Embed Size (px)
Citation preview
RELACION DE PROBLEMAS
MATEMATICAS II
Curso 2019/2020
Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa Agronomica
Departamento de Matematica Aplicada I
Tema 1. Estadıstica Descriptiva
1.1. Consideremos los siguientes veinte datos:
3 5 3 4 4 7 6 5 2 4 2 5 5 6 4 3 5 4 5 5
(a) Construir la distribucion de frecuencia y la distribucion acumulada de los datos.
(b) Representar los datos en un diagrama de barras.
1.2. Los siguientes datos se refieren al numero de dientes por hoja en bulbos de ajo:
4 2 2 3 3 2 3 3 2 2
3 3 2 1 2 2 2 2 4 2
4 2 3 3 1
(a) Construir la tabla de distribucion de frecuencias y representarla graficamente.
(b) Representar los datos en un diagrama de barras y en un polıgono de frecuencia.
(c) ¿Cual es el porcentaje de hojas con menos de dos dientes?
(d) ¿Cual es el porcentaje de hojas con mas de dos dientes?
(e) Hallar la media muestral, la mediana, la varianza y la desviacion tıpica para el
numero de dientes por hoja.
1.3. En un examen de Estadıstica se obtuvieron las siguientes notas:
74 80 65 85 95 72 76 72 93 84 75 75 60 74 75 63 78 87 90 70
(a) Hallar la distribucion de frecuencia clasificando los datos en cuatro clases (ce-
rradas a la izquierda y abiertas a la derecha): 60-70, 70-80, 80-90, 90-100, y
representar los resultados en un histograma.
1
2 Matematicas II
(b) Hallar la media muestral, la mediana, la varianza y la desviacion tıpica para
los resultados obtenidos en el examen de Estadıstica.
1.4. A cada finca de una empresa fresera, asisten 20, 50, 30 y 100 trabajadores, respec-
tivamente.
(a) Calcular la media y la desviacion tıpica del numero de trabajadores.
(b) Si un dıa fuerte de campana acuden 5 trabajadores mas a cada finca, ¿que
efecto tendra sobre la media y la desviacion tıpica?
1.5. Hallar los percentiles P21, P40 y P75 de los siguientes datos:
5 6 7 7 9 10 12 15 15 20
21 22 25 27 28 32 34 34 35 40
41 48 51 56 57 65 75 76 78 80
81 84 88 88 89 90 91 92 93 97
1.6. La mediana, el primer y el tercer cuartil de una distribucion que mide (de 1 a
100 puntos) la aptitud para el desempeno de la poda de arboles en un grupo de
trabajadores son, respectivamente, Me = 46, Q1 = 31 y Q3 = 67. Completar las
siguientes afirmaciones, razonando las respuestas:
(a) El 75% tiene un aptitud superior o igual a .
(b) El 25% tiene una aptitud superior o igual a .
(c) El % tiene una aptitud igual o menor a 46 puntos.
(d) El % tiene una aptitud superior o igual a 46 e inferior o igual a 67 puntos.
(e) El % tiene una aptitud superior o igual a 31 e inferior o igual a 67 puntos.
1.7. Los diametros de los troncos de una tala, medidos en cm, proporcionan la siguiente
tabla:
Clases [20,24) [24,28) [28,32) [32,36) [36,40) [40,44) [44,48) [48,52) [52,56) [56,60)
ni 2 2 3 7 9 10 8 6 4 5
(a) Calcular media aritmetica, los cuartiles, la moda, el percentil 85 y la desviacion
tıpica.
Estadıstica Descriptiva 3
(b) Se ha vendido el 65% de la tala, los de mayor diametro, ¿cual es el diametro
mınimo de los vendidos?
1.8. La nota media de los aprobados en un examen de Matematicas ha sido 6.8 y la de
los suspensos 3.5. Calcula la nota media de la clase sabiendo que hubo 35 aprobados
y 15 suspensos.
1.9. La estatura media de los 38 setos de hibisco y pacıfico de un jardın es de 168 cm.
Las de hibisco, que son 17, miden 162 cm de media. Calcula la estatura media de
los setos de pacıfico.
1.10. Completa la tabla de esta distribucion de la que sabemos que su media es 2.7.
xi 1 2 3 4
ni 3 7 5
1.11. Completa la siguiente tabla estadıstica donde ni, Ni y fi representan, respecti-
vamente, la frecuencia absoluta, la frecuencia absoluta acumulada y la frecuencia
relativa.
x 1 2 3 4 5 6 7 8
ni 4 4 7 5 7
Ni 16 28 38 45
fi 0.08 0.16 0.14
1.12. Un agricultor observa el numero de tomates picados en cada planta de un terreno
sembrado con 100 tomateras y obtiene los resultados resumidos en esta tabla:
no picados 0 1 2 3 4
frecuencia absoluta 25 20 y 15 x
frecuencia relativa 0.25 0.2 z 0.15 0.05
(a) Completa la tabla obteniendo x, y, z.
(b) Calcula el numero medio de tomates picados en cada planta.
1.13. El numero medio de anos necesarios para terminar los estudios de Grado en Inge-
nierıa Agrıcola es 5, con una desviacion tıpica de un ano. Por otra parte, los alumnos
utilizan una media de 7 anos para concluir los estudios de Arquitectura, con una
4 Matematicas II
desviacion tıpica de 1.5 anos. Si un alumno ha tardado 6 anos en convertirse en
graduado en ingenierıa agrıcola y otro 8 anos en convertirse en arquitecto, ¿cual ha
terminado la carrera con mayor rapidez, comparando con los alumnos de su propia
titulacion?
1.14. El precio medio por kilo de carne en un comercio minorista es de 6.23 euros, con una
desviacion tıpica de 2.3 euros, mientras que en una gran superficie, el kilo cuesta
de media 5.2 euros con una desviacion tıpica de 1.3 euros. Manuel ha comprado
hoy un kilo de carne en un comercio minorista por 6.84 euros y su hermana Elena
ha pagado 6.31 en una gran superficie. ¿A quien le ha salido mas cara la compra,
comparativamente?
1.15. Dos trabajadores del sector del vino ganan 1.220 y 1.325 euros mensuales brutos. El
primero pertenece a la bodega A, cuya retribucion media y desviacion tıpica vienen
dados por 1.110 y 75 euros, mientras que para la bodega del segundo trabajador
se tiene 1.320 y 95 euros. Tanto uno como el otro ganan salarios por encima de
la media, pero ¿cual de los dos ocupa una mejor posicion relativa dentro de su
empresa?.
1.16. Consideremos la distribucion bidimensional:
x 1 2 3 4 5 6
y 10 8 6 4 2 0
a) Representa los puntos de la distribucion en el diagrama de dispersion.
b) ¿Cuanto vale el coeficiente de correlacion?
c) ¿Como son las dos rectas de regresion? Escribe su ecuacion.
1.17. El coeficiente de correlacion de una distribucion bidimensional es 0.87. Si los valores
de las variables se multiplican por 10, ¿cual sera el coeficiente de correlacion de esta
nueva distribucion?
1.18. Hemos calculado la covarianza de una cierta distribucion y ha resultado negativa.
Justifica por que podemos afirmar que, tanto el coeficiente de correlacion como las
pendientes de las dos rectas de regresion, son numeros negativos.
