tecolote

Teora de conjuntos, lgica y

temas afines I

Universidad Autnoma Metropolitana

Iztapalapa


Rector General

Dr. Salvador Vega y Len

Secretario General

Dr. Norberto Manjarrez lvarez

Unidad Iztapalapa

Rector

Dr. Javier Velzquez Moctezuma

Secretario

Dr. Miguel ngel Gmez Fonseca

Divisin de Ciencias Sociales y Humanidades

Director

Dr. Jos Octavio Nateras Domnguez

Divisin de Ciencias Bsicas e Ingeniera

Director

Dr. Jos Antonio de los Reyes Heredia

Coordinadora de Extensin Universitaria

Dra. Milagros Huerta Coria

Jefe de la Seccin de Produccin Editorial

Adrin Felipe Valencia Llamas

Teora de conjuntos, lgica y

temas afines I

Max Fernndez de Castro

Luis Miguel Villegas Silva

Primera Edicin, 2013

Los derechos de reproduccin de esta obra pertenecen al autor


Prolongacin Canal de Miramontes No. 3855,

Col. Ex Hacienda San Juan de Dios.

Delegacin Tlalpan C. P. 14387 Mxico D.F.

Universidad Autnoma Metropolitana Unidad Iztapalapa

Divisin de Ciencias Sociales y Humanidades

Divisin de Ciencias Bsicas e Ingeniera

ISBN 978-607-477-975-2

Se prohbe la reproduccin por cualquier medio, sin el consentimiento de los

titulares de los derechos de la obra

Impreso en Mxico/ Printed in Mexico

Teora de conjuntos, lgica ytemas afines I

Max Fernndez de CastroDepartamento de Filosofa

Luis Miguel Villegas SilvaDepartamento de Matemticas y mathematische Logik Abteilung

Universidad Autnoma Metropolitana Iztapalapa,Mathematisches Institut, Universitt Freiburg

Zur Ehre unseren Elternund zulssiger Ergtzungdes Geistes

A Vera y Martha

A Enriqueta, Emilio yNicols

~raefato

Prefacio

El proyecto TECOLOTE (Teora de conjuntos, Lgica y Temas Anes) se propone presentar dosvolmenes que cubrirn diversos aspectos de la lgica matemtica (teora de modelos clsica,lgica modal, lgicas no clsicas, incompletud de la lgica de primer orden), de la teora deconjuntos (teora de modelos en teora de conjuntos, grandes cardinales y la interaccin destas), as como algunas aplicaciones al lgebra, tanto de la lgica como de la teora de conjuntos.Ambos volmenes son, hasta cierto punto, continuacin de [FerVill11] y [FerVill11b], pero sulosofa es completamente distinta pues el proyecto Tecolote est pensado para estudiantes delicenciatura avanzados, estudiantes de posgrado e investigadores de estas reas. Los temasque discutimos requieren una madurez matemtica considerable y una mayor dedicacin a suestudio.En este primer volumen consideramos la teora de modelos clsica y sus aplicaciones (privile-giando el lgebra), los teoremas de incompletud de Gdel y sus extensiones mediante lgicamodal, y ser un antecedente importante para el segundo volumen.

El ttulo del libro puede resultar un tanto equvoco ya que aparentemente es poca la presenciade la teora de conjuntos en este volumen; pero, como ya se mencion, ste es parte de una seriemltiple. Adems, tal ausencia es engaosa pues es considerable su uso en teora de modelos.

Existen numerosos libros sobre teora de modelos accesibles y que cubren la materia desdevarios puntos de vista, desde el libro clsico de Chang y Keisler [CK93] hasta textos modernoscon diversas tendencias, como lo son [Roth00] y [Mar02], que tratan aspectos de la teora usualde modelos pero tambin asuntos no del todo estndar. Algunos de ellos tienen predileccinpor las aplicaciones al lgebra u otras disciplinas. Por otro lado, los teoremas de incompletudde la aritmtica han sido explicados con detalle en algunos textos, entre los cuales destaca elde Smullyan, que presenta diversas demostraciones del mismo. En cuanto a sus extensiones atravs de la lgica modal, hay dos libros que desarrollan el tema de manera accesible: son losde Boolos y Smorynski.

Estos volmenes cumplen -al menos as lo esperamos- diversas expectativas. Quiz la msimportante sea presentar el material en forma ms accesible para los lectores, sin afectar el nivelacadmico. Con ellos queremos cubrir una deciencia en la literatura disponible actualmente,aunque esto no implica que hayamos renunciado a llevar al lector los resultados ms recientesen algunos temas. Hemos procurado asimismo presentar el material de forma tal que cualquierlector dispuesto a dedicar el tiempo suciente tanto a la lectura como a la resolucin de ejerciciospueda salir adelante por s mismo e incorporarse a la investigacin de alto nivel y de frontera.Otro de los objetivos que nos planteamos es poner en contacto al estudioso con diversas ramasque no son fciles de encontrar en otros textos; tal es el caso de, por ejemplo, la teora de

xi

Prefacio Universidad Autnoma Metropolitana xii

juegos, la teora de Ehrenfeucht-Frasse, la lgica de la demostrabilidad y el forcing en teorade modelos.

