lineales y la ecuación de Bernoulli. Las cuales tienen como fundamento los siguientes conceptos importantes. a) Problema de valor inicial: cuando se va a resolver una ecuación diferencial ordinaria

de primer orden sujeta a la condición inicial y(x0)=y0, donde x0 ϵ I (I: intervalo de valores posibles para x) y y0 es un número real arbitrario, se dice que se va a resolver un problema de valor inicial. En la práctica, lo que se hace es sustituir los valores iniciales dados en la familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial y encontrar el valor particular correspondiente del parámetro Figura 2.1)

b) Existencia y unicidad de las soluciones: un problema con condiciones iniciales de

la forma y’= f(x,y), y=y0 puede tener o no solución, o tener varias soluciones. Por eso, antes de abordar un problema con valor inicial es bueno saber si la solución existe y es única.

2.2.1. Ecuación Diferencial de Variables Separables.

Definición. Se dice que una ecuación diferencial de la forma

)y(h

)x(g

dx

dy

es separable o que tiene variables separables si puede escribirse como:

dx)x(gdy)y(h

e integrado de ambos lados se tiene:

Cdxxgdyyh )()(

17

Dando como resultado de la integración, una familia paramétrica de soluciones, la cual

queda expresada de manera explícita o de manera implícita.

Nótese que como resultado de la integración, no es necesario usar dos constantes de

integración, ya que la suma algebraica de tales constantes, da solo una constante C.

Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

1)

CxLnxxy

Cxxxy

Cuuxy

duu

duduu

udy

dx

xx

xu

dxx

xdy

dxx

xdy

xdx

dyx

du

uuu

32)(

32ln)32()(

ln)(

13

33

32

32

3

32

3

3)32(

4

3

21

4

3

41

4

3

41

4

3

41

41

2

2

3

2

3

2

3

2)

CxsenCsenuuduxy

dudx

dxdu

xu

xdxdy

xdxdy

xdx

dy

22

3

2

3cos

2

3)(

2

2

2

2cos3

2cos3

2cos3

3)

Cxsenxy

Cxsenxy

dxx

y

xdxsenydy

xdxsenydy

x

dx

y

dy

ydxxdy

ydxxdy

)24

1

2

1(cos

24

1

2

1cos

2

2cos1cos

cos

cos

seccsc

cscsec

0cscsec

1

2

2

2

2

2

4)

2

2

)(

2)(2

2

2

02

22

Cxxy

Cxeeee

CLnxCLnxLny

x

dx

y

dy

x

dx

y

dy

ydx

dyx

cLnxCLnxLny

18

2.2.2. Ecuación Diferencial de Variables Separables con Scientific WorkPlace.

Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria de Variables Separables con Scientific

WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:

a) Escribir la Ecuación diferencial ordinaria en la forma: , sombreando

la expresión y hacer “click” en el icono:

Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:

b) Elegir Compute del menú principal, elegir solve ODE y exact del submenú para

evaluar la Ecuación Diferencial.

c) Cuando vaya a resolver una ecuación diferencial ordinaria, con condiciones iniciales o

de frontera. Se editarán cada una de ellas en campos de en un espacio matricial de

una columna y dos renglones.

Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se

pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:

1) 2x 3 dy

dx x 3, Exact solution is: C2 1

2x 3

4ln x 3

2

2)dy

dx 3cos2x, Exact solution is: C4 3

2sin2x

3) 1

cos2x

dy

dx 1

sin y, Exact solution is: arccos C2 1

2x 1

4sin2x

4) xdy

dx 2y 0, Exact solution is: C8x 2

19

Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:

EDO VARIABLES. SEP.tex

Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo

del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y

ejercicios a resolver.

2.2.3. Ecuación Diferencial Homogénea.

Definición. Si una función tiene la siguiente propiedad:

f(tx,ty)= tn f(x,y)

Para un número real n, entonces se dice que f es una función homogénea de grado n.

Por lo tanto, para una ecuación diferencial de la forma:

0),(),( dyyxNdxyxM

Se dice que es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.

Método de solución. Una ecuación diferencial homogénea de la forma anterior puede

ser resuelta por medio alguna de las siguientes sustituciones algebraicas:

y = u x ó x = v y

con sus respectivas diferenciales:

dy = u dx +x du ó dx = v dy + y dv

Donde u y v son nuevas variables dependientes que transformarán la ecuación original en

una ecuación diferencial de primer orden con variables separables.

20

Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

1)

xLnxCxy

Cx

yLnx

CuLnx

dudxx

dudxx

duxxdx

duxxdx

duxdxuxuxx

duxuxdxuxdxxdx

xduudxxdxuxx

x

yu

xduudxdyuxy

xdydxyx

1

1

0

0)(

0

0)()(

0)(

2

2

2

2

2)

Cxyx

Cxxyx

xy

xCx

xy

xC

x

xyCx

x

yCuCx

Ceee

CuLnLnww

dwLnx

u

dwduududw

uw

duu

udx

x

duu

udx

x

duuxdxux

duuxdxxdxxu

dxxudxxduuxdxxu

dxxuxxduudxux

x

yu

xduudxdyuxy

dxyxyxdy

uLnuLnLnxC

422

2624

22

24

41

22

2

41

2

22

41

2

2

41

2

)12()12(

2

2

2

2

322

3222

222322

2222

22

2

2

)2

(

)2

()2

(

)12()12(

)12(4

1

4

1

4

1

44

12

12

1

12

1

)12(

02

0

0)()(

0)(

41

241

2

21

3)

Cyxxy

Cyxyx

xCx

Cx

CLnLnCLnLnLnx

CLnLnLnx

CLnuuLnLnx

obtienese

uLnLnuuLnLnx

parcialesfraccionesporparteúltimaLa

duuu

duu

duuu

u

x

egrando

duuu

udx

x

duuxdxuxu

duuxdxuux

duuxduxxdxuxudx

uxdxduuxduxxdxuxudx

uxdxxduudxuxx

x

yu

xduudxdyuxy

ydxdyyx

yxyC

yxyx

yx

yxx

x

y

x

yx

x

y

x

yx

x

y

x

yx

x

y

x

y

22

22

2

2

2

2

212

21

21

21

21

21

21

21

2

22

222

222

2

)2

)(

)2(

)2(

:

)2()2(

:,

)2(

1

2

1

)2(

11

:int

)2(

11

)1()2(

0)1(2

02

0

0))((

0)(

2

21

21

21

4)

Cx

x

xC

Cxy

CxCxyCxCyyx

CxCyxyCyxCyx

Cu

ux

LnCu

uxLn

CuLnLnxLnu

uLnLnuLnx

duuu

Lnx

parcialesfraccionesPor

duuu

dxx

duxdxuux

dxxuduxdxux

dxuxxduudxx

x

yu

xduudxdyuxy

dxydyx

ydx

dyx

x

xy

x

y

x

y

1

)(

)(1

1

1

)1(

)1(

1

11

.

)1(

11

0

0)(

0

0

322

2232

22

22

22

2.2.4 Ecuación Diferencial Homogénea con Scientific WorkPlace.

Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria Homogénea con Scientific WorkPlace,

seguir el siguiente procedimiento:



22






1) yxdy

dx x 2 y2, Exact solution is: 1

2

2

x 2C3 x 4 , 1

2

2

x 2C3 x 4

2) xdy

dx x y 0, Exact solution is: C5x x lnx

3)dy

dx y

xy 0, Exact solution is: x x 2 C3 , x 2 C3 x

4) x 2 dy

dx y2 0, Exact solution is: 0, x

C5x1


EDO HOMOGENEAS.tex

Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clik” en el botón izquierdo del

mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y


Es importante aclarar que las soluciones de las EDO Homogéneas en Scientific

Work Place se presentan de forma explícita, es decir, despejada a la variable

dependiente (y) de las independientes (x).

23

2.2.5. Ecuación Diferencial Exacta.

Definición. Una expresión diferencial de la forma:

dyyxNdxyxM ),(),(

Es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total

de alguna función f(x,y). Una ecuación diferencial de la forma:

0),(),( dyyxNdxyxM

se dice que es una ecuación exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial

exacta, donde se debe cumplir a su vez:

x

N

y

M

Método de solución. Si se cumple la última condición, entonces:

),( yxMx

f

ó también ),( yxN

y

f

Separando variables, de cualquiera de una de las ecuaciones anteriores, resulta,

respectivamente:

)(),(),( xhdyyxNyxf & )(),(),( ygdyyxMyxf

Donde:

dxyxN

xyxMyh ),(),()(' &

dyyxM

yyxNyg ),(),()('

24

Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Exactas

1)

Cyyxx

Cyyxx

yyxx

yxf

yydyyyg

yyg

ygygxx

yy

f

ygxx

yxf

xxf

xxfxx

f

exactaEsx

N

y

M

yxx

N

xyy

M

dyydxx

42

462

22

232

2

22

232

2),(

22

2)24()(

24)('

)('))(32

2(

)(32

2),(

)3(

)3(3

0)24(

0)3(

0)24()3(

2)

Cyxyx

yxyxyxf

ydyyg

yg

yxygyx

ygyxy

f

ygxyxyy

f

ygxyxyxf

xxyf

xxyfxyx

f

exactaEsx

N

y

M

xyyxxx

N

xyxyyy

M

dyyxdxxy

222

222),(

22)(

2)('

222)('22

)('22

))(22(

)(22),(

)122(

)122(122

4)22(

4)122(

0)222()122(

2

25

3)

Cyyx

yyxyxf

yydyyg

yyg

xyygx

ygxy

f

ygyxyy

f

ygyxyxf

xxyf

xxyfxyx

f

exactaEsx

N

y

M

xxyxx

N

xxyyy

M

xydxdyxy

xydx

dyxy

2

212

2

212

2

21

2

2

),(

)(

)('

2)('2

)('2

))((

)(),(

)2(

)2(2

2)2(

2)2(

02)2(

2)2(

4)

Cy

xyx

yxy

xyxf

yydyyg

yyg

xyyygxy

ygxyy

f

ygxyx

yy

f

ygxyx

yxf

xyxfyxx

f

exactaEsx

N

y

M

yxyyxx

N

yyxyy

M

dyxyydxyx

23

23),(

2)(

)('

2)('2

)('2

))(3

(

)(3

),(

)(

2)2(

2)(

0)2()(

22

3

22

3

2

23

23

2222

22

22

2.2.6 Ecuación Diferencial Exacta con Scientific WorkPlace.

Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria Exacta con Scientific WorkPlace, seguir

el siguiente procedimiento:



26






1) 4y 2 dy

dx 3 x, Exact solution is: 1

2 1

2x 2 6x 4C2 1 , 1

2x 2 6x 4C2 1 1

2

2)dy

dx 2y2x1

2x2y2 0, Exact solution is: 1

x2x 3 C39x 2 1 1 , 1

x2x 3 C39x 2 1 1

3)dy

dx 2xy

yx2, Exact solution is: x 4 2C84 x 2 ,x 2 x 4 2C84

4)dy

dx x2y2

y2xy 0, Exact solution is:

6

6x32x 4 x 3 6C5x 3C5 , 6

6x32x 4 x 3 6C5x 3C5


EDO EXACTAS.tex




Es importante aclarar que las soluciones de las EDO Exactas en Scientific Work

Place se presentan de forma explícita, es decir, despejada a la variable dependiente

(y) de las independientes (x).

27

2.2.7. Ecuación Diferencial Lineal.


)()()(01

xgyxadx

dyxa

Es una diferencial lineal en una región R del plano xy .

Método de solución. Despejando y simplificando:

)(

)(

)(

)(

11

0

xa

xgy

xa

xa

dx

dy

Dando una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

)()( xfyxPdx

dy

La cuál se podrá hacer ecuación diferencial exacta con un factor (x) integrante de la

forma:

dxxP

ex)(

)(

Multiplicando a la última ecuación obtenida en todos sus términos por el factor integrante

(x) e integrando la diferencial exacta obtenida, se obtiene la siguiente solución general:

dxxPdxxPdxxP

cedxxfeexy)()()(

)()(

La cual constituye una familia uniparamétrica de soluciones.

