Carlos Paredes CALCULO II

Apartado 1

Geometría de las funciones reales

de varias variables reales

TEMA 1

Cálculo Diferencial en

Varias Variables

Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

Carlos Paredes CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

MOTIVACION

Carlos Paredes

MOTIVACION

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

MOTIVACION

Papiro 1850 AC

A. Dürer 1471-1528

“Hsuan-thu”, 1200 AC

Babilonia 1800 AC

Pitágoras 569-475 AC

L. Da Vinci

452-1519

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

DEFINICION

Función real de n variables reales independientes

Supóngase un conjunto D formado por n-tuplas de números reales (x1,x2,…,xn).

Se denomina función real f sobre D a la aplicación que asigna un valor único real:

w = f(x1,x2,…,xn)

f: D IRn IR

(x1,x2,…,xn) w

para cada elemento de D.

- La w designa a la variable dependiente de las n variables independientes (x1,x2,…,xn).

DEFINICION

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

DEFINICION

Expresión explícita e implícita de una función real con n variables reales

Nº de variables fórmula fórmula Representación

Independientes explícita implícita en el espacio

1 y = f(x) F(x,y(x)) = 0 IR2

2 z = f(x,y) F(x,y,z(x,y)) = 0 IR3

3 w = f(x,y,z) F(x,y,z.w) = 0 IR4

… … … …

n y = f(x1,x2,…,xn) F(x1,x2,…,xn,y) = 0 IRn+1

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

Ejercicio

Considerado el espacio IR3 (x,y,z) de la figura marca qué funciones

encuentras en la figura e indícalas según su expresión.

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

Ecuación del plano en IR3 por un punto y la normal

Ecuación del plano en IR3 por tres puntos

Como lugar geométrico en IR3

Dado un punto fijo P0 y un vector no nulo n, un plano es el conjunto de puntos P de IR3

para los que el vector P0P es ortogonal a n:

n·(r – r0) = 0 n·r = n·r0

n = (a b c)t

r = (x y z)t (a b c)·(x0 y0 z0) = 0

r0 = (x0 y0 z0)t

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0

ax + by + cz + d = 0 ; d = ax0 + by0 + cz0

P0, Q, R

n = P0Q x P0R = (a b c); ax + by + cz + d = 0 ; d = ax0 + by0 + cz0

EL PLANO

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

Ejemplos

EL PLANO

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

Ejercicio

Considerado el espacio IR3 (x,y,z), determina el plano que pasa por:

P=(1,-2,0), Q=(3,1,4) y R=(0,-1,2)

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

Condición de paralelismo de planos en IR3

Condición de perpendicularidad de planos en IR3

EL PLANO

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

n1 = n2 = n3 = n = (a b c)t

n1 · n2 = 0

n1

n2

n3

Carlos Paredes

EL PLANO

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

2x – 3y = 6

2x – z = 6

– 3y – z = 6

Trazas de planos en IR3

La traza de un plano es el conjunto de puntos que constituyen la intersección de éste plano

con un plano paralelo a algún plano coordenado.

Las trazas en los planos coordenados se obtienen mediante:

traza con OXY haciendo z = 0

traza con OXZ haciendo y = 0

traza con OYZ haciendo x = 0

Sea el plano: 2x -3y –z = 6

traza con OXY: 2x – 3y = 6

traza con OXZ: 2x – z = 6

traza con OYZ: -3y – z = 6

Carlos Paredes

EL PLANO

Representación de planos en IR3

A partir de la ecuación normal de un plano:

ax + by + cz + d = 0

Se calculan las traza del plano en los planos coordenados:

traza con OXY haciendo z = 0

ax + by + d = 0

traza con OXZ haciendo y = 0

ax + cz + d = 0

traza con OYZ haciendo x = 0

by + cz + d = 0

Se dibujan las trazas a partir de los puntos de intersección de éstas con los ejes cartesianos:

traza con OXY: OX x = -d/a OY y = -d/b

traza con OXZ: OX x = -d/a OZ z = -d/c

traza con OYZ OY x = -d/b OZ z = -d/c

Nota: no todos los planos intersectan con los ejes cartesianos – variable de coeficiente nulo

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Z

Y

X

O

x = -d/a

y = -d/b

z = -d/c

Carlos Paredes

EL PLANO

Ejemplo

A partir de la ecuación normal de un plano: 3x + 2y + 4z - 12 = 0

Planos paralelos a ejes cartesianos:

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

Distancias en IR3

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Recordatorio

Carlos Paredes

Distancias en IR3

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Recordatorio

Carlos Paredes

DEFINICION

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Trazas de superficies en IR3

En general, la traza de una superficie es el conjunto de puntos que constituyen

la intersección de ésta superficie con un plano paralelo a algún plano coordenado.