1.19. La altura media los arbustos de un jardın es de 155 cm. La recta de regresion de la
altura respecto a la anchura es y = 80 + 1.5x (x: anchura; y: altura).
Estadıstica Descriptiva 5
(a) ¿Cual es la anchura media de esos arbustos?
(b) ¿Cual es el signo del coeficiente de correlacion entre anchura y altura? ¿Como
interpretas este resultado?
1.20. Se sabe que las rectas de regresion de y sobre x y de x sobre y son
5x+ 3y = 1 y x+ 2y = 3
(a) ¿Es x+ 2y = 3 la recta de regresion de y sobre x?
(b) Calcular r.
1.21. En un estudio sobre la relacion entre la edad de un arbol (X en anos) y el numero
de anillos (Y) en la seccion transversal de su tronco, se determina que las dos rectas
de regresion de estas variables son:
x− 0.51y = 5.8, 1.59x− y = 4.78
(a) Determinar razonadamente cual de las rectas anteriores es la recta de regresion
de Y sobre X.
(b) Estimar el numero de anillos que tendra un arbol de 15 anos.
(c) Determinar la edad aproximada de un arbol con 24 anillos.
(d) Justificar razonadamente si las estimaciones anteriores son fiables.
1.22. Para una distribucion bidimensional (X, Y ) se sabe que el coeficiente de correlacion
lineal es 0.8, la desviacion tıpica de X es 4, la media de Y es 2 y la recta de regresion
de X sobre Y es y = 4x. Se pide:
(a) Calcular los valores de la covarianza, la media de X y la desviacion tıpica de
Y .
(b) Calcular la recta de regresion de Y sobre X .
1.23. En un experimento para evaluar la efectividad de un insecticida sobre dos especies de
insectos A y B se obtuvieron las rectas de regresion para el porcentaje de mortalidad
de cada especie (Y1 e Y2 respectivamente) sobre la concentracion (X) de insecticida
utilizado:
Insecto A y1 =221
50+ 97
100x
Insecto B y2 =23
25+ 61
50x
6 Matematicas II
Ademas se sabe que la desviacion tıpica de la concentracion de insecticida usado fue
de 10 unidades y las del porcentaje de mortalidad de los insectos A y B fueron 10
y 22 respectivamente. Se pide, razonadamente:
(a) Sabiendo que usando la concentracion media de insecticida la eficacia es la
misma para ambos insectos, ¿cual es dicho valor medio de concentracion de
insecticida? ¿Cuales son los valores medios del porcentaje de mortalidad para
cada variedad de insecto?
(b) Estimar el porcentaje de mortalidad en cada especie si se usara una concen-
tracion de insecticida de 30 unidades. ¿Serıan fiables dichas predicciones?
1.24. La siguiente tabla muestra el numero de germenes patogenos por centımetro cubico
de un determinado cultivo segun el tiempo transcurrido:
no de horas 0 1 2 3 4 5
no de germenes 20 26 33 41 47 53
(a) Calcula la recta de regresion para predecir el numero de germenes por cm3 en
funcion del tiempo.
(b) ¿Que cantidad de germenes por cm3 es predecible encontrar cuando hayan
transcurrido 6 horas? ¿Es una buena prediccion?
1.25. En un deposito cilındrico, la altura del agua que contiene varıa conforme pasa el
tiempo segun la siguiente tabla:
tiempo (h) 8 22 27 33 50
altura (m) 17 14 12 11 6
(a) Halla el coeficiente de correlacion lineal entre el tiempo y la altura e in-
terpretalo.
(b) ¿Cual sera la altura del agua cuando hayan transcurrido 40 h?
(c) Cuando la altura del agua es de 2 m, suena una alarma. ¿Que tiempo ha de
pasar para que avise la alarma?
1.26. Una empresa aceitera tuvo contratado unos consultores durante el perıodo 1999-
2003. En la siguiente tabla se recogen los beneficios PREVISTOS (X) por los
consultores y los beneficios REALES (Y ) expresados en porcentajes:
Estadıstica Descriptiva 7
Ano X (en %) Y (en %) X2 Y 2 X · Y
2008 8.17 −23.1 66.75 533.61 −188.72
2009 20.47 −6.39 419.02 40.83 −130.80
2010 13.03 −12.68 160.78 160.78 −165.22
2011 −10.9 16.22 118.81 263.09 −176.8
2012 29.03 37.19 842.74 1383.1 1079.63
Sumas 59.8 11.24 1617, 1 2381.41 418.08
(a) Determinar los beneficios medios previstos y reales. ¿Podrıamos haber predicho
de manera fiable los resultados reales en funcion de los previstos? Razona la
respuesta.
(b) No contenta la empresa con los resultados para ese quinquenio, decidio cambiar
de empresa consultora para el perıodo 2013-2017. No se disponen de todos los
datos de dicho perıodo, pero se sabe que la prevision media fue de 24 y que
la recta de regresion que permitio estimar los beneficios reales en terminos de
la prevision fue y = 0.68x + 0.25. Ademas, las desviaciones tıpicas para los
beneficios previstos y reales fueron de 13.58 y 9.57 respectivamente. Se pide:
(b.1) Determinar el beneficio medio real obtenido.
(b.2) Ante los beneficios obtenidos, la empresa aceitera decide continuar con los
mismos consultores. Si la prevision para 2018 es de 4, ¿se podrıa estimar el
beneficio real para este ano de manera fiable? ¿Cual serıa dicha estimacion?
1.27. Se quiere estudiar la relacion entre el rendimiento del trigo respecto de la fertil-
izacion utilizada. Para ello, se han medido las toneladas por hectarea de trigo (Y)
obtenidas usando determinados niveles de nitrogeno (N) y potasio (K).
En la siguiente tabla se recoge los valores obtenidos para las variables N e Y.
N 40 60 80 100 120
Y 9.7 15.6 22.3 26.4 27.1
Por otra parte, se sabe que la variable K tiene una desviacion tıpica de 30.5 y que
la recta de regresion lineal de Y sobre K es y = 4.68 + 0.14x.
(a) Obtener la recta de regresion que permite estimar el rendimiento de trigo en
funcion del nivel de nitrogeno aplicado.
8 Matematicas II
(b) Determinar que tipo de fertilizante tiene una correlacion lineal mas fuerte con
el rendimiento del trigo. Estimar de la forma mas fiable posible el rendimiento
de trigo que se obtendrıa con un nivel 75 de nitrogeno y 70 de potasio.
1.28. El dueno de una pequena empresa decide ampliar su horario comercial y contrata
un empleado durante algunas horas al dıa para poder atender mejor su negocio. En
la siguiente tabla se detallan las ventas diarias (V en miles de euros), el numero de
horas que atendio el dueno de la empresa (D) y el numero de horas que atendio el
empleado (E).
V 8 4 9 10 8 6 8 3
D 8 6 10 9 9 8 9 5
E 6 7 2 5 4 4 5 7
(a) Hallar el coeficiente de correlacion lineal entre las variables Ventas-Dueno y
Ventas-Empleado ¿De que tipo son cada una de estas correlaciones?
(b) Conociendo las ventas de un determinado dıa, ¿que puede estimarse con mas
fiabilidad, el numero de horas que atendio el negocio el dueno o el empleado?