28

Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Lineales

1)

xeCxy

Cx

e

dxxyed

dxx

e

dxx

eydxx

edyx

e

yx

edx

dyxe

xe

dxexxP

ydx

dy

ydx

dy

y

yd

)(

0)(

0)

0

0

)(,1)(

0

(

2)

xe

Cx

ex

ye

dxxexyed

dxx

ex

yed

dxx

eydxx

edyx

e

xey

xye

dx

dyxe

xe

dxexxP

ydx

dy

Cxy

3)(

3

3)(

3)(

3

3

)(,1)(

3

3)

3

3

2)(

3

3

2223

3

2

23

3

3

3

22)3

3

(

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

22)(

222

)22()2(

222

22)2(

2)(,2)(

222

x

eCxy

C

x

eCueduue

x

ye

x

dudx

dxxdux

u

dx

x

ex

x

yed

dxexyed

dxexydxexdye

dxexyexdx

dyedx

exyexdx

dye

exyxdx

dye

edxx

exxxP

xyxdx

dy

xx

xxx

xxx

xxx

xx

x

29

4)

x

C

x

Lnxxy

CLnxyx

dxx

xyd

xyd

xx

edx

xexx

xP

dxx

dxx

ydxxdy

xy

dx

dyx

xxy

xx

dx

dyx

xy

xdx

dy

xydx

dyx

)(

1)(

)(

ln

1

)(,1

)(

1

1

1

11

11

1

2

2

2

5)

3

3

3

3

3

3

2

3332

3

323

323

3223

323

333

3

3

27

21

9

21

3

1)(

27

2

9

2

3

:int

)(

)(

3

3

3

3

3

33ln3

13

)(,)(

x

Ce

xe

xe

xxy

Cexeex

yx

partesporegrando

dxexyxd

exyxd

exyxdx

dyx

exx

exy

xx

dx

dyx

x

x

ey

xdx

dy

eydx

dyx

xxx

xxx

x

x

x

xx

x

x

xLnx

ex

edx

xexxP

30

2.2.8 Ecuación Diferencial Lineal con Scientific WorkPlace.

Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal con Scientific WorkPlace, seguir

el siguiente procedimiento:








1)dy

dx y 0, Exact solution is: C3ex

2)dy

dx y 3, Exact solution is: C6ex 3

3)dy

dx x 2y 2x 2 , Exact solution is: C8e

1

3x3

2

4) x 2 dy

dx xy 1, Exact solution is:

C12

x 1x lnx

5) xdy

dx 3y e3x, Exact solution is:

C2

x3 1

27x3e3x9x 2 6x 2


EDO LINEALES.tex




31

2.2.9. Ecuación de Bernoulli.


nyxfyxPdx

dy)()(

Donde n es cualquier número real, se le llama ecuación de Bernoulli.

La cuál, con la sustitución:

nyxw 1)(

y su respectiva derivada, da como resultado:

dx

dyyn

dx

dw n )1(

Método de solución. La ecuación de Bernoulli se simplifica a una ecuación diferencial lineal de

la forma:

)()1()()1( xfnwxPndx

dw

La cual podrá resolverse por el Método del Factor Integrante dxxP

e)(

para Ecuaciones

Diferenciales Lineales

32

Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

1)

Cxyx

x

Cy

ywconx

Cw

Cx

dxx

dxxwdxxdwx

xwxdx

dwx

xw

xdx

dw

xw

xdx

dw

xw

xdx

dw

endosustituyen

dx

dw

dx

dyy

despejando

dx

dyy

dx

dw

yyw

xy

xdx

dyy

xyyy

xdx

dyy

n

yx

yxdx

dy

xyy

xdx

dy

yy

dx

dyx

wx

dxxwxd

wxd

xx

edx

xexx

xP

333

3

3

3

3

3

2

223

223

2

2

321

32

2

22

2

2

2

1

1

3

33

33

13

13

13

13

11

3

1

24

43

1

3

3

211

11

2

11

11

11

3

233

3

331

313

,

:)()(

)(.....

:

)(.....

).....(

)()(

)(.....

)(

)(

ln)(,)(

)(

2)

xx

xx

xx

xx

x

xx

xxx

xxxxx

x

x

x

x

x

Ceey

Ceey

ywconCeew

Cewe

we

dxewe

dxedxwedwe

eeewedx

dwe

ewdx

dw

ewdx

dw

endosustituyen

dx

dw

dx

dyy

despejando

dx

dyy

dx

dw

yyw

eydx

dyy

yyeydx

dyy

n

yeydx

dy

dxxed

d

xe

dxexxP

2

11

2

1

2

1

2

1

24

4

3

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

121

12

222

2

2

1

)(

)(

)(,)(

.

.

:)()(

)(.....

:

)(.....

).....(

)()(

)(.....

33

3)

xx

xx

xx

xx

Ceexy

ywconCeexw

Cexe

dxeex

x

xwdx

xwdx

dw

xwdx

dw

xwdx

dw

endosustituyen

dx

dw

dx

dy

y

despejando

dx

dy

ydx

dw

yyw

xydx

dy

y

xyy

ydx

dy

y

n

xyydx

dy

xyydx

dy

wx

e

wx

e

dxxxewx

ed

dxx

ewx

ed

dxx

ex

edwx

e

xe

xe

xe

xe

dxexxP

33

3

333

33

33

4

4

341

3

4

4

44

4

3

3

11

,3

1

3

1

)3

1

3(3

3

33

33

33

3

1

:)2()4(

)4(.....3

11

:

13

)3(.....

)2.....(1

)(1

)(1

4

)1().....1(

3

3

33)3

(

3)

3(

333

333

33)(,3)(

4)

x

x

x

x

x

xe

C

xy

ywconxe

C

xw

Cxe

Cxe

x

wdxxe

wx

x

dx

dw

wx

x

dx

dw

wx

x

dx

dw

endosustituyen

dx

dw

dx

dy

y

despejando

dx

dy

ydx

dw

yyw

yx

x

dx

dy

y

n

yyx

x

dx

dy

xyyxdx

dyx

xxe

w

wx

xe

dxxxewx

xed

dxx

ewx

xed

dxx

xedwx

xe

xxe

xxe

xxe

xxex

xLnxe

dxx

x

exx

xxP

11

1

11

1

1

1

1

11

11

24

41

1

3

2111

2

1

11

1

2

2

121

1

2

2

2

11

,

)(

)(

(

)(

:)()(

)(.....

:

)(.....

).....(

)(.....)(

)(

)(

)

)(

)(,)(

34

2.2.10 Ecuación Diferencial de Bernoulli con Scientific WorkPlace.

Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria de Bernoulli con Scientific WorkPlace,

seguir el siguiente procedimiento:

a) Escribir la Ecuación diferencial ordinaria de Bernoulli en la forma:

sombreando la expresión y hacer “click” en el icono:






1)dy

dx 1

x y 1x y2 , Exact solution is: 3

1

x3x 3 C4 1

2i 3 1

2, 3

1

x3x 3 C4 , 3

1

x3x 3 C4 1

2i 3 1

2

2)dy

dx y exy2 , Exact solution is: 0,2 ex

2C7e2x

3)dy

dx y xy4 , Exact solution is:

1

2i 3 1

2

3 C11e3xx 1

3

, 1

3 C11e3xx 1

3

,1

2i 3 1

2

3 C11e3xx 1

3

4) xdy

dx 1 xy xy2 , Exact solution is: 0,x ex

C13exxex


EDO DE BERNOULLI.tex

35

R

E(t)

C




Es importante aclarar que las soluciones de las EDO de Bernoulli en Scientific Work

Place se presentan de forma explícita, es decir, despejada a la variable dependiente

(y) de las independientes (x).

2.2.11. Aplicaciones. Circuitos RC y RL.

Circuitos RC

En el simple acto de cargar o descargar un capacitor en un circuito de esta naturaleza, se

tiene que las corrientes, voltajes y potencias cambian con el tiempo. Muchos dispositivos

importantes incluyen circuitos en los que se carga y se descarga alternativamente un

capacitor. Entre ellos se cuentan los marcapasos cardiacos, los semáforos intermitentes,

las señales direccionales de automóviles y las unidades de destello electrónico. Por

consiguiente, es de gran importancia práctica comprender lo que ocurre en circuitos de

este tipo.

La siguiente figura muestra un circuito simple para cargar un capacitor. Un circuito como

éste, con un capacitor y un resistor en serie, se denomina circuito R-C.

Analizando éste circuito por la ley de conservación de la energía, se tiene:

0:0 CRE VVVsV

Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación

diferencial lineal de primer orden:

)( tEqCdt

dqR

1

36

Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de primer orden, la que se puede resolver

mediante el método estudiado en la sección 2.2.7.

Ejemplo. Encontrar la corriente i(t) del siguiente circuito RC en serie, dadas las siguientes

magnitudes de sus componentes y sujeto a la siguiente condición inicial, respectivamente:

R= 500 ohms

E= 50 volts

C= 5 microfaradios

q(t=0 seg)=0 Coulombs

Solución:



)(1 tEqdt

dqR

c

Entonces:

tCetq

Cteqte

dtteqted

dtteqted

dttetedqte

tetete

tedt

ettP

qdt

qdt

dq

qdt

dq

qxdt

dq

400

4000

1)(

400

4000

1400

400

10

1)400(

400)400(

400400400

400400400

400400)(,400)(

10

1

10

1400

10

1400

)2(.....10

1400

)1(.....50105

1500

6

)4(.....400

10

1)(

)4001(4000

1)(

)3().....4001(4000

1)(

400

4000

1

4000

1)(

:tan

0

4000

1

)0(400

4000

10

:0)0(

teti

tedt

d

dt

dqti

tetq

tetq

toloPor

CeC

eC

qcon

Cuya gráfica es la siguiente:

37

-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-1.0e-4

-8.0e-5

-6.0e-5

-4.0e-5

-2.0e-5

2.0e-5

4.0e-5

6.0e-5

8.0e-5

1.0e-4

t

i(t)

Resolviendo la ecuación diferencial (2) del circuito RC anterior mediante Scientific WorkPlace, se

tiene:

dq

dt 400q 1

10

q0 0, Exact solution is: 1

4000e400te400t 1

Derivando con SWP V 5.0:

it d

dt

1

4000e400te400t 1 1

10e400t

Resultado idéntico al obtenido de manera manual (ecuación 4)

Tal solución se encuentra en el siguiente archivo:

APLICACIONES. CIRCUITOS RC Y RL.tex

Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo del mouse

sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos

38

E(T)

L

R

Circuitos RL

Un circuito que contiene un inductor (bobina) y un resistor en serie, se denomina circuito R-L.

Fundamentalmente un inductor en el circuito dificulta que ocurran cambios rápidos de corriente en el

mismo, gracias a los efectos de la fuerza electro-motriz autoinducida. Fundamentalmente, cuanto

mayor es la rapidez de cambio de corriente, tanto más grandes son la fuerza electro-motriz

autoinducida y la diferencia de potencial entre los bornes del inductor.

La siguiente figura muestra un circuito simple que incluye un resistor y un inductor en serie.


0:0 LRE VVVsV

Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación diferencial

lineal de primer orden:

)( tEiRdt

diL

Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de primer orden, la que se puede resolver mediante

el método estudiado en la sección 2.2.7

Ejemplo. Encontrar la corriente i(t) del siguiente circuito RL en serie, dadas las siguientes magnitudes

de sus componentes y sujeto a la siguiente condición inicial, respectivamente:

R= 2 ohms

E= 120 volts

L= 20 Henrys

i(t=0 seg)=0 Amp.

