TEMA 1. HERRAMIENTAS PARA EL CONTROL DE …academic.uprm.edu/dgonzalez/lab4078/MANUAL LABORATORIO ININ 4… · Dentro del control de calidad existen siete herramientas básicas: Diagramas

UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO

RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL

GUIA DE LABORATORIO CONTROL ESTADISTICO DE CALIDAD ININ 4078

David R. González Barreto Victoria E. Bastidas Guzmán

1

TEMA 1. HERRAMIENTAS PARA EL CONTROL DE CALIDAD

Dentro del control de calidad existen siete herramientas básicas:

Diagramas de Flujo

Hojas de Registro

Diagramas de pareto

Histogramas

Diagramas de causa – efecto

Diagramas de Dispersión

Gráficos de control

La combinación de éstas proporciona una metodología práctica y sencilla para la solución efectiva

de problemas, el mejoramiento de procesos, el establecimiento de controles en las operaciones del

proceso.

A continuación se presenta una breve descripción de cada una de estas herramientas, su uso y la

metodología si aplica, para trabajarlas en software como MINITAB® y MATLAB®.

1.1 DIAGRAMAS DE FLUJO

Son la representación gráfica de los pasos de un proceso, y se realizan para entender

mejor al mismo.

Representan la forma más tradicional para especificar los detalles de un proceso.

Se utilizan principalmente en programación, economía y procesos industriales.

Ayuda a identificar puntos críticos del proceso.

Identificar áreas de mejoras.

Identificar potenciales fuentes de problemas.

Pueden ser usados para adiestramientos.

Estos diagramas utilizan una serie de simbolos con significados especiales.

H

ER

RA

MIE

NT

AS

PA

RA

EL

CO

NT

RO

L D

E C

AL

IDA

D






2

Simbolos utilizados en los Diagramas de Flujo

FLECHA. Indica el sentido y trayectoria del proceso.

RECTANGULO. Se usa para representar un evento o

proceso determinado.

RECTANGULO REDONDEADO. Se usa para

representar un evento que ocurre de forma automática

y del cuál generalmente se sigue una secuencia determinada.

ROMBO. Se utiliza para representar una condición.

CIRCULO. Representa un punto de conexión entre procesos.

1.2 HOJAS DE REGISTRO

Mecanismo sencillo para recolectar datos.

Se utilizan para :

Organizar la información por categorías.

Señalar el número de veces que un valor particular ocurre.

Puede recolectar información particular de una estación.

Ayuda al operador a identificar problemas.

Usualmente son utilizados para la construcción de Cuadros de Pareto

Las hojas de registro se diseñan de acuerdo a las características propias del proceso evaluado, no

tienen un esquema fijo, ya que deben contener la información requerida de acuerdo a cada caso

especifico.

Un ejemplo de una hoja de registro típica se presenta a continuación:






3

1.3 DIAGRAMAS DE PARETO

Constituye un método de análisis sencillo y gráfico, que permite discriminar entre las

causas más importantes de un problema (pocos y vitales) y las que lo son menos

(muchos y triviales).

La regla del 80-20: “El 80% de los problemas son causados por un 20% de potenciales

fuentes”.

VENTAJAS

Ayuda a concentrarse en las causas que tendrán mayor impacto en caso de ser

resueltas.

Proporciona una visión simple y rápida de la importancia relativa de los problemas.

Ayuda a evitar que se empeoren algunas causas al tratar de solucionar otras o ser

resueltas.

Su formato altamente visible proporciona un incentivo para seguir luchando por más

mejoras.

Ejemplo






4

Para enseñar el uso de esta herramienta utilizando MINITAB®, se usará el caso de una compañía

de Internet que ofrece cierta gama de productos por medio de su Web site, está interesado en las

causas del descontento del cliente. Las quejas que la compañía ha recibido y clasificado son:

tiempo de entrega de una orden, entrega de un producto dañado, entrega de una orden

incorrecta, errores en el procedimiento de facturación, o cualquier otro tipo de queja. Los datos

recolectados se presentan a continuación:

Los pasos a seguir se presentan de forma gráfica:

a. Ingreso de datos. Utilizando el Worksheet que ofrece MINITAB®, distribuimos la

información que deseamos analizar en dos columnas. Una corresponderá a la causa o

característica evaluada y la segunda columna deberá contener el número de veces o frecuencia

con que se presenta cada característica.

CAUSA FRECUENCIA

Tiempo de entrega 481

Producto dañado 134

Orden incorrecta 83

Error en Facturación 44

Otro 21

Total 763






5

b. Analisis de datos. A continuacion seleccionamos la opción que deseamos utilizar, por medio

del menú de opciones que se presenta en la parte superior de la pantalla, en este caso los pasos a

seguir son:

STAT > QUALITY TOOLS > PARETO CHART

Al seleccionar esta opción, aparecerá la ventana Pareto Chart y se presenta a continuación:






6

Una vez aparezca esta imagen se debe seleccionar la opcion Chart Defects Table asignando en

Labels In: la columna de causas definida en el Worksheet y en Frequencies In: la columna de

frecuencia igualmente definida en el Worksheet. Por ultimo se selecciona la opcion OK y el

analisis de los datos aparecerá en la pantalla.

Como se puede ver en la gráfica aparecen tanto la frecuencia de cada causa y su correspondiente

porcentaje de acuerdo con el número total de observaciones, esto en orden creciente, característica

específica de los gráficos de Pareto. Adicionalmente aparece el porcentaje acumulado,

información de gran importancia en la definición de las causas que mas influencia tienen de

acuerdo con la regla del 80-20.

La interpretación de esta gráfica indica que las causas que tienen mayor peso en la

disconformidad de los clientes son: Tiempo de entrega y Producto Dañado, ya que acumulan el

80.6% de participación. Las causas con menor relevancia son Orden incorrecta y Error en

Facturación. Por lo tanto los correctivos de la compañía se deben centrar en optimizar los tiempos

de entrega de las órdenes y en garantizar un producto de óptima calidad.

1.4 HISTOGRAMAS

Es un resumen gráfico de la variación de un conjunto de datos. La naturaleza gráfica del

histograma nos permite ver pautas que son difíciles de observar en una simple tabla numérica.

Esta herramienta se utiliza especialmente en la Comprobación de teorías y Pruebas de validez.

Count 481 134 83 44 21

Percent 63.0 17.6 10.9 5.8 2.8

Cum % 63.0 80.6 91.5 97.2 100.0

Co

un

t

Pe

rce

nt

CAUSA

Other

Erro

r Fac

tura

ción

Orden

Inco

rrec

ta

Prod

ucto

Dañ

ado

Tiem

po d

e En

treg

a

800

700

600

500

400

300

200

100

0

100

80

60

40

20

0

Pareto Chart of CAUSA






7

Utilidades

Para hacer seguimiento del desempeño actual del proceso

Para seleccionar el siguiente producto o servicio a mejorar

Probar y evaluar las revisiones del proceso a mejorar

Cuando se necesita obtener una revisión rápida de la variabilidad dentro de un proceso

Los tipos de distribuciones que se pueden obtener por medio de un Histograma son:

CONSTRUCCIÓN DE UN HISTOGRAMA

Algunas de las consideraciones generales que se tienen en cuenta para construir un histograma

son:

Determinar el rango de los datos: RANGO es igual al dato mayor menos el dato

menor; R = > - <

Obtener en número de clases, existen varios criterios para determinar el número de

clases (o barras). Un criterio usado frecuentemente es que el número de clases debe ser

aproximadamente la raíz cuadrada del número de datos, por ejemplo, la raíz cuadrada

de 30 (número de artículos) es mayor que cinco, por lo que se seleccionan seis clases.

Establecer la longitud de clase: es igual al rango entre el número de clases.

Construir los intervalos de clases: Los intervalos resultan de dividir el rango de los

datos en relación al resultado del PASO 2 en intervalos iguales.

Graficar el histograma: se hace un gráfico de barras, las bases de las barras son los

intervalos de clases y altura son la frecuencia de las clases. Si se unen los puntos

medios de la base superior de los rectángulos se obtiene el polígono de frecuencias.






8

Ahora bien, este proceso se facilita, si se usa algún software que permita la construcción del

histograma de manera más precisa. En este caso se explicarán cuales son los pasos a seguir para

construirlo utilizando MINITAB® y MATLAB®.

Ejemplo

El caso que se utilizará para explicar la construcción del histograma es el de una compañía

fabricante de Shampoo que necesita asegurarse de que los casquillos en sus botellas se estén

sujetando correctamente. Si están sujetados demasiado libres, pueden caer durante el envío. Si

están sujetados demasiado firmes, pueden ser duras para que los clientes las abran. Se recoge una

muestra al azar de botellas entre todas las máquinas que intervienen en el proceso, para probar el

esfuerzo de torsión requerido para quitar los casquillos. Cree un histograma para evaluar los

datos y para determinar que tan cercanas estan las muestras al valor requerido de 18.

