Tema 01 - Vectores Unitarios

8/17/2019 Tema 01 - Vectores Unitarios

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1UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 1

VECTORES UNITARIOS

FÍSICA

VECTORES CARTESIANOS

I. SISTEMAS DE COORDENADAS A DERE-

CHAS

Un sistema de coordenadas a derechas se utiliza para

desarrollar la teoría que se sigue en el algebra vectorial.

Un sistema de coordenadas es a derechas cuando

colocando el pulgar dirigido en la dirección del eje z

positivo los demás dedos de la mano derecha se cierran

del eje x positivo al eje y positivo, Fig. 1.

Además, según esta regla, el eje z en la Fig. 2 se dirige

hacia fuera, perpendicular a la página.

x

y

z

Fig 1

II. COMPONENTES RECTANGULARES DE

UN VECTOR

Un vector puede tener uno, dos, o tres componentes

rectangulares, dependiendo de cómo se orienta elvector relativo al sistema de ejes coordenados x, y,

y z.

Por ejemplo:

– Si A

se dirige a lo largo del eje de x, Fig. 2a,

entonces

x A A

,

– Si A

se encuentra en el plano x-y, entonces las

dos componentes x A

y y A

, serán determinadas

usando la ley del paralelogramo, Fig. 2b, donde

x y A A A

– Si A

se dirige dentro de un octante en el marco

de x, y, y z, Fig. 2c, A

es representado por la

suma de sus tres componentes rectangulares,

x y z A A A A

……………..……………………… (1)

III. VECTORES UNITARIOS

Un vector unitario es un

vector libre cuyo módulo es la

unidad. Si A

es un vector cuyo

módulo A 0 , entonces un

vector unitario teniendo la

misma dirección del A

es

representado por:

A Au A

......................... (2)

DESARROLLO DEL TEMA



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VECTORES UNITARIOS

TEMA 1

Exigimos más!

Reescribiendo esta expresión tenemos

A A A u

....................... (3)

Donde el vector A

es una magnitud vectorial

cualquiera, por ejemplo: un vector fuerza. Todo vectorposee pues un módulo, representado por la cantidad

escalar A y una dirección determinada por el vector

adimensional Au

, Fig. 3.

III. VECTORES UNITARIOS RECTANGU-

LARES

La manera de simplificar las operaciones en el algebra

vectorial, se hace uso de los vectores unitarios

rectangulares (versores rectangulares) ˆˆ ˆi, j y k , los

cuales serán usados para definir las direcciones positivas

de los ejes x, y y z.

z

x

yik

j

Fig 4

Haciendo uso de la ecuación (3), las componentes del

A

en la Fig. 2 se pueden expresar en función de los

Vectores Unitarios Rectangulares.

Por ejemplo:

Si A

esta dirigido a lo largo del eje x positivo se

expresara como sigue

xˆ A A i

Si A

se encuentra en el plano x - y se expresara como

sigue

x yˆ ˆ A A i A j

Si A

se dirige dentro de un octante del marco x, y y

z, se expresara como sigue

x y zˆˆ ˆ A A i A j A k

……………… (4)

También es posible representarlo así:

x y z A (A ,A ,A )

IV. MAGNITUD DE UN VECTOR CARTE-

SIANO

Siempre es posible obtener la magnitud de un vectorcuando esta expresado en términos de suscomponentes rectangulares.

Por ejemplo:

Si: x y x yˆ ˆ A A i A j (A ,A )

Su módulo será: 2 2x y A A A

Si: x y z x y zˆˆ ˆ A A i A j A k (A ,A ,A )

Su módulo será: 2 2 2x y z A A A A

A los ángulos que forman el vector con cada uno de

los ejes rectángulares se les denomina ángulos

directores, y a los cosenos correspondientes cosenos

directores para los cuales se cumple:

Az

Z

y

Ay Ax

x

A

yx z A A A

Cos Cos Cos A A A

2 2 2Cos Cos Cos 1



3UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 1

VECTORES UNITARIOS

Exigimos más!

Luego el vector se puede expresar como:

x y z x y z

A A i A j A k (A ;A ; A )

A A(Cos i Cos j Cos k)

V. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

El producto escalar (punto) de dos vectores a

y b

(no nulos) se define por:

b

a

a.b | a | b | Cos

(Escalar)

Propiedades del producto escalar.

1. a . b b .a

2. a . b b .a

3. a. (b c) a.b a.c

4. 2 2 2 2x y za.a | a| a a a

5. Si: a b: a.b 0

Expresión en componentes rectangulares:

1. ˆi.i j. j k .k 1; i. j i .k j.k 0

2.

x y zx x y y z z

x y z

a a i a j a k a .b a b a b a b

b b i b j b k

VI. PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

Para dos vectores A y B

(no nulos) su producto

vectorial (aspa) es otro vector N A B

con lassiguientes características:

1. Módulo: | N | | A B | | A || B | Sen

2. Direccción: Perpendicular al plano definido por

A y B

3. Sentido: Determinado por la regla de la manoderecha.

(a) El producto vectorial entre dos vectores es un

vector perpendicular a ambos vectores en la dirección

dada por la regla de la mano derecha (b). Si se cambia

el orden de los vectores en el producto vectorial, seinvierte el sentido del vector.

A

A x B

SentidoPositivo

de A a B

B

(a)

A

B

B x A A x B= –

(b)

Propiedades del producto vectorial:

1. A B –B A

2. A B C A B A C

3. A B (A B)

4. Si: A // B : A B 0

Expresión en componentes rectangulares:

1.

i i j j k k 0

i j k j k i k i j

ˆ j i –k k j –i i k –j

2.

x y z x y z

y z z y z x x z x y y x

A A i A j A k B B i B j B k A B i A B – A B j(A B – A B ) k(A B –A B )



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VECTORES UNITARIOS

TEMA 1

Exigimos más!

Problema 1

Dado los vectores A

y B

tales que:

A B i j

y A B 2i j

Hallar 2 2 A B

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

Resolución:

Como:

A B i j

A B 2 i j

32A 3i A i y

2

1B i j

2

piden: A2 – B2

22 2

22 2 3 1 A B 12 2

9 1 14 4

Respuesta: A) 1

Problema 2

Determine el módulo del vector

resultante si:

A 8 i 5 j

B 4 i 6 j

C 9 2 j

A) 13 B) 21

C) 26 D) 29

E) 30

Resolución:

Se sabe

R A B C

(8i 5 j) ( 4 6 j) ( 9i 2j)

R ( 5i 1j) ( 5;1)

2 2|R | ( 5) (1) 26

Respuesta: C) 26

Problema 3

Determine el vactor resultante del

sistema de fuerzas mostrado.

1 3F 5 i F 6 i

2F 4 i

A) 5 i

B) 6 i

C) 7 i

D) 8 i

E) 9 i

Resolución:

Sabemos:

1 2 3R F F F

(5 i) ( 4 i) (6i)

7i

Respuesta: C) 7 i

problemas resueltos

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