En la exposicin de los resultados de Gdel, hemos hecho nfasis en la lnea que va de losproblemas para los que existen algoritmos de solucin hasta los sistemas axiomticos con enun-ciados indecidibles pasando por los conjuntos no decidibles pero cuyos elementos pueden seralgortmicamente enumerados. El objetivo es doble: por una parte, la calculabilidad pareceser un concepto clave en las matemticas, profundamente vinculado con la naturaleza de ciertotipo de pruebas y con cuestiones loscas relativas a la naturaleza de la mente. De la mismaforma, el que los sistemas axiomticos que formalizan la aritmtica y cumplen ciertas condi-ciones mnimas de adecuacin sean fatalmente incompletos arroja una sombra de misterio sobrela naturaleza de la verdad matemtica y es, sin duda, uno de los resultados lgicos que ha ge-nerado mayor cantidad de literatura losca. De l se sigue que las dicultades que habanencontrado en su desarrollo dos de los grandes programas de fundamentacin de la matem-tica, el logicismo de Dedekind, Frege y Russell y el programa formalista de Hilbert, no eranaccidentales. Cualquier intento de revivir las ideas de estos pensadores en torno a la naturalezade las matemticas debe adaptarlas a la nueva situacin revelada por los teoremas de Gdel.Es por ello que estos resultados representan un parteaguas en la losofa de las matemticas, ysu comprensin cabal es obligatoria para cualquier estudiante de esta discilpina y otras anes,como la losofa de la mente. Por otro lado, es interesante, desde un punto de vista matemtico,cmo una serie de teoremas importantes (tal vez no tan inmediatamente relacionados entre s)dependen de ciertos mtodos de demostracin. Tanto la solucin del problema de la parada ycuestiones relacionadas (la insolubilidad del dcimo problema de Hilbert, por ejemplo), comolos teoremas de Tarski y Gdel, dependen en ltima instancia de la capacidad para producirenunciados o procesos autorreferenciales. La clave para la produccin de estos enunciados demanera consistente y seria depende a su vez de dos recursos: la aritmetizacin y el mtododiagonal. A travs del orden que hemos dado en el texto, queremos que el lector perciba estasrelaciones. Ms adelante, hemos expuesto una introduccin a la lgica de la demostrabilidadpara que el lector aprecie cmo esta herramienta desentraa el fenmeno de la autorreferencia,un tema de especial importancia para la lingustica y la losofa del lenguaje.

De una u otra forma prevalece cierta divisin entre los profesionales de la teora de modelos:aquellos que recurren muy a su pesar a la teora de conjuntos (manteniendo su presencia enel mnimo indispensable), y los que la incorporan sin reparos, apelando incluso a los mtodosms sosticados para desarrollar su investigacin. En los textos ms recientes prevalece elprimer punto de vista, por lo que nosotros hemos tratado de recuperar el espritu innovador de[CK93] y no slo aprovechar las enormes posibilidades de la teora de conjuntos, sino estudiary desarrollar sta mediante la teora de modelos, meta que se logra en el segundo volumen. Sinembargo, ya en ste el lector podr apreciar numerosas incursiones de la combinatoria innitaen la solucin de diversos problemas de la teora de modelos y el lgebra, an cuando ser hastael volumen II que daremos rienda suelta a nuestra fascinacin por la maravillosa teora creadapor G. Cantor.

Otra meta que perseguimos es despertar en el lector el deseo de dedicarse a la investigacinen estas reas. Con este n, hemos dedicado numerosas pginas a los ejercicios propuestos; el

xiii Teora de conjuntos y temas afines I Prefacio

nivel de stos vara enormemente, desde aquellos que requieren una simple vericacin hasta losque pueden servir como punto de partida de una investigacin suceptible de publicarse en unarevista de alto nivel. No obstante, ninguno de los ejercicios encierra un problema abierto, sibien el debilitamiento de una hiptesis o la generalizacin de una conclusin puede conducir allector a territorios inexplorados. No consideramos pertinente clasicar los ejercicios en cuanto asu grado de complejidad pues tal distincin, siendo mayormente subjetiva, puede confundir msque facilitar la solucin de los problemas en libros de este nivel. Quisiramos remarcar una y otravez que es absolutamente indispensable que el lector emprenda la tarea de resolver ejercicios,pero que la dicultad de algunos de ellos no sea motivo para interrumpir la lectura del texto Denihilo nihilum; en muchas ocasiones, la imposibilidad de resolver algn ejercicio se desvanece alconsiderar nuevos temas o perspectivas, al enfrentar nuevas ideas o desarrollos, o simplementeal permitir que el cerebro elabore razonamientos ms sosticados conforme se avanza en eltexto. Recomendamos al lector tratar de resolver varios ejercicios al concluir la lectura deun captulo, persistiendo lo suciente para desarrollar las habilidades necesarias y adquirirnuevos conocimientos, pero sin empecinarse si algn problema se maniesta especialmenteelusivo Aequam memento rebus in arduis servare mentem. Tambin debe saber el lector que lamayora de los problemas pueden admitir ms de un mtodo de solucin; con esto queremosilustrar el hecho de que el lector puede requerir resultados de otros captulos para resolverun problema o, mejor an, tal vez necesite consultar alguna obra de la bibliografa. Estoviene a cuento no slo para advertir al lector de esta situacin sino para darle mayor libertada la hora de enfrentar los ejercicios, sin constreirlo al uso de ciertos teoremas, lemas, etc.Aquellos ejercicios que pudieran considerarse excesivamente demandantes estn acompaadosde sugerencias detalladas para su resolucin; estas indicaciones pueden contener los pasos aseguir para la solucin o bien una referencia a la literatura donde se encuentre el resultadobuscado o uno anlogo.

Consideramos de enorme importancia que el lector manieste una gran iniciativa al trabajarcon esta obra y adquiera las habilidades recin mencionadas, pues de esta forma ser mssencilla su incorporacin a la investigacin Dente lupus, cornu taurus petit. Esto adquieremayor relevancia en los captulos VI y VII, sobre los cuales vale la pena abundar un poco ms.Como es natural, muchas nociones, construcciones, lneas de investigacin, etc., relacionadascon el material que aqu presentamos no se han incorporado por falta de espacio Copia ciborum,subtilitas impeditur; para remediar un poco esta situacin ciertas nociones excepcionalmenteimportantes, por ejemplo de la teora de modelos, se ilustran en el reino de la teora de mdulos.Tal es el caso de la teora de la estabilidad y de algunas series de ejercicios que convocan al lectora trabajar cierto material que puede resultar atractivo, importante y con grandes posibilidadesde generalizacin.