Usando MINITAB®, los pasos a seguir son:

a. Ingreso de datos. Utilizando el Worksheet que ofrece MINITAB®, se distribuye la

información que se desea analizar en una columna. Deben listarse las datos por máquina de

acuerdo a como se obtuvieron en la muestra.

b. Analisis de datos. A continuación se selecciona la opción que se desea utilizar, por medio del

menú de opciones que se presenta en la parte superior de la pantalla, en este caso los pasos a

seguir son:






9

GRAPH > HISTOGRAMS

Simultáneamente a esto aparecerán una serie de ventanas, las opciones que se deben seleccionar

son:

1. En la ventana Histograms, seleccionar la opcion Simple. Para obtener un histograma sencillo

sin ajuste de distribucion (Whit Fit), el cual es el que se necesita para este caso. Y se selecciona el

botón OK.






10

2. En la ventana Histograms – Simple, en la opción Graph variables se incluye la columna

Torque de la hoja de datos.

3. Existen 5 opciones dentro de la ventana Histograms – Simple, estas opciones se consideran en

el caso de que se quiera modificar la apariencia de la grafica, por ejemplo si se desea que cada

valor de torque con su frecuencia sea considerado en una grafica individual, etc.

4. Si no se desea modificar la apariencia general de la grafica se selecciona OK y se obtiene el

histograma como se presenta a continuación.

Torque

Fre

qu

en

cy

36322824201612

14

12

10

8

6

4

2

0

Histogram of Torque






11

La interpretación de esta gráfica indica que la mayor parte de los casquillos fueron sujetados con

un esfuerzo de torsión de 13 a 25. Solamente un casquillo estaba muy libre, con un esfuerzo de

torsión de menos de 11. Sin embargo, la distribución se comporta de manera positiva; varios

casquillos estaban mucho mas apretados de lo debido, es decir requirieron un esfuerzo de torsión

mayor de 24 y 5 casquillos requirieron un esfuerzo de torsión superior a 32, que es casi el doble

del valor establecido como requerido.

Usando MATLAB®, los pasos a seguir para la construcción del Histograma son:

1. Ingreso de datos. Utilizando el Workspace se crea una variable para ingresar los de los datos

recolectados en la muestra y conformar asi el vector con el cual se construirá el histograma.

2. Una vez creada la variable, se debe dar doble clic sobre esta, con el objetivo de inicializar el

Array Editor, en el cual se ingresaran los datos de la muestra. A continuación se presenta una

imagen de la ventana, despues de ingresados los datos.






12

Una vez se tengan los datos en el Array Editor se debe guardar como un archivo. Esto se hace por

medio de la opcion Save que se presenta en el Workspace.

OPCION A

SELECCIONAR

VARIABLE






13

3. Una vez conformado el vector de datos, se procede a generar la gráfica. Esto se debe hacer en

Command Window. La instrucción básica para construir el histograma , una vez se haya creado

el vector con los datos de la muestra, es la siguiente:

>>hist(y)

Donde (y) es el nombre asignado a la variable o vector de datos.

Si se desea asignar un titulo a la grafica y a cada uno de los ejes, las instrucciones son:

La grafica que se genera a partir de este comando, es igual a la que se obtiene con MINITAB®,

según como se muestra en la siguiente imagen:






14

Otra opción para generar el Histograma en MATLAB®, consiste en crear directamente el vector

de datos en Command Windows, se escriben los datos separados por punto y coma (;) para

indicar que forman un vector de n filas y 1 columna, de la siguiente manera:

y [24;14;18;27;17;32;31;27;21;27;24;21;;24;26;31;28;32;24;16;22;37;36;21;16;17;22;34;20;19;

16;16;18;30;21;16;14;15;14;14;25;15;16;15;19;15;15;19;19;30;24;10;15;17;17;21;34;22;17;15;17;

20;17;20;15;17;24;20]

El comando para construir el histograma, es exactamente el mismo que se planteó anteriormente.

>> hist (y)

1.5 DIAGRAMA CAUSA – EFECTO

El Diagrama de causa y Efecto (o Espina de Pescado) es una técnica gráfica ampliamente

utilizada, que permite apreciar con claridad las relaciones entre un tema o problema y las posibles

causas que pueden estar contribuyendo para que él ocurra






15

¿CÓMO CONSTRUIRLO?

Establecer claramente el problema (efecto) que va a ser analizado.

Diseñar una flecha horizontal apuntando a la derecha y escribir el problema al interior de

un rectángulo localizado en la punta de la flecha.

Hacer una "Lluvia de ideas" para identificar el mayor número posible de causas que

puedan estar contribuyendo para generar el problema, preguntando "¿Por qué está

sucediendo?".

Agrupar las causas en categorías, una forma muy utilizada de agrupamiento es la 4M:

máquina, mano de obra, método y materiales.

Para comprender mejor el problema, buscar las sub-causas o hacer otros diagramas de

causa y efecto para cada una de las causas encontradas.

Escribir cada categoría dentro de los rectángulos paralelos a la flecha principal. Los

rectángulos quedarán entonces, unidos por líneas inclinadas que convergen hacia la flecha

principal.

Se pueden añadir la causas y sub-causas de cada categoría a lo largo de su línea inclinada,

si es necesario.

Esta herramienta también se puede construir utilizando MINITAB®. Para explicar los pasos que

se siguen en el proceso de construcción de este diagrama, se utiliza el siguiente caso.

La Gerencia de una compañía que elabora un determinado producto de decoración, después de

registrar muchas quejas por parte de los clientes, debido a la calidad del producto, decidió

analizar la situación para determinar los factores que influyen en que el producto final tenga una

superficie defectuosa.

A continuacion se especifican los pasos que se deben seguir para la construcción de este diagrama

en el software MINITAB®:

1. En el Worksheet, se ingresan los datos que se desean considerar en la evaluación. Los datos

deben conformar una columna por cada categoría analizada. Según se muestra a continuación.






16

2. Después de esto y por medio del menú de opciones que se presenta en la parte superior de la

pantalla, se elige:

STAT > QUALITY TOOLS > CAUSE AND EFFECT






17

En este momento aparece una ventana que presenta las siguientes opciones:

Una vez en esta ventana, dentro de la opción Causes se selecciona por cada Branch una columna

de las definidas en el Worksheet; se debe considerar la opción Label, ya que esta asigna el titulo a

cada una de las ramas o branchs del diagrama, por lo cual se debe definir el nuevo nombre si es

que el predeterminado no coincide con el asignado a la correspondiente columna. Esto se aclara

en la siguiente vista de la pantalla.






18

En la opción Effect se escribe el problema que esta siendo evaluado. En la opción Title se escribe

el nombre con el cual se desea identificar la gráfica. Por ultimo se selecciona OK para obtener el

diagrama Causa-Efecto.

Esta es la imagen que ofrece MINITAB® para el diagrama Causa-Efecto, con este se obtiene una

representación visual del problema y las posibles causas. De esta manera se facilita el análisis y

planteamiento de soluciones.

1.6 DIAGRAMAS DE DISPERSION

Es una técnica estadística utilizada para estudiar la relación entre dos variables. La relación entre

dos variables se representa mediante una gráfica de dos dimensiones en la que cada relación esta

dada por un par de puntos.

También son llamados Gráficos de Correlación porque permiten estudiar la relación entre

2 variables X y Y, se dice que existe una correlación entre ambas si cada vez que aumenta

el valor de X aumenta proporcionalmente el valor de Y (Correlación positiva) o si cada vez

que aumenta el valor de X disminuye en igual proporción el valor de Y (Correlación

negativa).

La variable del eje horizontal (X) normalmente es la variable causa, y la variable del eje

vertical (Y) es la variable efecto.

Se utiliza para confirmar o negar la sospecha.

defectuosa

Superficie

Training

Environment

Measurements

Methods

Material

Machines

Personnel

O peradores

Entrenamiento

Superv ision

Turnos

V elocidad

Tornos

Inutilizacion

Roturas

Prov eedores

Lubricantes

A leaciones

Brake

Soporte

A ngulos

Inspecciones

Microscopios

Micrometros

C ondensacion

% Humedad

Pruebas

Tutores

Diagrama Causa Efecto






19

Una Diagrama de dispersión tiene la siguiente imagen:

Ejemplo

Una compañía esta interesada en determinar si las baterías de la cámara fotográfica que elaboran,

se encuentran de acuerdo con las necesidades de sus cliente. Un estudio de mercado, demuestra

que los clientes se molestan si tienen que esperar mas de 5.25 segundos entre flashes. Se recoge

una muestra de las baterías que han estado utilizando en las cámaras que variaban de tiempo, con

el objetivo de medir el voltaje restante inmediatamente después de un flash (VoltsAfter) y medir

tambien la longitud de tiempo requerida para poder destellar otra vez (FlashRecov). Es necesario

crear un diagrama para examinar los resultados. Se debe incluir una línea de referencia para el

tiempo de destello crítico en la recuperación de 5.25 segundos.

