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Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 2
ESQUEMA DE LA UNIDAD
1.- Operaciones con polinomios.
1.1.- Suma y resta de polinomios.
1.2.- Producto de polinomios.
1.3.- División de polinomios.
2.- Factor común.
3.- Identidades notables.
3.1.- Cuadrado de una suma o una diferencia.
3.2.- Suma por diferencia.
3.3.- Obtención de una identidad notable.
3.3.1.- Expresión de un binomio como una suma por una diferencia.
3.3.2.- Expresión de un trinomio como el cuadrado de una suma o una diferencia.
4.- Regla de Ruffini.
5.- Teorema del resto.
6.- Descomposición de un polinomio en factores.
7.- Simplificación de fracciones algebraicas.
8.- Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios.
9.- Operaciones con fracciones algebraicas.
9.1.- Sumas y restas.
9.2.- Multiplicaciones y divisiones.
9.3.- Operaciones combinadas.
1.- OPERACIONES CON POLINOMIOS
1.1.- Suma y resta de polinomios
Ejemplo: Dados 1246)( 23 xxxxP y 5353)( 23 xxxxQ , calcular:
a) )()( xQxP
)()( xQxP 53531246 2323 xxxxxx
53531246 2323 xxxxxx 443 23 xxx
b) )()( xQxP
)()( xQxP 53531246 2323 xxxxxx
53531246 2323 xxxxxx 6599 23 xxx
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 3
642 2 xx
0
Ejemplo: Dados xyxyyxyxP 323 23),( y xyyxyxQ 22),( 23 , calcular:
a) ),(),( yxQyxP
),(),( yxQyxP xyyxxyxyyx 2223 23323 xyyxxyxyyx 2223 23323
23323 22 yxxyxyyx
b) ),(),( yxQyxP
),(),( yxQyxP xyyxxyxyyx 2223 23323 xyyxxyxyyx 2223 23323
23323 2325 yxxyxyyx
1.2.- Producto de polinomios
Ejemplo: Dados 14)( 3 xxxR y 1)( 2 xxS , calcular )()( xSxR
)()( xSxR 114 23 xxx 11114 2223 xxxxx
144 2335 xxxxx 154 235 xxxx
1.3.- División de polinomios
Observaciones:
a) Elementos de una división:
b) Para que se pueda hacer una división entre polinomios, el grado del dividendo tiene que ser
mayor o igual que el grado del divisor.
c) La división de polinomios termina cuando el grado del resto es menor que el grado del
divisor.
d) En toda división, tanto en la de números como en la de polinomios, se cumple lo siguiente:
DIVIDENDO = COCIENTE ∙ DIVISOR + RESTO
Ejemplo: Dados 6)( 3 xxxP y 32)( 2 xxxQ , calcular )(:)( xQxP
60 23 xxx 322 xx
2xxxx 32 23
642 2 xx
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 4
Teniendo en cuenta la observación d), podemos escribir entonces lo siguiente:
)()()()( xRxQxCxP → 03226 23 xxxxx
2.- FACTOR COMÚN
Recordatorio:
a) Cuando un término sale entero como factor común, dentro del paréntesis se pone un "1".
b) El signo no es conveniente sacarlo como factor común.
Ejemplo: saca factor común
a) 234 3129 xxx 23242 3323 xxx 1433 22 xxx
b) 522473 24315 bababa 5232473 32353 bababa 32522 853 baabba
3.- IDENTIDADES NOTABLES
3.1.- Cuadrado de una suma o una diferencia
abbaba 2222
Ejemplo: resuelve las siguientes identidades notables
a) xxxxxx 3423434 222222 324 24916 xxx
b) xxxxxx 3423434 222222 324 24916 xxx
c) xxxxxx 3423434 222222 324 24916 xxx
d) xxxxxx 3423434 222222 324 24916 xxx
3.2.- Suma por diferencia
22 bababa
Ejemplo: resuelve las siguientes identidades notables
a) 22222 343434 xxxxxx
24 916 xx
b) 22222 888 xxxxxx
24 64xx
c) 22555 969696 xxx 8136 10 x
d) 24234343 323232 xxxxxx
86 94 xx
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 5
3.3.- Obtención de una identidad notable
Se trata de expresar un binomio (polinomio de dos términos) o un trinomio (polinomio de tres
términos) como una suma por una diferencia o como el cuadrado de una suma o diferencia.