39

Solución:

Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación diferencial

lineal de primer orden:

)(tEiRdt

diL

Entonces:

tCeti

Ceie

dteied

dteied

dteedie

eee

eettP

tt

tt

tt

ttt

ttt

tdt

idt

idt

di

idt

di

idt

di

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

60)(

60

6)(

)(

)(10

1)(

6

610

1

610

1

)2.....(610

1

)1.....(120220

Aplicando la condición inicial i(0)=0:

)3).....(1(60)(

6060)(

:tan

060

600

10

1

10

1

)0(10

1

t

t

eti

eti

toloPor

CeC

eC

40

Cuya gráfica es la siguiente:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

t

i(t)

Resolviendo la ecuación diferencial (2) del circuito RL anterior mediante Scientific

WorkPlace, se tiene:

di

dt 1

10i 6

i0 0, Exact solution is: 1

e110

t60e

1

10t 60

Resultado similar al obtenido de manera manual (ecuación 4)


APLICACIONES. CIRCUITOS RC Y RL.tex


del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos

41

3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR


Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es de la forma:

)()()(.............)()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

Sujeta a las condiciones iniciales:

100

10000

nn yxyyxyyxy )(,........,)(',)( )('

Donde 1

000nyyy ,........,, '

son constantes arbitrarias y se busca una solución en algún

intervalo I que contenga a x0.

En el caso específico de una ecuación lineal de segundo orden, con problema del valor

inicial:

')(',)(),()()()( 0000012

2

2 yxyyxyxgyxadx

dyxa

dx

ydxa

Tiene como solución general yg , la forma:

)()()( xyxyxy phg

Siendo )(xyg & )(xy p soluciones de la parte homogénea y particular, respectivamente

Con

)(.........)(22)(11)( xkykCxyCxyCxh

y

Y )(xy p estará determinada por el Método de Coeficientes Indeterminados y por el

Método de Variación de Parámetros.

42

3.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Coeficientes Constantes.

Una ecuación diferencial ordinaria homogénea de de orden n, con coeficientes constantes

es de la forma:

Cuya solución es una combinación de funciones exponenciales linealmente

independientes, de la forma general y=emx.

Para el caso específico de una ecuación diferencial de segundo orden, de la forma:

a y´´+ b y´+ c y = 0

Se puede probar que existe una solución de la forma general, con y = emx. Y por lo tanto

y´= memx, y´´= m2emx, de tal manera que la ecuación anterior se convierte en:

a m2em+ b memx.+ c emx = 0

factorizando:

emx.(a m2+ b m.+ c ) = 0

Debido a que el factor emx nunca es igual a cero para valores reales de x, entonces:

a m2+ b m.+ c = 0

Ecuación que es llamada ecuación auxiliar o ecuación característica, que es en sí una

ecuación algebraica cuadrática, cuya solución será el buscar sus respectivas raíces. Tales

raíces se encontrarán entre alguno de los tres casos siguientes: raíces reales diferentes,

raíces reales iguales y raíces complejas conjugadas.

Caso I) Raíces reales diferentes

En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma real m1= α1 y m2= α2, dando

como solución la siguiente ecuación diferencial ordinaria homogénea:

xx

h eCeC)x(y 22

11

0)(............. 011

1

1

yxadx

dya

dx

yda

dx

yda

n

n

nn

n

n

43

Caso II) Raíces reales iguales

En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma real m1 = m2 = α, dando como

solución la siguiente ecuación diferencial ordinaria homogénea:

xx

h xeCeC)x(y 21

Caso III) Raíces complejas conjugadas

En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma compleja m1= α + iβ y m2= α - iβ,

dando como solución la ecuación diferencial ordinaria homogénea:

)xsenCxcosC(e)x(y x

h 21

Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales homogéneas de orden

superior:

1)

x

mx

mxmxmx

mxmxmx

eCxeCxhy

Finalmente

mmsonraícescuyas

mm

dofactorizan

auxiliarecmm

mme

emeem

doSustituyen

emymeyey

oproponiend

yyy

521

21

2

2

2

2

)(

:

5,1:

0)5(1

:

.056

0)56(

056

:

´´,´,

:

05´6´´

2)

)4

7

4

7cos()(

:

4

7

4

3,

4

7

4

3:

)2(2

)2)(2(433

:

.0232

0)232(

0232

:

´´,´,

:

02´3´´2

214

3

21

2

2

2

2

2

xsenCxCexh

y

Finalmente

imimsonraicescuyas

m

generalformulalaAplicando

auxiliarecmm

mme

emeem

doSustituyen

emymeyey

oproponiend

yyy

x

mx

mxmxmx

mxmxmx

44

3)

xsenCxCCxy

xsenCxCeeCxy

Finalmente

imimm

sonraicescuyas

mm

mm

dofactorizan

auxiliarecmm

mme

meem

doSustituyen

emyemymeyey

oproponiend

yy

h

xx

mx

mxmx

mxmxmxmx

22cos)(

)22cos()(

:

220

:

)1(2

)2)(1(400,0

0)2(

:

.02

0)2(

02

:

´´´,´´,´,

:

0´2´´´

321

32

00

1

321

2

1

2

3

3

3

3´2

4)

xxx

h

mx

mxmxmx

mxmxmxmx

eCeCeCxy

Finalmente

mmm

raices

mm

mmm

R

r

q

pr

qyp

téticadivisiónutilizando

auxiliarecmmm

mmme

meemem

doSustituyen

emyemymeyey

oproponiend

yyyy

3

3

2

2

2

1

321

2

1

2

23

23

23

32

)(

:

32

1

2

5,2

2

1

2

5,2

:

)1(2

)6)(1(455,2

0)65)(2(

0651

12102

124312

12,6,4,2,1

112,6,4,2,1

:sin

.01243

0)1243(

01243

:

´´´,´´,´,

:

012´4´´3´´´

45

5)

xx

h

xx

h

h

xx

h

h

xx

h

xxx

h

mx

mxmxmx

mxmxmxmx

eexy

Finalmente

CCCCC

AenyBenCecladosustituyen

CCCCC

ydeinicialesscondicionelasaplicando

eCeCxy

xyaderivando

BCC

ydeinicialesscondicionelasaplicando

eCeCxy

yaderivando

ACCC

EDOladeinicialesscondicionelasaplicando

eCeCCxy

eCeCeCxy

mmmraices

mm

mmm

dofactorizan

auxiliarecmmm

mmme

meemem

doSustituyen

emyemymeyey

oproponiend

yyyyasujeta

yyy

2

23

1221

333

3232

2

32

32

2

32

321

2

321

2

32

0

1

321

2

3,21

2

23

23

23

32

2

12

2

3)(

:

22)4(1

:)()()(.

)..(..........440

´´:

4)´´(

:)´(

)..(..........21

´:

2)(´

:

)(..........0

:

)(

)(

210:

2

893

)1(2

)2)(1(433,0

0)23(

:

.023

0)23(

023

:

´´´,´´,´,

:

0)0´´(1)0´(,0)0(:

0´2´´3´´´

46

3.3 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Scientific WorkPlace

Para evaluar una Ecuación Diferencial de orden superior homogénea con Scientific


a) Escribir la Ecuación diferencial de orden superior no homogénea, en la forma:



b) Elegir Compute del menú principal, enseguida elegir solve ODE y exact del submenú

para evaluar la Ecuación Diferencial.



1) y 6y 5y 0, Exact solution is: C7ex C8e5x

2) 2y 3y 2y 0, Exact solution is: C10 cos 1

47 x e

3

4x C11 sin 1

47 x e

3

4x

3) y 2y 0, Exact solution is: C15 cos 2 x 1

2C14 C16 sin 2 x

4) y 3y 4y 12y 0, Exact solution is: C18e2x C19e2x C20e3x

y 3y 2y 0

y0 0

y0 1

y0 0

, Exact solution is: 1

2e2x 2ex 3

2

0)(............. 011

1

1

yxadx

dya

dx

yda

dx

yda

n

n

nn

n

n

47


EDO HOMOG SUP.tex




3.4 Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas con Coeficientes Constantes.

3.4.1 Introducción

A una Ecuación Diferencial Ordinaria de orden superior de la forma:

)()()(.............)()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

Con g(x)≠0

Y sujeta a las condiciones iniciales:

100

10000

nn yxyyxyyxy )(,........,)(',)( )('

Se lo conoce como Ecuación Diferencial Ordinaria no homogénea de Orden Superior con

coeficientes constantes. Para la cual existen dos métodos de solución: El Método de los

Coeficientes Indeterminados y el Método de Variación de Parámetros. Debido a que

el Método de Variación de Parámetros es mucho más versátil que el Método de los

Coeficientes Indeterminados, en esta parte se utilizará al primero para la solución de

Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas de Orden Superior con Coeficientes

Constantes.

3.4.2. Método de Variación de parámetros.

El Método de Variación de Parámetros es un método adicional para resolver ecuaciones

lineales no homogéneas de orden superior. El procedimiento básico es esencialmente el

siguiente:

La solución particular para una ecuación diferencial ordinaria de segunda grado, no

homogénea es de la forma:

)x(y)x(u)x(y)x(u)x(yp 2211

48

Donde y1(x) y y2(x) son soluciones linealmente independientes obtenidas en la solución de

la ecuación homogénea respectiva:

)x(yC)x(yC)x(yh 2211

Y las funciones u1(x) y u2(x) están definidas mediante:

dxW

W)x(uydx

W

W)x(u 2

21

1

Donde:

)x(fy

yWy

y)x(f

yW

yy

yyW

´´´´ 1

1

2

2

21

21 0021

El determinante W se conoce como el Wronskiano de y1 y y2. Por la independencia lineal

de y1 y y2 en I, se sabe que W(y1(x),y2(x))≠0 para toda x en el intervalo.

Este Método, que se acaba d examinar para ecuaciones diferenciales no homogéneas de

segundo orden, puede generalizarse para ecuaciones diferenciales lineales de orden n

que sean de la forma

)x(gyadx

dya......

dx

yda

dx

yda

n

n

nn

n

n

011

1

1

Si : yh(x)=C1 y1(x)+C2y2(x)+……….+Cnyn(x)

es la solución homogénea, entonces la solución particular será de la forma:

)x(y)x(u........)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y nnp 332211

Donde las uks son funciones que se determinan mediante:

,n,........,,kdxW

W)x(u k

k 21

donde W es el Wronskiano de y1, y2, ………..yn y Wk es el determinante obtenido al sustituir

la k-ésima columna del Wronskiano por la columna:

49

)x(f

.

.

.0

0

El Método de Variación de Parámetros tiene una clara ventaja sobre el método de

Coeficientes Indeterminados, la cual consiste en que siempre proporciona una solución

particular yp, a condición de que la ecuación homogénea correspondiente se pueda

resolver. El presente método no se limita a una función f(x) que sea una combinación

lineal de los cuatro tipos de funciones con los que sólo trabaja el Método de los

Coeficientes Indeterminados.