Utilizando MINITAB® se puede construir este tipo de diagramas, las instrucciones que se deben

seguir son:

1. Se ingresan los datos, conservando la relación entre variables; esto quiere decir que se deben

escribir los valores registrados uno en frente del otro, conformando de esta manera una columna

por cada variable.






20

2. Utilizando la barra de opciones de la pantalla de MINITAB®, se eligen las siguientes opciones:

GRAPH > SCATTERPLOT






21

A continuación aparece una ventana, la cual presenta las siguientes opciones:

Para este caso se elige la opción Simple, para construir un grafico sencillo. Si se desea realizar un

análisis un poco mas riguroso se puede utilizar alguna de las otras opciones que se incluyen en

esta ventana. Por ultimo se elige la opción OK.

El paso siguiente consiste en seleccionar cual variable se ubicará en el eje X y cual en el eje Y. Esto

se hace en la pantalla Scatterplot- Simple, de acuerdo como se aprecia a continuación:

Si se desea adicionar algo más a la gráfica, líneas de referencia, la escala de los ejes, los niveles

entre otros, se puede utilizar alguna de las opciones que presenta la anterior ventana: Scale,






22

Labels, Data View, Multiple Graphs, Data options. Para finalizar con la gráfica del caso, se elige

la opción OK.

La imagen que se obtiene de la gráfica se muestra a continuación:

1.7 GRAFICOS DE CONTROL

Es la principal herramienta utilizada para llevar a cabo el control estadístico de calidad. Es una

técnica grafica en la cual las estadísticas calculadas de los valores obtenidos son marcadas con

relación al tiempo para determinar si el proceso permanece en control. La gráfica esta conformada

por tres líneas o límites horizontales:

Central

Límite de Control Superior (LCS)

Límite de Control Inferior (LCI)

Permite distinguir entre las causas de variación. Las cuales se agrupan en:

Causas aleatorias de variación. Son causas desconocidas y con poca significación, debidas

al azar y presentes en todo proceso.

Causas específicas (imputables o asignables). Normalmente no deben estar presentes en el

proceso. Provocan variaciones significativas.

Existen diferentes tipos de gráficos de control:

De datos por variables

Gráfica de promedios (x barra)

Gráfica de rangos (R)

VoltsAfter

Fla

sh

Re

co

v

1.51.41.31.21.11.00.9

7.5

7.0

6.5

6.0

5.5

5.0

4.5

4.0

3.5

Scatterplot of FlashRecov vs VoltsAfter






23

De datos por atributos

Gráfica de proporciones (p)

Gráfica de ocurrencias (c)

De igual manera que en los casos anteriores MINITAB® ofrece la opción de construir los

diferentes tipos de gráficos de control. Para esquematizar como se utiliza el software en este caso,

se utilizará la siguiente situación:

Suponga que trabaja en una planta de montaje de coches en el departamento que ensambla los

motores. En un motor, las piezas del cigüeñal se mueven de arriba hacia abajo a cierta distancia

de la posición ideal de la línea de fondo. ABDist es la distancia (en milímetros) (a) de la posición

real de un punto respecto al cigüeñal hasta la posición de la línea de fondo (b). Para asegurar la

calidad de la producción, se tomaron cinco medidas por cada día laborable, de septiembre 28 a

octubre 15, y luego diez por día de septiembre 18 a octubre 25. Se debe dibujar un gráfico de

control (X) para seguir el nivel del proceso en ese período, y probar la presencia de causas

especiales.

La construcción del gráfico inicia con el ingreso de los datos en el Worksheet, en forma de

columna. Posteriormente se debe seleccionar la opción:

STAT > CONTROL CHART > Xbar

Según se muestra a continuación

En la ventana que aparece después de realizar el paso anterior, se debe:






24

1. Elegir la opción All observations for a chart are in one column, ya que los datos estan

organizados en una sola columna. En la casilla siguiente, se selecciona la columna donde estan los

datos ABDist. En Subgroup sizes, se elige la columna del Día, ya que los datos estan agrupados

por muestras tomadas cada día, durante el período evaluado. Luego de esto se debe elegir la

opción OK.

MINITAB® calcula automáticamente la media de los datos y por lo tanto los límites de control, si

se deseara establecer límites diferentes se puede hacer por medio de la opción Xbar Options. Por

último para finalizar se elige la opcion OK.

El procedimiento mencionado se presenta a continuación:

La grafica que se obtiene se observa de la siguiente manera

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

191715131197531

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

__X=0.44

UCL=3.55

LCL=-2.67

Xbar Chart of ABDist

Tests performed with unequal sample sizes






25

La construcción de este gráfico de control tambien se puede hacer en MATLAB®, los pasos a

seguir son:

1. Se debe crear una variable, en Workspace para ingresar los datos de la muestra en el Array

Editor.

2. Luego de crear la variable, se procede a crear la rutina con la cual se procederá a construir la

gráfica. Vale la pena resaltar que este programa calcula todos los datos necesarios para generar la

gráfica. Pero para obtener la imagen final se deben adicionar algunos comandos que permiten

visualizar completamente los límites y los datos completos. El comando que se utiliza para

generar la grafica se presenta a continuación:






26

Esta gráfica no es igual, a la obtenida en MINITAB®, debido a que los datos fueron agrupados.

Para lograr esto en MATLAB®, se debe generar una subrutina, para obtener los promedios de los

valores por cada día evaluado. Pero en términos generales, la construcción de la gráfica cuando el

listado es de datos individuales se hace igual en los dos programas.






27

TEMA No. 2 GRAFICOS DE CONTROL POR VARIABLES

1. PROCESO EN CONTROL

Existen dos etapas dentro del control estadístico de los procesos:

- PRECONTROL (Fase I): En el se hace un análisis sobre lo que se quiere, en cuanto al

comportamiento del proceso, se definen las características de evaluación: Limites de control,

Tamaño y frecuencia de muestreo y se definen las causas posibles y atribuibles que podrían hacer

que el proceso salga de control es decir sobrepase los límites.

- CONTROL (Fase II): ya con un tamaño de muestra y frecuencia de muestreo definidos, se

procede a evaluar el proceso y a verificar su comportamiento: tendencias, variaciones aleatorias

sobre el límite central, puntos fuera de los limites, entre otras. Cuando ocurre alguna anormalidad

dentro del proceso, y como ya se definieron en el PRECONTROL las causas posibles y atribuibles,

se analiza lo ocurrido antes y durante el muestreo para definir el porque de la ocurrencia y así

eliminarlo del proceso para llevarlo de nuevo a control. Ejemplo: Fatiga, Calibración de máquinas,

etc.

2. GRAFICOS DE CONTROL

Se trata de diagramas en los que se representa el comportamiento de un proceso en el tiempo a

través de los valores de un estadístico asociado con una característica de calidad del producto.

Desde el punto de vista estadístico, estos gráficos permiten realizar continuamente pruebas de

hipótesis sobre una de las características del proceso. El objetivo de los gráficos de control es

facilitar la vigilancia del proceso para así detectar rápidamente la presencia de causas asignables y

minimizar la producción defectuosa.

Los gráficos de control están pensados para ser usados directamente por los propios operadores,

de modo que las acciones se tomen rápidamente. Un gráfico de control se construye a partir de

muestras tomadas regularmente en el tiempo, para cada una de las cuales se calcula un estadístico

asociado con un parámetro de la distribución de la característica de calidad. Estos valores se

grafican junto con una línea central y un par de líneas de control (superior e inferior).

Para poder considerar al proceso bajo control, los puntos del gráfico deben estar dentro de los

límites de control y presentar comportamiento aleatorio.

GR

AF

ICO

S D

E C

ON

TR

OL

PO

R

VA

RIA

BL

ES






28

La selección de la frecuencia de muestreo y del tamaño de los subgrupos debe estar basada en los

conocimientos que se tengan sobre el proceso. Usualmente se recomienda tomar al menos 20

muestras para construir los límites de control.

- Diagramas para control de variables: se utiliza cuando la característica de calidad puede

expresarse como una medida numérica (diámetro de un cojinete, longitud de un eje, etc.)

- Diagramas para control de atributos: se utiliza cuando la característica de calidad corresponde a

una variable binaria (presencia o no de defectos, etc.)