3.3.1.- Expresión de un binomio como una suma por una diferencia
1. Hay que comprobar que el binomio representa una identidad notable. Para ello basta
observar que entre los dos términos del binomio hay una resta.
2. Escribir cada término como un cuadrado.
3. Las bases de los cuadrados anteriores son los elementos de la identidad notable.
Ejemplo: expresa como una identidad notable los siguientes binomios
a) 24 425 xx xxxx 2525 22 (resta)
25x x2
Al número se le saca raíz cuadrada ( 52525 ) y al exponente de la "x" se le divide entre 2
(22/44 xxx )
42/88 399 xxx
b) 86 949 xx 4343 3737 xxxx
32/66 74949 xxx
c) 164 2x 4242 xx
d) 42 416 xx 22 2424 xxxx
3.3.2.- Expresión de un trinomio como el cuadrado de una suma o una diferencia
1. Buscar en el trinomio los dos términos en los que la variable estén elevados al número más
grande y al número más pequeño. Comprobar que esos términos tienen el mismo signo y
que se pueden escribir como un cuadrado.
2. Comprobar que el doble producto de las bases de los cuadrados anteriores coincide con el
otro término del trinomio que no se ha utilizado hasta ahora.
3. De cumplirse los puntos anteriores, se puede afirmar que el trinomio corresponde a una
identidad notable, en concreto al cuadrado de una suma o de una diferencia en función del
signo que tenga el término del trinomio que se ha utilizado en el punto anterior.
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 6
Ejemplo: expresa como una identidad notable los siguientes trinomios
a) 654 6416 xxx Tienen el mismo signo
(los dos términos son positivos)
22x 238x 32 82 xx516x que es el otro término del trinomio
Los dos términos se pueden escribir
como un cuadrado
Después de comprobar que se cumplen las condiciones para que este trinomio sea una
identidad notable podemos escribir dicha identidad:
654 6416 xxx 232 8xx
b) 234 44 xxx 222 xx
c) xx 414 2 22 12 x
d) 648 44 xxx 234 22 xx
4.- REGLA DE RUFFINI
Es un método que se utiliza, por ejemplo, para factorizar polinomios o par dividirlos cuando el
divisor es de la forma ax o ax , siendo " a " un número.
Ejemplo: halla el cociente y el resto de la siguiente división utilizando el método de Ruffini
1:37235 234 xxxxx
Recordar que en toda división se puede escribir que DIVIDENDO = COCIENTE ∙ DIVISOR + RESTO,
así en este caso tendremos que
01342537235 23234 xxxxxxxx
5.- TEOREMA DEL RESTO
Enunciado: “El resto de la división de un polinomio )(xP entre ax es igual al valor
numérico del polinomio para ax ”.
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 7
Con otras palabras: para calcular el resto de la división de un polinomio )(xP entre ax
(que son las divisiones que pueden hacerse por el método de Ruffini) sin hacer la división, hay que
sustituir en la “x” del polinomio )(xP el número “ a ”.
Ejemplo: calcula, sin hacer la división, el resto de las siguientes divisiones de polinomios
a) 2:532 23 xxx
Llamamos 532)( 23 xxxP . Por el teorema del resto, el resto de la división 2:)( xxP
es )2(P :
512165438252322)2(23
P 23
b) 1:324 3 xxx
Llamamos 324)( 3 xxxP . Por el teorema del resto, el resto de la división 1:)( xxP es
)1(P :
3243121431214)1( 3P 3
Observaciones:
1. Al número que sale al sustituir la "x" de un polinomio por un número se le llama "valor
numérico del polinomio en númerox ".
2. Un número " a " se dice que es raíz de un polinomio )(xP si el valor numérico de ese
polinomio en ax vale cero.
6.- DESCOMPOSICIÓN DE UN POLINOMIO EN FACTORES
Descomponer un polinomio en factores consiste en escribirlo como producto de otros
polinomios.
Pasos para factorizar un polinomio:
1. Sacar factor común (si es que se puede).
2. Buscar, utilizando el método de Ruffini, las raíces del polinomio que queda entre paréntesis
(si es que se ha sacado factor común) o del polinomio entero (si no se ha sacado factor común).