50

Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales no homogéneas de orden

superior:

1)xeCeCyyxy

xxxexeexeyuyuxy

finalmente

xedxxedxxe

dxW

Wu

xedxxedxxe

dxW

Wu

xexe

eW

xeex

eW

eeeeee

eeW

eyey

ogéneahomnopartelaPara

eCeCxh

y

essolucióncuya

mmsonraícescuyas

mm

oresolviend

auxiliarecm

me

eem

doSustituyen

emymeyey

oproponiend

yy

ogéneahomecuaciónlasolviendo

xyy

xxphg

xxxxp

xxx

xxx

x

x

x

x

x

x

xxxx

xx

xx

xx

xx

mx

mxmx

mxmxmx

21

21

21

21

21

2211

21

212

2

21

211

1

2

1

21

21

21

2

2

2

2

2,

)(

)1()1()1()1()(

:

)1(2

)1(2

0

0

2

,

:

)(

:

1,1:

11

:

.01

0)1(

0

:

´´,´

:

0´´

:Re

´´

51

2)

)()(

)()(

:

10

2

10

2

2225

0

2252

0

105555

)(

5,5

:

25

:

.025

0)25(

025

:

´´,´,

:

025´´

:

225´´

1015

515

2

5

1

1015

515

5015

51510

5015

51

2211

10

50110

51

102

1

51

511

1

1055

55

5

2

55

55

5

1

5555

55

55

52

51

52

51

21

2

2

2

2

2

5

xeeCeCyyxy

xeexeeexeyuyuxy

finalmente

edxedxe

dxW

Wu

xdxdxdxW

Wu

eeeee

eW

eeee

eW

eeeeee

eeW

eyey


eCeCxy

:essoluciónla

mm

sonraícescuyas

m

oresolviend

auxiliarecm

me

eem

doSustituyen

emymeyey

oproponiend

yy

ogéneahomecuaciónlapara

eyy

xxxphg

xxxxxxp

xxx

xxx

xx

x

xx

xx

x

xxxx

xx

xx

xx

xxh

mx

mxmx

mxmxmx

x

52

3)

21

61

21

21

61

22cos12

22cos1

312

22cos1

31424

2211

3232

2

321

1

3

22

2

21

22

21

21

21

2

2

2

2

2,

2

2coscos)(

2cos)(

3

1cos

3

1)(

:

3

1)1(coscos

cos3

1cos

coscos

0cos

coscoscos

0

1coscos

cos

,cos

:

cos)(

:

,:

1

:

.01

0)1(

0

:

´´,´

:

0´´

:

cos´´

xsenxCxCyyxy

xxy

xsenxsenxyuyuxy

finalmente

xsensenxdxxsenxdxxdxW

Wu

xdxxsenxdxW

Wu

xxsenx

xW

xsenxxx

senxW

xsenxsenx

senxxW

senxyxy


senxCxCxy

essolucióncuya

imimsonraícescuyas

imm

despejando

auxiliarecm

me

eem

doSustituyen

emymeyey

oproponiend

yy

ogéneahomecuaciónlapara

xyy

phg

p

xxxp

h

mx

mxmx

mxmxmx

53

3.5 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior no Homogéneas con Scientific

WorkPlace

Para evaluar una Ecuación Diferencial de orden superior no homogénea con Scientific


a) Escribir la Ecuación diferencial do orden superior no homogénea, en la forma:



b) Elegir Compute del menú principal, enseguida elegir solve ODE y exact del submenú

para evaluar la Ecuación Diferencial.



1) y y x, Exact solution is: C2ex x C3ex

2) y 25y 2e5x, Exact solution is: C5e5x C6e5x 1

5xe5x 1

50e5x

3) y y cos2x, Exact solution is: C9 cosx 1

6cos2x C10 sinx 1

2


EDO NO HOMOG SUP.tex

)()(............. 011

1

1 xfyxadx

dya

dx

yda

dx

yda

n

n

nn

n

n

54

E

R

C

L




3.6 APLICACIONES. CIRCUITOS RCL EN SERIE

Una gran cantidad de sistemas físicos pueden describirse por medio de una Ecuación

Diferencial Lineal de Orden Superior, entre ellos se encuentran los Circuitos Eléctricos

Transitorios, concretamente los circuitos RCL en serie, cuyo esquema se presenta en la

siguiente figura:


0:0 LRE

Vc

VVVsV



)(1

tEqC

iRdt

diL

Pero la carga q(t) en el capacitor está relacionada con la corriente i(t) mediante i= dq/dt. Y

así la ecuación anterior se convierte en una ecuación diferencial lineal de segundo grado:

Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de segundo orden, la que se puede

resolver mediante el método estudiado en la sección 3.4.2.

)(1

2

2

tEqCdt

dqR

dt

qdL

55

Ejemplo. Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el resistor del siguiente

circuito RCL en serie, con:

L=0.5 henrys

R=10 ohms

C= 1x10-3 Faradios

E= 60 Volts

q(0)=1 Coulomb. e i(0)= 0 Amp.

)59.4359.43cos()(

:

191010:

.0200020

0200020

:)2(

)´´(,)´(,)(

:

0200020

:

120200020

601000105.0

:

0101

1105.060

01

0

0

2110

2

2

2

2

2

2

2

2

2

32

2

,

tsenCtCetq

complejasraícespara

imsonraícescuyas

auxiliarecmm

emeem

endosustituyen

emtqmetqetq

oproponiend

qdt

dq

dt

qd

géneahomopartelaPara

qdt

dq

dt

qd

qdt

dq

dt

qd

Arreglando

qxdt

dq

dt

qd

qC

Ridt

diLV

VVVVV

V

th

mtmtmt

mtmtmt

E

CRLE

s

56

)6.059.4313.4359.43cos10215.3()(

106)59.432156.059.43cos94.0()(

2156.0)94.0(59.43

10

59.43

10

1059.430

)00cos(10

)0cos59.43059.43(0

94.01061

106)00cos(1

:

)59.4359.43cos(10

)59.43cos59.4359.4359.43()´()(

106)59.4359.43cos()(

106)(

59.43)59.4310659.43cos103764.1(

59.43cos)59.43103764.159.43cos106()(

:

)59.4310659.43cos103764.1(

59.43cos86

59.43cos60

)59.43103764.159.43cos106(

59.4359.43

59.43120

59.43cos120120)59.4359.4359.43cos10(

059.43cos

59.43120)59.43cos59.4359.4310(120

59.430

59.43

)59.43cos59.4359.4310()59.4359.4359.43cos10(

59.4359.43cos

59.43,59.43cos

:

510

210

12

12

210

210

21

221

0

2110

2110

221

10

2

102210

1022102211

2210

10

59.43120

20

102

2

2210

10

59.43120

20

101

1

10

10

10

2

10

10

10

1

20

1010

1010

10

2

10

1

tsentxedt

dqti

xtsentetq

CC

CC

senCCe

CsenCe

xC

xsenCCe

inicialesscondicioneaplicando

tsenCtCe

tCtsenCetqti

xtsenCtCeqqxq

xxq

tsenetsenxtxe

tetsenxtxeququxq

finalmente

tsenxtxe

dttedte

tedx

W

Wu

tsenxtxe

dttsenedte

tsenedx

W

Wu

tetsente

teW

tsenettsene

tseneW

eW

ttsenetsente

tseneteW

tseneqteq


t

t

t

t

tphg

p

tt

ttp

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

tt

tt

tt

Resolviendo la ecuación diferencial del circuito RCL anterior mediante Scientific

WorkPlace, se tiene:

57

0.5d 2q

dt2 10

dq

dt 1000q 60

q0 1

q0 0

, Exact solution is: 0.94e10.0t cos43. 589t 0.21565e10.0t sin43. 589t 0.06

Derivando con SWP V 5.0:

it d

dte10.0t0.94cos43. 589t 0.21565sin43. 589t 0.06 e10.0t3. 215 105 cos43. 589t 43. 13sin43. 589t 0.6

Resultado igual al obtenido de manera manual


CIRCUITOS RCL.tex


del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos.

58

4. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.1. Definición y Propiedades

La transformada de Laplace L {f(t)} es una integral que ayudará principalmente en la

transformación de una ecuación diferencial de orden n, en una ecuación diferencial lineal,

bajo las condiciones y(0), y´(0), y´´(0),……y(n-1)(0). Como consecuencia de esta propiedad,

la Transformada de Laplace L {f(t)} resulta muy adecuada en la solución de ciertos

problemas físicos de valor inicial. Por ejemplo, en el análisis de circuitos eléctricos

transitorios en serie y en paralelo, que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias y

sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, respectivamente.

Sea f(t) se define para t 0, entonces la integral

{ } ∫∞

0

st f(t)dte=f(t) L

Se denomina Transformada de Laplace de f(t), siempre que la integral sea convergente, y

su resultado es una función de s. En términos generales, se utilizará una letra minúscula

para denotar la función que se transforma, y la correspondiente letra mayúscula para

representar su transformada de Laplace. Por ejemplo:

{ } F(s)=f(t) L

La Transformada de Laplace es una transformación lineal, ya que:

{ } { } { } )βG(s+αF(s)=g(t)βL+f(t) αL=βg(t)+αf(t) L

Con α y β constantes.

Enseguida se muestran Las Transformadas de Laplace de algunas funciones.

59

f(t) F(s)

1 1 / s

tn, n=1, 2, 3, …….. n! / (sn+1)

eat 1 / (s-a)

sen kt k / (s2+k2)

cos kt s / (s2+k2)

senh kt k / (s2-k2)

cosh kt s / (s2-k2)

Ejemplos. Encontrar las Transformadas de Laplace de las siguientes funciones

1)

{ }

{ } { }s

5=

s

15=1 5L=5 ==F(s)

s

1=1L

:utilizando

5=f(t)

2)

{ }

{ } { }5

1+n

s

72=

s

4!3=t 3L=3t L=F(s)

s

n!=t L

:utilizando

3t=f(t)

1+4

44

n

4

3)

{ } { }

{ } { } { }

s

5+

s

1=

s

15+

s

1!=F(s)

1 5L+t L=5+t L=F(s)

s

n!=t Ly

s

1=1 L

:utilizando

5+t=f(t)

21+1

1+n

n

60

4)

{ } { }

{ }

{ } { } { }

s

4+

s

4+

s

2=

s

14+

s

1!4+

s

2!=F(s)

1 4L+t 4L+t L=

=4+4t+t L=F(s)

s

n!=t Ly

s

1=1 L

4+4t+t=f(t)

:utilizando

2)+(t=f(t)

23

1+11+2

2

2

1+n

n

2

2

5)

{ }

{ }36+s

s5=

6+s

s5=cos6t 5L=F(s)

k+s

s=ktsen L

:utilizando

6t5cos=f(t)

222

22

6)

{ }

{ }4-s

1=e L=F(s)

α-s

1=e L

:utilizando

e=f(t)

4t

4t

αt

7)

{ }

{ } { }

( ) 5+s

3s=

5+s

s3=F(s)

5tcos 3L=5t3cos L=F(s)

k+s

s=ktcos L

:utilizando

t53cos=f(t)

222

22

8)

{ }

{ }

{ } { } { } { }

{ } { }

{ }

16)+s(s

8s

16)+2s(s

162s

16+s

s

2

1+

s

1

2

1=2tcos L

4tcos L2

1+1 L

2

1=

L+ L= L=2tcos L

k+s

s=ktcos Ly

s

1=1 L,

2

cos4t+1=2tcos

:utilizando

2tcos=f(t)

2

2

2

2

2

2

2

cos4t

2

1

2

+cos4t12

22

2

2

+=

+=

9)

{ } { }

{ } { }

3

6-ss

6-ss226t

at

1+n

n

6t2

6)-(s

2=F(s)

s

2!=t L=te L

a)-F(s=f(t)e Lys

n!=t L

:utilizando

et=f(t)

3

→

→

61

10)

{ }

( )25-s

1=

5-s

1

ds

d= }e{ L

ds

d= }et{ L

a-s

1=e L

yF(s)ds

d(-1)= }f(t)t{ L

:utilizando

et=f(t)

5t5t

at

n

n

nn

5t

--

11)

{ }

( ) ( )229+s

s6=

9+s

3(2s)=

9+s

3

ds

d= 3t}sen{ L

ds

d= 3t}sent{ L

as

a=senkt L

yF(s)ds

d(-1)= }f(t)t{ L

:utilizando

3tsent=f(t)

22

2

22

n

n

nn

-

+

12)

{ }

222

222122

22

22

n

n

nn

)1-(s

2s=F(s)

)1-2s(s=)1-(sds

d=

1-s

1

ds

d= ht}sen{ L

ds

d= ht}sent{ L

k-s

k=ktsenh L

yF(s)ds

d(-1)= }f(t)t{ L

:utilizando

htsent=f(t)

-- -

62

4.2. La Transformada de Laplace con Scientific WorkPlace

Para evaluar una Transformada de Laplace con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente

procedimiento:

a) Escribir la función f(t) a Transformar


Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el

ícono:

b) Elegir compute del menú principal, elegir en seguida el submenú Transforms y

finalmente elegir Laplace.