2.1 GRÁFICOS DE CONTROL PARA VARIABLES

Se supone que la distribución de la característica de calidad es normal ( , ), al menos

aproximadamente. De aquí que se requieran dos gráficos, uno para cada parámetro de la

distribución.

Los pares más comunes son los de medias y desviaciones estándar, los de medias y rangos, y los

gráficos para observaciones individuales y rangos móviles.

- Gráficos de medias y rangos (X-barra, R)

Se construye un gráfico para la evolución de las medias de los grupos (asociado con la ubicación

de la característica ) y otro para la evolución de los rangos (asociado con la dispersión de la

característica ). Se utilizan los rangos para medir la variabilidad ya que son fáciles de calcular y

tienen una eficiencia similar a la desviación estándar para subgrupos pequeños.

Pasos para la construcción de gráficos

1. Se toman k muestras de tamaño n (usualmente constante y menor a 7).

2. Se calcula la media y el rango de cada muestra:

3. Se estiman los promedios poblacionales

ijj

ijj

i

n

j

iji xxRxn

X minmax 1

1

k

i

i

k

i

i Rk

RXk

X

11

1

1






29

4. Para construir los límites de control, recordemos que bajo la suposición de normalidad y

control estadístico se tiene

Donde d2 y d3 son constantes que dependen solo de n y pueden encontrarse definidos en tablas.

Si se conocen y , estos se pueden usar para calcular los límites de control:

Medias

Rangos

Si no se conocen y (lo más común) deben estimarse a partir de los datos:

Medias

Rangos

Lo más común es trabajar con n fijo para todos los subgrupos, sin embargo en algunos casos esto

no es posible.

Cuando se trabaja con una característica de calidad que es una variable, esto es usualmente

necesario para monitorear el valor de la media y la variabilidad de dicha características de

calidad. El control del promedio del proceso o de la media de la calidad es usualmente hecho

mediante un grafico de control para medias o grafico X barra. La variabilidad del proceso puede

ser monitoreada con otros gráficos de control para la desviación estándar, llamados gráficos S, o

un grafico de control para el rango, llamado grafico R. El grafico R es más utilizado. Los gráficos

X barra y R son los mas importantes y usados en la línea para el monitoreo estadístico del proceso

y las técnicas de control.

Para comprender la funcionalidad de esta herramienta, se ejemplarizará con el siguiente caso:

“Una compañía fabricante de Shampoo, identifico que los casquillos en sus botellas no están

siendo sujetados correctamente. De acuerdo con un análisis preliminar a una muestra tomada del

proceso, se concluyó que muchos casquillos requieren un esfuerzo de torsión mayor a la media

establecida. Y un porcentaje aun superior, requieren un esfuerzo de torsión menor a la media, ya

que están siendo sujetados demasiado libres. Se desea establecer control estadístico para el

esfuerzo de torsión que requieren los casquillos, utilizando gráficos X-barra y R. Veinticinco

ALICLCALSC

RDLICdLCRDLSC 122

RAXLICXLCRAXLSC 22

RDLICRLCRDLSC 34

232 )()(

)()(

dREdRSDdRE

XEn

XSDXE

ii

ii






30

muestras, cada una de tamaño cinco, han sido tomadas cuando se piensa que el proceso está en

control”. El esfuerzo de torsión requerido en cada casquillo de la muestra se presenta en la tabla

siguiente:

Muestra

Número Observación

1 18.2213 17.7579 18.0549 17.1754 18.5268

2 17.9377 17.8426 17.6162 17.8409 17.3288

3 17.6901 18.7148 18.1332 17.2170 18.0158

4 16.6038 16.6193 17.6805 18.0079 18.1244

5 19.2153 18.0971 16.7675 18.0569 17.4368

6 17.0542 18.0948 18.0604 17.5833 18.1350

7 19.5988 17.6993 18.4720 17.5352 16.3306

8 16.3989 17.9210 17.8425 18.7546 18.7461

9 18.2864 17.8592 18.2763 18.6074 16.9673

10 17.4998 19.6341 17.5669 18.2736 17.4701

11 17.5133 17.8886 18.5200 17.7513 18.6290

12 17.6925 17.5625 17.3734 18.8030 18.5224

13 16.5648 17.6300 17.5649 18.6268 17.9224

14 17.9862 17.8139 18.7105 18.2432 18.0574

15 18.5689 17.7038 17.7143 18.3169 18.3229

16 17.3121 17.7337 18.4542 18.3961 18.1775

17 17.4524 17.9607 18.2440 17.9318 17.7909

18 18.5263 18.4644 17.9723 18.3178 17.4447

19 17.9316 19.6219 17.5263 17.7146 19.1648

20 18.3878 18.6713 18.0672 17.8443 17.7236

21 18.0598 19.0993 18.6741 18.0713 18.5956

22 17.7930 17.6687 17.9175 18.5016 18.1012

23 16.9008 18.1932 18.3701 17.5526 18.4640

24 17.5969 18.0424 17.6664 16.7751 17.6783

25 17.2858 18.3528 19.1118 18.6584 16.7470

Lo primero es calcular el rango de las muestras, este procedimiento se puede realizar utilizando

EXCEL y sus funciones Máximo y Mínimo. Como se sabe el rango de un conjunto de datos es la

diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo. La manera de utilizar estas funciones se

presenta a continuación:






31

Los datos obtenidos se presentan a continuación:

Muestra

Número Rango

1 1.35

2 0.61

3 1.50

4 1.52

5 2.45

6 1.08

7 3.27

8 2.36

9 1.64

10 2.16

11 1.12

12 1.43

13 2.06

14 0.90

15 0.87

16 1.14

17 0.79

18 1.08

19 2.10

El cálculo del Rango promedio se hace con la

siguiente fórmula:

4972.125

43.3725

11 i

m

i

R

mR

i

De acuerdo con las formulas para calcular los

limites de un grafico R, es necesario determinar el

valor de las constantes D3 y D4, para muestras de

tamaño 5. (La tabla con los valores para estas

constantes se pueden encontrar en el apéndice del

libro de texto). De esta manera los límites de

control para el gráfico R son:






32

20 0.95

21 1.04

22 0.83

23 1.56

24 1.27

25 2.36

Suma 37.43

Con estos resultados se puede construir el gráfico de control R, el cual se hace utilizando

MINITAB®. El procedimiento se indica a continuación:

1. Utilizando el Worksheet de MINITAB®, ingresamos los datos en 5 columnas y 25 filas, para

discriminar asi las 25 muestras de tamaño 5. Luego de esto y por medio de la barra de

herramientas ubicada en la parte superior de la ventana, se eligen las opciones:

STAT > CONTROL CHARTS > VARIABLES CHARTS FOR SUBGROUPS > R...

2. Una vez seleccionada esta opción aparecerá una ventana que presenta las siguientes

características:

004972.1

167.3115.24972.1

3

4

xxDRLCI

xxDRLCS






33

Una vez en ella, se elige Observations for a subgroup are in one row of columns, luego se deben

escoger las columnas en las cuales se encuentren los datos, para este caso son las columnas C1,

C2, C3, C4 y C5. Por ultimo, se selecciona la opcion OK.

Esta es la gráfica que se obtiene con MINITAB®, como se puede observar los valores para los

límites y la línea central son los mismos que se obtuvieron con las formulas aplicadas.

Sample

Sa

mp

le R

an

ge

252321191715131197531

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

_R=1.497

UCL=3.166

LCL=0

1

Grafico de Control RMonitoreo Esfuerzo de Torsion Requerido en los Casquillos






34

Según los rangos, el proceso presenta un punto fuera de control, los demás datos presentan un

comportamiento bastante satisfactorio.

Ahora bien, el siguiente paso es construir el gráfico X-barra. El procedimiento a seguir es similar

al utilizado para la construcción del gráfico R.

Utilizando EXCEL, se procede a calcular el promedio de las diferentes muestras y

posteriormente se calcula la media y los limites de control utilizando las formulas

correspondientes.

Los datos se organizan de igual manera que en el caso anterior, 5 columnas y 25 filas, para luego

aplicar la función de EXCEL, que corresponde al promedio de los datos, la cual se presenta a

continuación.






35

El cálculo del promedio se hace con la

siguiente fórmula:

97.1725

21.44925

11 i

m

i

i

m

x

x

De acuerdo con las formulas para calcular los

limites de un grafico X- barra, es necesario

determinar el valor de la constante A2, para

muestras de tamaño 5. (La tabla con los

valores para estas constantes se pueden

encontrar en el apéndice del libro de texto).

