Tema 1 - Definiciones y Propiedades de Los Fluidos

7/25/2019 Tema 1 - Definiciones y Propiedades de Los Fluidos

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LECCIN 1: DEFINICIONES Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

1.1 Medios continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 1

1.2 Slidos y fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 1

1.3 Homogeneidad e isotropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 1

1.4 Sistema de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 2

1.5 Densidad y peso especfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 2

1.6 Compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 3

1.7 Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 6

1.8 Tensin superficial y capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - 9


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LECCIN 1: DEFINICIONES Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

1.1 Medios continuos

Un medio continuo es aqul en que las propiedades varan de forma continua en el

espacio. Estrictamente hablando, los medios continuos no existen en la naturaleza pues, a laescala molecular, la materia es evidentemente discontinua. Sin embargo, la hiptesis de

continuidad es muy til para representar de forma matemticamente tratable el

comportamiento de la materia sin introducir errores apreciables en la gran mayora de los

casos. Por consiguiente, es corriente suponer que tanto los fluidos como los slidos son

medios continuos y que podemos estudiarlos haciendo uso de las herramientas del clculo

infinitesimal.

Para poder considerar la materia como un medio continuo, es claro que deben tratarse

slo volmenes que sean grandes comparados con el volumen molecular. Es decir, el

elemento mnimo de volumen que puede considerarse debe contener un gran nmero demolculas. Paradjicamente, el tratamiento matemtico de medios continuos se basa en la

utilizacin de elementos infinitesimales de volumen. Para resolver esa paradoja, lo que se

hace es tratar a estos elementos infinitesimales como si se comportaran igual que los

elementos macroscpicos que observamos.

1.2 Slidos y fluidos

En nuestro entorno, la materia se presenta principalmente en tres estados: slido,

lquido y gaseoso. Los dos ltimos se conocen como estados fluidos. El slido y el fluido, a

nuestros efectos, se diferencian por su distinto comportamiento frente a esfuerzos cortantes.

Esfuerzos cortantes son los dirigidos paralelamente al plano en que actan, como veremos enms detalle en la leccin 3. Un fluido es un medio que se deforma continuamente si se ve

sometido a esfuerzos cortantes, por pequeos que stos sean. Sin embargo, un slido puede

permanecer en equilibrio esttico cuando est sometido a esfuerzos cortantes si stos son los

suficientemente pequeos.

Conviene notar que la naturaleza es compleja y que existen materias (ciertas pinturas,

lodos, polmeros, etc) que no son fciles de clasificar de acuerdo con la definicin precedente.

A pesar de ello, se mantendr la definicin anterior a efectos del presente curso.

Como ya se ha dicho antes, los fluidos pueden ser lquidos y gases. Los ltimos sonmucho ms compresibles que los primeros. Las ecuaciones que gobiernan su comportamiento

son bsicamente las mismas en ambos casos; la compresibilidad es precisamente el factor

diferenciador ms importante en cuanto al comportamiento.

1.3 Homogeneidad e isotropa

Un medio es homogneo si sus propiedades no varan en el espacio. Son por tanto

idnticas en todos los puntos del medio.

Un medio es istropo si sus propiedades son independientes de la direccin del

espacio considerada. No hay direcciones preferenciales en el medio.


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Si la resistividad trmica es mayor en la direccin vertical que en la horizontal, el

medio es anistropo. Puede, sin embargo, ser homogneo si tanto la resistividad trmica

vertical como la horizontal son independientes del punto considerado.

Si la resistividad trmica vara de un punto a otro, el medio no es homogneo. Pero

puede ser istropo si, en cada punto, la resistividad trmica es la misma en todas las

direcciones espaciales.

En la naturaleza, ningn medio es absolutamente homogneo e istropo, aunque hay

muchos que se aproximan bastante a este comportamiento. Los fluidos, en particular, suelen

aproximarse

mucho

a

estas

caractersticas. En

este

curso

slo

se tratarn medios

homogneos e istropos, aunque se incluir ocasionalmente algn comentario sobre otros

comportamientos.