Los resultados de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con

Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:

63

1) 5, Laplace transform is: 5s

2) 3t4, Laplace transform is: 72

s5

3) t 5, Laplace transform is: 5s 1

s2


s2 2

s3

5) 5 cos 6t, Laplace transform is: 5 s

s236

6) e4t , Laplace transform is: 1

s4

7) 3 cos 5 t, Laplace transform is: 3 s

s25

8) cos22t, Laplace transform is: 1s

s28

s216

9) t2e6t , Laplace transform is: 2

s63

10) te5t , Laplace transform is: 1

s52

11) t sin 3t, Laplace transform is: 6 s

s292

12) t sinh t, Laplace transform is: 2 s

s212


TRANSF. LAPLACE.tex




64

4.3. LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

4.3.1 Definición y Propiedades

Anteriormente se transformó una función f(t) en una función F(s) mediante la transformada

de Laplace, simbólicamente esto se representó mediante L {f(t)}= F(s). .Ahora en esta

sección se trabajará con el problema inverso: dada una función F(s) hallar una función f(t)

que corresponde a esta transformada, en otras palabras se dice que f(t) es la

Transformada inversa de F(s) y se escribe de la siguiente manera:

{ }F(s) L=f(t) -1

La Transformada inversa de Laplace es en sí misma una transformación lineal, ya que

{ } { } { }G(s) βL+F(s) αL=βG(s)+αF(s) L -1-1-1

donde F(s) y G(s) son transformadas de algunas funciones f (t) y g(t).

En seguida se muestran las Transformadas Inversas de Laplace de algunas funciones.

L -1 { F(s)} f(t)

1 / s 1

n! / (sn+1) tn, n=1, 2, 3, ……..

1 / (s-a) eat

k / (s2+k2) sen kt

s / (s2+k2) cos kt

k / (s2-k2) senh kt

s / (s2-k2) cosh kt

65

Ejemplos. Encontrar las Transformadas Inversas de Laplace de las siguientes funciones:

1)

{ }

{ } { }2

21

1+2

1-2!1

3

1-

nn+1

!1-

3

t=f(t)

=s

2! L=

s1

L

t=sn L

:utilizando

s

1=F(s)

2)

{ }{ } { } { }

{ }

32

1+3

1-

12+

1-

1+1

1-1-

n

1n+

432

4

23

4

3

t6

1+t

2

3+3t+1=f(t)

s

3! L

3!

1

+s

2! L

2!

3+

s

1! L

1!

3+

s

1 L=F(s)

t=s

n! L

:utilizando

s

1+

s

3+

s

3+

s

1=

s

1+3s+3s+s=

s

1)+(s=F(s)

1-

3)

{ }

{ } { }4

1+4

1-

5

1-

5

1-

nn+1

!1-

5

2t=f(t)

s

4! L

4!

48

s1

48L=s48

L

t=sn L

:utilizando

s

48=F(s)

=

4)

{ }{ } { }

t4

1

1-

1-

ta1-

e4

1=f(t)

(--s

1L

4

1=

+s

1

4

1 L

e=a-s

1 L

:utilizando

+s

1

4

1=

1+4s

1=F(s)

1+4s

1=F(s)

41

41

41

)

66

5)

{ }{ } { }

7tsen7

5=f(t)

49+s

7 L

7

5=

49+s

5 L

ktsen=k+s

k L

:utilizando

49+s

5=F(s)

2

1-

2

1-

22

1-

2

6)

{ }

{ }( )

{ }tcos=f(t)

+s

s L

+s

s L

ktcosk+s

s L

utilizando

s

s

1s4

s4sF

1s4

s4sF

21

2

4122

2

212

1-

412

1-

22

1-

==

=

+=

+=

+=

:

)(

)(

7)

{ }{ } { }

t8senh8

3tf

8s

8 L

8

3

64s

3 L

hktsenk-s

k L

utilizando

64s

3sF

2

1-

2

1-

22

1-

2

=

=-

=-

=

-=

2

)(

:

)(

8)

{ } { }{ } { }

{ } { }{ } { }{ } { }

3t2sen-3t2cos=f(t)

9+s

3 L-

9+s

s 2L=

9+s

1 6L-

9+s

s 2L=

9+s

6 L-

9+s

2s L=

9+s

6

9+s

2s L=

9+s

62s L

ktsen=k+s

k Lyktcos=

k+s

s L

:utilizando

9+s

6-

9+s

2s=

9+s

6-2s=F(s)

9+s

6-2s=F(s)

2

1-36

2

1-

2

1-

2

1-

2

1-

2

1-

22

1-1-

22

1-

22

1-

222

2

2-

-

67

9)

{ }{ }{ } { }

{ } { }3t-

3

1

3

1

2

1-

ta1-

1-

e-=f(t)

(-3)-s

1 L-

s

1 L=

3+ss L=

3s+s

1 L

e=a-s

1 L

y1=s

1 L

:utilizando

3+s-

s=

3s+s

1=F(s)

:parcialesfraccionescon

3s+s

1=F(s)

1-3

11-3

1

31

31

1-

31

31

2

2

-

10)

{ }{ } { }

{ } { }3t-

4

3+

t

4

1

43

41

1-1-

at-1-

ee=f(t)

3+s

1 L+

1-s=

=3+s

+1-s

L=3-2s+s

s L

e=a-s

1 L

:utilizando

3+s+

1-s=

3)+1)(s-(s

s=F(s)


3)+1)(s-(s

s=

3-2s+s

s=F(s)

:dofactorizan

3-2s+s

s=F(s)

1-4

1

43

41

2

43

41

2

2

68

4.4. La Transformada Inversa de Laplace con Scientific WorkPlace

Para evaluar una Transformada Inversa de Laplace con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente

procedimiento:

c) Escribir la función F(s) a Transformar



d) Elegir compute del menú principal, elegir en seguida el submenú Transforms y finalmente elegir

Inverse Laplace.

Los resultados de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con

Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:

69

1) 1

s3 , Is Laplace transform of 1

2t2

2)s13

s4 , Is Laplace transform of 3t 3

2t2 1

6t3 1

3) 48

s5 , Is Laplace transform of 2t4

4) 1

4s1, Is Laplace transform of 1

4e

14

t

5) 5

s249, Is Laplace transform of 5

7sin7t

6) 4s

4s21, Is Laplace transform of cos 1

2t

7) 3

s264, Is Laplace transform of 3

8sinh8t

8) 2s6

s29, Is Laplace transform of 2 cos 3t 2 sin 3t

9) 1

s23s, Is Laplace transform of 1

3 1

3e3t

10) s

s22s3, Is Laplace transform of 1

4et 3

4e3t


TRANSF. INV. LAPLACE.tex


sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y ejercicios a resolver.

4.5 APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.4.1. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Cuando se especifican condiciones iniciales, la Transformada de Laplace reduce un sistema de

ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de la forma:

70

)x(fy)x(adx

dya.............

dx

yda

dx

yda

)x(fy)x(adx

dya.............

dx

yda

dx

yda

n,n,nn

n

n

n,nn

n

n

n,n

n,n,nn

n

n

n,,nn

n

n

n,n

10011

111

1

1

111

001

11

1

1

1

.

.

..

)x(fy)x(adx

dya.............

dx

yda

dx

yda ,,n

n

n

n,,n

n

n

n, 00001

101

1

1

100

Sujetas bajo las condiciones iniciales o de frontera siguientes:

0010

2

10

1 y)x(y,.........y)x(y,y)x(y ón

n

nn

n

n

A un sistema de ecuaciones lineales bajo las funciones trasformadas bajo la variable s. Las cuales

se resolverán por los métodos conocidos (igualación, sustitución, suma y resta, Gauss, Cramer,

etc). Finalmente se aplicará la trasformada inversa para encontrar la solución al sistema de

ecuaciones diferenciales lineales.

Ejemplos. Utilice el método de la Transformada de Laplace para resolver los siguientes sistemas

de ecuaciones diferenciales lineales.

71

1)

{ } { } { } { }

[ ]

{ } { }

[ ]

[ ]

[ ]

{ } { }{ } { } { }

t23

1t3

1

2s

11

1s

113

11

2s

31

1s

31

11

2

s

2s2s

dt

dy

dtdx

eetx

L31LsXL

LsXL

parcialesfraccionescon

31s2s

1

2ss

1sX

s

1sX

s

11ssX

s

1sX2sY1ssX

2y1igualando

2s

1sX2sY

sX21ssY

sX20yssY

xL2 L

1sY1ssX

sYsX0ssX

sYsX0xssX

yLxLyxL L

x2dt

dy

10y00xyxdt

dx

-

+

-

-

--

+-

-

--

-+

s2

-=

-=

==

-+=

-+=

=

=-+

+==+

+=

=-

=-

=

=+

+=-

+=-

+=+=

=

==+=

)(

)(

)(

:

).....())((

)(

)(

)(

)()()(

:)()(

)......(..............................)(

)(

)()(

)()()(

).........(....................).........()(

)()()(

)()()()(

)(,)(,

( ) ( )

{ } { } { }{ }

{ } { } { }{ }

{ } { } { }{ } { }

t23

1t3

2

t23

13

1t3

23

2

s11

2s11

3

s

1131

1s

1132

s11

32

s

11

2s+

21

s

21

13

21s

1+

s

11321

s

11

)2s(s+

113

)1s(s

113

21

32

32

2s

31

1s

31

s2

eey(t)=

1+e+e+y(t)=

+LL+

LL+Ly(t)=

+L

LL=Y(s)y(t)=L

parciales:fraccionescon

+L

LL=Y(s)y(t)=L

s

1+

)2s(s+

1

)1s(s

1=

s

1+Y(s)=

:(2)en(3)endosustituy

--

--

-

-

-

--

-

-+

-1

-

-

--

-

- -

-

--

-

-2

-

--

+s2

-

2)

72

)t6cosht6(cosh2

1)t(x

6s

6

62

1 L

2

1

6s

s L

2

1)t(x

6s

6

62

1

6s

s

2

1 L)s(X L)t(x

6s

6

62

1

6s

s

2

1

6s

1s

2

1

s6

1s

2

1)s(X

2

1

1s

s6)s(X

1s

5s1)s(X

2

1

1s

5)s1)(s1()s(X

2

1

1s

5s1)s(X

1s

)s(X5)s(Y)s1)(s(X

2

1

:)2(y)1(igualando

)2....(1s

)s(X5)s(Y

)s(X5)s(Y)1s(

)s(Y)s(X5)s(sY

)s(Y)s(X5)0(y)s(sY

yLxL5yx5Ldt

dy L

)1)....(s1)(s(X2

1

2

)1s)(s(X1)s(Y

)1s)(s(X1)s(Y2

)s(Y211s)s(X

)s(Y2)s(X)1()s(sX

)s(Y2)s(X)0(x)s(sX

yL2xLy2xLdt

dx L

yx5dt

dy

0)0(y,1)0(x,y2xdt

dx

2

1-

2

1-

22

1-1-

2222

22

tttt

11

11

111

2

1

2

11

22

e3

1e3

21e3

13

1e3

23

2)t(y

2s

1L

31

s

1L

31

1s

1L

32

s

1L

32

2s

21

s

21

L3

21s

1

s

1L

32)s(YL


)6s)(1s(

6L

62

5

)6s)(1s(

sL

2

5)s(YL

6s

6

62

1

6s

s

2

1

1s

5

1s

)s(X5)s(Y

:)2(en)3(dosustituyen

73

3)

s1

1

s

1 L

2

3)t(y

s1

1

s

1

)s1(s

1


)s1(s

1

2

3 L)s(Y L)t(y

)3....()s1(s

1

2

3)s(Y

s

3s22)s(Y

___________________

s

4)s(sY2)s(sX2

s

1)s(Y2)s(sX2

)2por)2(ndomultiplicaepreviament(

:)1(de)2(dotanres

)2....(s

2)s(sY)s(sX

s

2)0(y)s(sY)0(x)s(sX

1 L2dt

dyL

dt

dx L

2 Ldt

dy

dt

dx L

)1....(s

1)s(Y2)s(sX2

s

1)s(Y2)0(x2)s(sX2

1 Ly L2dt

dx L2y2

dt

dx2 L

2dt

dy

dt

dx

0)0(y,0)0(x,1y2dt

dx2

1-

1-1-

t

1-1-

2

1-

2

1-

1-

2

22

22

22

22

t

1-1-

1-

e2

3

2

3t2)t(x

s1

1 L

2

3

s

1 L

2

3

s

1 L2)t(x

s1

1

2

3

s

1

2

3

s

12 L)t(x

X(s) L)t(x

s1

1

2

3

s

1

2

3

s

12)s(X

s1

1

2

3

s

1

2

3

s

1

2

3

s

1

2

1)s(X

s1

1

s

1

s

1

2

3

s

1

2

1)s(X

s1

1

s

1

s

1

)s1(s

1


)s1(s

1

2

3

s

1

2

1)s(X

s

1

)s1(s

1

2

32)s(sX2


e2

3

2

3)t(y

s1

1 L

2

3

s

1 L

2

3

s1

1

s

1 L

2

3)t(y

74

4)

{ } { }

{ } { } { }

{ } { }

{ } { } { }

( ){ } { }

{ } { } { } { }34

13s

31

14s

41

4s

21

5s

11

4s

2

5s

111

452s

4

3s

22s2

1

23

2

2

22

3

22

2

22

2

2

2

2dt

y2d

2dt

x2d

2dt

y2d

2dt

x2d

3

22

3

2

2

2

2dt

y2d

2dt

x2d

2

2dt

y2d

2dt

x2d

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t3

1t

24

1ty

L3

2L

4

1LLty

LsYLty

3s

2

s

1sY

s

4

s

2sYs2

s

4sYss8sXs

s

2sYss8sXs

1a2dotanres

2s

4sYss8sXs

s

40y0sysYs

0x0sxsXs

t L4L L

t4 L L

1s

2sYss8sXs

s

20y0sysYs

0x0sxsXs

t L L L

t L L

00y00yt4dt

yd

dt

xd

00x80xtdt

yd

dt

xd

-=

=-=

===

-==

-=

=--

=+-

=--

=--

---

=-

=

=+-

=--

+--

=+

=

===-

===+

+

--

+

---

- --

-

-

+

)(

!!)(

)()(

)....()(

)(

___________________

)()(

)()(

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)....()()(

))´()()((

)´()()(

)....()()(

)´()()(

)´()()(

)´(,)(,

)´(,)(,

!!