De esta manera los límites de control para el

gráfico X-barra son:

10.17)497.1)(577.0(97.17

83.18)497.1)(577.0(97.17

2

2

RxAxLCI

RxAxLCS

Con estos resultados se puede construir el

gráfico de control X-barra, el cual se hace

utilizando MINITAB®. El procedimiento se

indica a continuación:

Los datos obtenidos son los siguientes:

1. Utilizando el Worksheet de MINITAB®, ingresamos los datos en 5 columnas y 25 filas, para

discriminar así las 25 muestras de tamaño 5. Luego de esto y por medio de la barra de

herramientas ubicada en la parte superior de la ventana, se eligen las opciones:

STAT > CONTROL CHARTS > VARIABLES CHARTS FOR SUBGROUPS > X bar

Muestra

Número Promedio

1 17.95

2 17.71

3 17.95

4 17.41

5 17.91

6 17.79

7 17.93

8 17.93

9 18.00

10 18.09

11 18.06

12 17.99

13 17.66

14 18.16

15 18.13

16 18.01

17 17.88

18 18.15

19 18.39

20 18.14

21 18.50

22 18.00

23 17.90

24 17.55

25 18.03

Suma 449.21






36

2. Una vez seleccionada esta opción aparecerá una ventana que presenta las siguientes

características:






37

Una vez en ella, se elige Observations for a subgroup are in one row of columns, luego se deben

escoger las columnas en las cuales se encuentren los datos, para este caso son las columnas C1,

C2, C3, C4 y C5. Por último, se selecciona la opción OK.

Esta es la gráfica que se obtiene con MINITAB®, como se puede observar los valores para los

límites y la línea central son los mismos que se obtuvieron con las formulas aplicadas.

Aunque este gráfico no presenta puntos fuera de control, el proceso debe ser analizado con más

detalle para responder al punto fuera que se obtuvo en el gráfico R.

CURVAS CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN

Las curvas OC muestran la probabilidad de aceptación del lote como función de la fracción

defectuosa contenida en este.

Para construir una curva O.C. suponga que tiene un proceso en el cual se está realizando un

monitoreo, después de realizar un análisis preliminar con una muestra de tamaño 4, se desea

evaluar por medio de una curva O.C., que pasaría si el promedio del proceso tiene

desplazamientos con respecto a la desviación estándar. La media del proceso (µ) es de 200, la

desviación estándar de 5, los límites de control establecidos tienen valores de 207,5 y 192,5 para el

superior y el inferior respectivamente. El procedimiento para construir la curva utilizando

EXCEL, es el siguiente:

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

252321191715131197531

19.0

18.5

18.0

17.5

17.0

__X=17.968

UCL=18.852

LCL=17.084

Grafico de Control X-Barra






38

1. En una hoja de trabajo de EXCEL, se definen dos columnas: una que corresponderá a la

media y sus correspondientes desplazamientos y otra que corresponderá a Beta (Error

tipo II).

2. Utilizando la función NORMDIST de EXCEL, se calcula el valor de Beta, para luego

proceder a construir el gráfico correspondiente.

La formula para calcular el valor de BETA es la siguiente:

NORMDIST(LCS;media;desviacion;TRUE) - NORMDIST(LCI;media;desviacion;TRUE)

Para cada desplazamiento se tiene un valor de BETA, por lo tanto los datos que se mantienen

constantes son el valor del LCS y LCI y el valor de la desviación estandar.

El nuevo valor de la media, después de un determinado desplazamiento se calcula con la siguente

formula:

Media con desplazamiento = Media + (valor del desplazamiento en terminos de sigma x el valor

de la desviación).






39

3. El ultimo paso es usar la opcion de gráficos de EXCEL, y utilizando el gráfico XY, se

construye la curva O.C. que en este caso tiene la siguiente imagen:

TIPOS DE ERROR

ERROR TIPO I : es la probabilidad de que el plan rechace un lote con una proporción

defectuosa igual al Nivel de Calidad Aceptable. Se desea que sea bajo para proteger al productor.

ERROR TIPO II : es la probabilidad de que el plan acepte un lote con una proporción

defectuosa igual al Nivel de Calidad Limitativo. Se desea que su valor sea pequeño ya que se

trata del tope aceptable por el consumidor.

ARL “Average Run Length”

Numero promedio de intentos que le tomará a un gráfico detectar una señal de fuera de control

(punto fuera de los límites).

ARL = 1/p, donde p es la probabilidad de estar fuera de los limites.

ARL en control = 1/ α , donde α es la probabilidad de rechazar Ho dado que se debía aceptar.

ARL fuera de control = 1/(1-β), donde β es la probabilidad de aceptar Ho dado que se debía

rechazar.

Β = P(LCI< X barra < LCS / µ = µo + δ, δx barra = δx/√n)

ATS “Average time to signal”

CURVA O.C PARA n = 4

0,84

0,86

0,88

0,9

0,92

0,94

0,96

0,98

1

1,02

199 200 201 202 203 204 205

MIU

BE

TA

n = 4






40

Corresponde al tiempo promedio hasta la señal de fuera de control.

ATS = ARL x h, donde h es el tiempo entre muestras.

El ATS se convierte a costos, utilizando una formula con la cual se obtienen el número de

unidades en peligro: Unidades en Peligro - CUP = ATS x Ritmo de producción x Costo unitario






41

TEMA No. 3. ANALISIS DE CAPACIDAD

Cuando un proceso está en control estadístico con producción consistente, es muy común querer

determinar si es un proceso capaz. Es decir, si tiene la habilidad real o potencial para cumplir con

las tolerancias del producto, si se encuentra dentro de los límites de especificación produciendo

partes de buena calidad.

El análisis de capacidad permite verificar la distancia entre las variaciones del proceso

(tolerancias) y los limites de especificación. Para realizar este análisis el proceso necesita estar en

control y para usar los índices de capacidad sin alteraciones se debe comprobar la normalidad del

proceso.

1. Normalidad Del Proceso

Con el objetivo de garantizar que los resultados que se obtienen del análisis de capacidad sean

reales y confiables se debe trabajar con datos normales. Cuando no se tiene certeza sobre la

normalidad de los datos se debe realizar una prueba y así definir los pasos a seguir. La

normalidad se coteja evaluando la distribución por medio de un histograma o de alguna prueba

de software.

Cuando los datos no siguen una distribución normal, se debe encontrar la distribución a la cual se

ajustan para realizar un análisis correcto. Esto se hace Siguiendo una regla de que para un valor

crítico del nivel de confianza, un P-value mayor que alfa sugiere que los datos siguen esa

distribución.

2. Corrección De No-Normalidad

Al obtener la distribución que siguen los datos y si esta no se ajusta a una distribución normal,

esto se puede corregir utilizando un método de transformación. Los más utilizados son:

Box-Cox: Box y Cox introdujeron una transformación de la variable de respuesta con el objetivo

de satisfacer la suposición de normalidad del modelo de regresión. La transformación es de la

forma (transformación potencia), donde λ es estimada con los datos tomados. Más

específicamente, la transformación está definida por:

AN

AL

ISIS

DE

CA

PA

CID

AD






42

Transformada De Johnson: Evalúa internamente varias funciones y selecciona un óptimo a partir

de tres familias de distribuciones que transforman los datos en una distribución normal.

3. Índices De Capacidad

Los índices de capacidad son estimaciones numéricas de la capacidad del proceso, es decir, (a qué

nivel cumple con las especificaciones). Estos estadísticos son muy útiles ya que, aparte de ser

sencillos de calcular, no tienen unidades de medida, por lo que permiten comparar distintos

procesos. Básicamente, son el cociente entre la amplitud tolerable del proceso (la distancia entre

los límites de tolerancia o límites de especificación), y la amplitud real o natural del proceso

(recordemos que, habitualmente, la distancia entre los límites de control es de 6 sigma). Algunos

de estos estadísticos se definen a partir de la media del proceso o del objetivo.

Los índices de capacidad asociados con la variación a corto plazo son Cp, Cpk, CPU, y CPL; por

otro lado, los asociados con la variación a largo plazo son Pp, Ppk, PPU, y PPL. En la práctica, se

suele considerar que 1,33 es el valor mínimo aceptable para un índice de capacidad (es decir,

cualquier valor por debajo de esta cifra indicaría que, aunque esté bajo control estadístico, el

proceso no cumple con las especificaciones deseadas).

