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Tema 1. Campo gravitatorio Física

2º de Bachillerato

Cristina Fernández Sánchez www.nikateleco.es - [email protected]

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Tema 1. Campo gravitatorio

1. Ley de gravitación universal 1.1 Características de las fuerzas gravitatorias 1.2 Principio de superposición

2. Campo gravitatorio 2.1 Intensidad de campo gravitatorio 2.2 Representación del campo gravitatorio

3. Carácter conservativo del campo gravitatorio. Estudio energético de la interacción gravitatoria

3.1 Energía potencial 3.2 Potencial gravitatorio

3.2.1 Superficies equipotenciales 3.3 Trabajo y diferencia de potencial

4. Aplicaciones 4.1 Peso de los cuerpos 4.2 Velocidad orbital y periodo de revolución 4.3 Velocidad de escape 4.4 Energía mecánica de un satélite en su órbita 4.5 Velocidad necesaria para poner un objeto en órbita 4.6 Energía o trabajo necesario para poner un objeto en órbita 4.7 Energía para cambiar de órbita de un satélite


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OBJETIVOS DIDÁCTICOS (basados en CE)

• Asociarelcampogravitatorioa laexistenciademasaycaracterizarloporlaintensidaddelcampoyelpotencial.

• Reconocerel carácterconservativodelcampogravitatoriopor su relacióncon una fuerza central y asociarle en consecuencia un potencialgravitatorio.

• Interpretar lasvariacionesdeenergíapotencial yel signode lamismaenfuncióndelorigendecoordenadasenergéticaselegido.

• Justificarlasvariacionesenergéticasdeuncuerpoenmovimientoenelsenodecamposgravitatorios.

• Relacionarel movimientoorbitalde uncuerpocon el radio de la órbitaylamasageneradoradelcampo.

• Conocerla importanciade los satélitesartificiales de comunicaciones,GPSymeteorológicosylascaracterísticasdesusórbitas.

• Interpretar el caos determinista en el contexto de la interaccióngravitatoria.

• Conocer,utilizaryaplicarlasTICen elestudiodelosfenómenosfísicos. CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y RELACIÓN CON LAS COMPETENCIAS CLAVE CE 2.1.Asociarelcampogravitatorioalaexistenciademasaycaracterizarloporlaintensidaddelcampoyelpotencial.CMCT,CAA.CE 2.2.Reconocerelcarácterconservativodelcampogravitatorioporsurelaciónconunafuerzacentralyasociarleenconsecuenciaunpotencialgravitatorio.CMCT,CAA.CE 2.3. Interpretarlasvariacionesdeenergíapotencialyelsignodelamismaenfuncióndelorigendecoordenadaselegido.CMCT,CAA.CE 2.4. Justificar las variaciones energéticas de un cuerpo enmovimiento en elsenodecamposgravitatorios.CCL,CMCT,CAA.CE 2.5.Relacionarelmovimientoorbitaldeuncuerpoconelradiodelaórbitaylamasageneradoradelcampo.CE 2.6.Conocerlaimportanciadelossatélitesartificialesdecomunicaciones,GPSymeteorológicosylascaracterísticasdesusórbitas.CSC,CEC.CE 2.7. Interpretar el caos determinista en el contexto de la interaccióngravitatoria.CMCT,CAA,CCL,CSC.


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1. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Keplerestaba convencido de que la causa delmovimiento planetario era

unafuerzadeatracciónqueproveníadelSol,peromuriósinllegaraconclusionesdefinitivas sobre su naturaleza. En 1687, Isaac Newton publicó PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica(Principiosmatemáticosdefilosofíanatural).Enel tercerode los tomosdescribióel sistemasolar resolviendoelproblemadeKepleratravésdesuLeydegravitaciónuniversal:

Dos cuerpos cualesquiera del Universo se atraen mutuamente con una fuerzadirectamenteproporcionalalproductodesusmasaseinversamenteproporcionalalcuadradodeladistanciaqueexisteentresuscentros.