Las posibles raíces son los divisores del término independiente del polinomio,
3. Repetir el método de Ruffini hasta que se cumpla una de las siguientes condiciones:
- Si después de probar con todas las posibles raíces del polinomio no haya ninguna (es
decir, con ninguno de los divisores del término independiente sale en el método de
Ruffini como resto cero).
- Que queden solamente dos términos.
4. Escribir la descomposición o factorización del polinomio.
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 8
Observaciones:
a) Descomponer o factorizar un polinomio de grado 1 es lo mismo que sacar factor común (si
es que se puede, en caso de que no se pueda sacar factor común, la factorización sería el
mismo polinomio).
Ejemplo: descomponer en factores los siguientes polinomios
155x 35 x
67x 67 x
b) Muchas veces los binomios y trinomios no se pueden descomponer en factores utilizando el
método de Ruffini porque son identidades notables.
Ejemplo: descomponer en factores los siguientes polinomios
144 2 xx Primero lo intentamos por Ruffini. Posibles raíces del polinomio: 1
4 -4 1 4 -4 1
1 4 0 -1 -4 16
4 0 1 (No sale cero) 4 -16 17 (No sale cero)
El método de Ruffini, por tanto, no nos permite en este caso factorizar el polinomio, por lo tanto
quedan dos opciones: o se trata de una identidad notable, o no admite factorización. Después de
realizar las comprobaciones se observa que el trinomio que tenemos que factorizar es una
identidad notable, por lo tanto la factorización del mismo será esta:
144 2 xx 212 x
14 2 x Lo intentamos por Ruffini. Posibles raíces del polinomio: 1
4 0 -1 4 0 -1
1 4 0 -1 -4 4
4 0 -1 (No sale cero) 4 -4 3 (No sale cero)
Por Ruffini no se puede factorizar. ¿Es una identidad notable? La respuesta es que sí (se trata de
un binomio cuyos términos están restando. La factorización será por tanto:
14 2x 1212 xx
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 9
Ejemplo: factoriza los siguientes polinomios
a) 863)( 23 xxxxP
1. Factor común: en este caso no se puede sacar factor común.
2. Buscar las raíces del polinomio utilizando Ruffini: posibles raíces 8,4,2,1
(recordar que las posibles raíces son los divisores del término independiente)
1 3 -6 -8
1x -1 -1 -2 8
1 2 -8 0 Posibles raíces 8,4,2,1
2x 2 2 8
1 4 0 Paramos porque solo quedan dos números (el 1 y el 4)
4x
3. Escribir la factorización: 421)( xxxxP
b) xxxxxxP 18911)( 2345
1. Factor común:
1891118911)( 2342345 xxxxxxxxxxxP
2. Buscar las raíces del polinomio que queda en el paréntesis utilizando Ruffini: posibles
raíces 18,9,6,3,2,1 (recordar que las posibles raíces son los divisores del
término independiente)
1 1 -11 -9 18
1x 1 1 2 -9 -18
1 2 -9 -18 0 Posibles raíces: las mismas
2x -2 -2 0 18
1 0 -9 0 Posibles raíces: 9,3,1
3x 3 3 9
1 3 0 Paramos porque solo quedan dos números (el 1 y el 3)
3x
3. Escribir la factorización: 3321)( xxxxxxP
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 10
c) 485)( 23 xxxxP
1. Factor común: en este caso no se puede sacar factor común.
2. Buscar las raíces del polinomio utilizando Ruffini: posibles raíces 4,2,1
(recordar que las posibles raíces son los divisores del término independiente)
1 -5 8 -4
1x 1 1 -4 4
1 -4 4 0 Posibles raíces 4,2,1
2x 2 2 -4
1 -2 0 Paramos porque solo quedan dos números (el 1 y el -2)
2x
3. Escribir la factorización: 221)( xxxxP 221 xx
d) 1)( 23 xxxxP
1. Factor común: en este caso no se puede sacar factor común.
2. Buscar las raíces del polinomio utilizando Ruffini: posibles raíces 1 (recordar que las
posibles raíces son los divisores del término independiente)
1 -1 1 -1
1x 1 1 0 1
1 0 1 0 Posibles raíces 1
12 x
Paramos aunque quedan tres números porque el polinomio no tiene más raíces; es decir, al probar el método
de Ruffini con el 1 y el -1 no sale de resto cero.