A continuación se muestran algunas referencias sobre cuándo usar cada uno de los índices:

ÍNDICE USO DEFINICIÓN FORMULA

Cp

El proceso está centrado en los límites de

especificación. Es el radio entre la amplitud

permitida (distancia entre los límites de

especificación) y la amplitud natural

(LES – LEI) / 6σ

Cpk

El proceso no está centrado en los límites de

especificación, pero está contenido en ellos Es

el cociente entre la amplitud permitida y la

amplitud natural, teniendo en cuenta la media

del

proceso respecto al punto medio de ambas

límites de especificación

Min{ (LES - µ)/3σ ,

(µ - LEI)/3σ

CPU o PPU El proceso sólo tiene un límite de especificación

superior (LES - µ) / 3σ

CPL o PPL El proceso sólo tiene un límite de especificación

inferior (µ - LEI) / 3σ






43

Otro índice, definido para medir la capacidad del proceso es el Índice de Taguchi – Cpm, está

orientado a reducir la variabilidad alrededor del valor nominal, no solo está orientada a cumplir

con las especificaciones. El Cpm ofrece la ventaja de que permite obtener una mejor medida del

centrado del proceso y la variabilidad. La formula para calcular este índice es la siguiente:

Los rangos de valores establecidos para los índices, con los cuales se puede concluir sobre la

capacidad del proceso, se presentan en la siguiente tabla:

ICP DECISIÓN

1.33<ICP<2.22 Más que adecuado, incluso puede exigirse más en

términos de su capacidad. Posee capacidad de diseño.

1<ICP<1.33 Adecuado para lo que fue diseñado. Requiere control

estrecho si se acerca al valor de 1.

0.67<ICP<1 No es adecuado para cumplir con el diseño inicial.

Requiere monitoreo constante.

ICP<0.67 No es adecuado para cumplir con el diseño inicial.

ANALISIS DE CAPACIDAD CON MINITAB®

Este programa ofrece las herramientas para realizar el análisis de capacidad, estas van desde las

que permiten realizar la verificación de normalidad de los datos, la identificación del tipo de

distribución que siguen en caso de que no haya normalidad, la transformación para conseguir la

normalidad hasta la que realiza el análisis de capacidad completo incluyendo características

within y overall.

1. La normalidad de los datos, se evalúa identificando el tipo de distribución a la cual se

ajustan. Si se aproximan a una línea recta se puede garantizar que siguen una distribución

normal, y que se pueden utilizar tal como se encuentran para calcular el índice de

capacidad del proceso.

22 ).(6 NVxx

LEILESCpm






44

Con MINITAB®, esto se puede realizar utilizando el NORMALITY-TEST, el cual sigue la ruta

que se presenta en la siguiente imagen:

La ventana que despliega esta prueba, presenta las siguientes opciones:

La opción Variable, requiere el ingreso de la columna donde se encuentran los datos que se van a

evaluar. Las otras opciones se dejan como aparecen por “default” y luego se selecciona OK. Este

análisis puede dar una de dos respuestas:

- Normalidad: con la cual se puede trabajar para el cálculo de la capacidad.






45

- No-normalidad: datos que requieren de transformación para conseguir normalidad y poder ser

utilizados para el calcula de la capacidad.

2. Si la respuesta obtenida en el análisis anterior indica que los datos no siguen una

distribución normal, se debe determinar a que tipo de distribución se ajustan; este proceso

se puede realizar en MINITAB® utilizando la opción Individual

Distribution Identification, siguiendo la secuencia que se presenta a continuación:

C2

Pe

rce

nt

210-1-2-3

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Mean

0.746

-0,04308

StDev 0,9868

N 50

AD 0,246

P-Value

Probability Plot of C2Normal

C1

Pe

rce

nt

543210-1-2

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Mean

<0.005

1,316

StDev 1,084

N 50

AD 1,640

P-Value

Probability Plot of C1Normal






46

La ventana que despliega esta prueba, presenta las siguientes opciones:

En la opción Data Are arranged as, se selecciona la opción que corresponda a la forma en que se

ingresaron los datos: por filas o en una sola columna. La siguiente opción a elegir en esta ventana,

corresponde a las distribuciones que se desean evaluar, los datos se pueden evaluar usando todos

los tipos de distribución disponibles en el software o usando algunas distribuciones específicas,

que pueden ser seleccionadas. Por último se elige la opción OK.






47

Luego de esto aparece una imagen como la anterior, en la cual se presentan los datos

ajustados a cada una de las distribuciones analizadas, indicando de manera gráfica el

comportamiento de los datos, adicionalmente de que indica un valor para el p-value

correspondiente al 95% de confiabilidad. De acuerdo con esta información, la decisión sobre el

tipo de distribución a la que mejor se ajustan los datos se toma a partir de lo siguiente: “Para

un valor crítico de alfa, un p-value mas grande que alfa sugiere que los datos siguen esa

distribución”. Esto se traduce en que se debe escoger el valor mas alto de p-value (siempre

que sea mayor que alfa ) que arroje el análisis.

3. Después de definir el tipo de distribución que siguen los datos, se puede corregir la no-

normalidad, esto utilizando algún método de transformación que permita pasar de una

distribución no normal a una distribución normal. MINITAB®, permite realizar esto por

medio de dos rutas diferentes.

La primera opción es BOX-COX TRANSFORMATION, la cual se puede aplicar si se siguen

los siguientes pasos:

C1

Pe

rce

nt

5,02,50,0

99

90

50

10

1

C1

Pe

rce

nt

10,001,000,100,01

99

90

50

10

1

C1 - T hreshold

Pe

rce

nt

10,01,00,1

99

90

50

10

1

C1

Pe

rce

nt

10,001,000,100,01

99,9

90

50

10

1

Goodness of F it Test

P-V alue = *

Exponential

A D = 0,631

P-V alue = 0,334

Normal

A D = 1,640

P-V alue < 0,005

Lognormal

A D = 0,907

P-V alue = 0,019

3-Parameter Lognormal

A D = 0,378

Probability Plot for C1

Normal - 95% C I Lognormal - 95% C I

3-Parameter Lognormal - 95% C I Exponential - 95% C I






48

La información que requiere esta opción corresponde a los datos y la forma como se ingresaron,

esto es, si están agrupados o si son datos individuales ubicados en una sola columna. La ventana

en la cual se debe ingresar la información antes mencionada, tiene la siguiente apariencia.

Una vez se ingresa dicha información se elige Options y aparecerá una ventana que tiene la

siguiente apariencia:






49

En esta ventana se indica en Store transformed data in, la columna en la cual se quiere que

aparezcan los datos una vez transformados con el lambda obtenido. Para finalizar se elige OK y

a continuación se presenta el análisis realizado y el factor (valor de lambda) correspondiente, que

permite corregir la no-normalidad de los datos. Este resultado se presenta en una gráfica como la

siguiente:

Adicionalmente en la columna del Worksheet seleccionada, aparecerá el listado de datos

transformados con los cuales se puede proceder a calcular la capacidad del proceso.

La segunda opción para la corrección de la no-normalidad, es la herramienta JOHNSON

TRANSFORMATION, la cual se puede usar siguiendo la siguiente ruta en MINITAB®:

Lambda

StD

ev

3210-1

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

Lower CL Upper CL

Limit

Lambda

0,50

(using 95.0% confidence)

Estimate 0,28

Lower CL 0,03

Upper CL 0,57

Rounded Value

Box-Cox Plot of C1






50

Una vez seleccionada esta ruta aparecerá una ventana que requiere que se ingrese de igual

manera la información sobre la organización de los datos (filas o columnas), esto en Data are

arranged as y en Store Transformed data in, la ubicación seleccionada para que se ingresen los

datos transformados, para finalizar se debe seleccionar OK.

El resultado de este análisis se presenta de manera gráfica, con la distribución a la cual se ajustan

los datos y la formula derivada de esta distribución para la transformación de los datos.






51

Luego de normalizar los datos, se procede a realizar el análisis de capacidad del proceso. Este se

puede hacer de igual manera utilizando MINITAB®, por medio de la opción:

Una vez elegida esta ruta se presenta una ventana en la cual se debe ingresar información sobre

la organización de los datos, las tolerancias o limites de especificación de los datos y de manera

opcional la media y la desviación estándar del proceso, luego de ingresar esta información, se

debe seleccionar la opción OK. La ventana donde se debe ingresar esta información tiene la

siguiente apariencia:

Pe

rce

nt

5,02,50,0

99

90

50

10

1

N 50

AD 1,640

P-Value <0.005

Pe

rce

nt

20-2

99

90

50

10

1

N 50

AD 0,256

P-Value 0.710

Z Value

P-V

alu

e f

or A

D t

est

1,21,00,80,60,40,2

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0.74

Ref P

P-V alue for Best F it: 0,709549

Z for Best F it: 0,74

Best Transformation Ty pe: SB

Transformation function equals

1,35739 + 0,915126 * Log( ( X + 0,0846958 ) / ( 6,09984 - X ) )

Probability Plot for Or iginal Data

Probability Plot for T ransformed Data

Select a T ransformation

(P-Value = 0.005 means <= 0.005)

Johnson Transformation for C1






52

Los resultados del análisis se presentan de la siguiente manera:

Este análisis incluye además del calculo de los índices de capacidad (generales-Overall y parciales

entre los grupos de datos-Within), un histograma de capacidad en el cual se presenta como se

comportan los datos entre los limites o tolerancias especificadas y dos curvas de distribución

normal, correspondientes al comportamiento Within y Overall.

