TEMA 1 LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL

El modelo geocntrico del universo

Los filsofos griegos elaboraron las primeras teoras racionales sobre la forma de la Tierra y su posicin en el Universo. Para explicar el movimiento del Sol, la Luna y los planetas mezclaban ideas filosficas con observaciones astronmicas.Filolao de Tarento (siglo V a.C.) es el primero en proponer la forma esfrica de la Tierra, que explicara la desaparicin gradual de los cascos de los barcos en el horizonte.Platn (siglo IV a.C.) difundi la teora geocntrica del Universo, segn la cual la Tierra tiene forma de esfera y ocupa el centro del Universo. Los cuerpos celestes tienen carcter divino y se mueven en torno a la Tierra con movimiento circular uniforme. Esta teora no explica varios aspectos como el movimiento retrgrado de los planetas, y el distinto brillo de los planetas a lo largo del tiempo, lo que indicara que no estn siempre a la misma distancia de la Tierra. Eudoxo de Cnido explica estos hechos con la teora de las esferas.Aristteles (siglo IV a.C.) enuncia que el origen del Universo es divino y el movimiento de los astros debe ser perfecto, por tanto circular uniforme. Sita a la Tierra inmvil en el centro del Universo, y divide el Cosmos en la regin sublunar, constituida por los cuatro elementos (tierra, aire agua y fuego), y la celestial, formada slo por ter, que lo llena todo. A distancias crecientes de la Tierra se encuentran las esferas que contienen a la Luna, el Sol, Mercurio, y los dems planetas, que giran con movimiento circular uniforme.El primer cientfico que propuso un modelo heliocntrico del Universo fue Aristarco de Samos (siglo III a.C), con el Sol en el centro de las rbitas, y la Tierra girando alrededor de su eje una vez al da y describiendo una circunferencia alrededor del Sol una vez al ao. Pero la autoridad de Aristteles hizo que este modelo no fuera aceptado hasta diecisiete siglos ms tarde.Finalmente, Ptolomeo (siglo II) asent el modelo geocntrico al dotarlo del aparato matemtico suficiente para predecir las posiciones astronmicas en su obra Almagesto, manual de astrnomos durante catorce siglos.

El modelo heliocntrico de Coprnico

Nicols Coprnico (siglo XV-XVI) emprendi la difcil tarea de elaborar clculos matemticos para construir un modelo astronmico centrado en el Sol, apoyado en que ste est inmvil en el centro del Universo, que los planetas giran alrededor de l, que la Tierra tiene tres movimientos (rotacin, traslacin alrededor del Sol y uno que fue finalmente errneo), y que la Luna gira en torno a la Tierra.As se explican la alternancia de los das y las noches, las estaciones, las fases de la Luna y el movimiento retrgrado. Pero su descripcin del Universo era contraria al pensamiento de la poca, por lo que fue condenado por la Iglesia y cuestionado por la comunidad cientfica.Galileo Galilei (siglo XV-XVI) hizo grandes aportaciones como astrnomo, y encontr razones suficientes para rechazar el modelo geocntrico, y defender que la Tierra se mova, por lo que fue condenado a retractarse pblicamente.

Leyes de Kepler

A finales del siglo XVI, Tycho Brahe demostr con sus observaciones que los cielos no son inmutables. Kepler (siglo XVI-XVII), utilizando sus datos, y las ideas de Coprnico, lleg a la conclusin de que las trayectorias no se ajustaban a un movimiento circular, sino elptico, estableciendo sus leyes:

1 Ley de Kepler: Los planetas describen rbitas elpticas alrededor del Sol, encontrndose este en uno de sus focos

Esta ley rompe con la ciencia antigua, segn la cual el movimiento perfecto es el circular uniforme. Al plano que contiene la rbita terrestre se le llama eclptica, y el eje de rotacin de la Tierra forma un ngulo de 23,5 con la perpendicular de la eclptica, hecho que explica las estaciones del ao.