Los dos volmenes de este proyecto presuponen que el lector tiene la formacin necesaria enlgica matemtica (la que se puede obtener de [FerVill11] y [FerVill11b]) y en teora de con-juntos (por ejemplo la que se obtiene de [Le02]). Los autores organizamos el material aqupresentado de la manera que consideranos ms adecuada para llevar a buen puerto el estudiode estas disciplinas; dispusimos de numerosas obras excelentes que nos han permitido elegirlos resultados, la presentacin y los ejercicios, y en ocasiones remediar errores y deciencias,

Prefacio Universidad Autnoma Metropolitana xiv

pero que han sido de invaluable ayuda para nosotros; es imposible sobrestimar la contribucinde diversos trabajos a esta obra. Las bibliografa al nal del libro contiene las referencias quehemos consultado para formar este volumen.

Sera de enorme ayuda para los autores conocer las opiniones de colegas, lectores, estudiantes,etc. acerca de este libro, por lo que mucho agradeceramos nos enviaran sus comentarios a ladireccin de correo electrnico:

[email protected]

Versiones preliminares de este libro se han utilizado en varios cursos y seminarios. Los autoresagradecen los comentarios, sugerencias y correcciones de los estudiantes involucrados Homines,dum docent discunt, especialmente Giovanni Wences, Kinrha Aguirre, Cecilia Hernndez, OscarRendn y Habershell Acevedo. El segundo autor agradece al departamento de lgica matem-tica (mathematische Logik Abteilung) de la Universidad Albert-Ludwigs, Freiburg, Alemaniasu hospitalidad durante la ltima etapa de la elaboracin de este libro, en particular a HeikeMildenberger y Jrg Flum por su apoyo; tambin expresa su gratitud al profesor Andrs Sestier,del Departamento de Matemticas de la Universidad Autnoma Metropolitana Iztapalapa, porsu ayuda en la comprensin de algunos textos en francs. Por ltimo, pero no por ello menosimportante, queremos destacar el apoyo que recibimos por parte de las autoridades de la Di-visin de Ciencias Sociales y Humanidades y del Dr. Rogelio Fernndez-Alonso, del rea delgebra del departamento de Matemticas de la UAM Iztapalapa para llevar a buen trminola publicacin de este libro.

Es necesario hacer algunas aclaraciones importantes ab initio. Hemos buscado facilitar al mxi-mo la lectura del texto y ello nos ha llevado a suprimir, cuando no hay riesgo de confusin, lasdiferencias entre uso y mencin de expresiones. Como podr advertirse, con mucha frecuenciaempleamos un smbolo de manera autnima, es decir, como su propio nombre, y una expresincomo nombre de la concatenacin de los smbolos que la conforman. Asimismo, cuando setrata del desarrollo de teoremas al interior de un sistema formal y de su aritmetizacin, hemosempleado difrentes estndares de rigor en la escritura de las frmulas. En el primer caso, noshemos permitido a veces ciertas licencias, por ejemplo la eliminacin de ciertos parntesis oel uso de smbolos ms conocidos, para agilizar la lectura. En cambio, cuando se trata de laaritmetizacin es necesario que la sintaxis sea plenamente respetada. Adems, algunas veces unmismo smbolo puede tener signicados distintos en el texto pero estrechamente relacionadosentre s. Tal es el caso, por ejemplo, de la operacin aritmtica que corresponde a la concate-nacin de expresiones; aparece tanto en la aritmetizacin de las mquinas de Turing como en lade la aritmtica. Estrictamente hablando, debimos usar smbolos diferentes porque no usamosla misma correspondencia entre expresiones y nmeros en los dos casos, pero contamos con queesto no producir ninguna confusin; a cambio, no introducimos ms notacin engorrosa. Estelibro se elabor en el marco del proyecto CONACyT "Los problemas del conocimiento y lacomprensin en matemticas" (13611289), el Programa de Estancias Sabticas (186412), y elproyecto Colaboracin Interinstitucional sobre Temas de lgebra de PROMEP (convocatoria2011) por lo que los autores agradecemos el apoyo recibido de parte de CONACyT y SEP.

xv Teora de conjuntos y temas afines I Prefacio

Sugerencia para leer el libro

El lector debe tener en cuenta que, si bien subsiste una secuencia lgica en la aparicin delos captulos, de ninguna manera es indispensable leerlos completamente para comprender lossubsecuentes. Los captulos estn pensados de forma tal que contienen material para diversoscursos sobre teora de modelos e incompletud; con esto queremos decir que, por s mismo,cada captulo contiene temas propios para un curso, por lo que los contenidos de un captulo nonecesariamente guardan una estrecha relacin entre s. Consideramos que un curso adecuado esaquel que incluye los captulos I y II, seguido de un curso con los captulos III y IV, y nalmenteun curso avanzado conformado por los captulos V, VI y posiblemente el VII, suponiendo quelos alumnos tienen conocimientos profundos sobre teora de anillos, mdulos y campos. Porcurso entendemo un trimestre (11 semanas, 4.5 horas a la semana).

Notacin

~a = a1, . . . , an representa una n-ada de elementos = N los nmeros naturalesN+ los nmeros naturales excluyendo al ceroR los nmeros realesQ los nmeros racionalesC los nmeros complejosA,B,C, . . . representan estructuras con universo A,B,C, . . .h : A B la aplicacin h es sobre Bh A la aplicacin h restringida a A

Dado un lenguaje L, una L-teora T es un conjunto de L-enunciados consistente y cerradorespecto a consecuencia lgica; es decir, si es un L-enunciado y T |= , entonces T.Verba volant scripta manent.