3. Escribir la factorización: 11)( 2 xxxP
7.- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es una fracción en la que al menos en el denominador hay un
polinomio. Para simplificarlas hay que descomponer en factores por separado el numerador y el
denominador, y después “tachar” los términos comunes.
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 11
Ejemplo: simplifica las siguientes fracciones algenraicas
a) xxx
xx
23
223
2
- Factorizamos el numerador: 22 xx
1 1 -2
1x 1 1 2 Así: 22 xx 21 xx
1 2 0
2x
- Factorizamos el denominador: 2323 223 xxxxxx
1 3 2
1x -1 -1 -2 Así: 22 xx 21 xxx
1 2 0
2x
- Sustituimos en la fracción el numerador y el denominador por sus factorizaciones y
simplificamos:
21
21
23
223
2
xxx
xx
xxx
xx 1
1
xx
x
b) 30114
6723
3
xxx
xx
- Factorizamos el numerador: 673 xx
1 0 -7 -6
1x -1 -1 1 6
1 -1 -6 0
2x -2 -2 6
1 -3 0
3x
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 12
Así 673 xx 321 xxx
- Factorizamos el denominador: 30114 23 xxx
1 4 -11 -30
2x -2 -2 -4 30
1 2 -15 0
5x -5 -5 15
1 -3 0
3x
Así 30114 23 xxx 352 xxx
- Sustituimos en la fracción el numerador y el denominador por sus factorizaciones y
simplificamos:
352
321
30114
6723
3
xxx
xxx
xxx
xx 5
1
x
x
c) 9
962
2
x
xx
- Factorizamos el numerador: 962 xx
Podemos comprobar que el trimonio que hay en el numerador es el desarrollo de una
identidad notable, por lo que podemos escribir lo siguiente:
22 396 xxx
PERO hacerlo así directamente requiere que, una vez escrita la identidad notable, haya que
comprobar que los polinomios que quedan entre paréntesis no se pueden descomponer más,
lo cual sucede en este caso, ya que queda un polinomio de primer grado y sabemos que
factorizar este tipo de polinomios equivale a sacar factor común, cosa que no se puede
hacer en este caso, por lo que ya estaría terminada la factorización.
Así 962 xx 23x
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 13
- Factorizamos el denominador: 92 x
Al igual que antes, podemos comprobar que este binomio es el desarrollo de una identidad
notable, por lo que podemos escribir lo siguiente:
3392 xxx
De la misma manera debemos comprobar que los polinomios que quedan entre los
paréntesis ya no pueden descomponerse más, cosa que sucede.
Así 92x 33 xx
- Sustituimos en la fracción el numerador y el denominador por sus factorizaciones y
simplificamos:
33
3
9
962
2
2
xx
x
x
xx 3
3
x
x
Ejercicio: factorizar el siguiente polinomio 164 x
Una opción sería utilizar el método de Ruffini para descomponer o factorizar el polinomio,
pero si nos damos cuenta este binomio es el desarrollo de una identidad notable, así:
4416 224 xxx
Pero al hacer la factorización a través de las identidades notables, como se ha comentado
anteriormente, no basta escribir la expresión de la identidad notable, sino que hay que comprobar
si los polinomios que quedan en los paréntesis se pueden seguir factorizando o no. En nuestro caso
hay dos paréntesis:
42 x → En este paréntesis ha quedado un polinomio que no se puede factorizar (comprobarlo
cada uno por Ruffini).
42 x → Sin embargo, el polinomio de este paréntesis sí puede descomponerse más, vuelve a ser
el desarrollo de una identidad notable, por lo que podemos escribirlo así: 2242 xxx
Nuevamente habría que comprobar si estos nuevos paréntesis contienen polinomios que se
pueden seguir factorizando, en cuyo caso habría que continuar (no es nuestro caso, pues ya quedan
polinomios de primer grado a los que no se les puede sacar factor común).
Por lo tanto, la factorización es: 164x 2242 xxx
8.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS
Tanto el m.c.d. como el m.c.m. de polinomios se calcula de la misma forma que se calculan el
m.c.d. y el m.c.m. de números:
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 14
Máximo común divisor
Después de descomponer en factores los polinomios, se multiplican los factores comunes
elevados al menor exponente.