(c) Estimar con la mayor fiabilidad posible, el volumen de ventas de un dıa en el
que el dueno atienda al publico 7 horas y el empleado 6 horas.
(d) Estimar las horas que habra trabajado el dueno un dıa que se facturaron 7500
euros.
1.29. Para controlar la eficacia de un cierto pesticida se prueban sus efectos en 6 rosales y
para cada uno de ellos, se mide el porcentaje de hojas enfermas antes del tratamiento
(X) y el porcentaje de hojas enfermas pasado un periodo despues de la aplicacion
del tratamiento (Y). Los datos obtenidos se recogen en la siguiente tabla:
X 50 40 70 90 40 60
Y 30 10 45 60 5 25
(a) Determinar el porcentaje medio de hojas enfermas antes y despues del tratamiento.
(b) Determinar el porcentaje de plantas que presenta mas del 50% de hojas enfer-
mas antes del tratamiento. ¿Y despues del tratamiento?
(c) Para una planta tratada que presenta el 15% de hojas enfermas, estimar la
mejorıa que ha conseguido el tratamiento. Justificar la fiabilidad de esta esti-
macion.
Estadıstica Descriptiva 9
(d) Predecir como se reducirıa el porcentaje de hojas enfermas de una planta con
un 80% de hojas afectadas, tras aplicarle el tratamiento.
1.30. Se han cortado treinta arboles de la misma especie. Las edades en anos, X , y los
diametros maximos correspondientes, Y en dm, estan recogidos en la siguiente tabla
de frecuencias de la variable bidimensional (X, Y ):
X\Y 5 6 10 12 15
20 1 2 1 0 0
30 0 1 4 0 0
40 0 1 6 4 0
50 0 0 2 7 1
Se pide:
(a) Determinar la ecuacion de la recta de regresion de los diametros maximos sobre
las edades.
(b) ¿Se podrıa estimar de manera fiable el diametro maximo de un tronco cono-
ciendo la edad del arbol?
1.31. En un curso escolar, se ha realizado un estudio sobre el numero de horas diarias que
los alumnos dedican a los videojuegos (X) y el numero de asignaturas que aprueban
por curso (Y), obteniendose los siguientes resultados:
X \ Y 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 1 2
1 0 0 2 2 1 0
2 2 8 5 0 1 0
3 1 3 0 0 0 0
4 2 0 0 0 0 0
(a) Determinar el numero de horas tal que el 70% de los alumnos dedica menos de
este tiempo diario a los videojuegos y el 30% restante le dedica mas tiempo.
(b) ¿Cuantas asignaturas se estima que aprobara un alumno que juega 2 horas y
media diarias? ¿Es fiable esa estimacion? Razona tu respuesta.
1.32. Una empresa agrıcola ha recopilado la siguiente informacion sobre el numero de
tratamientos que se han realizado en 15 fincas distintas y las ventas que ha generado
la produccion de estas fincas (expresados en miles de euros):
10 Matematicas II
Euros(x)\Tratamientos(y) 10-30 30-40 40-80
1-5 3 0 0
5-10 1 4 1
10-20 0 1 5
(a) Calcula el valor medio de las ventas generadas en cada finca.
(b) ¿Cual es el coeficiente de correlacion?
(c) Obten la recta de regresion de Y sobre X .
(d) Si una finca ha generado una venta de 18000 euros, ¿Cuantos tratamientos se
dio a la plantacion de dicha finca?
1.33. Para estudiar la relacion entre la densidad de siembra de maız y el rendimiento
obtenido, se planta maız con distintas densidades de siembra en 32 parcelas de
identicas caracterısticas y se obtienen los datos mostrados en la siguiente tabla para
las variables X=densidad de siembra (en decenas de millar de plantas por hectarea)
e Y= rendimiento (en toneladas por hectarea).
Y [130, 218) [218, 306) [306, 394)
X
1 3 3 0
2 2 5 0
3 2 5 4
4 0 5 3
(a) Calcular el numero de plantas por hectarea mas habitual y el porcentaje de
parcelas que producen menos de 306 toneladas por hectarea.
(b) Calcular el numero medio de plantas por hectarea y el rendimiento medio por
hectarea.
(c) A partir de los datos, se obtiene la recta de regresion de Y sobre X de ecuacion
y = 129.26 + 49.97x y los valores s2x = 1.14 y s2y = 3497.29. Haciendo uso de
esta informacion, estimar la rentabilidad que se obtendrıa con una densidad de
siembra de 35000 plantas por hectarea y justificar si esta estimacion serıa o no
fiable.
Introduccion a la teorıa de la probabilidad 11
Tema 2. Introduccion a la teorıa de la probabili-
dad
2.1. A, B y C son tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresa en funcion de
ellos los sucesos:
(a) Se realiza alguno de los tres.
(b) No se realiza ninguno de los tres.
(c) Se realizan los tres.
(d) Se realizan exactamente dos de los tres
(e) Se realizan, al menos, dos de los tres.
2.2. Dado el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5}, se consideran los sucesos A = {1, 3, 5}
y B = {1, 2, 3}. Determinar los sucesos siguientes:
(a) A ∪B y A ∩ B. ¿Son A y B incompatibles?
(b) A. Verificar que A = A.
(c) A ∪B. Verificar que A ∪B = A ∩ B.
(d) A ∩B. Verificar que A ∩B = A ∪ B.
2.3. Determinar si los siguientes sucesos son compatibles o incompatibles.
(a) A= El 65% de las semillas de guisante que han sido plantadas germinara.
B= El 50% de las semillas de guisante que han sido plantadas no llegara a
germinar.
(b) A= El arbol es de hoja perenne, B= El arbol es una encina, C= El arbol es
un castano.
2.4. Se analizan tres pariciones de una vaca, registrandose el sexo del ternero nacido
como M si es macho o H si es hembra. ¿Cuantos elementos tiene el espacio muestral?
Describe mediante ternas ordenadas los siguientes sucesos: A =“la crıa menor es
hembra”, B =“la primera crıa es macho”, C =“la crıa mayor y menor son hembras”,
A ∪ B y A ∩B. ¿Son A y C incompatibles? ¿Lo son B y C?
12 Matematicas II
2.5. Calcular la probabilidad de obtener 7 puntos al lanzar dos dados, si uno de los
dados esta trucado de modo que los resultados impares son imposibles y los pares
son igualmente probables. ¿Merece la pena hacer trampa usando un dado trucado
si se apuesta al 7? ¿Y si se apuesta al 8?
2.6. Calcular la probabilidad de que al tirar dos dados:
(a) El producto de los resultados sea 12.
(b) La diferencia de los resultados sea 2.
2.7. Se lanzan dos dados. Calcular la probabilidad de que la mayor de las puntuaciones
sea: (a) un 2 (b) un 3 (c) un 4 (d) un 5 y e) un 6.
2.8. Lanzamos un dado trucado mil veces y obtuvimos que el resultado fue el 1, 117
veces, el 2, 302 veces, el 3, 38 veces, el 4, 234 veces, el 5, 196 veces, y el 6, 113 veces.
Estimar las probabilidades de las distintas caras. ¿Cuales son las probabilidades de
los sucesos ”par”, ”menor que 6” y “{1, 2}”?