Eshbah (Hohshwarzwald)- Mxio D.F., mayo del 2013

Prefacio Universidad Autnoma Metropolitana xvi

ndice

I Recursividad 1

I.1. Calculabilidad, 2 I.2. Funciones recursivas, 22 I.3. La mquina de Turinguniversal y predicados semicalculables, 42 I.4. Predicados semicalculables, 44 I.5. Otra caracterizacin de las funciones recursivas, 49 I.6. Tres problemasindecidibles, 51 I.7. Ejercicios, 80

II Los teoremas de incompletud de Gdel 93

II.1. La incompletud de la aritmtica, 94 II.2. Representabilidad en sistemasaritmticos, 100 II.3. El sistema Q, 104 II.4. El primer teorema de incompletudde Gdel, 109 II.5. El teorema de Rosser, 123 II.6. El segundo teorema deGdel, 124 II.7. Lgica modal y enunciados autorreferenciales, 128 II.8. Mtodosde decisin. rboles semnticos, 136 II.9. Enunciados iletrados, 146 II.10. Unteorema del punto fijo para GL, 149 II.11. El teorema del punto fijo para GL, 154 II.12. La completud aritmtica de GL, 158 II.13. Ejercicios, 161

III Construcciones elementales en la teora de modelos: Maitines 167

III.1. Relaciones entre estructuras, 168 III.2. Operaciones entre estructuras, 189 III.3. Lmites directos e inversos, 202 III.4. Sistemas inverso-directos, 224 III.5. Funciones de Skolem, 228 III.6. Clases axiomatizables y finitoaxiomatizables, 230 III.7. Juegos en lgica, 235 III.8. Ejercicios, 248

IV Teora de modelos bsica: Laudes 271

IV.1. Herramientas tiles, 272 IV.2. El diagrama de una estructura, 279 IV.3. Teora de Ehrenfeucht-Fraisse, 296 IV.4. Modelo completud, 313 IV.5. Axiomatizacin de clases modelo-completas, 315 IV.6. Eliminacin decuantificadores, 320 IV.7. Amalgamacin y clases de estructuras, 326 IV.8. Ejercicios, 328

V Teora de modelos avanzada: Prima 377

V.1. Saturacin, 377 V.2. El teorema de omisin de tipos, 397 V.3. Modeloshomogneos, 409 V.4. Estructuras existencialmente cerradas y genricas, 415

xvii

xviii Universidad Autnoma Metropolitana

V.5. forcing en teora de modelos, 422 V.6. Modelo completud y modeloscomparsas, 430 V.7. Anillos conmutativos existencialmente cerrados, 434 V.8. Anillos semiprimos, 438 V.9. Grupos existencialmente cerrados, 448 V.10. Ejercicios, 458

VI Teora de modelos en mdulos kualkan 479

VI.1. Preliminares, 480 VI.2. Anillos coherentes, 482 VI.3. MdulosInyectivos, 485 VI.4. Frmulas positivo-primitivas (pp) e invariantes, 489 VI.5. La retcula de pp-frmulas y pp-tipos, 496 VI.6. Realizaciones libres, 511 VI.7. Dualidad en pp-frmulas, 514 VI.8. Pureza, 519 VI.9. pp-eliminacin decuantificadores, 521 VI.10. Teoras y sus duales, 540 VI.11. Otrasconsecuencias de pp eliminacin de cuantificadores, 547 VI.12. Ejercicios, 550

VII Teora de modelos en mdulos Tiotlak 573

VII.1. Estabilidad en mdulos, 574 VII.2. R-mdulos sobre anillos coherentes, 583 VII.3. Eliminacin general de cuantificadores en mdulos, 587 VII.4. Atomicidad y saturacin, 598 VII.5. Mdulos puro proyectivos, 604 VII.6. Mdulos Mittag-Leer, 609 VII.7. Ejercicios, 623

VIII Glosario 649

Bibliografa 651

ndices 657

Teora de conjuntos lgica y temas anes I xix

ndice

648 Universidad Autnoma Metropolitana VII.7

VII.7 Ejercicios

VIII

Glosario

Finis coronat opus El fin corona el esfuerzo realizadoIntelligenti pauca Al inteligente, pocas (razones)Aequam memento rebus in arduis Recuerda conservar la mente serena enservare mentem los momentos difcilesCopia ciborum, subtilitas impeditur Las comidas abundantes embotan la inteligenciaDe nihilo nihilum De la nada, nada puede salirDe gustibus et coloribus non disputandu Los gustos y los colores no se discutenEt lux in tenebris Lucet Y la luz brilla en las tinieblasExperientia doce La experiencia enseaHomines, dum docent discunt Los hombres aprenden mientras enseanLabor omnia vincit El trabajo todo lo vencePacta sunt servanda De lo pactado somos esclavosPost nubila, Phoebus Despus de las nubes, sale el solPro Mundi beneficio Para beneficio del mundoVanitas vanitatum et omnia vanitas Vanidad de vanidades, todo es vanidadVerba volant scripta manent Las palabras vuelan, lo escrito permaneceDe omni re scibili...et quibusdam aliis Acerca de todo lo que se puede saber...

y de otras cosas msDente lupus, cornu taurus petit El lobo ataca con el diente y el toro con el cuernoEt cognoscetis veritatem et Veritas liberabit Y conocern la verdad y

la verdad los har libresIndocti discant, et ament meminisse periti Aprndanlo los ignorantes,

y recurdenlo los entendidosinfra despusab initio desde el inicioad libitum a voluntad, al gusto

649

Glosario Universidad Autnoma Metropolitana 650

Las horas cannicas

Maitines antes de amanecerLaudes al amanecerPrima a las siete de la maanaTercia a las nueve de la maanaSexta a mediodaNona a las tres de la tardeVisperas al anochecerCompletas ya entrada la noche

Nahuatl

Amo oui Fcilkualkan de medianoche hasta mediodatiotlak de las doce hasta las siete de la nochetlayoua de las siete hasta las doce de la noche

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ndice de smbolos

(Ij : j m) : A =m B, 307(In : n ) : A =f B, 299(R T ), 24(R T ), 24(R T ), 24(A, B) (C, B), 322, 7A =

iI Ai, 193

AG, 368AGtf , 368AX(y), 117AXI(x), 117AXL(x), 117AXP16, 117A+, 544A, 541Alf(y, z), 40At(L), 274Ax1(x), 116Ax2(x), 116Ax3(x), 116Ax4(x), 116Ax5(x), 116Ax6(x), 116B(R), 587BewD(x, y), 117BewND(x0, x1), 123C(X,K), 440C0x, 53CFR(x), 113CI(S, T ), 59CLAA(X), 250C , 424C