𝑭𝟏𝟐""""""⃗ = −𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐

𝒓𝟏𝟐𝟐𝒓𝟏𝟐) = −𝑭𝟐𝟏""""""⃗ [𝑁]

donde:

• Gsellamaconstantedegravitaciónuniversalysuvalorfuedeterminadoexperimentalmente por Henry Cavendish en 1978, 𝐺 = 6,67 ·10#$$𝑁𝑚%/𝑘𝑔%(sediceuniversalporqueesindependientedeloscuerposqueseatraenydelmedioenqueseencuentren)

• r es la distancia de separación de las masas (si las masas no sonpuntuales,rsetomadecentroacentro)

• elsignomenosindicaquelasfuerzasgravitatoriassonatractivas 1.1 Características de las fuerzas gravitatorias

• Lafuerzaestádirigidaalolargodelarectadeunióndelasmasas• Lafuerzaessiempreatractiva• Sonfuerzasadistancia• Siempresepresentanapares,comoafirmaelprincipiodeacciónyreacción.

Estoes,lasfuerzas𝐹$%"""""⃗ y𝐹%$""""""⃗ tienenigualmóduloydirección,perosentidosopuestos.

• ElvalordeGestanpequeñoque,amenosquealgunadelasmasasseamuygrande,lafuerzadeatracciónesinapreciable.

• Sonfuerzasconservativas

!! !"""! "!"

#


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1.2 Principio de superposición Sitenemosmásdeunamasapuntualactuandosobreunadada,elPrincipiodeSuperposiciónnosdicequelafuerzatotalsobreesamasaserálasumadelasqueejercencadaunadelasmasas𝑚& queactúansobreellaporseparado.

𝑭𝑻""""⃗ = :𝑭("""⃗𝑵

𝒋+𝒊

Cabe decir que este principio podrá ser empleado también para otrasmagnitudesdefinidasalolargodeltema:intensidaddecampogravitatorio,energíapotencialypotencialgravitatorio. 2. CAMPO GRAVITATORIO Las fuerzas a distancia son aquellas a las que se ven sometidas laspartículas por acción de otra partícula. Para poder explicar esta interacción,Michael Faraday introdujo el concepto de campo: el campo gravitatorio estádefinidocomolaregióndelespacioendondeactúanlasfuerzasgravitatorias;eslaperturbaciónqueun cuerpoproduce en el espacioque le rodeapor el hechodetenermasa. Cadapartículaproduce,alrededordeella,sucampocorrespondiente,elcualactúasobreunasegundapartículaque,asuvez,originatambiénsupropiocampo.Estecampo,alactuarsobrelaprimera,originalainteracciónmutuamenteentrelasdospartículas. Si ese campo lo crea laTierra sehabladecampogravitatorio terrestre.Dicho campo sedenominará además central pues siempre estádirigidohacia elpuntodondeseencuentralamasaquelocrea(enestecasoTierra). 2.1 Intensidad de campo gravitatorio Es la fuerzaqueejerce el campogravitatorio terrestre sobre launidaddemasacolocadaaunaalturahdesusuperficie(𝑅- = 6370𝑘𝑚,𝑀- = 5,97 · 10%.𝑘𝑔):

𝒈""⃗ =𝑭𝒈"""""⃗𝒎 → 𝒈""⃗ = −𝑮

𝑴𝑻

𝒓𝟐 = −𝑮𝑴𝑻

(𝑹𝑻 + 𝒉)𝟐𝒓H[𝑁/𝑘𝑔]

Se dirige siempre hacia la partícula que crea el campo. Sobre la superficie de laTierra(ℎ = 0)tieneunvalor(enmódulo)de:

𝑔0 = 𝐺𝑀-

(𝑅- + 0)%= 𝐺

𝑀-

𝑅-%= 9,8𝑚/𝑠%


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elcualdisminuyealaumentarlaaltura,segúnlarelación:

𝑔𝑔0=𝐺 𝑀-(𝑅- + ℎ)%

𝐺 𝑀-𝑅-%

=

1(𝑅- + ℎ)%

1𝑅-%

=𝑅-%

(𝑅- + ℎ)%= L

𝑅-𝑅- + ℎ

M%

𝒈 = 𝒈𝟎 L𝑹𝑻

𝑹𝑻 + 𝒉M𝟐

Obtenido�⃗�,simepidencalcularlafuerzasobreunamasahago:

𝑭𝒈"""""⃗ = 𝒎 · 𝒈""⃗ 2.2 Representación del campo gravitatorio Se hace a través líneas que indiquen sudirecciónysentido.Encualquierpuntodelespacio,elvector�⃗�estangentealaslíneasdecampogravitatorio,lascualessedibujansiguiendolasreglassiguientes:

• Tienensentidohacialamasa• Sedibujanuniformementeespaciadas• Elnúmerodelíneasesproporcionalalvalorde

lamasa• Ladensidaddelíneasenunazonadelespacioes

proporcionalalaintensidaddelcampoendichopunto. Es decir, el �⃗� esmás intenso donde laslíneasestánmáspróximas.

• Doslíneasnopuedencortarsenunca 3. CARÁCTER CONSERVATIVO DEL CAMPO GRAVITATORIO. ESTUDIO ENERGÉTICO DE LA INTERACCIÓN GRAVITATORIA

Recordando la definición de fuerza conservativa, en gravitación eltrabajo𝑊2→4 realizadoporlafuerzagravitatorianodependedelcaminoseguidoporlamasasinosólodelospuntosfinaleinicial.

La característica esencial para las fuerzas conservativas es que solo para

ellasesposibleasociarunaenergíapotencial. 3.1 Energía potencial


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La energía potencial gravitatoria terrestre es el trabajo que realiza elcampogravitatoriode laTierracuandose traslada lamasamdesdeunaalturahhastaelinfinito1.Sufórmulagenerales:

𝑬𝑷 = −𝑮𝑴𝑻𝒎𝒓 = −𝑮

𝑴𝑻𝒎𝑹𝑻 + 𝒉

[𝐽]

Suorigenesarbitrario,puessolotienensentidofísicolasvariacionesde𝐸6 .Simellevoestaexpresiónaladetrabajoasociadoalasfuerzasconservativas(Tema0):

𝑊2→4 = −∆𝐸6 = −(𝐸64 − 𝐸62) = 𝐸62 − 𝐸64 =

= −𝐺𝑀-𝑚1𝑟2− L−𝐺𝑀-𝑚

1𝑟4M = 𝐺𝑀-𝑚

1𝑟4− 𝐺𝑀-𝑚

1𝑟2

𝑾𝑨→𝑩 > 𝟎 →𝑬𝑷𝑨 > 𝑬𝑷𝑩 𝑾𝑨→𝑩 < 𝟎 →𝑬𝑷𝑨 < 𝑬𝑷𝑩

Lamasamsedesplazaporaccióndelasfuerzasdelcampogravitatorio

Lamasamsedesplazaporaccióndeunafuerzaexterioralcampogravitatorio

Lamasamdisminuyesuenergíapotencialgravitatoriaconladistancia

Lamasamaumentasuenergíapotencialgravitatoriaconladistancia

Estoocurrecuandoseacercandosmasas

Estoocurrecuandoseseparandosmasas

Esunprocesoespontáneo Esunprocesonoespontáneo

3.2 Potencial gravitatorio El potencial gravitatorio proporciona el trabajo cuando se traslada launidaddemasa(1kg)desdeunpuntoalinfinito:

𝑽 =𝑬𝑷𝒎 → 𝑽 = −𝑮

𝑴𝑹𝑻 + 𝒉

[𝐽/𝑘𝑔]

Obtenido𝑉,simepidencalcularlaenergíapotencialdeunamasahago:

𝑬𝑷 = 𝒎 · 𝑽 3.2.1 Superficies equipotenciales

1 En el infinito la masa está lo suficientemente alejada para que no se sientan los efectosgravitatoriosdelamasadelatierra


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Para terminar este apartado, señalar que lassuperficies equipotenciales son superficies formadaspor puntos de igual potencial. Como los puntos a igualdistanciadelamasatienenigualpotencial,lassuperficiesequipotenciales serán esferas concéntricas y, además,perpendiculares a las líneas de fuerza del campogravitatorio.