2.9. Sean A y B dos sucesos tales que P (A) = 0.4, P (B) = 0.3 y P (A ∩ B) = 0.1.
Calcular razonadamente:
(a) P (A ∪B) (b) P (A ∪ B) (c) P (A ∩ B)
2.10. De dos sucesos A y B se sabe que P (A) =2
5, P (B) =
1
3y P (A∩ B) =
1
3. Calcular
P (A ∪B) y P (A ∩ B).
2.11. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio. Si P (A) = 2/5, P (B) = 1/5
y P (A ∩ B) = 3/10, ¿es posible que P sea una probabilidad?
2.12. Para poder satisfacer la demanda de los agricultores de plantar pinos como pro-
teccion contra el viento, el servicio forestal de la comarca obtuvo los siguientes
datos: El 30% de los agricultores habıa adquirido arboles de dicho servicio en anos
anteriores, el 40% habıa anticipado el pedido para el ano siguiente y el 10% habıa
adquirido arboles en el pasado y para el ano siguiente. Calcular la probabilidad de
que un agricultor elegido al azar:
(a) Haya adquirido arboles en el pasado o haya hecho el pedido para el proximo
ano.
(b) Nunca haya hecho ningun pedido.
Introduccion a la teorıa de la probabilidad 13
(c) Haya adquirido arboles en el pasado pero no haya anticipado el pedido para el
proximo ano.
(d) Si a cada solicitud se le concede como maximo 100 arboles y hay 5000 agricul-
tores en la comarca, estimar el numero de arboles necesarios para atender las
peticiones para el proximo ano.
2.13. En una clase el 60% de los ninos juega al futbol o al balonmano, el 10% juega a
ambos y el 60% no juega al futbol. Hallar la probabilidad de que un nino elegido al
azar:
(a) Solo juegue al futbol.
(b) Solo juegue al balonmano.
(c) Solo juegue a uno de los dos.
(d) No juegue a ninguno.
2.14. En un estudio para conocer la asociacion entre el color y el olor en azaleas, se
obtienen los siguientes datos sobre una muestra de 200 plantas.
Color
Si No
Olor Si 12 118
No 50 20
Calcular la probabilidad de que una azalea seleccionada aleatoriamente:
(a) Tenga olor.
(b) Tenga color.
(c) Tenga olor, si tiene color.
(d) No tenga color, si no tiene olor.
(e) Tenga color y olor.
(f) ¿Son independientes estas cualidades de la planta?
2.15. Para probar un nuevo producto fitosanitario contra las manchas foliares en los ce-
reales, se estudian plantas de trigo y de cebada, siendo las 2/3 partes de trigo y
el resto de cebada. Si la mitad de cada tipo de planta esta atacada por el hongo,
calcular:
14 Matematicas II
(a) La probabilidad de que una planta elegida al azar sea cebada o este infectada.
(b) La probabilidad de que una planta elegida al azar sea trigo y no este infectada.
2.16. En un estudio sobre el efecto que produce la polucion en los arboles de una plantacion
lindante con una autopista, se detecta que los arboles tienen las hojas danadas en
el 40% de los casos, el 25% tiene un crecimiento deficiente y el 15% presenta ambos
danos. Calcular la probabilidad de que un arbol elegido al azar:
(a) No tenga ningun dano.
(b) Tenga las hojas danadas pero su crecimiento sea normal.
(c) Tenga las hojas danadas, si su crecimiento es deficiente.
(d) Haya crecido poco, si tiene las hojas danadas.
(e) ¿Son las dos afecciones estudiadas independientes?
2.17. Para confirmar la idoneidad de un suelo para el cultivo, se realizan dos tests. La
probabilidad de que el primero sea positivo es 0.6, la probabilidad de que lo sea el
segundo es 0.8 y la de que lo sean los dos es 0.5. Se pide:
(a) Probabilidad de que al menos un test sea positivo.
(b) Probabilidad de que ambos tests sean negativos.
(c) Probabilidad de que el segundo test sea positivo, sabiendo que el primero lo
fue.
(d) ¿Son independientes ambos tests?
2.18. En una cooperativa olivarera el 55% de los agricultores cultiva la variedad picual,
el 40% la variedad arbequina y el 25% ninguna de estas variedades. Elegido un
cooperativista al azar, calcular la probabilidad de que:
(a) Cultive alguna de estas variedades.
(b) Cultive las dos variedades.
(c) No cultive alguna de las dos variedades.
(d) Cultive solo la variedad picual.
(e) Cultive solo la variedad arbequina.
(f) Cultive solo una de las dos variedades.
(g) Cultive la variedad picual, sabiendo que cultiva la variedad arbequina.
Introduccion a la teorıa de la probabilidad 15
2.19. ¿Cual es la probabilidad de que en un grupo de 5 amigos al menos dos de ellos
celebren su cumpleanos el mismo dıa? (Suponemos que todos los anos tienes 365
dıas y no hay gemelos ni mellizos). Comprobar que en un grupo de 23 amigos esta
probabilidad ya es superior a 0.5.
2.20. Dados dos sucesos independientes A y B, demostrar que:
(a) A y B son independientes.
(b) A y B son independientes.
2.21. Se sabe que en una determinada poblacion el 10% de los habitantes son zurdos, el
50% son mujeres, el 8% de las mujeres son zurdas y la mitad de las personas con
ojos claros son mujeres. Estudiar la independencia de los siguientes sucesos:
(a) Ser mujer y ser zurda.
(b) Tener los ojos claros y ser mujer.
(c) Tener los ojos oscuros y ser mujer.
(d) Ser hombre y tener los ojos oscuros.
2.22. Sea A un suceso tal que 0 < P (A) < 1.
(a) ¿Puede ser A independiente de su contrario A?
(b) Sea B otro suceso tal que B ⊂ A. ¿Son A y B independientes?
2.23. Demostrar que para dos sucesos no triviales (distintos del suceso imposible), si son
incompatibles entonces no son independientes.
2.24. Dado el espacio muestral S = {MM,MH,HM,HH} elegir:
(a) Dos sucesos incompatibles.
(b) Dos sucesos independientes.
(c) Dos sucesos que no sean incompatibles ni independientes.
2.25. Una urna A1 tiene 3 bolas blancas y 7 negras. Otra urna A2 tiene 9 bolas blancas y
1 negra. Escogemos una de las urnas al azar y de ella extraemos una bola. Calcular:
(a) P (Blanca/A1)
(b) P (Blanca/A2)
16 Matematicas II
(c) P (A1 ∩Blanca)
(d) P (A2 ∩Blanca)
(e) P (Blanca)
(f) Sabiendo que la bola obtenida ha sido blanca, ¿cual es la probabilidad de haber
escogido la urna A2?
2.26. Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B tiene 5 blancas y 9
negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas sin reemplazamiento, que
resultan ser blancas. Hallar la probabilidad de que la urna elegida haya sido la A.
2.27. Una urna contiene 10 bolas blancas, 6 negras y 4 rojas. Si se extraen tres bolas con
reemplazamiento, ¿cual es la probabilidad de obtener 2 blancas y una roja?
2.28. Un medico ha observado que el 40% de sus pacientes fuma y de los que fuman, el
75% son hombres. Ademas, entre los no fumadores el 60% son mujeres. Calcular la
probabilidad de que:
(a) Un paciente no fumador sea hombre.