K, 424

Cn, 467Calc(, y, z), 41Conf(z), 38Conffin(x, z), 40Confin(x, z), 40D(A, B), 283D(u, v), 72D(x), 26D(A,B), 284Dim( k, , ), 547

Div(x, y), 26E(M), 488E(x), 112EFn, 243EI(x), 36End(H), 225Enun(L), 274FBF (x), 114FMAT (x), 113F, 541Fml(L), 274Fml1(L), 252GL, 130GLS, 145GM (p), 551Gen(x, k), 114Geni(x, k), 114HBi, 125Hp(X), 229I(,K), 574I(, ), 574I(x, y), 25I(A,B), 389Imp(x, y), 114Inv(M,, ), 531J , 43J(M), 539J(x, y), 43K , 43, 128K(z), 43K4, 128L, 43L(z), 43LI(z, v, t), 115LIB(X, y), 115LM , 128MP (x, y, z), 117MT (z), 38MULT (x, y), 113M, 133M, 225M+, 541M, 225M1

M2, 481

658

659 Teora de conjuntos y temas afines I ndices

MS4, 132Max(x, y), 26Min(x, y), 26Mod(), 275Mov(x), 36NP (n), 28NUM(x), 113NX , 53Num(n), 97OP (n), 28, 29Op(j), 96PB(x), 117PPn, 497PR(y, x), 117Pz, 48Part(A,B), 296Pasei, 39Pd(x), 23Pos(L), 281Pot10, 35Pot10(y), 40Pr(n), 27Q, 104Quint(x), 37Quint6, 37Quinti, 37R(x), 112R, 52RiH , 144Res(y, x), 26ST nM , 54STM , 55SUBST1(x), 114SUBST2(x), 114SUBST3(x), 115SUCC(x), 113SUM(x, y), 113ST1 (A), 576ST , 59S(K), 286SMn (A), 388Sim(x), 36Spec(R), 441Su(e, n), 99Suc conf(x), 41Sucquint, 37TA, 127TERM(x), 113T (n)(x(n), y, z), 41Ti(u), 65TeX , 53Teo(M), 561Teo(Mod-R), 540Teo(A, B), 284

Teo(K), 275Teo(N), 176ThM , 57Tr(), 146V AR(x), 113V ARE(x), 113W c, 48Wnz , 48Wz, 48[A], 58[[(n1, . . . , nm)]], 40[;n], 111[a]F , 197[n], 10, 40A B, 169A rd B, 369A = B, 169A =f B, 299A =m B, 307A =p B, 299A =p B, 333A B, 174A , 422A K , 422A B, 187A B, 182A B, 182A C, 281A B, 290A C, 279AB, 189A , 425A

K, 425

A(K), 434Ba(L), 274, 4, 4

D, 514(), 612E(K), 418En(K), 418G, 448Gm(A,B), 301G(K), 417Gf (K), 425G(K), 417Gn(K), 417G(p), 551Hn , 417I, 434J, 328J(MR), 485KR, 434K, 423

ndices Universidad Autnoma Metropolitana 660

K, 323Ka, 320, 434Kac, 432K, 254, 7L(B), 272MR, 480M

+R, 587

, 4261(L), 274ni , 12ki , 22m(L), 274 6T , 609 6K , 609S(K), 460SKR, 444T(A), 472T, 540

TZ, 368

TR, 480TRf , 633(n), 22(n) = 0, 22Z(p), 506n, 94M

, 14.=, 5350, 3871, 387u, 516y


p, 577ppn(M), 501ppn(R-Mod), 501quinti(y, x), 37s(n), 94sg(x), 23sop(a), 196sub(y, t, v), 117sup, 53tp+M (a), 502tp+M (a/B), 502uni(z, x), 42xEy, 36x < y, 100xFy, 36xPy, 36x y, 35x q y, 38Teo(R-Mod), 540Qf, 274

Bew, 111, 117BS, 149

cm, 634cmd, 634

G, 118G1, 417G2n, 417G3n, 421

U(x), 41

ndice alfabtico

1, 121

A-base, 251A-dimensin, 252 admite negacin, 288aec, 324alfabeto, 7

semithue, 52alfabeto (de cinta), 4lgebra de Weyl, 495anillo

artiniano, 595coherente, 482coherente derecho, 628coherente izquierdo, 551con divisin, 592indiscreto, 569inf, 595local, 495mnimo, 593no singular, 595reducido, 439regular, 587, 629semiprimo, 439semisimple, 593Von Neuman regular, 439

anti-isomorfismo de retculas, 496aplicacin

elemental, 279polinomial, 392

rbol, 282A/F-asignacin, 198asignacin inducida, 174automorfismo, 169axioma

de eleccin, 184del supremo, 186

axiomasde PA, 115ordenacotado, 309discreto, 309

teorade grupos, 181

teora de mdulos, 480

base, 251bifurcacin, 472, 642

cabeza lectora, 4cadena

de estructuras, 193, 315elemental, 193, 315

clculo de una cinfiguracin, 9cpsula inyectiva, 488carcter, 544casi variedad, 323centralizador, 456cerradura

algebraica, 250de Skolem, 229divisible, 364respecto a un conjunto de conectivos, 279

cclo, 281propio, 281

claseaxiomatizable, 230relativa, 312

cerradarespecto a expansiones, 291respecto a lmites directos, 214respecto a subestructuras, 323

cofinal, 416completa, 319-elemental, 254elemental, 254, 275elementalmente cerrada, 460finito axiomatizable, 232inductiva, 316modelo completa, 313simple, 460n-cerrada, 418

coheredero, 477composicin libre, 448concatenacin de expresiones, 7condicin

de anulacin, 492de cadena decreciente, 582de divisibilidad, 492

662


decide , 425mnima, 634mnima dbil, 634

configuracin, 8adecuada, 9

conjuntoabierto-cerrado, 439de enunciadosindependiente, 255

de frmulassimtrico, 423total, 423

denso, 202diofantino, 62, 386genrico, 426GL-consistente, 132GL-satisfacible, 136hereditario, 292Hintikka, 143=-cerrado, 234independiente, 251-codirigido, 202-dirigido, 202mximo consistente, 276ordenadoinductivamente, 204

