Tema 1.- Aritmética. 1.-Usar el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de a y b y expresarlo en función de a y b para: a) a= 56,

Tema 1.- AritméticaTema 1.- Aritmética

1.- Usar el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de a y b y expresarlo en función de a y b para:

a) a= 56, b= 27

56 = 2 · 27 + 2

27 = 2 · 13 + 1

13 = 13 · 1 + 0

Como la división es exacta, hemos terminado.

El mcd(56,27) es el último resto no nulo, esto es, 1

Despejando 1 de la penúltima división:

1 = 27 – 2 · 13

Despejamos ahora 2 de la división anterior

1 = 27 – 2 · 13 = 27 – 13 · (56 – 2 · 27) = 27 – 13 · 56 + 26 · 27 == 27 · 27 – 13 · 56


a) a= 322, b= 406

406 = 322 + 84322 = 3 · 84 + 70

84 = 70 + 14

Como la divisón es exacta, hemos terminado.

El mcd(322,406) es el último resto no nulo, esto es, 14

Despejando 14 de la penúltima división:14 = 84 – 70

Despejamos ahora 70 de la división anterior

14 = 84 – 70 = 84 – (322 – 3 · 84) = 84 – 322 + 3 · 84 == 4 · 84 – 322

70 = 5 · 14 + 0

Despejamos ahora 84 de la división anterior14 = 4 · 84 – 322 = 4 · (406 – 322) – 322 = 4 · 406 – 4 · 322 – 322 == 4 · 406 – 5 · 322


c) a= 721, b= 448721 = 448 + 273448 = 273 + 175273 = 175 + 98

Como la divisón es exacta, hemos terminado, mcd(721,448) = 7.

Vamos a ir despejando el resto sucesivamente;7 = 21 – 14

7 = 21 – 14 = 21 – (77 – 3 · 21) = 4 · 21 – 77

175 = 98 + 77

7 = 4 · 21 – 77 = 4 · (98 - 77) – 77 = 4 · 98 -5 · 77

98 = 77 + 2177 = 3 · 21 + 1421 = 14 + 714 = 2 · 7 + 0

7 = 4 · 98 -5 · 77 = 4 · 98 -5 · (175 – 98) = 9 · 98 -5 · 1757 = 9 · 98 -5 · 175 = 9 · (273 – 175) -5 · 175 = 9 · 273 -14 · 175

7 = 9 · 273 -14 · 175 = 9 · 273 -14 · (448 – 273) = 23 · 273 -14 · 448

7 = 23 · 273 – 14 · 448 = 23 · (721 – 448) -14 · 448 = 23 · 721 -37 · 448

2.- Halla las soluciones enteras de:

a) 28x + 36y = 44

Como mcd(28,36) = 4, simplificamos la ecuación por 47x + 9y = 11

Solucionamos 7x + 9y = 1

Aplicamos Euclides:

9 = 7 + 2 7 = 3 · 2 + 1 2 = 2 · 1 + 0

Luego mcd(9,7) = 1, despejando sucesivamente:

1 = 7 – 3 · 2

1 = 7 – 3 · (9 – 7) = 4 · 7 -3 · 9

Multiplicando por 11:

11 = 44 · 7 -33 · 9

Una solución de nuestra ecuación es x = 44, y = -33


a) 28x + 36y = 44Queremos resolver: 7x + 9y = 11

Tenemos: 44 · 7 -33 · 9 = 11

Restando: 7 · (44 – x) + 9 · (-33 - y) = 0

Pasando al otro lado:

7·(44 – x) = -9 · (-33 - y)

Luego 44 – x es un múltiplo de 9:

44 – x = 9k, es decir, x = 44 – 9k

Sustituyendo7 · 9k = -9 (-33 - y)

7k = 33 + y

y = -33 +7k


b) 16x + 26y = 14



Aplicamos Euclides:

13 = 8 + 5 8 = 5 + 3 5 = 3 + 2

Luego mcd(9,7) = 1, despejando sucesivamente:1 = 3 – 2 1 = 3 – (5 - 3) = 2 · 3 -5


7 = 35 · 8 -21 · 13

Una solución de nuestra ecuación es x = 35, y = -21

3 = 2 + 1

1 = 2 · (8 - 5) – 5 = 2 · 8 -3 · 51 = 2 · 8 – 3 · (13 - 8) = 5 · 8 - 3 · 13


b) 16x + 26y = 14Queremos resolver: 8x + 13y = 7

Tenemos: 8·35 -13·21 = 7

Restando: 8·(35 – x) - 13·(21 + y) = 0


8·(35 – x) = 13·(21 + y)

Luego 35 – x es un múltiplo de 13:

35 – x = 13k, es decir, x = 35 – 13k

Sustituyendo8·13k = 13 (21 + y)

8k = 21 + y

y = -21 + 8k


c) 66x + 550y = 88



Aplicamos Euclides:

25 = 3 · 8 + 1 8 = 8 · 1 + 0

Luego mcd(8,25) = 1, despejando sucesivamente:

1 = – 3 · 8 + 25


4 = -3 · 32 + 4 · 25

Una solución de nuestra ecuación es x = -32, y = 4


c) 66x + 550y = 88Queremos resolver: 3x + 25y = 4

Tenemos: -32 x 3 + 4·25 = 4

Restando: 3·(-32 – x) + 25·(4 - y) = 0


3·(-32 – x) = -25 · (4 – y)

Luego -32 – x es un múltiplo de 25:

-32 – x = 25k, es decir, x = -32 – 25k

Sustituyendo3·25k = -25(4 – y)

3k = -4 + y

y = 4 + 3k

3.- Se dispone de un suministro ilimitado de agua y de dos cubos de 7 y 9 litros respectivamente. ¿Cómo podríamos poner exactamente 1 litro de agua en un cubo

Llamaremos: x al número de cubos de 7 litros que usaremosy al número de cubos de 9 litros que usaremos

Por tanto el agua que tendremos será: 7x + 9y

Hay que resolver 7x + 9y = 1

Usando Euclides: 9 = 7 – 27 = 3 · 2 + 1

Despejando:

1 = 7 – 3 · 2 = 7 -3 · (9 – 7) = 4 · 7 – 3 · 9

La solución es llenar 4 veces el cubo de 7 litros. Echar ese agua en algún recipiente y, después, quitar tres veces un cubo de 9.

4.- Un distribuidor de equipos informáticos efectúa un pedido de entre1000 y 1500 equipos a un fabricante. Éste se los envía en contenedorescompletos con capacidad para 68 equipos cada uno. El distribuidor losreparte a los diferentes puntos de venta en furgonetas con capacidadpara 20 equipos, quedando 32 equipos sin repartir. ¿ Cuántos equipospidió el distribuidor a la fábrica ?.

Sea x el número de contenedores que recibe

Sea y el número de furgonetas que vende

Tendremos que:

68 x = 20y + 32

Vamos a resolver esta ecuación.


68 x - 20y = 32

Simplificando por 4 17x – 5y = 8

Resolvemos 17x – 5y = 1

17 = 5·3 + 2 5 = 2·2 + 1

Despejando:

1 = 5 - 2·2 = 5 - 2·(17 - 3·5) = -2·17 + 7·5

Multiplicando por 8: 8 = -16·17 + 56·5

Una solución es x = -16, y= -56, pero esa solución no tiene sentido


Tenemos: -16·17 + 56·5 = 8

Queremos resolver 17x – 5y = 8

Restando

Pasando al otro lado:17·(16 + x) = 5·(56 + y)

Luego 16 + x es un múltiplo de 5, 16 + x = 5k

17·(-16 - x) + 5·(56 + y) = 0

x = -16 + 5k

El número de equipos es 68 ·x = 68 ·(-16 + 5k) = -1088 + 340k

Una simple inspección nos da que para k = 7 este número es 1292

5.- ¿De cuántas maneras se puede hacer un fajo de 21 billetes de 5, 10 y 20 euros por valor de 200 euros?

Sea x el número de billetes de 5 euros

El número total de billetes será x + y + z que debe de ser 21

Queremos resolver:

x + y + z = 21

5x + 10y + 20z = 200

Despejando z en la primera ecuación, z = 21 – x - y

Sea y el número de billetes de 10 euros

Sea z el número de billetes de 20 euros

El valor del fajo es 5x + 10y + 20z que debe de ser 200


5x + 10y +20(21 – x – y) = 200

5x + 10y + 420 – 20x – 20y = 200

-15x – 10y = -220

15x + 10y = 220

Simplificamos por 5

3x + 2y = 44Resolvemos 3x + 2y = 1

3 = 2 + 1, luego 1 = 3 – 2Multiplicando por 44

44 = 3·44 – 2·44

Una solución es x = 44, y = -44


44 = 3x + 2y

44 = 3·44 – 2·44Tenemos

Queremos resolver:

Restamos: 0 = 3·(x – 44) + 2·(y + 44)

Pasamos al otro término:

3·(x – 44) = -2·(y + 44)Luego x – 44 es un múltiplo de 2, x – 44 = 2k

Sustituyendo

3·2k = -2·(y + 44)

3k = -y -44y = -44 -3k

Finalmente z = z = 21 – x – y = 21 – (44 + 2k) - (-44 – 3k)

z = 21+ k


z = 21+ k

y = -44 -3k

x = 44 + 2k

Falta elegir un valor de k para el que x, y, z sean positivos

Para que x sea positivo k ≥ -22

Para que y sea positivo k ≤ -14

Para que z sea positivo k ≥ -21

Resumiendo, k debe de estar entre -21 y -14 (inclusive), por lo que hay 8 posibilidades

6.- Sean a y b dos enteros con mcd(a,b) = 1. Demostrar que:a) mcd(a + b, a) = 1

Sea p un divisor común de a+b y a que no sea compuesto:

a+b = r·p a = s·p

Restando

b = (r – s)·p

Luego p es un divisor común de a, b.