(b) Un paciente sea un hombre fumador.
(c) Un paciente sea mujer.
(d) Un paciente hombre sea fumador.
(e) Un paciente sea hombre o no fumador.
(f) ¿Es independiente el hecho de ser fumador del sexo del paciente?
2.29. Sean dos sucesos A y B tales que P (B|A) = 0.3, P (B|A) = 0.7 y P (B) = 0.6.
Razonar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
(a) A y B son independientes.
(b) A y B son incompatibles.
(c) P (A) = 0.25.
2.30. Se ha realizado un estudio sobre las sustancias toxicas encontradas en una muestra
de 100 judıas de dos tipos, blancas y pintas, como consecuencia de la contaminacion
ambiental. Sabiendo que presentaron sustancias toxicas el 12% de las judıas blancas,
el 20% de las judıas pintas y el 18% del total analizado, determinar cuantas judıas
de cada tipo fueron estudiadas.
Introduccion a la teorıa de la probabilidad 17
2.31. La peste porcina es una enfermedad viral que tiene una preponderancia (tanto por
uno de la poblacion que esta infectada) de 1/100. Un test para este virus da un
resultado positivo en el 90% de los casos en los que el virus esta presente y en un
15% de los casos en los que no esta presente (falso positivo).
(a) ¿Cual es la probabilidad de que el test resulte positivo en un animal escogido
al azar?
(b) ¿Cual es la probabilidad de que el animal este realmente infectado dado que el
resultado del test fue positivo?
(c) ¿Cual es la probabilidad de que el animal no este realmente infectado dado que
el resultado del test fue positivo?
(d) ¿Cual es la probabilidad de que el animal no este realmente infectado dado que
el resultado del test fue negativo?
2.32. En un invernadero se esta realizando un experimento para conseguir rosas mas
resistentes al oidio. Para ello se han tratado geneticamente tres tipos de rosas
(rojas, amarillas y blancas) y se han sembrado un 40% de rosas rojas, un 30% de
rosas amarillas y 30% de rosas blancas. Se sabe, que de las semillas plantadas no
brota el 10% de las de rosas rojas, el 15% de las amarillas y el 10% de las blancas.
(a) ¿Cual es la probabilidad de que un rosal escogido al azar brote?
(b) Si una de las semillas ya ha comenzado a brotar, ¿cual es la probabilidad de
que el rosal sea de rosas amarillas?
2.33. Se esta estudiando la efectividad de una vacuna contra el virus de la lengua azul
en tres especies ovinas. De los animales estudiados, el 15% es de la raza merina, el
25% de la raza manchega y el 60% de la raza segurena. Se sabe que el tratamiento
es efectivo en el 60% de los casos para la raza merina, en el 40% de los casos para
la manchega y en el 50% para la segurena.
(a) Calcular la probabilidad de que una oveja elegida al azar este infectada.
(b) Calcular la probabilidad de que un animal sano sea de la raza manchega.
2.34. En una granja avıcola se utilizan dos tipos de pienso, A y B, para alimentar a las
aves. El 25% de las aves son alimentadas exclusivamente con el pienso A, el 35% son
alimentadas exclusivamente con el pienso B y el resto de las aves son alimentadas
con una mezcla de ambos tipos de pienso. Se sabe que la probabilidad de que el
18 Matematicas II
engorde de las aves sea superior a 1 kg es de 0.86 cuando se utiliza solamente el
tipo A, 0.58 cuando se utiliza solamente el pienso B y 0.92 cuando se utilizan ambos
tipos de pienso. Se decide escoger al azar una de las aves de la granja:
(a) Determinar la probabilidad de que el engorde del ave sea superior a 1 kg.
(b) Se comprueba que el engorde del ave ha superado 1 kg, determinar que tipo de
alimentacion es mas probable que haya seguido y hallar dicha probabilidad.
(c) Hallar la probabilidad de que el engorde del ave sea superior a 1 kg y no haya
sido alimentado exclusivamente por el pienso A.
2.35. Los empleados de una empresa se distribuyen en tres divisiones: el 20% realiza
labores de Gestion, el 30% trabaja en Administracion y el resto ocupa cargos en el
departamento de Ventas. Se sabe que son de nacionalidad espanola el 80% de los
empleados de Ventas y el 90% de los trabajadores de Administracion. Ademas, un
85% del total de empleados son extranjeros o no trabajan en Gestion.
(a) ¿Que porcentaje de los empleados del departamento de Gestion son espanoles?
(b) ¿Que porcentaje de extranjeros hay en la empresa?
(c) Si se elige al azar un trabajador extranjero, ¿que probabilidad hay de que
pertenezca al departamento de Ventas?
2.36. Una empresa de trabajo temporal ha realizado un amplio estudio sobre los tipos
de empleo solicitados por los estudiantes universitarios, de Bachillerato y Ciclos
Formativos. El informe clasifica estos solicitantes de empleo como cualificados o no
para los trabajos que solicitan. De los datos recogidos se desprende que solo el 20%
estan cualificados para el trabajo que solicitan, de los que un 50% son estudiantes
universitarios, un 30% estudian un Ciclo Formativo y un 20% Bachillerato. La
situacion entre los no cualificados es diferente: un 20% son universitarios, otro 20%
estudian un Ciclo Formativo y un 60% estudia Bachillerato.
(a) ¿Que porcentaje de estos estudiantes estudian Bachillerato y estan cualificados
para los empleos que solicitan?
(b) ¿Cual es la probabilidad de que uno de estos estudiantes que solicita empleo
estudie un Ciclo Formativo?
(c) Entre los estudiantes universitarios que solicitan empleo, ¿que porcentaje no
esta cualificado para los puestos de trabajo que solicitan?
Variables aleatorias 19
Tema 3. Variables aleatorias
3.1. Determinar la distribucion de probabilidad de una variable aleatoria X sabiendo que
toma los valores -3, -1, 2 y 5 y que sus respectivas probabilidades son:
2k − 3
10,
k + 1
10,
k − 1
10yk − 2
10.
3.2. Hallar la media, la varianza y la desviacion tıpica de cada una de las distribuciones
siguientes:
(a)xi 3 8 12
pi 1/3 1/2 1/6(b)
xi 1 3 4 5
pi 0.4 0.1 0.2 0.3
3.3. Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores 0, 1, 2 y 3, y de la que
se conoce: P (X < 1) =1
4, P (1 ≤ X ≤ 2) =
1
2, P (0.5 < X ≤ 3) =
6
8y E(X) =
11
8.
Determinar la distribucion de probabilidad de X .
3.4. Sea X la variable aleatoria “numero de caras que salen al tirar una moneda cuatro
veces”. Hallar la distribucion de probabilidad de X y la esperanza µ=E(X).
3.5. Se tira una moneda hasta que salga cara o cinco cruces. Hallar la esperanza del
numero de veces que se tirara la moneda.
3.6. Un juego consiste en lanzar un dado, ganando el triple de lo apostado si sale un
6, ganando el doble si sale un 5, perdiendose lo apostado en otro caso. ¿Conviene
jugar?
3.7. Se venden 5000 papeletas de una rifa con un unico premio de 3000 euros. Si cada
papeleta cuesta un euro, ¿que ganancia puedo esperar comprando 3 papeletas?