1.4 Sistemas de unidades

An sobreviven en el mundo mltiples sistemas de unidades: cegesimal, Giorgi,

tcnico, imperial, ingls, americano, etc. Esto se presta a un confusionismo intil. En este

curso nos ceiremos al Sistema Internacional, adoptado como estndar en la gran mayora de

los pases y en particular en Espaa.

En mecnica no hay ms que tres magnitudes fundamentales, cuyas unidades en el

Sistema Internacional son:

masa . . . . . kg

longitud . . . m

tiempo . . . . s

Las dems unidades son combinaciones de stas. As, por ejemplo, la unidad de fuerza

es el Newton = kg m/s2; la de presin es el Pascal = N/m

2; etc.

1.5 Densidad y peso especfico

Densidad es la masa de la unidad de volumen. La designaremos por medio del

smbolo . El agua destilada, en condiciones normales de presin y temperatura, tiene unadensidad = 1000 kg/m

3.

Formalmente, la densidad en un punto se define como el lmite:

dV

dm

V

mlim

0V=

=

. . . . . . . . . . . . . . . (1)


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Ya aqu resulta evidente la necesidad de la hiptesis de continuo para poder hacer uso

del clculo infinitesimal. Este tipo de definicin es necesaria para poder hablar de la densidad

en un punto de un medio en el que la densidad vara de un punto a otro.

El peso especfico es el peso de la unidad de volumen. Lo designamos por . El agua

destilada en condiciones normales tiene un peso especfico = 9800 N/m3. Evidentemente se

verifica la relacin:

= g . . . . . . . . . . . . . . . (2)

donde g es la aceleracin de la gravedad.

1.6 Compresibilidad

Aunque todo esto se ver en detalle ms adelante, conviene recordar aqu que

llamamos tensiones o esfuerzos a las fuerzas por unidad de superficie presentes en el interior

de un medio. La parte de esta fuerza (siempre por unidad de superficie) que acta

perpendicularmente a la superficie, es la tensin normal; la que acta paralelamente a la

superficie es la tensin cortante. Una presin es una tensin normal idntica en todas las

direcciones. Por convenio, en mecnica de fluidos la presin es positiva cuando es de

compresin y negativa cuando es de traccin. Por el contrario, en mecnica de slidos, y en

general mecnica de continuos, suelen considerarse positivas las tracciones y negativas las

compresiones, tanto en esfuerzos como en deformaciones.

Si un fluido se ve sometido a una presin positiva (compresin), su volumen tiende a

disminuir. Se denomina compresibilidad el cambio de volumen por unidad de volumen

producido por una presin unitaria. Designaremos la compresibilidad por y su definicin

formal es:

dp

V/dV

p

V/Vlim

0p=

=

. . . . . . . . . . . . . . . . (3)

donde V es el volumen y p es la presin

El signo negativo tiene la funcin de hacer que la compresibilidad sea positiva. Una

presin de compresin (signo +) tiende a disminuir el volumen (signo ), lo que hace que su

cociente sea negativo.

En general, la compresibilidad de los lquidos es muy baja: cambian poco de volumen

al variar la presin. De hecho, en la mayor parte de las aplicaciones prcticas puede

despreciarse su compresibilidad. Los gases, por el contrario, presentan generalmente una alta

compresibilidad, lo que en general no puede despreciarse en los clculos.


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El inverso de la compresibilidad se denomina mdulo de elasticidad volumtrico, que

designaremos por K:

=

1

K . . . . . . . . . . . . . . . . (4)

La conservacin de la masa puede expresarse:

V = constante . . . . . . . . . . . . . . . . (5)

que, diferenciada, da:

dV + V d = 0

=

d

V

dV . . . . . . . . . . . . . . . . (6)

En trminos menos matemticos, la conservacin de la masa implica que los cambios

unitarios de volumen y densidad son iguales y de signo contrario. Esto permite proporcionaruna segunda expresin para la compresibilidad sin ms que sustituir (6) en (3):

dp

/d = . . . . . . . . . . . . . . . . (7)

En los lquidos, poco compresibles, es aproximadamente constante en el intervalo

de utilizacin prctica. Puede entonces integrarse (7):

(

p

p0) = ln . . . . . . . . . . . . . . . . (8)

0

o bien:

= 0 e( p p0) . . . . . . . . . . . . . . . . (9)


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que representa la ecuacin de estado de los lquidos. Como, adems, suele ser pequeo en

stos, es frecuente hacer una simplificacin, despreciando trminos de orden superior en el

desarrollo en serie, lo que da lugar a:

= 0[1 + (pp0)] . . . . . . . . . . . . . . . . (10)

La compresibilidad de un gas puede siempre deducirse de su ecuacin de estado si

conocemos el camino trmico. La ecuacin de estado del gas ser de la forma:

= f(p

,T

) . . . . . . . . . . . . . . . . (11)

Por ejemplo, para gases perfectos, la ecuacin de estado puede escribirse:

pV = R

T . . . . . . . . . . . . . . . . (12)

donde R es la constante de los gases.

Puesto que la masa m = V se conserva, la ecuacin (12) puede escribirse:

p = cte . . . . . . . . . . . . . . . . (13)T

Si el cambio de presin se realiza en un proceso isotrmico, T = cte y por lo tanto:

p = cte . . . . . . . . . . . . . . . . (14)


dp p d = 0

2

dp = p d


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d/ 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . (15)

dp p

Como podemos ver en la ecuacin (7), este ltimo resultado proporciona la

compresibilidad isotrmica del gas:

1= . . . . . . . . . . . . . . . . (16)

p

Anlogamente, si el cambio de presin ocurre en un proceso adiabtico:

p Vn

= cte . . . . . . . . . . . . . . . . (17)

o, idnticamente:

p = cte . . . . . . . . . . . . . . . . (18)

n


ndp p

n p

n-1d

= 0

2n

dp pn d

= 0

n

n+1

d/

1

= = . . . . . . . . . . . . . . . . (19)dp pn

Una vez ms hemos obtenido la compresibilidad, ahora para un proceso adiabtico.Para otros caminos trmicos, procederamos de forma anloga.

1.7 Viscosidad

La viscosidad es la propiedad ms caracterstica de los fluidos. Por definicin, si un

fluido no est movindose no puede tener tensiones tangenciales o cortantes. Si se le somete


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a dichos esfuerzos, no permanecer inmvil sino que fluir. La viscosidad mide la relacin

entre el esfuerzo cortante aplicado y la velocidad de deformacin resultante. Es interesante

notar que esta relacin se mantiene como una relacin de proporcionalidad para la mayor

parte de los fluidos, tanto lquidos como gases, a pesar de sus diversos estados de agregacin

y la distinta naturaleza y mecanismos de generacin de sus fuerzas internas.

Fig. 1.1 Distribucin de velocidades entre planos paralelos

Si se consideran dos planos muy prximos y paralelos con una capa delgada de fluido

entre ellos (fig. 1.1), se observa experimentalmente que, para muchos fluidos, existe una

relacin de proporcionalidad entre el cortante aplicado y la velocidad de deformacin dv/dy

resultante:

dv = . . . . . . . . . . . . . . . . (20)

dy

dondees el esfuerzo cortante aplicado

v es la velocidad del fluido

y es la coordenada normal a los planos

La constante de proporcionalidad es la viscosidad dinmica, que puede, por tanto,

definirse como:

= . . . . . . . . . . . . . . . . (21)

dv/

dy

La derivada dv/dy es la velocidad de deformacin, concepto que quedar ms claro en

el captulo prximo.

a

x

y

v


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No todos los fluidos cumplen la ecuacin (20), llamada ecuacin de Newton. En

algunos, la relacin entre el cortante y el gradiente de velocidad no es lineal; aunque no

trataremos de ellos en este curso, dichos fluidos se conocen como fluidos no newtonianos.

Se define tambin la viscosidad cinemticacomo el cociente:

= /

. . . . . . . . . . . . . . . . (22)

donde es la densidad.

Su inters radica en que el cociente / aparece a menudo en las ecuaciones de la

mecnica de fluidos, como se ver a menudo ms adelante.

Las dimensiones de las dos viscosidades definidas son:

MLT -2 L -2[] = = ML

-1T

-1

LT-1/ L

ML-1

T-1

[] = = L

2T

-1

ML-3

Las unidades anteriores no tienen nombre especfico en el Sistema Internacional.