Adicional a este análisis MINITAB® ofrece el análisis CAPABILITY SIXPACK>NORMAL, el

cual tiene la siguiente apariencia:

601,50600,75600,00599,25598,50597,75

LSL Target USL

Process Data

Sample N 100

StDev (Within) 0,57643

StDev (O v erall) 0,62086

LSL 598,00000

Target 600,00000

USL 602,00000

Sample Mean 599,54800

Potential (Within) C apability

C C pk 1,16

O v erall C apability

Pp 1,07

PPL 0,83

PPU 1,32

Ppk

C p

0,83

C pm 0,87

1,16

C PL 0,90

C PU 1,42

C pk 0,90

O bserv ed Performance

PPM < LSL 10000,00

PPM > USL 0,00

PPM Total 10000,00

Exp. Within Performance

PPM < LSL 3621,06

PPM > USL 10,51

PPM Total 3631,57

Exp. O v erall Performance

PPM < LSL 6328,16

PPM > USL 39,19

PPM Total 6367,35

Within

Overall

Process Capability of Supp1






53

- Para confirmar la estabilidad del proceso el reporte incluye:

· Un gráfico X barra (para observaciones individuales)

· Un gráfico R o S (para grupos de más de 8 datos)

· Un gráfico del comportamiento de los últimos 25 subgrupos u observaciones.

- Para confirmar la normalidad el reporte incluye:

· Un histograma de los datos del proceso

· Un gráfico de probabilidad normal

- Para analizar la capacidad, el reporte incluye:

· Un gráfico de la capacidad del proceso

· Estadísticas de la capacidad within and overall; Cp, Cpk, Cpm, Pp, y Ppk

Sa

mp

le M

ea

n

2018161412108642

600,0

599,5

599,0

__X=599,548

UCL=600,321

LCL=598,775

Sa

mp

le R

an

ge

2018161412108642

3,0

1,5

0,0

_R=1,341

UCL=2,835

LCL=0

Sample

Va

lue

s

2015105

601,5

600,0

598,5

601,0600,5600,0599,5599,0598,5598,0

602600598

Within

Overall

Specs

Within

StDev 0,57643

C p 1,16

C pk 0,90

C C pk 1,16

O v erall

StDev 0,62086

Pp 1,07

Ppk 0,83

C pm *

Process Capability Sixpack of Supp1

Xbar Chart

R Chart

Last 20 Subgroups

Capability Histogram

Normal Prob Plot

A D: 0,844, P: 0,029

Capability Plot






54

TEMA No. 4. GRAFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

En la mayoría de los procesos de control el objetivo es analizar la evolución de una variable

cuantitativa continua, como lo es el resultado de una medición: longitud, peso, tiempo,

relacionada con la calidad. Sin embargo, en ocasiones no se desea controlar el valor de una

magnitud medible sino simplemente si el producto es adecuado o no lo es o, en general, si se

posee o no se posee cierto atributo. Este tipo de medición, a través de presencia o ausencia de

atributos, tiene ciertas ventajas sobre el control por variables, esto porque suele ser mas sencillo y

rápido. Sin embargo, esta simplicidad tiene el inconveniente de que es menos preciso, pues ignora

mucha información. No es lo mismo saber que el artículo es defectuoso que saber que su longitud

es dos milímetros mayor que su límite de tolerancia.

Existen varios gráficos que permiten monitorear la evolución de este tipo de información. Estos

gráficos van desde los que observan la evolución de la proporción de productos defectuosos en

sucesivas muestras de tamaño n (cada elemento observado es o no es defectuoso), hasta los que

observan la evolución del número de defectos que aparecen en cada producto evaluado (cada

producto analizado puede tener más de un defecto o más de un atributo). A continuación se

describen estos tipos de gráficos.

GRÁFICOS P - nº de piezas defectuosas de una muestra

Se utiliza para controlar la proporción de defectos generados por un proceso. En este gráfico se

muestra la evolución de la proporción de productos que tienen cierto atributo.

Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control P se basan en la distribución

Binomial: se supone que el proceso de producción funciona de manera estable, de tal forma que la

probabilidad de que cualquier artículo no esté conforme con las especificaciones es p

(probabilidad de éxito, defectuosos o no defectuosos) y que los artículos producidos

sucesivamente son independientes; entonces, si se seleccionan m muestras aleatorias de n

artículos cada una, y se representa por Xi al número de artículos defectuosos en la muestra i-

ésima, se obtiene que Xi ≈ B(n,p). De esta manera las propiedades del proceso (media y varianza)

están dadas por:

E(x) = np = μ y V(x) = np (1-p) = npq donde q = (1-p)

Si p es la fracción de productos defectuosos, esta se calcula como el número de productos

defectuosos (d) dividido por el tamaño de la muestra n. Esto quiere decir, que pi es la fracción de

defectuosos en cada muestra,

GR

AF

ICO

S D

E C

ON

TR

OL

PO

R A

TR

IBU

TO

S






55

Por lo tanto la proporción de productos defectuosos en un total de ni unidades puede escribirse

como:

i

ni

i

i

in

xx

n

dp

...ˆ 1

De donde se deducen entonces como quedan las propiedades definitivas del proceso:

Si ni es suficientemente grande, se puede aplicar el Teorema del Límite Central y utilizar que,

aproximadamente,

Definidas estas características, se establece por tanto que el objetivo del gráfico P será comprobar

si la evolución de los valores pi observados son compatibles con un valor poblacional p y por

tanto la diferencia entre el valor observado pi y el poblacional p se debe sólo a la variabilidad

muestral.

Como en los gráficos de control por variables, el gráfico P tiene los siguientes elementos:

- Según el modelo de Shewart se tienen los siguientes limites de control

- Si p es desconocida, se puede estimar con la siguiente ecuación (observar que tal estimación

se realizará a partir de las k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el

proceso está bajo control):

- En caso de que el tamaño muestral (ni ) sea diferente para cada subgrupo, a la hora de

calcular los límites según el modelo de Shewart, se puede optar por:






56

1. Obtener los límites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las líneas de control no

serán rectas (darán “saltos” arriba y abajo según ni disminuya o aumente),

2. Si los ni no difieren mucho unos de otros, se puede utilizar:

3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni, con lo que se

obtendrían unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que indica

proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra. En esta

situación de tamaños muestrales diferentes, la formula para p será:

- En el caso de los gráficos P, el valor de α cuando se consideran los limites estándar (±3σ) no es

de 0,027, debido a que es una distribución Binomial.

- Al no ser los límites constantes se ha de tener cuidado para interpretar tendencias y rachas en

estos gráficos. Un procedimiento para simplificar la interpretación de los gráficos P es el uso de

valores estandarizados. En este caso los valores representados en el gráfico son:

donde p-barra se utiliza en lugar de p si este valor es desconocido. Para estos valores

transformados se tiene:

Por lo tanto el gráfico estandarizado tiene por límites de control ±3 y línea central 0. 1 Por último

se debe tener cuidado con la interpretación de los puntos del diagrama de control que se hallan

por debajo del límite inferior de control. Tales puntos no representan a menudo una mejora real

en la calidad del proceso. Frecuentemente son el resultado de errores en el método de inspección

o recogida de datos.

Reglas de aproximación:

Se puede aproximar la distribución Normal a la distribución Binomial si np > 10. (0.1≤ p ≤ 0.9)

Se puede aproximar la distribución Poisson a la distribución Binomial si p < 0,1






57

A continuación se presenta la secuencia de pasos que se deben seguir para elaborar un gráfico de

control P, utilizando MINITAB®.