3.8. Un examen tipo test consta de 10 preguntas con tres posibles respuestas cada una
y solamente una valida. Si un estudiante responde al azar, valiendo cada respuesta
correcta un punto, ¿cual es la puntuacion esperada? ¿como deberıan penalizarse las
respuestas incorrectas de modo que la puntuacion esperada de alguien que responde
al azar fuese cero?
20 Matematicas II
3.9. Se tira un dado no trucado y se definen X=“doble del numero que salga” e Y=“1 o
3, dependiendo de si sale impar o par”.
(a) Hallar la distribucion de probabilidad de X y las esperanzas E(X) y E(Y ).
(b) Hallar la distribucion de probabilidad y la esperanza de la variable Z = X+Y .
Verificar que E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
(c) Hallar la distribucion de probabilidad y la esperanza de la variable W = XY .
3.10. Se esta estudiando el numero de cabritos por paricion de dos razas de cabras. Se
asume que el numero de crıas en una paricion es como maximo de tres. Supongamos
que la probabilidad de tener un cabrito es igual a la de tener dos, pero la probabilidad
de tener tres cabritos es la mitad de la anterior. Llamemos X a la variable aleatoria
numero de cabritos por paricion de la raza 1 e Y al numero de cabritos por paricion
de la raza 2. Se pide:
(a) Determinar el valor esperado de la variable aleatoria que describe la suma del
numero de crıas en una paricion de las dos razas.
(b) Calcular el numero de cabritos esperados en 4 pariciones de la raza 1.
3.11. En un experimento para control de calidad de tractores, se le da arranque a las
unidades en 4 oportunidades. Suponiendo que en cada prueba cada tractor puede
arrancar con el doble de probabilidad de no hacerlo, hallar la probabilidad de que
un tractor:
(a) arranque 3 veces (b) arranque a lo sumo 2 veces
(c) arranque como mınimo 3 veces
3.12. Un Ingeniero especialista en control de calidad de semillas de trigo, afirma que su
empresa produce un 95% de las bolsas de semillas de trigo con una pureza del 99%.
Si fuera cierta su afirmacion, determinar:
(a) La probabilidad de que de 20 bolsas tomadas al azar, todas no posean mas del
1% de cuerpos extranos.
(b) La probabilidad de que de 20 bolsas tomadas al azar, al menos 2 posean mas
del 1% de cuerpos extranos.
3.13. Se sospecha que la proporcion p de los individuos de una poblacion que presentan
cierta caracterıstica es muy baja. Si se observan 4 individuos, ¿cual es, en funcion
de p, la probabilidad de no detectar dicha caracterısitica? Si p = 0.02, ¿cual es el
Variables aleatorias 21
numero mınimo de individuos que se deben observar para detectar la caracterıstica
con una probabilidad mayor o igual que 0.95?
3.14. Segun los sondeos realizados por una empresa encuestadora, el porcentaje de abs-
tenciones en las proximas elecciones sera del 25%. ¿A cuantos ciudadanos hay que
encuestar para que la probabilidad de que todos ellos declaren su intencion de votar
sea menor que 0.01?
3.15. Un saco contiene 100 manzanas, de las cuales la mayorıa estan sanas. Se efectuan
extracciones con reemplazamiento (se extrae una manzana y una vez observada, se
devuelve al saco). Se sabe que la probabilidad de que en dos extracciones cojamos
una sola manzana en mal estado es 0.18. Hallar el numero de manzanas en mal
estado que hay en el saco.
3.16. En un colectivo de ciudadanos se ha determinado que el numero medio de los que
acuden a un mitin es de 32.5 con una varianza de 28.275. Calcular el tamano del
colectivo y la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar acuda al mitin.
3.17. La probabilidad de que una jugadora de golf haga hoyo en un lanzamiento a cierta
distancia es 0.2.
(a) Si lo intenta 5 veces:
(a1) Calcular la probabilidad de que no acierte ninguna.
(a2) Calcular la probabilidad de que acierte al menos una.
(a3) ¿Cual es el numero medio de aciertos? ¿Y la desviacion tıpica?
(b) Determinar el numero mınimo de veces que ha de tirar para que la probabilidad
de tener al menos un acierto sea mayor de 0.9.
3.18. En una urna hay 2 bolas blancas, 3 verdes y 5 rojas. Se extraen al azar dos bolas
(sin reemplazamiento) y se establecen las siguientes condiciones: se ganan 20 euros
si las dos bolas son blancas, 10 euros si las dos bolas son verdes y 1 euro si una es
verde y otra roja, pero se pierden 2 euros en cualquier otro caso.
(a) Hallar la ganancia esperada en cada jugada.
(b) Si tenemos 5 jugadores, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellos no
pierdan dinero.
3.19. Justifica si pueden ser funciones de densidad las siguientes funciones:
22 Matematicas II
(a) f(x) =
1
2+
1
2x si x ∈ [0, 2]
0 en otro caso
(b) f(x) =
1
2− x si x ∈ [0, 2]
0 en otro caso
(c) f(x) =
1−1
2x si x ∈ [0, 2]
0 en otro caso
3.20. Calcula el valor de m para que la funcion f(x) =
mx si x ∈ [3, 7]
0 en otro casosea la
funcion de densidad de una variable aleatoria X.
(a) Hallar P (3 < X < 5), P (4 ≤ X ≤ 6) y P (6 ≤ X < 11).
(b) Calcular µ =E(X) y σ2 =Var(X).
3.21. La cantidad de arena en toneladas transportada por el viento hasta una determinada
zona es una variable X con funcion de densidad:
f(x) =
3
1000x2 0 ≤ x ≤ b;
0 en caso contrario.
(a) Calcular el valor de b para que f sea funcion de densidad.
Considerando b = 10,
(b) Hallar la cantidad media de arena transportada por el viento.
(c) La altura en metros de cada duna que se forma se obtiene como una funcion de
la arena transportada: H = 21 + kX , donde k es constante positiva. Hallar k
para que la probabilidad de que la altura de una duna este comprendida entre
21 y 25 metros sea de 0.008.
3.22. La longitud X (en cm) de los proyectiles fabricados por una empresa balıstica sigue
una distribucion continua con funcion de densidad:
f(x) =
3/x4 si x ≥ 1
0 si x < 1
(a) Si solo se aceptan balas con longitudes entre 1 y 2 cm, ¿que porcentaje de las
balas fabricadas sera aceptado?
Variables aleatorias 23
(b) Si Y = 2X + 4 representa el peso en gramos de un proyectil de longitud X :
(b1) ¿Que porcentaje de proyectiles tendra un peso inferior a 10 gr?
(b2) ¿Que porcentaje de los proyectiles de menos de 10 gr tendran un peso
superior a 7 gr?
3.23. Se ha observado que un termometro sometido a condiciones meteorologicas adversas
da una medicion de entre dos grados mas y dos menos de la temperatura real. El
error cometido sigue una variable aleatoria continua con densidad
f(x) =
k(2− x) si x ∈ [−2, 2]
0 en otro caso
(a) Hallar el valor de k para que f sea funcion de densidad.
Considerando k = 1
8,
(b) Calcular la probabilidad de que el termometro de la temperatura exacta.
(c) Hallar la probabilidad de que el termometro cometa un error de entre -1 y 1
grado.