Las trazas en los planos coordenados se denominan:

traza-xy (OXY) cuando z = 0

traza-xz (OXZ) cuando y = 0

traza-yz (OYZ) cuando x = 0

Carlos Paredes

Ejercicio

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Considerado el espacio IR3 (x,y,z), la ecuación de la traza de la función

Intenta esbozar el aspecto de la función z(x,y) para z > 0 mediante

sus trazas con los planos cartesianos OXY, OXZ, OYZ.

z = (16 – 4x2 – y2)1/2

Carlos Paredes

Como lugar geométrico

En general un cilindro se describe a partir de:

una curva C en un plano P, directriz

una línea l que no se encuentra en P, generatriz

El cilindro es la superficie formada por todas las líneas paralelas a l que se apoyan en C

CILINDROS

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Curva C

Las líneas paralelas a l

sobre C describen el

cilindro

Líneas l fuera de P

Carlos Paredes

CILINDROS

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Representación de cilindros en IR3

La ecuación de un cilindro cuyas generatrices son paralelas

a uno de los ejes coordenados contiene solo aquellas variables

que corresponden a los otros dos ejes.

Carlos Paredes

ELIPSOIDES

Como lugar geométrico

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

PARABOLOIDES

Como lugar geométrico

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

HIPERBOLOIDE 1H

Como lugar geométrico

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

Como lugar geométrico

HIPERBOLOIDE 2H

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

PARABOLOIDE HIP

Como lugar geométrico

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

CONOS

Como lugar geométrico

A partir de un hiperboloide de una hoja:

A partir de un hiperboloide de dos hojas:

Carlos Paredes

RESUMEN

Cuádricas

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

RESUMEN

Cuádricas

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Ejercicio

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Considerado el espacio IR3 (x,y,z), identifica las funciones representadas

con las ecuaciones indicadas.

044)6(

94)5(

415415)4(

044)3(

444)2(

19169

)1(

22

222

222

22

222

222

zyx

zxy

zyx

zyx

zyx

zyx

Ejercicio

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Considerado el espacio IR3 (x,y,z), determina las trazas para las

funciones representadas con las ecuaciones indicadas.

416

22 yxz

194

222

zyx

Carlos Paredes

DEFINICION

Dominio y rango de una función real de dos variables reales

Supóngase un conjunto D formado por pares ordenados de números reales (x1,x2).

Se denomina función real f sobre D a la aplicación que asigna un valor único real:

w = f(x1,x2)

f: D IR2 R IR

(x1,x2) w

para cada elemento de D.

- La w designa a la variable dependiente de

las 2 variables independientes (x1,x2).

- El conjunto D es el dominio de f

- El conjunto R es el rango de f

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

DEFINICION

Evaluación de una función real de dos variables reales

Al igual que las funciones reales de variable real y = f(x), las funciones z = f(x,y)

pueden representarse para un conjunto de puntos (x,y) de IR2 calculando el valor

de z según la expresión de f para (x,y).

A esta operación se denomina evaluación de una función en un punto.

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

DEFINICION

Ejemplo

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Ejercicio

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Evaluar el dominio de las siguientes funciones de dos variables

Carlos Paredes

REPRESENTACION

Curvas de nivel y de contorno de una función real de dos variables reales

Se denomina curva de nivel al conjunto de puntos (x,y) de IR2

para los que una función real de 2 variables reales f(x,y) tiene un valor constante c tal:

f(x,y) = c

Se denomina curva de contorno al conjunto de puntos (x,y,z) de IR3

Para los que una función real de 2 variables reales f(x,y) tiene un valor constante c y:

z = f(x,y) = c

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

REPRESENTACION

Curvas de nivel y de contorno: interpretación

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Variación suave

Variación brusca

Carlos Paredes

REPRESENTACION

Curvas de nivel y de contorno: ejemplos

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

Ejercicio

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Considerado el espacio IR3 (x,y,z), identifica las funciones representadas

Con sus curvas de nivel y su ecuación.

Carlos Paredes

2

3 4

1

Carlos Paredes

DEFINICION

Dominio y rango de una función real de n variables reales

Supóngase un conjunto D formado por n-tuplas ordenadas de números reales (x1,x2,…,xn).

Se denomina función real f sobre D a la aplicación que asigna un valor único real:

w = f(x1,x2,…,xn)

f: D IRn R IR

(x1,x2,…,xn) w

para cada elemento de D.

- La w designa a la variable dependiente de

las n variables independientes (x1,x2,…,xn).

- El conjunto D es el dominio de f

- El conjunto R es el rango de f

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Dominio

Rango

w=f(x0,y0,z0)

w

IR3

Carlos Paredes

REPRESENTACION

Superficies de nivel de una función real de n variables reales

Se denomina superficie de nivel al conjunto de puntos de IRn

para los que una función real de n variables reales tiene un valor constante:

f(x1,x2,…,xn) = c

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

f(x,y,z) = x2+y2-z2

Carlos Paredes

REPRESENTACION

Superficies de nivel: ejemplos

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

RESUMEN

Representación de una función real de dos variables reales

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes

RESUMEN

Representación de una función real de dos variables reales

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Meteo:

Isotermas

Isobaras

Isoyeta

Topo:

Isohipsa

Isopacas

Geofisica:

Isosista

…