recursivo enumerable, 44semithue, 53T -expresable, 96

contiene ecuaciones, 288correspondencia de Galois, 255cre, 291criterio

de Baer, 485de Tarski-Vaught, 183de Van den Dries, 322de Vaught, 278TV, 183

crs, 323

denotacin de una frmula, 96derivar, 9

directamente, 9diagrama

de una estructura, 284elemental, 284lineal, 214

dimensin, 252distancia al borde, 142divisor primo, 252dominio entero, 250

ec, 416elemento

algebraico, 250definible, 257infinito, 254mnimo, 131nilpotente, 434potencialmente nilpotente, 436regular, 436

eliminacinde cuantificadores, 324de cuantificadores infinitaria, 522

emparedado, 292encaje, 168

elemental, 186puro, 520

endomorfismo, 169enunciado, 95

iletrado, 146modalizado en p, 150, 154siempre demostrable, 128siempre verdadero, 129traza de, 146valor de verdad, 129

enunciado en forma normal, 147enunciado indecidible, 1180, 120epimorfismo

puro, 520epimorfismo puro, 520equivalencia elemental, 174espacio

cero dimensional, 439de Stone, 439totalmente disconexo, 439

espectro de Ziegler, 569estrategia ganadora, 236estructura

algebraicamente cerrada, 434atmica, 403existencialmente cerrada, 384, 416, 418genrica, 417finita, 425

-homognea, 409homognea, 409-saturada, 379-universal, 413-saturada, 382prima, 320, 360producto, 192saturada, 379simple, 222ultrahomognea, 369

estructuraselementalmente equivalentes, 174isomorfas, 169


-homogneas, 393parcialmente isomorfas, 299

expansin de Skolem, 229expresin, 7

de clase, 111extensin, 169

booleana, 196elemental, 182

filtro, 497fin-extensin, 330, 399, 400forcing, 422

condicin, 424finito, 424

forking, 472, 642forma normal, 451

de Davis, 69frmula, 94

2, 195 , 1951-primitiva, 324atmica, 94bsica de Horn, 191cerrada, 95de Horn, 191existencial, 179positiva, 280

h-persistente, 279-atmica, 554lgicamenteexistencial, 179universal, 179

positivo primitiva, 256, 361, 489preservahacia abajo, 179hacia arriba, 179

preserva en productos, 191preserva en uniones, 195primitiva, 314, 361primitiva simple, 3610, 1201, 121universal, 179valor de verdad, 129

A-fuerza, 422funcin

de Ackerman, 30complecin, 49de Skolem, 228incorporada, 229

definida por composicin, 14definida por minimalizacin, 32definida por recursin, 19diofantina, 64fuertemente representable, 100

parcial recursiva, 33recursiva, 33regular, 32representable, 100respeta frmulas, 181, 186T -expresable, 96turing-calculable, 10

funcin definicin de una teora, 540funciones

recursivas iniciales, 22recursivo primitivas, 22

G3n, 417-factoriza, 609-tipo, 609gavilla infinita, 332generadores de un semigrupo, 58GL-rboles, 137grado de un vrtice, 242grfica, 241

completa, 242inducida, 188libre de cclos, 282

grupoabelianoordenado, 362

casi abeliano, 294de caracteres, 544de exponente acotado, 625de torsin, 201divisible, 286dual, 228ordenable, 295ordenado, 295reflexivo, 225, 228sin torsin, 225, 278

heredero, 475homomorfismo, 168

fuerte, 169, 204puro, 520puro de grupos, 369

ideal, 497crtico, 563principal, 497

idempotente, 434ortogonal, 593primitivo, 593

imagen homomrfica, 249infinitesimal, 254interpretacin aritmtica, 128invariante, 532

cardinal, 531dual de, 541


isomorfismo, 169parcial, 296

jep, 328juego, 235

abierto, 240cerrado, 240de Ehrenfeucht, 301determinado, 239Ehrenfeucht-Frass, 243infinito, 240informacin perfecta, 236suma cero, 236

lectura de cinta, 8lema

del diagrama, 284McKinsey, 258

lenguajecardinalidad, 170teora de mdulos, 170, 479

lmitedirecto, 204inverso, 215, 217inverso-directo, 259

localizacin, 506longitud de una expresin, 7

main gap, 575mquina de Turing, 3, 8

universal, 43marco, 131

validez, 131modelo

atmico, 403, 410comparsa, 431complecin, 431de Kripke, 129de la aritmtica, 176-homogneo, 409homogneo, 409-saturado, 411-universal, 413M, 133monstruo, 575primo fuerte, 403, 464saturado, 412universal, 413

mduloabsoluto puro, 462a-inyectivo, 461algebraicamente compacto, 461, 599a-plano, 461atmico positivo, 598-inyectivo, 466

construible positivo, 598E-libre de torsin, 556estable, 577FP-inyectivo, 462inyectivo, 485inyectivo puro, 461K-Mittag-Leer, 610-inyectivo, 583localmente proyectivo, 622Mittag-Leer, 610Mittag-Leer estricto, 622-estable, 577plano, 628+-construible, 598positivo saturado (+-saturado), 598+-atmico, 598prueba, 620punteado, 638puro absoluto, 551puro inyectivo, 598, 603puro proyectivo, 604-inyectivo, 556semisimple, 593separable, 622-puro inyectivo, 601-inyectivo, 460superestable, 577totalmente trascendente, 577tt, 577voluminoso, 585

mundo adecuado, 153

numeral, 94nmero

de Gdel, 41

ocurrencia de una variable, 95operador cerradura, 276, 417orden

inductivo, 204lineal denso, 278, 413

p-enunciado, 150pa, 326pec, 328pif, 2001-axiomatizacin, 254posicin en el juego, 240pp frmula, 489