(d) Hallar la probabilidad de que el error sea menor que 1 grado, sabiendo que es
mayor que -1.
(e) Calcular el error esperado.
3.24. Sea Z una distribucion normal de media 0 y desviacion tıpica 1. Se pide:
(a) P (Z ≤ 1.2) (c) P (0.3 < Z ≤ 1.38)
(b) P (Z ≤ −3) (d) P (−2.8 < Z < −1)
3.25. Sea Z una distribucion normal de media 0 y desviacion tıpica 1. Determinar k en
cada caso:
(a) P (Z ≤ k) = 0.8023 (c) P (Z > k) = 0.0951
(b) P (Z < k) = 0.209 (d) P (Z ≥ k) = 0.9817
3.26. La variable altura de plantulas para una poblacion dada se distribuye normalmente
con media 170 mm y desviacion tıpica 5 mm. Encontrar la probabilidad de los
siguientes eventos:
(a) Plantas con alturas de al menos 160 mm.
24 Matematicas II
(b) Plantas con alturas entre 165 y 175 mm.
3.27. El caudal de un canal de riego medido en m3/s es una variable aleatoria con dis-
tribucion aproximadamente normal con media 3 m3/s y desviacion tıpica 0.8 m3/s.
Calcular la probabilidad de que:
(a) El caudal en un instante dado sea a lo sumo de 2.4 m3/s.
(b) El caudal en un instante dado este entre 2.8 y 3.4 m3/s.
3.28. Una empresa exportadora de manzanas necesita encargar 10000 cajones para el
embalaje de la fruta. Sin embargo, no todos los cajones son iguales ya que sus
especificaciones dependen de la calidad del producto envasado. Ası, de acuerdo al
diametro de la manzana se identifican 3 categorıas de calidad:
• Categorıa I: manzanas cuyo diametro es menor de 5 cm.
• Categorıa II: manzanas cuyo diametro esta comprendido entre 5 y 7 cm.
• Categorıa III: manzanas cuyo diametro es mayor que 7 cm.
Si la distribucion del diametro de las manzanas puede modelarse bien mediante una
distribucion normal con media 6.3 y varianza 2, ¿cuantos cajones se necesitaran
para cada categorıa de manzanas?
3.29. El espesor de un sedimento en un sustrato de suelo se distribuye normalmente con
media 15 micrones y desviacion tıpica 3 micrones. ¿Que espesor maximo tendra el
75% del sustrato?
3.30. Una universidad publica oferta 120 plazas para el primer curso de los estudios de
una titulacion, recibiendo 800 solicitudes y siendo el unico criterio de admision la
nota del examen de selectividad. Sabiendo que las notas de selectividad siguen una
distribucion normal de media 7.3 y desviacion tıpica 0.7, determinar la nota mınima
necesaria para conseguir una de las 120 plazas ofertadas.
3.31. La altura de plantas de soja de la variedad Hood se distribuye normalmente con
media 55 cm y desviacion tıpica de 5.8 cm. Por otro lado, la altura de plantas de
yuyo colorado (Amaranthus sp.) invasora de este cultivo, tambien se distribuye en
forma normal con media 62 cm y desviacion tıpica de 3 cm. Si se decide aplicar un
herbicida usando un equipo a sogas:
(a) ¿A que altura debe disponerse la soga para eliminar el 90% de la maleza en
este cultivo?
Variables aleatorias 25
(b) Suponiendo que el herbicida no es selectivo, es decir mata por igual a toda
planta que esta en contacto con la soga, ¿que porcentaje de plantas de soja se
perdera a la altura de soga encontrada en el apartado anterior?
3.32. La produccion de leche por lactancia del ganado vacuno sigue una distribucion
normal de 5500 kg de media con una desviacion tıpica de 1200 kg.
(a) Para realizar una clasificacion del ganado, se le otorga una puntuacion en
funcion de la cantidad de leche que produce, de la siguiente forma: 1 si produce
menos de 4300 kg, 2 si produce entre 4300 y 6700 kg y 3 si produce mas de
6700 kg.
(a1) Determinar el porcentaje de ganado que recibe cada una de las tres pun-
tuaciones.
(a2) Calcular la puntuacion esperada.
(b) Se experimenta una variacion en la alimentacion que aumenta la produccion
de leche (sin modificar su varianza). Determinar la nueva produccion media,
sabiendo que ahora el 20% del ganado produce mas de 6700 kg.
3.33. El peso de los salmones Tipo L de una piscifactorıa sigue una distribucion normal
de media 3254 y desviacion 547 gramos. Una pescaderıa ha adquirido 50 salmones,
¿que probabilidad tienen de haber comprado mas de 170 kilos de salmon?
3.34. Por un antiguo puente circulan automoviles cuyo peso sigue una distribucion normal
de media 950 kg y desviacion tıpica 80 kg. No es recomendable que el puente soporte
mas de 6000 kg, por lo que se debe restringir el numero de automoviles que crucen
el puente a la vez. Determinar el maximo numero de coches sobre el puente que
deben ser permitidos si se quiere que la probabilidad de superar la carga maxima
de 6000 kg sea menor que 0.003.
3.35. La caja diaria de cierta cafeterıa sigue una distribucion normal de media 1150 euros
y desviacion 125. Si la recaudacion en caja es independiente para los distintos dıas
y la cafeterıa solo cierra un dıa a la semana por descanso, determinar:
(a) ¿Cual es la probabilidad de que la caja semanal supere los 7000 euros?
(b) ¿Cual es la probabilidad de que en un trimestre (72 dıas trabajados) la recau-
dacion media en caja no llegue a 1000 euros?
26 Matematicas II
3.36. Una pequena explotacion agrıcola dedica sus tierras al cultivo de avellanas. Se
admite que la produccion anual de este producto, medida en miles de kg, sigue una
distribucion normal de media 8 y varianza 10.
(a) Hallar la probabilidad de que la produccion anual sea superior a 10000 kg.
(b) Calcular que produccion anual de avellanas sera superada con una probabilidad
del 95%.
(c) Suponiendo que el precio de las avellanas es de 1.14 euros por kg y que los
gastos anuales del agricultor son de 4.200 euros (incluyendo mano de obra y
los productos necesarios para el cultivo), ¿cual es la probabilidad de que los
beneficios anuales superen los 6000 euros?
3.37. Calcular la media µ y la desviacion tıpica σ de una variable aleatoria normal X de
la que se sabe que P (X ≤ 0) = 1/3 y P (X ≤ 1) = 2/3.
3.38. Las puntuaciones obtenidas por los alumnos de una clase siguen una distribucion
normal. Se sabe que el 38.21% de los alumnos obtuvieron una nota inferior a 4.7,
mientras que los que obtuvieron mas de 6 fueron el 15.87%. Se dira que un alumno
tiene un nivel excelente si su nota es mayor que 7.2.
(a) Calcular los parametros de la distribucion.
(b) Calcular la probabilidad de que un alumno sea excelente.
3.39. En una fabrica de turron, la cantidad de almendra determina su calidad. Se con-
sidera que el turron es de calidad normal si la cantidad de almendra es menor de
180 gramos, de calidad extra si la cantidad de almendra esta entre 180 y 200 gramos
y de calidad superior si la cantidad de almendra es superior a 200 gramos. Se sabe
que el 16.6% de las tabletas de turron son de calidad superior.