43

14

11

13

1

5

11

4

1

54

1

54

322

232

2

245

22

t24

18t

3

1)t(x

s

!4L

!4

1

s

1L8

s

!3L

!3

2)t(x

s

1L

s

8L

s

2L)t(x

s

1

s

8

s

6L)t(x

s

1

s

8

s

2)s(X

s

1s8

s

2

s

1)s(X

s

4

s

1

s

2s8)s(Xs

s

4

s

2

s

1ss8)s(Xs


75

5)

tt

1

2

11

2

11

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t

2

2

t

2

2

2

2

2

2

2

2

t

2

2

2

2

e3

1te

3

1

3

1)t(y

1s

1L

3

1

1s

1L

3

1

s

1L

3

1)t(y

1s3

1

1s3

1

s3

1L)s(YL)t(y

)3....(1s3

1

1s3

1

s3

1

1ss3

1)s(Y


1ss3

1)s(Y

1s

1)s(sY3

_____________________________

1s

1)s(Y32)s(Xs

0)s(Y)1s(32)s(Xs

:)1(a)2(dotanres

)2....(1s

1)s(Y32)s(Xs

1s

1)s(Y3)0´(x)0(sx)s(Xs

te LyL3dt

xd L

te Ly3dt

xd L

)1....(0)s(Y)1s(32)s(Xs

0)s(Y3)0(y3)s(sY3)0´(x)0(sx)s(Xs

0 Ly L3dt

dy L3

dt

xd L

0 Ly3dt

dy3

dt

xd L

0)0´(y,0)0(y,tey3dt

xd

2)0´(x,0)0(x,0y3dt

dy3

dt

xd

t2

1

3

1

2

11

32

1

1

32

232

22

232

2

22

2

22

2

et2

1t1)t(x

1s

1L

s

!2L

!2

1

s

!1L

!1

1

s

1L)t(x

1s

1

s

1

s

1

s

1L)t(x

)s(XL)t(x

1s

1

s

1

s

1

s

1)s(X

1s

1

s

1

s

1

s

1

s

2)s(X

1s

1

s

1

s

1

)1s(s

1

:pàrcialesfraccionescon

)1s(s

1

s

1

s

2)s(X

1s

1

s

12)s(Xs

1s

1

1s

1

)1s(

1

s

12)s(Xs

1s

1

1s3

1

1s3

1

s3

132)s(Xs


76

4.4.2 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales con Scientific WorkPlace.

Para evaluar un Sistema de Ecuaciones Diferenciales con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente

procedimiento:

a) Escribir el Sistema de Ecuaciones Diferenciales en un campo matricial previamente insertado, de

una columna y los renglones necesarios para las ecuaciones diferenciales del sistema y sus

condiciones iniciales correspondientes. Bajo la siguiente secuencia, en el editor del Scientific

WorkPlace:

Dimensions

sombreando las expresiones con sus condiciones iniciales, y hacer “click” en el icono:

Editándose el sistema de Ecuaciones Diferenciales en forma Matemática (color rojo), indicado con

el ícono:

b) Elegir compute del menú principal, elegir en seguida el submenú Solve ODE y finalmente elegir el

submenú Solve Exact.

Los resultados de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con Scientific

WorkPlace, tal como se muestra en seguida:

Insert

Matrix…

Rows______

Columns____

77

1)

dx

dt x y

dy

dt 2x

x0 0

y0 1

, Exact solution is: yt 2

3et 1

3e2t , xt 1

3e2t 1

3et

2)

dx

dt x 2y

dy

dt 5x y

x0 1

y0 0


2211 et 11 5

2211 et 11 , xt 1

2211 et 11 1

2et 11 1

2211 et 11 1

2et 11

3)

2 dx

dt 2y 1

dx

dt dy

dt 2

x0 0

y0 0

, Exact solution is: xt 2t 3

2et 3

2, yt 3

2 3

2et

4)

d2x

dt2 d2y

dt2 t2

d2x

dt2 d2y

dt2 4t

x0 8

x0 0

y0 0

y0 0

,Exact solution is: xt 1

3t3 1

24t4 8, yt 1

24t4 1

3t3


SISTEMAS DE EDO..tex


sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y ejercicios a resolver.

78

E

R

L

C

4.4.3. Aplicaciones. Circuitos RCL en Paralelo

Un sistema físico se puede describir por medio de una sola ecuación diferencial, por ejemplo el

movimiento de un sistema masa-resorte o la respuesta de un circuito en serie. Sin embargo si se

sujetan dos (o mas resortes juntos o si se forma un circuito en paralelo o con más de una malla,

como el de la figura, se necesitará un sistema de dos o más ecuaciones diferenciales

simultáneas para describir la respuesta del circuito.

Es importante recordar que se deben cumplir los principios de conservación de la energía, expresadas

mediante los teoremas de Nodos y Mallas de las Leyes de Kirchhoff:

Para cualquier nodo del circuito:

0si

Para cualquier malla del circuito:

0sV

79

E=120 V

L=1 H

C=0.2 F

R1=10 Ώ

i1

i2

i3

A

I II

R2=5 Ώ

Ejemplos.

1) Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:

Bajo las siguientes condiciones iniciales:

Amp)(i)(i)(i 0000 321

Aplicando las Leyes de Kirchhoff:

Nodo A:

)....(iii

is

1

0

321

Recorriendo las mallas en el sentido de las manecillas del reloj y partiendo del nodo A:

Malla I:

80

)....(idt

di

:ordenando

dt

dii

dt

diLEiR

V

212010

012010

0

0

21

12

121

Malla II:

81

055155

05501505

0515

055155

7120

10

0000

120100

112010

12010

62

6055155

0555510

05510

45

5

1

401055

01055

301055

01

0

2121

212211

2121

2121

21

3211

211

21

21

2121

21212

21212

213

23

3

233

233

21332

)s(I)s(I)s(sI)s(sI

)s(I)s(I)(i)s(sI)(i)s(sI

iidt

di

dt

di

iidt

di

dt

di

)....(s

)s(I)s(sI

:)(i)(i)(iinicialesscondicionelasde

s)s(I)(i)s(sI

idt

di

idt

di

:)(y)(aLaplacededaTransformalaaplicando

)....(iidt

di

dt

di

iidt

di

dt

di

dt

di

)ii(iidt

d

dt

di

:)(en)(dosustituyen

)....(iii

:)(ecuacionlade

)....(dt

dii

dt

di

dt

didt)t(ii

dt

d

:derivando

)....(idt)t(ii

iRdt)t(iC

iR

V

L 5L L L 5L-

L L

L L L

L L

82

:)(en)(dosustituyen

)....(et)s(i

sss

)s(i

sss

)s(I)s(i

:)(aInversadaTransformalaaplicando

)....(

sss

ss

s)s(I

:parcialesfraccionesaplicando

)....(

ss

s)s(I

)s(s

s)s(I

ss

s

ss

s)s(I

s

s)s(Is

s

s)s(Is

s

s)s(I)s()s(

)s(I)s()s(I)s(s

s

)s(I)s(s

)s(I

s)s(

s

)s(I

s)s(I

:)(endosustituyeny)s(Idespejando

)....()s(I)s()s(I)s(

t

710

11121

26

11

13

121

26

13

11

1

121

261

11

131

121

26

13

11

1

121

261

11

131

121

26

10

10

13

11

1

121

261

11

131

121

26

13

11

1

13

120

9

13

11

1

13

120

1113

1120

1113

11120

1113

11

5

600

160011135

16005565

1600135150

01351501

600

013510120

15

10120

8

8013515

13

11

2

22

222

22

2

2

2

22

222

22

22

22

222

22

21

1

21

L L L

L L

1-1-1-

1-1-

83

213

13

11

2

1

321

3211

321

321

321

321

21

21

51511

151331

3380

1331

3380

22

130

121

14780

13

11

1

1331

33801

1331

33801

11

1301

121

14780

13

11

1

1331

33801

1331

33801

11

1301

121

14780

10

14

13

11

1

1331

33801

1331

33801

11

1301

121

14780

13

11

1

11

131

11

13

121

2601

11

1301

121

14780

13

11

1

11

131

11

13

121

2601

11

1301

121

14780

1213

13

13

11

1

11

131

11

13

13

11

1

12

12

13

11

1

121

2601

11

1301

121

14780

13

11

1

121

2601

11

1301

121

260120

120

13

11

1

121

261

11

131

121

2610

iii

:)(en)(y)(dosustituyen

)....(ett)t(i

ssss

)t(i

ssss

)s(I)t(i


)....(

ssss

)s(I

ssss

)s(I

ssss

)s(I

:)(en)(dosustituyen

)...(

ss

ss

:)(deominterultimoalparcialesfraccionesaplicando

)....(

ssss

)s(I

ssss

)s(sI

ss

ss)s(sI

t

L L L L

L L

1-1-1-1-

1-1-

84

E=10 V

R1=1 Ώ

C=0.2 F

L=2 H

i1

i2

i3

A

I II

R2=2 Ώ

)....(ett)t(i

etett)t(i

t

tt

161331

3094

22

130121

1331

3094

121

26

11

13

121

26

1331

3380

1331

3380

22

130

121

14780

13

11

2

3

13

11

13

11

2

3

2) Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:


Amp)(i)(i)(i 1000 321

Aplicando las Leyes de Kirchhoff:

Nodo A:

)....(iii

is

1

0

321

Recorriendo las mallas en el sentido de las manecillas del reloj y partiendo del nodo A:

Malla I:

85

)....(idt

di

:ordenando

idt

di

iRdt

diL

V

202

02

0

0

12

12

112

Malla II:

02212

002202

02

022

6352

01522

1000

005022

05

052

53

5022

02

24

4

1

3052

1052

52

01

0

131

13311

131

131

13

133

321

11333

13

3

13

3

131

131

312

13

3

331

331

11332

)s(I)s(sI)s(sI

)s(I)(i)s(sI)(i)s(sI

idt

di

dt

di

idt

di

dt

di

)....()s(sI)s(I)s(

)s(sI)s(I)s(sI

:)(i)(i)(iinicialesscondicionelasde

)(i)s(sI)s(I)(i)s(sI

dt

dii

dt

di

dt

dii

dt

di

:)(y)(aLaplacededaTransformalaaplicando

)....(idt

di

dt

di

i)ii(dt

d

:)(en)(dosustituyen

)....(iii

:)(ecuacionlade

)....(dt

dii

dt

di

dt

ddt)t(iii

dt

d

:derivando

Edt)t(iii

iREdt)t(iC

iR

V

L L L 2L

L L

L L L 2L

L L

86

)....(

s)s(

s

s)s(

s

sss

s

s

s)s(I

:)(en)(dosustituyen

)....(ee)s(I)t(i

)....(

ssss

)s(I)t(i


)....(

ssss

s)s(I

parcialesfraccionesaplicando

)....(

ss

s

ss

s

ss

)s(s

)s(s

s)s(I

ss

)s(s

ss)s(I

:)s(Idespejando

)s(s

ss)s(I

ss

s

s

s

s)s(I

ss

s)s(I

s

)s(

s

)s(sI

s

s

)s(I)s(

s

)s(sI

:)(y)(igualando

)....(s

)s(I)s()s(I

:)(de)s(Idespejando

)....(s

)s(sI)s(I

:)(de)s(Idespejando

)....()s(sI)s(I)s(

)s(I)s(sI)s(sI

tt

14

2

552

2

5

2

152

2

3

52

3

2

5

1

2

5

2

1

1

2

3

5252

3

811

132

5

2

3

12

2

5

1

2

5

2

1

1

2

3

2

5

1

2

5

2

1

1

2

3

11

11

2

5

1

2

5

2

1

1

2

3

2

5

2

1

54

10

2

5

2

1

54

5124

54

5124

522

522

54

5124

522

2

1

52

3

522

5124

2

1

52

3

2

12

522

1

52

3

2

1

2

12

5252

3

2

112

52

3

98

92

112

7

852

3

6

71212

122

3

2

5

2

1

11

11

1

221

21

1

2

1

1

11

11

13

3

13

3

31

131

L

L L L L

1-

1- 1-1-1-

87

)....(etee)t(i

eteeeei

iii


)....(etee)t(i

sss

)t(i

sss

)s(I)t(i

sssss

)s(I)t(i


)....(

ssss

s

)s(I

ssss

s

)s(I


)....(

ssss

s

s)s(

s

)...(

ss

s)s(

s

:parcialesfraccionesaplicando

ttt

ttttt

ttt

192

25

2

7

2

25

2

16

2

5

2

3

41813

182

25

2

16

2

1

1

2

25

2

1

1

2

1

2

5

16

2

5

1

2

25

2

1

1

2

1

2

5

16

2

5

1

2

25

2

5

15

2

1

1

2

1

2

5

15

2

5

16

17

17

2

5

1

2

25

2

5

15

2

1

1

2

1

52

1

2

5

2

5

16

2

5

15

2

5

12

2

5

2

1

1

3

1

52

1

3

5

2

3

2

5

16

141615

16

2

5

15

2

5

12

2

5

2

5

2

552

15

2

1

1

3

1

52

1

3

5

2

152

2

1

2

5

2

1

2

2

1

2

1

2

5

2

5

2

1

2

312

2

1

2

1

2

5

1

23

233

233

23

23

2

L L L

L L

L L

1-1-1-

1-

1-

1-

1-

88

Resolviendo los sistemas de ecuaciones diferenciales de los circuitos RCL en paralelo anteriores

mediante Scientific WorkPlace, se tiene:

1)

di1

dt i2 120

5 di1

dt 15 di2

dt 5i1 5i2 0

i10 0

i20 0

, Laplace solution is: i1t 120 120e13

t cos 1

3t 2 2 sin 1

3t 2 , i2t 120 120e

13

t cos 1

3t 2

i3 i1 i2 120 120e13

t cos 1

3t 2 2 sin 1

3t 2 120 120e

13

t cos 1

3t 2 120 2 e

13

t sin 1

3t 2

2)

2di3

dt 5i3 di1

dt 0

2di3

dt 2 di1

dt i1 0

i10 1

i30 1

, Laplace solution is: i3t et cosh 1

6t 6 1

26 sinh 1

6t 6 , i1t 61 s6

12s66s625

i2 i1 i3 et cosh 1

6t 6 1

26 sinh 1

6t 6 61 s6

12s66s625


CIRCUITOS RCL EN PARALELO.tex


sobre el ícono anterior.

89

5. PRÁCTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y

APLICACIONES, CON SCIENTIFIC WORKPLACE.

INSTRUCCIONES. Para prácticas siguientes se recomienda seguir la estructura, formato y detalles

que se dan en el Apéndice C. Reporte de Práctica, en la página 103.

PRÁCTICA NO. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Objetivo: El alumno evaluará Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden mediante

Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.

Equipo y Material: PC, Software Scientific WorkPlace, Impresora y Papel.

Actividad con el docente. Evaluar de forma manual las siguientes Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias de Primer Orden. Corroborando los resultados con Scientific WorkPlace, que se dan en

seguida:

1) 2x 3 dy

dx x 3, Exact solution is: C2 1

2x 3

4ln x 3

2

2)dy

dx 3cos 2x, Exact solution is: C4 3

2sin2x

3)dy

dx y

xy 0, Exact solution is: x x2 C3 , x2 C3 x

4) x2 dy

dx y2 0, Exact solution is: 0, x

C 5x1

5) 3x 2 dy

dx 2x 3y 0, Exact solution is: 1

3x2x2 C2

6) 6y x dy

dx 4x y 0, Exact solution is: 1

6x 1

623x2 12C6 , 1

6x 1

623x2 12C6

7)dy

dx 1

x y 3, Exact solution is: 3

2x C 4

x

8)dy

dx 2y x, Exact solution is: 1

2x 1

4, C2e2x 1

2x 1

4

9) xdy

dx 6y 3xy

43 , Exact solution is: 1

C 26x2x3

90

Planeación de Trabajo. Evaluar, bajo la dinámica de trabajo anterior, las siguientes Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

1) ex dx

dy 1

x2

2)

dy

dx ysec x 0

y0 4

3) x y dy

dx x y

4) xdy

dx y 2 xy

5) ex dx

dy 1

x2

6)

dy

dx ysec x 0

y0 4

7)dy

dx y tanx sec x

8) xdy

dx x 2y ex

9) y2 dy

dx 2xy3 6x

10) 3xy2 dy

dx 3x4 y3

Desarrollo de la Práctica. Reportar y comparar sus procedimientos y resultados manuales con los

resultados del software, de los ejercicios anteriores.

Observaciones y Conclusiones. Reportar sugerencias para mayor provecho y utilidad del software

utilizado, de acuerdo a tus necesidades. Para finalmente reportar Conclusiones.

Bibliografía. Reportar bibliografía consultada

91

PRÁCTICA NO. 2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR

Objetivo: El alumno evaluará Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior mediante

Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.

Equipo y Material: PC, Software Scientific WorkPlace, Impresora y papel.

Actividad con el docente. Evaluar de forma manual las siguientes Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias de Orden Superior. Corroborando los resultados con Scientific WorkPlace, que se dan en

seguida.

1) y 6y 5y 0, Exact solution is: C7ex C8e5x

2) 2y 3y 2y 0, Exact solution is: C10 cos 1

47 x e

34

x C11 sin 1

47 x e

34

x

3) y 2y 0, Exact solution is: C15 cos 2 x 1

2C14 C16 sin 2 x


5)

y 3y 2y 0

y0 0

y0 1

y0 0

, Exact solution is: 1

2e2x 2ex 3

2

6) y y x, Exact solution is: C2ex x C3ex

7) y 25y 2e5x, Exact solution is: C5e5x C6e5x 1

5xe5x 1

50e5x

8) y y cos2x, Exact solution is: C9 cos x 1

6cos 2x C10 sin x 1

2


10)

y 3y 2y 2x2 1

y0 0

y0 1

, Exact solution is: x2 2ex e2x 3x 3

92

Planeación de Trabajo. Evaluar bajo la dinámica de trabajo anterior, las siguientes Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias de Orden Superior

1) 2d2y

dx2 6dy

dx 11y 0

2)d2y

dx2 121y 0

3)d2y

dx2 5dy

dx 2y 0

4)d3y

dx3 2d2y

dx2 4dy

dx y 0

5)

d2y

dx2 5dy

dx 6y 0

y0 0

y0 2

6)d2y

dx2 6dy

dx 16y x 3

7)d2y

dx2 16y cos 2x

8)d2y

dx2 10dy

dx 8y ex

9)d3y

dx3 d2y

dx2 2dy

dx y x2 9

10)

d2y

dx2 14dy

dx 33y 0

y0 1

y0 1






93

PRÁCTICA NO. 3 LA TRANSFORMADA Y LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Objetivo: El alumno evaluará Transformadas de Laplace de funciones f(t) y Transformadas Inversas

de Laplace de funciones F(s) mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y

rapidez del mismo.


Actividad con el docente. Evaluar las siguientes Transformadas de Laplace de funciones f(t) y

Transformadas Inversas de Laplace de funciones F(s). Corroborando los resultados con Scientific

WorkPlace, que se dan en seguida.

1) 5, Laplace transform is: 5s

2) 3t4, Laplace transform is: 72

s5


s2


s2 2

s3

5) 5cos 6t, Laplace transform is: 5 s

s236

6) e4t , Laplace transform is: 1

s4

7) 3cos 5 t, Laplace transform is: 3 s

s25

8) 2s6

s29, Is Laplace transform of 2cos 3t 2sin 3t

9) 1

s23s, Is Laplace transform of 1

3 1

3e3t

10) s

s22s3, Is Laplace transform of 1

4et 3

4e3t

11) 1

1s2, Is Laplace transform of sinh t

12) 2

s22s1, Is Laplace transform of 2tet

13) 1

ss21, Is Laplace transform of 1 cos t

14) 2s

ss1, Is Laplace transform of 2 et

94

Planeación de Trabajo. Evaluar bajo la dinámica anterior, las siguientes Transformadas de Laplace

de funciones f(t) y Transformadas Inversas de Laplace de funciones F(s).

1) 1 3t 4t2

2) t 23

3) e1t

4) cos 7tsin 4t

3

5) t sin22t

6) te4t

7) t cosh 3t sinh 4t

8) s6

ss22s

9) s

s9 s2

s210s

10) 1

s4 3s

4s2s

11) s2

s2s

12) s1

s29

13) s4

s35s2

14) s1

2s22s






95

PRÁCTICA NO. 4 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Objetivo: El alumno evaluará El alumno evaluará Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.


Actividad con el Docente. Evaluar de forma manual los siguientes Sistemas de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias. Corroborando los resultados con ScientificWorkPlace, que se dan en

seguida.

1)

dx

dt x y

dy

dt 2x

x0 0

y0 1


3et 1

3e2t , xt 1

3e2t 1

3et

2)

dx

dt x 2y

dy

dt 5x y

x0 1

y0 0


2211 et 11 5

2211 et 11 , xt 1

2211 et 11 1

2et 11 1

2211 et 11 1

2et 11

3)

2 dx

dt 2y 1

dx

dt dy

dt 2

x0 0

y0 0

, Exact solution is: xt 2t 3

2et 3

2, yt 3

2 3

2et

4)

d2x

dt2 d2y

dt2 t2

d2x

dt2 d2y

dt2 4t

x0 8

x0 0

y0 0

y0 0


3t3 1

24t4 8, yt 1

24t4 1

3t3

5)

d2x

dt2 3dy

dt 3y 0

d2x

dt2 3y tet

x0 0

x0 2

y0 0

y0 0


2t2 3t et 1, yt 1

3et 1

3tet 1

3

96

Planeación de Trabajo. Evaluar bajo la dinámica de trabajo anterior, los siguientes Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

1)

dx

dt y

dy

dt x 2y

x0 0

y0 1

2)

dx

dt y 0

dy

dt 3x y

x0 1

y0 0

3)

dx

dt dy

dt 1

dy

dt y 0

x0 1

y0 1

4)

d2x

dt2 2dy

dt t

d2x

dt2 dy

dt 1

x0 0

x0 0

y0 0

y0 0

5)

d2x

dt2 dy

dt 0

2 d2x

dt2 dy

dt t2

x0 0

x0 1

y0 0

y0 0






97

E=100 V

L=5 H

C=0.02 F

R1=100 Ώ

i1

i2

i3

A

I II

R2=50 Ώ

PRÁCTICA NO. 5 APLICACIONES. CIRCUITOS RC, RL Y RCL EN SERIE Y EN PARALELO

Objetivo: El alumno Analizará Circuitos Eléctricos RC, RL y RCL en serie y en paralelo y resolverá sus

respectivas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias resultado de tal análisis, mediante Scientific

WorkPlace.