con parmetros, 493derecha, 489dual de, 514infinitaria, 522izquierda, 489

pp subgrupo, 492


pp tipo, 501completo, 501completo de a, 502sobre B, 502

finitamente generado, 503predicado

diofantino, 62semicalculable, 47

primer teorema de preservacin, 288principio

de inclusin-exclusin, 522de Sylvester, 523

problemade Hilbert, 62de la parada, 48

produccin semithue, 52producto

cartesiano, 189, 192de estructuras, 189, 192directo, 189libre, 448reducido, 197

propiedadde amalgamacin, 326, 480de Heine-Borel, 231de la interseccin finita, 200del encaje comn, 328T-expresable, 100turing-calculable, 11

pruebade Shoenfield, 325semithue, 52

punto fijo de un enunciado, 151

rama fiel, 142a un modelo, 141

rangocuantificable de una frmula, 242sistema invariantes, 574

realizacinaritmtica, 128

realizacin libre de una pp frmula, 511recursin

por curso de valores, 29relacin

expresable, 109negativa, 253recursivo primitiva, 241, 121terminal, 131turing-calculable, 12

representacin del uno, 594retcula, 496

de Galois, 275pp-retcula, 501

retraccin, 249retracto, 249

segundo teorema de preservacin, 321semi campo, 592semigrupo, 58sistema

Q, 104consistente, 466de invariantes, 574dirigido, 204dual, 223GL, 130GLS, 145inverso, 215inverso-directo, 224K , 128LM , 128local, 220normal, 128PA, 110R, 108RR, 108semithue, 52thue, 56

1-axiomatizacin, 254sML, 638soporte de un elemento, 196subconjunto

abierto, 240cerrado, 240

subestructura, 169elemental, 182generada, 169-generada, 213

subfrmula, 95subgrfica, 188subgrupo

complemento ortogonal de, 541definible, 492

submdulocompletamente invariante, 260puro, 520

subretcula, 496sucesin

exacta, 212pura-exacta, 520

sumadirecta, 196fibrada, 481rdenes, 309

T -tipo, 3780-trmino, 120teorema


de o-Suszko-Chang, 316de o-Tarski, 288de Baldwin-Lachlan, 323de Baur-Monk, 527de Cantor, 300de compacidad, 201de Ehrenfeucht, 305de estructura paraanillos Von Neumann, 442grupos, 285

o, 198de Lyndon, 317de omisin de tipos, 397de preservacin de o, 291de Rosser, 123de Ulm, 574de Wedderburn-Artin, 595Gale-Stewart, 241Keisler-Shelah, 233Lwenheim-Skolem, 183ascendente, 183

pp eliminacin de cuantificadores, 527semithue, 52

teora, 275axiomatizable, 254-categrica, 277completa, 276, 410de Skolem, 228de una estructura, 284dual de, 541 1-axiomatizable, 254-estable, 576 1-axiomatizable, 254inestable, 576-estable, 577-consistente, 118superestable, 577totalmente trascendente, 577tt, 577

trmino, 94cerrado, 95

tesis de Church, 33tipo, 378

aislado, 397completo, 388de un elemento, 378de un grupo, 292incompleto, 388irracional, 474K generado, 609omisin, 378racional, 474realizacin, 378

I-tipo, 473

transformacinprueba, 620

trayectoria, 281cerrada, 281hamiltoniana, 332

ultrafiltro, 497ultrapotencia, 198ultraproducto, 198

valor de verdad de un enunciado, 96valor de verdad de una frmula, 96vrtice

aislado, 242sociable, 242

Universidad Autnoma Metropolitana 668

El centro y los cuatro rumbos del mundoCdice Fejrvry-Mayer

669 Teora de conjuntos y temas afines I

A

merica, no invoco tu nombre en vano. Cuando su-jeto al corazn la espada, cuando aguanto en el almala gotera, cuando por las ventanas un nuevo da tuyome penetra, soy y eoy en la luz que me produce,

vivo en la sombra que me determina, duermo y despierto en tuesencial aurora: dulce como las uvas, y terrible, conductor del az-car y el caigo, empapado en esperma de tu especie, amamantadoen sangre de tu herencia.

P. Neruda

Y

ee habitante tranormadoque se conruyo en el combate,ee organismo valeroso,ea implacable tentativa,

ee metal inalterable,ea unidad de los dolores,ea fortaleza del hombre,

ee camino hacia ma~nana,ea cordillera infinita,ea germinal primavera,ee armamento de los pobres,salio de aquellos sufrimientos,de los mas hondo de la patria,de lo mas duro y golpeado,de lo mas alto y ms eternoy se llamo Partido,Partido Comunia.

P. Neruda

D

er Einzelne hat zwei Augen Die Partei hat tausend Au-gen. Die Partei sieht sieben Staaten Der Einzelne sieht eineStadt. Der Einzelne hat seine Stunde, Aber die Partei hatviele Stunden. Der Einzelne kann vernitet werden, Aber

die Partei kann nit vernitet werden. Denn sie i der Vortrupp derMaen Und fhrt ihren Kampf Mit den Methoden der Klaiker, welegespft sind Aus der Kenntnis der Wirklikeit.

E

s i slimm, in einem Lande zu leben, in dem es keinen Humorgibt. Aber no slimmer i es, in einem Lande zu leben, indem man Humor braut.

U

nglli das Land, das Helden ntig hat!

D

as Slimme i nit: Fehler haben, nit einmal sie nitbekmpfen, i slimm. Slimm i, sie zu vereen.

D

en Unterdrten von fnf Erdteilen, denen, die si son be-freit haben, und allen, die fr den Weltfrieden kmpfen, muder Herzslag geot haben, als sie hrten, Stalin i tot.Er war die Verkrperung ihrer Honung. Aber die geiigen

und materiellen Waen, die er herellte, sind da, und da i die Lehre,neue herzuellen.

B. Bret

D

as Proletariat i diejenige Klae der Gesellsaft, wele ihrenLebensunterhalt einzig und allein aus dem Verkauf ihrer Ar-beit und nit aus dem Profit irgendeines Kapitals zieht; derenWohl und Wehe, deren Leben und Tod, deren ganze Exis-

tenz von der Nafrage na Arbeit, also von dem Wesel der guten undsleten Gesfteiten, von den Swankungen einer zgellosen Konkur-renz abhngt. Das Proletariat oder die Klae der Proletarier i, mit einemWorte, die arbeitende Klae des neunzehnten Jahrhunderts.