2 Ley de Kepler o ley de las reas: Durante el movimiento de los planetas el radio vector que va desde el Sol a la posicin del planeta barre reas iguales en tiempos iguales (la velocidad aerolar es constante)

As se explica que el movimiento de los planetas no sea uniforme, van ms rpidos en la parte de la rbita ms prxima al Sol (perihelio) que en la ms alejada (afelio)

3 Ley de Kepler o ley de los perodos: Los cuadrados de los perodos del movimiento de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol.

Kepler dedujo esta ley para el Sistema Solar, pero tambin es vlida para cualquier conjunto de satlites con su astro central, pero con distintos valores para la constante.

Ley de Gravitacin UniversalEn la segunda mitad del siglo XVII, varios cientficos se preguntaron sobre el tipo de fuerza con la que debe actuar el Sol para que los planetas se muevan segn las leyes de Kepler.Newton utiliz el hecho de que un cuerpo lanzado horizontalmente describe una curva para extenderlo a que la fuerza que obliga a la Luna a girar alrededor de la Tierra tiene el mismo origen que la fuerza por la que los objetos situados cerca de la Tierra caen sobre su superficie. As, utilizando la fuerza centrpeta, asociada a un movimiento circular, la tercera ley de Kepler y la ley de accin y reaccin, se tendra que dicha fuerza debe ser:

que es la expresin matemtica de la Ley de Gravitacin Universal, con mL masa de la Luna, mT la de la Tierra, y r la distancia entre los centros de ambos astros. Esta ley, inicialmente enunciada para la Tierra y la Luna, se extiende para cualesquiera dos cuerpos en el Universo, considerando su masa concentrada en el centro de masas de cada uno. La distancia entre astros tambin puede medirse por unidades astronmicas (UA). Dicha unidad equivale a la distancia media Tierra-Sol.Por tanto, el mdulo de la fuerza de atraccin entre dos objetos es directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros.La constante de proporcionalidad G se denomina constante de gravitacin universal, y es independiente de la composicin, y de cualquier otra caracterstica de los objetos. sta fue determinada por Henry Cavendish (siglo XVIII), utilizando una balanza de torsin, artilugio ideado por l, y dicho valor es G = 6,67 10-11 N m2/kg2, y representa el mdulo de la fuerza con la que interaccionan dos cuerpos de masa 1 kg situados a 1 m de distancia.El peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria resultante que acta sobre l, debida a todos los dems objetos del Universo. En la superficie de la Tierra o cerca de ella la fuerza de atraccin terrestre es tan grande que el peso de un objeto slo depende de ella, y lo mismo ocurre en la superficie de la Luna o de otro planeta.Denominando g0 a la aceleracin con la que caen los objetos en la superficie de la Tierra, se tiene:

que, en el caso de los datos de la Tierra, g0 = 9,81 m/s2.

2 2 22 3

3 3 3 ... constanteTierra Venus Marte

Tierra Venus Marte

T T T T C rr r r

= = = = =

2L Tm mF Gr

=

20 2

0

TT

TT

m mF G mR g GR

P m g

=

==

Leyes de Newton:

Primera ley de Newton o principio de inercia: Si sobre un cuerpo no acta ninguna fuerza, o la resultante de las fuerzas aplicadas sobre l es nula, permanecer en su estado de reposo inicial o seguir movindose con movimiento rectilneo y uniforme.

Segunda ley de Newton o principio fundamental: La fuerza neta que acta sobre un cuerpo es directamente proporcional a la masa y a la aceleracin con que se mueve . Matemticamente:

Tercera ley de Newton o principio de accin y reaccin: Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, ste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido contrario. Es decir:

Momento lineal:

Se define la cantidad de movimiento o momento lineal de un cuerpo de masa m dotado de una velocidad v como el producto de su masa por su velocidad. Dicha magnitud se representa por p:

Momento angular:

Se define momento angular LO de una partcula de masa m respecto de un punto O, al momento de la cantidad de movimiento, p, de la partcula respecto del mismo punto.