Planeación de Trabajo. Analice los siguientes Circuitos Eléctricos Transitorios. Calculando lo que se

te pide y corroborando los resultados con Scientific WorPlace.

1.- A un circuito R-C en serie en el que la resistencia es de 50 ohms y la capacitancia es de 3x10-6

Faradios, se le aplica una tensión de 120 volts. (a) Calcular la carga q(t) en el capacitor y la corriente

i(t) en la resistencia si q(0) = 0. (b) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la resistencia,

respectivamente cuando t=0.015 seg. (c) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la

resistencia, respectivamente cuando t→∞

2.- A un circuito R-L en serie, en el cual la inductancia es de 0.5 Henrys y la resistencia es de 100

ohms, se le aplica una tensión de 60 volts. (a) Calcular la corriente i(t) si i(0)=0. (b) Determine también

la corriente cuando t= 0.05 seg. y cuando t→∞.

3.- Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=6/4 Henrys,

R=20 ohms, C= 1/100 Faradios, E= 210 Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes.

4.- Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=5 Henry, R=10

ohms, C= 1/25 Faradios, E= 10cos t (Volts). Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes.

5.- Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:


98

E=30 V

R1=2 Ώ

C=0.01 F

L=5 H

i1

i2

i3

A

I II

R2=3 Ώ

Amp)(i)(i)(i 0000 321

6.- Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:


Amp20i0i0i 321 === )()()(


resultados del software, de los circuitos anteriores.




99

6. APENDICES

Apéndice A. Tablas de Identidades, Derivadas e Integrales

udxd

uarcsenu

dxd

udxduuu

dxd

udxduuu

dxd

udxduu

dxd

udxduu

dxd

udxdsenuu

dxd

udxdusenu

dxd

vdxdvvuu

dxdvvuvu

dxd

udxdnnunux

d

v

vdxduu

dxdv

vu

dxd

udxdvv

dxduuv

dxd

nnxnxdxd

udxdccu

dxd

vdxdu

dxdvu

dxd

xdxd

h

xfhxf

h

eesenhh

eeh

ee

ee

senh

ee

eesenh

ee

eesenh

h

h

senh

21

1 .63

cotcsccsc .62

tansecsec .61

2csccot .60

2sectan .59

cos .58

cos .57

ln1 .56

1 .55

25 .54

)( .53

1.52

.51

)( .50

1 .49

,)()(

0lim

dx

df(x) .48

21csc .47

2

cosh

1sec .46

coshcoth .45

coshtanh .44

2cosh .43

2 .42

2csc12coth .41

2sec2tanh1 .40

122cosh 39.

AS.HIPERBÓLIC

RICASTRIGONOMÉT SIDENTIDADE .III

DERIVADALA

DE DEFINICIÓN

.DERIVACIÓN DE REGLAS IV.

0.x lnxe 36. xe

prerp

(e 38. q-p

eq

e

pe

35. qp

eq

ep

e 31

ua 34.

n(ab) 37. u(a

6. 5.

3.

2.

xx

ub

vuava

ua

ubuuvvvuavaua

sensen

sensensen

sensensen

sensen

sensensen

sensensen

sensen

sensen

sensen

sensensen

sensen

sensensen

ca

sen

hipco

sen

oc

ac

ac

hip

oc

hip

ac

oc

hip

ac

hip

ocsen

ln .32

).

b

a .30

aa) 33. 29.

AS.LOGARITMIC Y

CIÓNEXPONENCIA DE REGLAS II.

222coscos .28

22cos2 27.

2cos

2cos2coscos .26

2cos

22 .25

)cos()cos(21 .24

)cos()cos(21coscos .23

)()(21cos .22

)()(21cos .21

2tan1

tan22tan 20.

12cos222122cos2cos .19

cos22 .18

tantan1

tantan)tan(.17

coscos)cos( 16.

coscos)( 15.

tantan1

tantan)tan( 14.

coscos)cos( 13.

coscos .12

2cos1212cos 11.

cos2-1212 .10

2csc2cot1 .9

2sec2tan1 .8

12cos2 7.

..

.cot

.sec

..csc .4

.

..tan

.cos

.. .1

RICAS.TRIGONOMÉT SIDENTIDADE I.

θ

100

cuuudu

cuuudu

csenuudu

cuudu

cuuduu

cuuduu

cuudu

cuudu

csenuudu

cuduusen

udxduhuhu

dxd

udxduhuhu

dxd

udxduhu

dxd

udxduhu

dxd

udxdsenhuu

dxd

udxdusenhu

dxd

xgdxdxgf

dxdxgf

dxd

udxdueue

dxd

udxdauaua

dxd

udxd

auua

dxd

udxd

uu

uarcdxd

udxd

uu

uarcdxd

udxd

uuarc

dxd

udxd

uu

dxd

udxd

u

udxd

cotcsclncsc .88

tanseclnsec .87

lncot .86

seclntan .85

csccotcsc .84

sectansec.83

cotcsc .82

tansec .81

cos .80

cos .79

N.INTEGRACIÓ DE REGLAS V.

cothcsccsc.78

tanhsecsec.77

2csccoth.76

2sectanh.75

cosh.74

cosh.73

,)()))((())(( .72

.71

ln .70

ln1 log .69

12

1 csc .68

12

1 sec .67

21

1 cot .66

21

1 arctan .65

21

1 arccos .64

2

2

CADENA

LA DEREGLA

ba

afbfdxxf

cau

aaudu

auuaauudxau

cauarcsenauaudxua

cauau

aaudu

cauau

auadu

cau

aauu

du

cau

auadu

causen

ua

du

caa

dua

cee

cuudu

cucuduru

cun

duu

vduuvudu

chuuduhu

chuuduhu

cuuduh

cuuduh

cuhudu

csenhuhudu

csenhuudu

cuudu

csenhuudu

cusenhudu

uu

uu

r

nn

)()()( .113

arctan1 .112

ln22

.111

22 .110

ln21 .109

ln21 .108

sec1 .107

tan1 .106

.105

ln1 .104

.103

ln .102

-1r ,ln , -1r , .101

11 .100

, .99

csccothcsc .98

sectanhsec .97

coth2csc .96

tanh2sec .95

21tanhlncsc .94

1tansec .93

lncoth .92

coshlntanh .91

cosh .90

cosh 89.

22

222

2222

22222

22

22

1

22

1

22

1

22

1

1

PARTES PORNINTEGRACIÓ

101

Apéndice B. Tablas de Transformadas de Laplace

f(t) F(s)

1

1 s

1

2

t 2

1

s

3

tn 1ns

!n

4

Senkt 22 ks

k

5

Coskt 22 ks

s

6

Sen2kt )ks(s

k22

2

4

2

7

Cos2kt )ks(s

ks22

22

4

2

8

eat as

1

9

senhkt 22 ks

k

10

coskt 22 ks

s

11

teat 2

1

as

12

tneat 1

nas

!n

13

senktcoshkt 24

22

4

2

ks

)ks(k

102

14

cosktsenhkt 44

22

4

2

ks

)ks(k

15 t

senat

s

aarctan

16

eatf(t)

F(s-a)

17

F(t-a)U(t-a)

e-asF(s)

18

U(t-a) s

e as

19

tnf(t) )s(F

ds

dn

nn

1

103

Apéndice C. Reporte de Práctica (1)

Descripción de los puntos a desarrollar en la estructura del reporte de una práctica

de matemáticas

I. CARÁTULA

1. Escribir con mayúscula y negrita el nombre de la institución correspondiente,

centrada y con su logotipo a la izquierda.

2. Escribir en seguida con mayúscula y negrita el nombre de la división

correspondiente, centrada y con su logotipo a la derecha. Al mismo nivel del logotipo

de la institución.

3. Escribir el nombre de la práctica, centrada, a tres interlineados.

4. Escribir el número de la práctica alineado a la izquierda, a tres interlineados.

5. Escribir los integrantes del equipo de alumnos que realizó la práctica, a un

interlineado cada integrante, centrados.

6. Escribir la fecha en que se realizó la práctica (dd/mm/aa) alineada a la izquierda, a

tres interlineados.

7. Escribir el periodo escolar correspondiente (año-semestre) en que se realizó la

práctica, a tres interlineados.

II. OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA

1. Describir detalladamente los objetivos generales de la práctica.

2. Describir detalladamente los objetivos específicos de la práctica, si existen.

III. MARCO TEÓRICO.

Desarrollar manera detallada (evitando demostraciones matemáticas) el marco teórico

mediante el cual se sustenta el tema a tratar. Así como la descripción breve del software

utilizado, con las rutinas y librerías del mismo utilizadas específicamente en el tema a

tratar.

IV. MATERIAL Y EQUIPO

Enlistar y describir de manera breve el material y equipo a utilizar (tipo, serie, cantidad,

etc.)

104

V. CONTENIDO DEL REPORTE DE PRÁCTICA

El reporte de la práctica deberá contener de manera detallada los siguientes puntos:

a) Ejemplos

Realizar junto con el docente y de manera detallada por lo menos 5 ejemplos de inducción

al tema de la práctica correspondiente, con el software propuesto.

b) Ejercicios de práctica

Resolver de manera individual y/o colectiva, en la sesión correspondiente, una serie de 20

ejercicios por lo menos, del tema la práctica correspondiente.

c) Cotejo de resultados

Cotejar algunos de los resultados de algunos ejercicios obtenidos en la práctica

correspondiente, en forma manual (hoja-lápiz), con los obtenidos mediante el software

elegido.

d) Ejercicios complementarios

Con el objetivo de seguir ejercitando, resolver por lo menos 5 ejercicios la práctica

correspondiente, mediante las dos formas: manual y mediante el software propuesto,

comparando sus resultados.

Nota: Los problemas resueltos de las secciones anteriores se deberán integrar al reporte

de práctica, exportándolos como dibujos al procesador de texto mediante el cual se edite

la práctica, ya que Scientific WorkPlace es compatible con Microsoft.

VI. CONCLUSIONES

Escribir las conclusiones obtenidas de la práctica correspondiente, analizando las

características y viabilidad de Scientific WorkPlace, describiendo sus ventajas y

desventajas en la solución de problemas de abordados en la práctica correspondiente.

VII. BIBLIOGRAFÍA

Escribir la bibliografía consultada el desarrollo y reporte de la práctica correspondiente.

(1) El formato del reporte será con letra Arial, tamaño 12 e interlineado de 1.5

espacios.

105

6. BIBLIOGRAFIA DE APOYO

1. Autor: ZILL DENNIS G.

Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES

Editorial: THOMPSON

Edición: QUINTA

2. Autor: EDWARDS JR. C. H. Y PENNEY DAVID E.

Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES CON APLICACIONES

Editorial: ED. PRENTICE-HALL

Edición: PRIMERA

3. Autor: KREYSIG ERWIN.

Titulo: MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENIERIA, VOL. 1 Y II (5.1 EDICIÓN)

Editorial: ED. LIMUSA

Edición: PRIMERA

4. Autor: BORELLI/COLEMAN

Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES

Editorial: ED. OXFORD

Edición: PRIMERA

5. Autor: MARCUS

Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES

Editorial: CECSA

Edición: PRIMERA

106

6. Autor: SWOKOWSKI EARL W.

Título: CALCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA

Editorial: GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA

Edición: PRIMERA.

10. SCIENTIFIC WORKPLACE V. 5.50 BUILD 2953. MACKICHAN SOFTWARE, INC.

WEB SITE: http://www.makichan.com

http://www.makichan.com/

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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE … · Práctica No. 5 Aplicaciones. Circuitos RC, RL y RCL en serie y en paralelo 89 91 93 97 6. Apéndices Apéndice A. Tablas de Identidades,