Como curiosidad histrica mencionaremos que s lo tienen en el sistema cgs: el poisees la

unidad de viscosidad dinmica y el stoke la de viscosidad cinemtica. En el Sistema

Internacional, los valores de la viscosidad del agua a temperatura ambiente son

= 10-3

kg/(m s) y = 10-6

m2/s aproximadamente.

La viscosidad es, en general, funcin de la temperatura y, en menor cuanta, de la

presin. Es interesante constatar que, mientras en los gases la viscosidad aumenta con la

temperatura, en los lquidos disminuye. En los gases, tal como indica la teora cintica de los

gases perfectos, la viscosidad debe aumentar con la temperatura, ya que:

= v L / 3 . . . . . . . . . . . . . . . . (23)

dondees la densidad del gas

v la velocidad de agitacin de las molculas

L el recorrido libre medio entre impactos

En los lquidos, la viscosidad responde a la ecuacin que gobierna los procesos

controlados por la cohesin molecular, que son procesos activados trmicamente. El aumento


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de temperatura hace ms fcil romper ligaduras intermoleculares. La viscosidad depende de la

temperatura a travs de una relacin del tipo:

eW/KT

donde W es la energa de activacin

K es la constante de Boltzmann

T es la temperatura absoluta

1.8 Tensin superficial y capilaridad

El efecto de la atraccin entre las molculas de un lquido que se encuentran justo bajo

la superficie libre es similar al efecto que causara una fina pelcula capaz de traccionarse

elsticamente y que estuviera extendida sobre la superficie. Una comprobacin experimental

sencilla de este fenmeno consiste en observar que una aguja de coser (de densidad 7800kg/m3), depositada horizontalmente y con cuidado en la superficie del agua en un vaso, se

mantiene flotando sin hundirse. La propiedad del lquido que mantiene la aguja en equilibrio

es la tensin superficial. La accin de la tensin superficial permite mantener presiones

distintas en puntos adyacentes del lquido y el gas separados por la superficie libre.

El mismo fenmeno de la tensin superficial es el responsable de que una gota de

agua tienda a tomar la forma esfrica.

Fig. 1.2 Gota de agua esfrica y equilibrio de fuerzas en la semiesfera

Veamos la expresin de la presin en una gota de agua, tomando como nula (o de

referencia) la presin externa en el aire. Consideramos la gota de agua y, de ella, el equilibrio

de media gota (fig. 1.2). Si suponemos que la presin del agua p es uniforme en el interior de

la gota:

2 r = r2p . . . . . . . . . . . . . . . . (25)

donde es la tensin superficial (que acta a lo largo del permetro de la seccin de la gota)

r es el radio de la gota

p es la presin interna (que acta en la seccin de la gota)

p


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De la ecuacin (25) se deduce que:

2

p = . . . . . . . . . . . . . . . . (26)r

que indica que la presin puede ser grande si el radio de la gota es pequeo.

La tensin superficial tiene dimensiones de fuerza por unidad de longitud. Para el

agua en condiciones normales es aproximadamente 0,07 N/m.

Sabemos por otra parte que, si introducimos un tubo capilar en un lquido, la altura

que toma el lquido en su interior no es generalmente la misma que la de la superficie externa

del lquido. Este fenmeno se conoce como capilaridad. La atraccin capilar es consecuencia

de la accin combinada de dos efectos: a) la tensin superficial y b) el valor de la adhesinlquido-slido comparado con la cohesin entre las molculas del lquido. Decimos que el

lquido moja al slido cuando la adhesin supera a la cohesin. En este caso, la tensin

superficial har que el lquido suba dentro de un tubo capilar ms de lo que le correspondera

por la elevacin de la superficie libre externa (fig. 1.3 a).

Decimos que el lquido no mojaal slido cuando la cohesin supera a la adhesin.

Entonces, el efecto de la tensin superficial ser rebajar el nivel del lquido en el interior del

tubo capilar (fig.1.3 b).

Fig. 1.3 Capilaridad: a) adhesin supera a la cohesin; b) cohesin supera a laadhesin.

a) b)

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