Ecuacin fundamental de la Dinmica de Rotacin:

En un movimiento de rotacin, tal como el que se produce en el de la Tierra alrededor del Sol, se cumple la Ecuacin Fundamental de la Dinmica de Rotacin, que dice que:

con r radio del movimiento, F fuerza que produce el mismo, I momento de inercia del cuerpo que rota, caracterstico de cada tipo de cuerpo (esfera, disco, cilindro,...) y aceleracin angular del cuerpo. El problema nmero 5 ilustra el tipo de ejercicio clsico de Dinmica de Rotacin. Problemas tipo del tema:

81 1

1.- Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe unarbita circular de radio 1 10 km con un perodo de rotacin 2 aos, mientras qur T= =

( )( ) ( )

82

22 2 21 2 2

23 33 3 8 81 2

e el planeta 2 describe unarbita circular de radio 1,4 10 km. Cul es el perodo de rotacin del planeta 2?

2 aosAplicando la tercera ley de Kepler: 3,

1 10 km 1, 4 10 km

r

T T T Tr r

=

= = =

3 aos

. Su mdulo es con el ngulo que forman y O OL r p r mv L r m v sen r v = = = ur r ur r r r r

2.- La Tierra en su perihelio est a una distancia de 147 millones de km del sol y lleva una velocidad de 30,3 km/s.Cul es la velocidad de la Tierra en su afelio, si dista 152 millones de km del sol?

Teniendo en cuenta que Eliminamos la masa de la Tierra a ambos lados, y despejando, tenemos: 29,3 km/s

afelio perihelio perihelio Tierra perihelio afelio Tierra afelio

perihelio

L L r m v r m vv

= =

=

ur ur

F ma= ur r

1 2 2 1F F = ur ur

p m v=ur r

r F I =

3.- Calcula el perodo de la estacin espacial internacional (ISS), sabiendo que gira en una rbita situada a unadistancia media de 400 km sobre la superficie de la TierraAplicando la segunda ley de N

2 2 22

2 2

3 3

0 2 20

ewton (ley de accin y reaccin) y considerando la rbita circular, se tiene:4

Despejamos T: 2 . Como 2 93min

T ISS Tgravitatoria centrpeta ISS

T

T T

M m Mv rF F G m G vr r r T

Mr rT g G TG M r g R

pi

pi pi

= = = =

= = = =

2

4.- La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la Tierra. Calcula lo quepesar en la superficie de la Luna una persona que tiene una masa de 70 kg.

LL

L

MM mP G GR

= =2

0,2 216 16 1681 9,8 m/sg 70 kg 135,5 N81 81 81

4

T

TT

TT

m MG m g mRR

= = = = 25.- Sobre una rueda de 0,72 m de radio y momento de inercia I = 48 kgm , se aplica tangencialmente una fuerza

de 10 kp en su periferia. Calcular: a) la aceleracin angular, b) la velocidad angular a los 4 segundos si parti delreposo. c) el nmero de vueltas que efecta en los 4 segundos. Dato: 1 kilopondio (kp) = 9,8 newton (N).a) Teniendo en cuenta la ecuacin fundamental de la Dinmica de Rotac

22

0

0

in: 0,72 98 1,47 rad/s

48kgmb) La ecuacin que relaciona la velocidad angular ( ) con la aceleracin angular en un movimiento acelerado es:

Si parte del reposo, 0 1,

r F m Nr F II

tt

= = = =

= +

= = = 2

2 20 0

47 rad/s 4 s 5,88 rad/sc) Para calcular el n de vueltas, calculamos primero el espacio recorrido en el movimiento de rotacin, a partir dela ecuacin correspondiente:

1 1 0 1,474 112 2

t t

=

= + + = + =1 vuelta,76 rad 1,87 vueltas2 radpi

=