Eltrabajorealizadoporelcampogravitatorioparatrasladar unamasa desde un punto a otro de lamismasuperficieesnulo. 3.3 Trabajo y diferencia de potencial

El trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la unidad demasadeunpuntoAaunpuntoBes:

𝑾𝑨→𝑩

𝒎 =−(𝐸64 − 𝐸62)

𝑚 =𝐸62𝑚 −

𝐸64𝑚 = 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩

Sienlugardelaunidaddemasasetrasladaunamasa𝑚delpuntoAalB:

𝑾𝑨→𝑩 = 𝒎(𝑽𝑨 − 𝑽𝑩) 4. APLICACIONES 4.1 Peso de los cuerpos EslafuerzaconlaquelaTierraatraeaesecuerpo:𝒑""⃗ = 𝒎 · 𝒈""⃗ Aquí se demuestra el por qué �⃗� se conoce como aceleración de la gravedad(bastaconcompararlaexpresiónconlasegundaleydeNewton�⃗� = 𝑚�⃗�).Elpesopuede:

• Hacercaerelobjetosobrelasuperficieterrestre.• Mantener un objeto o satélite en órbita alrededor de la Tierra. Aquí, el

peso actúa como fuerza centrípeta (imprescindible para describir unaórbitacerrada)

OJO:

• Masa es una magnitud escalar propia de cada cuerpo que indica laresistenciaqueesteofreceaseracelerado.EsunaconstanteindependientedellugarenqueseencuentreelcuerpoysemideenkgenelSI.

• Peso es una magnitud vectorial cuyo valor depende del lugar donde seencuentreelcuerpo:disminuyealaumentarladistanciaalasuperficiedelaTierrayesdiferenteencadaplaneta/satélite.SuunidadenelSIeselN.


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4.2 Velocidad orbital y periodo de revolución ParaqueunsatélitegireenunaórbitacircularalrededordelaTierradebeestar sometido a una fuerza centrípeta. Dicha fuerza la suministra la atraccióngravitatoriaterrestre,demodoquelavelocidadlinealconquegiravienede:

𝐹9 = 𝐹: → 𝐺𝑚𝑀-

𝑅0%= 𝑚𝑎: = 𝑚

𝑣%

𝑅0→ 𝒗 = ^

𝑮𝑴𝑻

𝑹𝟎

donde𝑀- y𝑚representanlamasadelaTierrayladelsatélite,respectivamente,y𝑅0 = 𝑅- + ℎeselradiodelaórbita.Serámenorcuantomayorsea𝑅0.Elperiododerevoluciónvienedadopor:

𝑣 = 𝜔𝑅0 =2𝜋𝑇 𝑅0 → 𝑻 =

𝟐𝝅𝑹𝟎𝒗 = 𝟐𝝅^

𝑹𝟎𝟑

𝑮𝑴𝑻

OJO: un satélite geoestacionario es el que gira alrededor de la Tierra con unperiodoigualalderotacióndeesta(24h).Por lotanto,permanecesiempreenlamismaposiciónrespectodelaTierra.Suórbitadebedeestarsituadaenelplanodelecuadorterrestre. 4.3 Velocidad de escape Es lavelocidadmínimanecesariaparaqueuncuerpopuedaabandonarelcampogravitatoriodondeseencuentrayalejarse indefinidamentedelplaneta.Elcálculo de esta velocidad puede hacerse recurriendo a la conservación de laenergíamecánica,yaquenosmovemosbajounafuerzaconservativa.Teniendoencuentaqueseconsideraqueuncuerpoescapadelaórbitadeunplanetacuando:

• llegaaunadistanciainfinitadelplaneta(𝐸6< = 0)• llegaconvelocidadnula(𝐸=< = 0)

𝐸>0 = 𝐸>< → 𝐸=0 + 𝐸60 = 𝐸=< + 𝐸6<

12𝑚𝑣?