D

er Sklave i ein fr allemal verkauft; der Proletarier mu sitgli und ndli selb verkaufen.

D

ie sogenannten Sozialien teilen si in drei Klaen. Die ereKlae beeht aus Anhngern der feudalen und patriaralisenGesellsaft, wele dur die groe Indurie, den Welthandelund die dur beide gesaene Bourgeoisgesellsaft vernitet

worden i und no tgli vernitet wird. Diese Klae zieht aus den

Ubeln der jeigen Gesellsaft den Slu, da die feudale und patriaralise

Gesellsaft wiederhergeellt werden me, weil sie von diesen Ubeln freiwar. Alle ihre Vorslge gehen auf graden oder krummen Wegen diesemZiele zu. Diese Klae reaktionrer Sozialien wird tro ihrer angeblienTeilnahme und heien Trnen fr das Elend des Proletariats denno ets vonden Kommunien energis angegrien werden.

F. Engels

D

as Proletariat wird seine politise Herrsaft dazu benuen,der Bourgeoisie na und na alles Kapital zu entreien, alleProduktionsinrumente in den Hnden des Staats, das hei desals herrsende Klae organisierten Proletariats zu zentralisieren

und die Mae der Produktionskrfte mgli ras zu vermehren.

D

ie Kommunien sind keine besondere Partei gegenber den an-dern Arbeiterparteien. Sie haben keine von den Intereendes ganzen Proletariats getrennten Intereen. Sie ellenkeine sektiererisen Prinzipien auf, wona sie die proletarise

Bewegung modeln wollen.

D

ie Kommunien erfinden nit die Einwirkung der Gesellsaftauf die Erziehung; sie verndern nur ihren Charakter, sieentreien die Erziehung dem Einflu der herrsenden Klae.

Universidad Autnoma Metropolitana 670

L

as ideas de la clase dominante son las ideas dominantes en cadaepoca; o, dio en otros terminos, la clase que ejerce el podermaterial dominante en la sociedad es, al mismo tiempo, supoder espiritual dominante. La clase que tiene a su disposicion

los medios para la produccion material dispone con ello, al mismo tiempo,de los medios para la produccin espiritual, lo que hace que se le sometan,al propio tiempo, por termino medio, las ideas de quienes carecen de losmedios necesarios para producir espiritualmente. Las ideas dominantes no sonotra cosa que la expresin ideal de las relaciones materiales dominantes, lasmismas relaciones materiales dominantes concebidas como ideas; por tanto,las relaciones que hacen de una determinada clase la clase dominante, o sea,las ideas de su dominacion. Los individuos que forman la clase dominantetienen tambin, entre otras cosas, la conciencia de ello y piensan a tono conello; por eso, en cuanto dominan como clase y en cuanto determinan todoel ambito de una epoca hiorica, se comprende de suyo que lo hagan entoda su extension, y, por tanto, entre otras cosas, tambien como pensadores,como productores de ideas, que regulan la produccion y diribucion de lasideas de su tiempo; y que sus ideas sean; por ello mismo, las ideas dominantesde la epoca. Por ejemplo, en una epoca y en un pais en que se disputan

el poder la corona, la ariocracia y la burguesia, en que, por tanto, sehalla dividida la dominacion, se impone como idea dominante la doctrina dela division de poderes, proclamada ahora como \ley eterna".

U

no de los problemas ms difciles para los filsofos, es descender delmundo del pensamiento al mundo real. La realidad inmediatadel pensamiento es el lenguaje y como los filosofos han procla-mado la independencia del pensamiento, debieran proclamar

tambien el lenguaje como un reino propio y soberano. En eo reside elsecreto del lenguaje filosofico, en el que los pensamientos encierran, comopalabras, un contenido propio. El problema de descender del mundo delos pensamientos al mundo real se convierte asi en el problema de descenderdel lenguaje a la vida... Los filosofos no tendrian mas que reducir sulenguaje al lenguaje corriente, del que aquel se abrae, para darse cuentay reconocer que ni los pensamientos ni el lenguaje forman por s mismos unreino aparte, sino que son, sencillamente expresiones de la vida real

K. Marx

671 Teora de conjuntos y temas afines I

The rising of the Moon

Oh then, tell me Sen OFarrell, tell me why you hurry so?

"Hush a bhuachaill, hush and listen", and his cheeks were all aglow,

"I bear orders from the captain:- get you ready quick and soon

For the pikes must be together by the rising of the moon"

By the rising of the moon, by the rising of the moon,

For the pikes must be together by the rising of the moon

"And come tell me Sen OFarrell where the gathrin is to be?"

"In the old spot by the river, right well known to you and me.

One more word for signal token:- whistle out the marchin tune,

With your pike upon your shoulder, by the rising of the moon."

By the rising of the moon, by the rising of the moon

With your pike upon your shoulder, by the rising of the moon.

Out from many a mud wall cabin eyes were watching through the

night,

Many a manly chest was throbbing, for the blessed morning light.

Murmurs ran along the valleys like the banshees lonely croon

And a thousand pikes were flashing at the rising of the moon.

At the rising of the moon, at the rising of the moon.

And a thousand pikes were flashing by the rising of the moon.

There beside the singing river that black mass of men was seen,

High above their shining weapons flew their own beloved green.

"Death to every foe and traitor! Forward strike the marching tune."

And hurrah my boys for freedom; tis the rising of the moon".

Tis the rising of the moon, tis the rising of the moon

And hurrah my boys for freedom; Tis the rising of the moon".

Well they fought for poor old Ireland, and full bitter was their fate,

Oh what glorious pride and sorrow, fills the name of ninety-eight!

Yet, thank God, een still are beating hearts in manhood burning

noon,

Who would follow in their footsteps, at the risin of the moon

At the rising of the moon, At the rising of the moon

Who would follow in their footsteps, at the risin of the moon.

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