Mínimo común múltiplo
Después de descomponer en factores los polinomios, se multiplican los factores comunes y no
comunes elevados al mayor exponente.
Ejemplo: halla el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios
a) 6)( 2 xxxP , 44)( 2 xxxQ
- Descomponemos factorialmente los polinomios:
1 1 -6 1 -4 4
2x 2 2 6 2x 2 2 -4
1 3 0 1 -2 0
3x 2x
Así:
32)( xxxP y 22)( xxQ
- )(),(... xQxPDCM 2x
- )(),(... xQxPMCM 322
xx
b) xxxxxxP 18361642)( 2345 , xxxxxxQ 18911)( 2345
- Descomposiciones en factores de los polinomios:
3312)(2
xxxxxP
3123)( xxxxxxQ
- Máximo común divisor y mínimo común múltiplo:
)(),(... xQxPDCM 331 xxxx
)(),(... xQxPMCM 1233122
xxxxxx
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 15
9.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Las operaciones con fracciones algebraicas se hacen igual que las operaciones con fracciones de
números enteros.
9.1.- Sumas y restas
Pasos:
1. Ponerle el mismo denominador a todas las fracciones (que será el m.c.m. de todos los
denominadores).
2. Realizar las operaciones que queden en los numeradores.
3. Escribir en una sola fracción teniendo mucho cuidado con los signos.
4. Agrupar en el numerador.
5. Simplificar el resultado.
Ejemplo: 446 2
2
2
xx
x
xx
x
Calculamos el m.c.m. de los denominadores:
3262 xxxx
22 244 xxx
... mcm 322
xx
Empezamos la operación:
32
3
32
2
446 2
2
22
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
x=
32
3
32
22
23
2
2
xx
xx
xx
xx
32
322
232
xx
xxxx
32
242
23
xx
xxx
9.2.- Multiplicaciones y divisiones
Pasos:
1. Multiplicar en línea o en cruz (dependiendo de si se trata de un producto o un cociente de
fracciones) PERO dejando indicados los productos y utilizando paréntesis.
2. Descomponer o factorizar cada uno de los polinomios que hay en los paréntesis.
3. Simplificar los términos comunes.
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 16
Ejemplos:
a) 1
2510
5
12
2
2
x
xx
xx
x
15
25101
1
2510
5
122
2
2
2
2 xxx
xxx
x
xx
xx
x
Factorizaciones de los polinomios que hay entre paréntesis:
1x 1 x Recordar que factorizar un polinomio de primer grado es lo mismo que sacar
factor común (si se puede, y si no se puede es porque el polinomio ya está factorizado).
25102 xx 25 x Es una identidad notable.
xx 52 5 xx Primero se saca factor común y después se factoriza el polinomio que
queda entre paréntesis (que en este caso es de primer grado y ya está factorizado).
12 x 11 xx Es una identidad notable.
115
512
xxxx
xx 1
5
xx
x
b) xx
xx
x
x
2
2
2
65:
2
65
265:
222
2
2
2
2 xxx
xxx
xx
xx
x
x
Factorizaciones de los polinomios que hay entre paréntesis:
2x 2 x Recordar que factorizar un polinomio de primer grado es lo mismo que sacar
factor común (si se puede, y si no se puede es porque el polinomio ya está factorizado).
xx 2 1 xx Primero se saca factor común y después se factoriza el polinomio que
queda entre paréntesis (que en este caso es de primer grado y ya está factorizado).
652 xx 32 xx
1 5 6
2x -2 -2 -6
1 3 0
3x
Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 17
32
122 xxx
xxx 3
1
xx
x
9.3.- Operaciones combinadas
Se hacen respetando el orden de las operaciones combinadas de números enteros.
Ejemplos:
a)
3
1
2:
1
32
xx
1
13
1
2:
1
3
1
123
1
2:
1
32
x
x
xxx
x
xx
1
13:
1
12
1
332:
1
322
1
33
1
2:
1
3
1
22
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
131
112
xx
xx 13
12
x
x
b)
3
3
3
3:
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
3
3
3
3:
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
33
33
33
33:
33
33
33
33
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
33
69
33
69:
33
69
33
69 2222
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
33
6969:
33
6969 2222
xx
xxxx
xx
xxxx
33
12:
33
12
xx
x
xx
x
3312
3312
xxx
xxx1
FIN DEL TEMA