% − 𝐺𝑚𝑀-

𝑅- + ℎ= 0 → 𝒗𝒆 ≥ ^

𝟐𝑮𝑴𝑻

𝑹𝑻 + 𝒉

Porejemplo,𝑣?_B?CDE = 10,3𝑘𝑚/𝑠, 𝑣?_-F?GGH = 11,2𝑘𝑚/𝑠, 𝑣?_>HGI? = 5𝑘𝑚/𝑠. 4.4 Energía mecánica de un satélite en su órbita Si el satélite describe una órbita circular estará sometido a una fuerzacentrípeta(𝐹: = 𝑚 · 𝑎C)originadaporlaaccióngravitatoriadelaTierrasobreél:


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𝐹9 = 𝐹: → 𝐺𝑚𝑀-

𝑅J%= 𝑚

𝑣%

𝑅J→ 𝑣% = 𝐺

𝑀-

𝑅J

dedondesededucequelaenergíacinéticadelsatélitees:

𝐸= =12𝑚𝑣

% =12𝐺

𝑚𝑀-

𝑅J

Entonces:

𝐸> = 𝐸6 + 𝐸= = −𝐺𝑚𝑀-

𝑅J+12𝐺

𝑚𝑀-

𝑅J→ 𝑬𝑴 = −

𝟏𝟐𝑮

𝒎𝑴𝑻

𝑹𝑶

El signo negativo de la EM indica que está atrapado dentro del campogravitatorioterrestre.Situvierasignopositivorepresentaríauncuerpolibredelaaccióngravitatoriaterrestre(suórbitaesabierta). 4.5 Velocidad necesaria para poner un objeto en órbita

Supongamos que se lanza un satélite desde la superficie de la Tierra(posición1)hastaalcanzarunaórbitadeterminada(posición2).Si:

• aplicamoslaconservacióndelaenergíamecánica• teniendoencuentaqueenlaposición2secumpleque𝐹9 = 𝐹: y𝑣%% = 𝐺 >!

M"#

𝐸>$ = 𝐸>% → 𝐸6$ + 𝐸=$ = 𝐸6% + 𝐸=%

−𝐺𝑚𝑀-

𝑅-+12𝑚𝑣$

% = −𝐺𝑚𝑀-

𝑅J%+12𝑚𝑣%

%

−𝐺𝑀-

𝑅-+12𝑣$

% = −𝐺𝑀-

𝑅J%+12𝐺

𝑀-

𝑅J%→ −𝐺

𝑀-

𝑅-+12𝑣$

% = −12𝐺

𝑀-

𝑅J%

12 𝑣$

% = −12𝐺

𝑀-

𝑅J%+ 𝐺

𝑀-

𝑅-→

12 𝑣$

% = 𝐺𝑀- L1𝑅-

−1

2𝑅J%M

𝒗𝟏 = ^𝟐𝑮𝑴𝑻 L𝟏𝑹𝑻

−𝟏

𝟐𝑹𝑶𝟐M

4.6 Energía o trabajo necesario para poner un objeto en órbita Delasexplicacionesanteriores:


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𝐸>$ = 𝐸6$ = −𝐺𝑚𝑀-

𝑅-𝐸>% = 𝐸6% + 𝐸=% = −

12𝐺

𝑚𝑀-

𝑅J

queda:

𝑊C?: = Δ𝐸> = 𝐸>% − 𝐸>$ = −12𝐺

𝑚𝑀-

𝑅J− L−𝐺

𝑚𝑀-

𝑅-M = −

12𝐺

𝑚𝑀-

𝑅J+ 𝐺

𝑚𝑀-

𝑅-

𝑾𝒏𝒆𝒄 = 𝚫𝑬𝑴 = 𝑮𝒎𝑴𝑻 L𝟏𝑹𝑻

−𝟏𝟐𝑹𝑶

M

4.7 Energía para cambiar de órbita de un satélite Sielsatélitepasadesdeunaórbitaaotraderadiomayor(𝑅FCF:FHP < 𝑅<FCHP)necesitaunaenergíacalculadapor:

𝑊C?: = Δ𝐸> = 𝐸><FCHP − 𝐸>FCF:FHP → 𝚫𝑬𝑴 =𝟏𝟐𝑮𝒎𝑴𝑻 k

𝟏𝑹𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍

−𝟏

𝑹𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍l

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