Como mcd(a,b)= 1, entonces p = 1

Luego el único divisor común de a+b y a es 1

6.- Sean a y b dos enteros con mcd(a,b) = 1. Demostrar que:b) mcd(a + b, a - b) = 1 ó 2

Sea p un divisor común de a+b y a-b que no sea compuesto:

a+b = r·p a – b = s·p

Sumando 2·a = (r + s)·p

Luego p es un divisor común de 2·a, 2·b.

Como mcd(a,b)= 1, entonces p debe dividir a 2, esto es p = 1 ó 2

Luego los únicos que pueden ser divisores comunes de a+b y a-b son 1 y 2

Restando 2·b = (r – s)·p

6.- Sean a y b dos enteros con mcd(a,b) = 1. Demostrar que:c) mcd(2a + b, a + 2b) = 1 ó 3

Sea p un divisor común de 2a + b y a + 2b que no sea compuesto:

2a + b = r·p a + 2b = s·p

Restando a la 2ª ecuación 2 veces la 1ª -3·a = (s – 2r)·p

Luego p es un divisor común de 3a, 3b.

Como mcd(a,b)= 1, entonces p debe dividir a 3, esto es p = 1 ó 3

Los posibles divisores comunes de 2a+b y a + 2b son 1 y 2

Restando a la 1ª ecuación 2 veces la 2ª -3·b = (r – 2s)·p

7.- Estudia si son ciertas la siguientes afirmaciones:a) 2m y 4m + 3 siempre son primos entre sí

Sea p un divisor común de 2m y 4m + 3 que no sea compuesto:

2m = r·p

4m + 3 = s·pRestando a la 2ª ecuación 2 veces la 1ª 3 = (s – 2r)·p

Luego p es un divisor de 3 y debe de ser 1 ó 3.

Esto se da, por ejemplo, en m = 3. En este caso:

Si p es 3, entonces 2m debe de ser múltiplo de 3.

2m = 6 4m + 3 = 15

Que no son primos entre sí.

7.- Estudia si son ciertas la siguientes afirmaciones:b) 2m + 1 y 3m + 2 siempre son primos entre sí

Sea p un divisor común de 2m y 4m + 3 que no sea compuesto:

2m + 1 = r·p

3m + 2 = s·p

Multiplicando la 1ª ecuación por 3 y restando 2 veces la 2ª ecuación

-1 = (3r – 2s)·p

Luego p es un divisor de -1 y debe de ser 1.

El único divisor posible es 1, por lo que son primos entre sí.

9.- Estudia si son primos o no los números:a) 811 b) 467 c) 911

Vamos a empezar por buscar todos los primos menores o iguales que la raíz cuadrada del mayor de ellos:

La raíz cuadrada de 911 = 30'....

Vamos a buscar los primos hasta el 30

2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Eliminamos los múltiplos de 2

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29



2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

Como 7 es mayor que la raíz de 30, hemos acabado.

Los primos hasta el 30 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29


a) Haciendo las divisiones:811 = 2·405 + 1811 = 3·270 + 1811 = 5·162 + 1811 = 7·115 + 6811 = 11·73 + 8811 = 13·62 + 5811 = 17·47 + 12811 = 19·42 + 13811 = 23·35 + 6811 = 29·27 + 28

Los números que nos dan serán primos si no son divisibles por ninguno de

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29

Luego 811 es primo


b) y c) Haciendo las divisiones nos sale que 467 y 911 son primos:

Los números que nos dan serán primos si no son divisibles por ninguno de

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29

10.- Si n es un entero positivo ninguno de los n números consecutivos empezando por (n + 1)! + 2 es primo

(n + 1)! + 2 = 2·3·4·5·6·..........·n·(n + 1) + 2

Vamos a ir escribiendo n números a partir de éste

(n + 1)! + 2 = 2·3·4·5·6·..........·n·(n + 1) + 2

No es primo porque es divisible por 2

(n + 1)! + 2 = 2·3·4·5·6·..........·n·(n + 1) + 3

No es primo porque es divisible por 3

(n + 1)! + 2 = 2·3·4·5·6·..........·n·(n + 1) + 4

No es primo porque es divisible por 4(n + 1)! + 2 = 2·3·4·5·6·..........·n·(n + 1) + 2 + (n – 1) = 2·3·4·5·6·..........·n·(n + 1) + (n + 1)

No es primo porque es divisible por n + 1

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Tema 1.- Aritmética. 1.-Usar el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de a y b y expresarlo en función de a y b para: a) a= 56,