(a) Si la cantidad de almendra sigue una distribucion normal de media µ = 191,
hallar la desviacion tıpica de esta distribucion.
(b) Considerando σ = 9.28, ¿cual es la probabilidad de que en una tableta de
calidad superior, la cantidad de almendra sea menor de 208 gramos?
(c) Si se seleccionan 15 tabletas, hallar la probabilidad de que al menos 2 de ellas
sean de calidad superior.
3.40. Una empresa de productos carnicos tiene camiones a su servicio para transportar
su mercancıa. El peso que transporta un camion se distribuye segun una variable
Variables aleatorias 27
aleatoria X ∼ N(4750, σ) y se sabe que la probabilidad de que un camion transporte
menos de 5400 kg es de 0.9938.
(a) Determinar la desviacion tıpica de la variable X .
(b) Sea σ = 260. Si disponemos de 5 camiones, ¿cual es la probabilidad de que al
menos 3 de ellos transporten mas de 4100 y menos de 5400 kg?
3.41. En una plantacion de manzanos, el peso en kg de la fruta producida anualmente
por cada arbol sigue una distribucion normal de media desconocida y desviacion
tıpica 10.
(a) Hallar el valor de µ sabiendo que la probabilidad de que un arbol produzca
mas de 60 kg de fruta en un ano es de 0.1587.
Considerando µ = 50 en los siguientes apartados:
(b) Si un arbol ha producido mas de 60 kg de fruta en un ano, hallar la probabilidad
de que haya producido mas de 70 kg.
(c) Si seleccionamos 4 manzanos al azar,
(c1) Hallar la probabilidad de que la produccion total de los 4 manzanos supere
los 240 kg de fruta.
(c2) Hallar la probabilidad de que al menos uno de ellos haya producido mas
de 60 kg.
3.42. Se tira una moneda 12 veces. Hallar la probabilidad de que el numero de caras que
salgan este entre 4 y 7, ambos inclusive, usando:
(a) la distribucion binomial (b) la aproximacion normal a la distribucion binomial
3.43. Se tira un dado 180 veces. Determinar la probabilidad de que el numero de veces
que salga seis este:
(a) entre 29 y 32, ambos inclusive (b) entre 31 y 35, ambos inclusive
(c) por debajo de 22
3.44. Se sabe que la probabilidad de sacar cara al tirar una moneda trucada al aire es
0.4. Si se lanza la moneda 400 veces:
(a) ¿Cual es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?
(b) Calcular la probabilidad de obtener un numero de caras comprendido entre 180
y 210, ambos inclusive.
28 Matematicas II
(c) ¿Cual es la probabilidad de obtener exactamente 175 caras?
3.45. Los agricultores de una region estan preocupados por la calidad de sus cosechas,
ya que se ha detectado la existencia de sustancias contaminantes en el suelo en
ciertas areas. El terreno esta segmentado en parcelas de 100 m2 y tras analizarlo,
se concluye que hay una probabilidad de 0.6 de encontrar estos contaminantes en
una cualquiera de las parcelas. Se pide:
(a) Si un agricultor posee 15 de estas parcelas, ¿que probabilidad hay de que tenga
alguna contaminada?
(b) Una cooperativa posee 200 parcelas.
(b1) ¿Que probabilidad hay de que tenga estrictamente entre 100 y 150 parcelas
contaminadas?
(b2) Por cada parcela contaminada, la cooperativa sufre unas perdidas de 1000
euros, pero recibe una subvencion de 15000 euros por cada 50 parcelas en
propiedad. ¿Cual es la perdida que la cooperativa espera tener?
3.46. El tiempo de retraso medido en minutos del AVE Sevilla-Madrid sigue una variable
aleatoria continua con funcion de densidad
f(x) =
k + x
30si − 6 ≤ x ≤ 0
k − x
20si 0 < x ≤ 4
0 en otro caso
(a) Hallar k para que f sea funcion de densidad.
(b) Hallar la probabilidad de que un tren llegue antes de la hora prevista.
(c) Un dıa laborable, 15 trenes realizan el trayecto Sevilla-Madrid. Hallar la proba-
bilidad de que todos lleguen antes de la hora prevista.
(d) Hallar la probabilidad de que de todos los trenes que realizan el trayecto Sevilla-
Madrid en diez dıas laborables, al menos la mitad de ellos lleguen antes de la
hora prevista.
3.47. Una companıa aerea cuyos vuelos tienen capacidad para 150 plazas sabe por ex-
periencia que el 12% de las reservas telefonicas de plazas no se llevan a efecto, de
modo que reserva mas plazas de las que dispone.
(a) Si la companıa reservara 160 plazas, ¿cual serıa la probabilidad de que al menos
un pasajero no tenga plaza disponible a la hora de embarcar?
Variables aleatorias 29
(b) ¿cuantas reservas puede hacer la companıa para que la probabilidad de cubrir
al menos 145 plazas sea del 99%?
3.48. El porcentaje de cheques sin fondos recibidos en un banco es del 1%.
(a) Si en una sucursal han recibido 20 cheques en una manana, ¿cual es la probabili-
dad de que alguno de ellos no tenga fondos?
(b) El pasado mes de Junio la sucursal recibio 2000 cheques en total.
(b1) ¿Cual es la probabilidad de que a lo sumo 17 no tuvieran fondos?
(b2) Mensualmente, las sucursales son sometidas a un control interno si la
probabilidad de superar un cierto lımite k de cheques sin fondos recibidos
es de 0.63. ¿Cual fue el lımite para esta sucursal en el mes de Junio?
3.49. Se conoce que el diametro de los granizos que caen durante una tormenta sigue
aproximadamente una distribucion normal de media 1.5 cm con una desviacion
tıpica de 0.3 cm.
(a) Calcular el porcentaje de granizos cuyo diametro es superior a 2 cm.
(b) Para valorar el dano causado por una tormenta se miden los diametros de 10
granizos.
(b1) ¿Cual es la probabilidad de que al menos uno de estos granizos tenga un
diametro superior a 2 cm?
(b2) ¿Cual es la probabilidad de que el diametro medio este entre 1.8 y 2.1 cm?
(c) Se quiere instalar una malla para proteger una cosecha del granizo. ¿Cual es
el diametro que deben tener los agujeros de la malla para que a lo sumo la
atraviesen el 5% de los granizos?
3.50. En una empresa agrıcola dedicada a la produccion de abonos, se envasan sacos cuyo
contenido sigue una distribucion normal de 2000 g de media con una desviacion tıpica
de 50 g y solo el 5% de los sacos son defectuosos. Una vez envasados, los sacos se
distribuyen en pales de 500 unidades.
(a) Sabiendo que un saco se considera defectuoso si su contenido difiere mas de
cierta cantidad C de la cantidad media, determinar esta cantidad C.
(b) Obtener el numero de sacos defectuosos que se espera que haya en un pale.
(c) Calcular la probabilidad de que en un pale haya mas de 20 sacos defectuosos.
30 Matematicas II
(d) Sabiendo que el peso de los sacos que se utilizan como envase sigue una dis-
tribucion normal de 50 g de media con una desviacion tıpica de 5 g, calcular
el porcentaje de pales que supera un peso total de 1000 kg.
Variables aleatorias 31