EJEMPLO

Se envasa zumo de naranja en empaques de cartón de 1 litro. Estos empaques son producidos por

una máquina que lo forma a partir de una pieza de cartón a la que le aplica un fondo metálico. Al

inspeccionar un empaque puede determinarse si el proceso de sellado se desarrolló de acuerdo

con lo establecido, esto se logra al evaluar la presencia o no de goteo en algunas de las uniones del

empaque (lateral o inferior), con lo cual se puede determinar si el empaque está conforme o no

con las especificaciones. Se desea elaborar un diagrama de control para vigilar la fracción de

envases

disconformes producidos por esta máquina. Se seleccionaron 25 muestras de tamaños muestrales

diferentes cada media hora durante un periodo de tres turnos, en los cuales la máquina operó

continuamente, los datos recogidos se presentan a continuación:

NUMERO

DE

MUESTRA

NUMERO DE

DISCONFORMES

TAMAÑO

MUESTRAL

NUMERO

DE

MUESTRA

NUMERO DE

DISCONFORMES

TAMAÑO

MUESTRAL

1 12 100 16 8 80

2 8 80 17 20 80

3 6 80 18 7 80

4 9 100 19 5 90

5 10 110 20 8 100

6 12 110 21 5 100

7 11 100 22 8 100

8 16 100 23 10 100

9 10 90 24 6 90

10 6 90 25 9 90

11 20 110

12 15 120

13 9 120

14 8 120

15 6 110

1. El primer paso es ingresar los datos en el Worksheet de MINITAB®, posteriormente se debe

seleccionar la ruta STAT > Control Chart > Attributes Charts > P, para proceder a construir el

gráfico correspondiente.






58

2. Luego de elegir esta ruta, aparece una ventana en la cual se deben llenar los siguientes campos:

Variables, en la cual se debe elegir la columna que contenga el numero de defectuosos, en este

caso la columna “DISCONFORMES”, en Subgroup size, se elige la columna que comprende el

tamaño de muestra correspondiente para cada valor de defectuosos, en este caso la columna es

“TAMAÑO DE MUESTRA”, por ultimo para obtener el gráfico correspondiente se selecciona OK.

De acuerdo como se indica a continuación:






59

El gráfico que se obtiene, presenta las siguientes características:

En conclusión se puede decir que debido a que la muestra 17 cae fuera de la zona de control, sería

conveniente realizar una inspección del 100% de los componentes del lote.

GRAFICOS NP - No. de unidades no conformes

Se aplica al mismo tipo de procesos que en el gráfico p. La diferencia está en que, en lugar de

contabilizar proporción de artículos defectuosos en una muestra, se considera el número de

artículos defectuosos así como la posible existencia de causas especiales en el proceso productivo.

En general, el gráfico np es útil si:

a. El número es más relevante que la proporción.

b. El tamaño muestral es constante.

Aunque matemáticamente sería posible construir un gráfico NP con tamaño de muestral variable,

su interpretación sería complicada, por lo que este tipo de gráficos se utiliza exclusivamente con

muestras de tamaño constante ni. Por lo tanto se llama di al número de artículos defectuosos en

una muestra de tamaño n.

Sample

Pro

po

rtio

n

24222018161412108642

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

_P=0,0996

UCL=0,1943

LCL=0,0049

1

P Chart of DISCONFORMES







60

Sea p la proporción total de defectuosos que produce el proceso. Entonces di sigue una

distribución binomial de media np y varianza np (1−p). Si n es grande, dicha distribución puede

aproximarse a la normal. Por tanto, para n elevado, aproximadamente,

Por lo tanto los límites del gráfico de control serán:

Si la aproximación a la normal es buena, contendrá al 99.7% de los datos si el proceso está bajo

control. De nuevo, si el límite de control resulta ser negativo se usaría al valor cero. Para construir

el gráfico de control es necesario estimar p, salvo que se conozca ya su valor. Al igual que en el

caso anterior, tanto el nivel medio como la variabilidad dependen sólo del parámetro p, por lo

que un solo gráfico será suficiente para controlar el proceso.

El procedimiento para construir gráficos np en MINITAB®, es similar al que se sigue en la

construcción de gráficos p, la ruta que se debe seguir es: STAT > Control Charts > Attributes

Chart > NP. La única variación con respecto a los gráficos p, es la selección de un tamaño de

muestra constante, en este caso se utilizará n= 90, para analizar los datos del ejemplo anterior, este

cambio se realiza en la opción Subgroup Sizes.

El gráfico que se obtiene en este caso se presenta a continuación:

Sample

Sa

mp

le C

ou

nt

24222018161412108642

20

15

10

5

0

__NP=9,76

UCL=18,61

LCL=0,91

11

NP Chart of Numerdo de defectuosos






61

Aunque los datos siguen un patrón aleatorio, en este caso coinciden con el gráfico P en la muestra

17, pero adicionalmente también se presenta fuera de los limites la muestra 11.

GRAFICOS C – No. de Defectos

De igual manera que en un proceso de control se desea determinar si un producto es conforme o

no conforme, el interés también puede dirigirse hacia el número de defectos en un artículo o

unidad de medida o, en general, en el número de sucesos o atributos observados por unidad de

medida.

La diferencia respecto al caso de control del número de productos defectuosos o no es el soporte

en el que se observan los sucesos. Mientras que antes el soporte es discreto: muestra de n

elementos, ahora el soporte es continuo: tiempo, longitud, superficie. Este tipo de control tiene

interés cuando:

- Las disconformidades aparecen de forma continua.

- Los defectos pueden encontrarse por simple inspección a pesar de ser debidas a causas muy

diversas.

Esta variable que se quiere controlar puede definirse como: número de sucesos en un intervalo de

longitud fija. Si el proceso es estable y los sucesos ocurren de forma independiente entonces el

número de sucesos en un intervalo de longitud fija seguirá una distribución de Poisson.

Si x es una variable con distribución de Poisson de parámetro c, el valor medio de dicha

distribución es también c. La varianza de esta distribución es también c.






62

Si el número de sucesos en un intervalo es una distribución de Poisson de parámetro c, el número

de sucesos en n intervalos es una Poisson de parámetro nc. Si c es elevado, la distribución de

Poisson se aproxima bastante a la normal. Por tanto, si se utiliza una unidad de medida

suficientemente grande, se podrá utilizar la distribución normal como referencia.

De esta manera los límites para el gráfico de control c son:

Se debe tener en consideración nuevamente que si el límite de control inferior resulta ser negativo

se debe usar el valor de cero. Si c no fuese conocido hay que estimarlo con un conjunto de datos

preliminares, procedentes del proceso en estado de control. Normalmente c es desconocido y por

tanto debe estimarse a partir de la información que suministran las muestras de tamaño n

mediante:


control C, utilizando MINITAB®.

EJEMPLO

Suponga que trabaja en una planta que produce sábanas blancas. Cada una de las piezas de tela

producidas, a partir de las cuales se obtendrán las sábanas, será considerada como válida siempre

que no tenga más de un número determinado de pequeñas manchas. Se pretende generar un

gráfico C que permita visualizar el número de manchas de cada pieza. La evaluación se hace en 26

muestras de tamaño 100.






63

Inicialmente se ingresan los datos en una columna y luego se selecciona la ruta STAT > Control

Charts > Attribute Charts > C.

En la ventana que aparece a continuación, se deben rellenar el espacio Variables, en el cual se

debe indicar la columna que contenga los datos del número de defectos, en este caso la columna

lleva el nombre NUMERO DE DEFECTOS. Para finalizar y conseguir el gráfico C, se selecciona

OK.

El gráfico que se obtiene, al analizar los datos, se presenta a continuación:






64

Dos de las muestras (números 6 y 20) se salen de los límites de control, por tal razón es necesario

que se inspeccionen completamente los lotes para verificar la calidad de todas las tarjetas de

circuitos.

GRAFICOS U – No. De Defectos por Unidad producida

El gráfico U se utiliza cuando no es posible tener siempre la misma unidad de medida para contar

el número de defectos. El gráfico u se diferencia del gráfico c en que el tamaño muestral no es

necesariamente constante yen que el estadístico a representar es el número de defectos por

unidad muestreada u en vez de la cantidad total de defectos en la muestra.

Utilizando la aproximación a la normal de la variable de Poisson y que ui = Ci/ni

donde ci es el número medio de defectos en una muestra de tamaño ni cuando el proceso está

bajo control. Si se denomina p al número de defectos por unidad inspeccionada que genera el

proceso cuando éste está bajo control, se tiene que ci = ni p.

Sample

Sa

mp

le C

ou

nt

2421181512963

40

30

20

10

0

_C=19,85

UCL=33,21

LCL=6,48

1

1

C Chart of NUMERO DE DEFECTOS






65

Así, si p es conocido, el gráfico u tendrá los siguientes límites de control

Si p es desconocido, la estimación del número de defectos por unidad inspeccionada es

Y los límites de control serán

Estos límites varían con el tamaño muestral. Al igual que ocurría con los gráficos P, dado que los

límites de control no son constantes, la interpretación de patrones y tendencias se debe hacer con

cuidado. Una posible opción sería representar el gráfico normalizado; es decir, representar los

valores:

en un gráfico donde la línea central es cero y los límites LCS=3 y LCI=-3. La capacidad del proceso

se define como u-barra, por lo tanto:

Estimación de la capacidad = u- barra


control U, utilizando MINITAB®.






66

EJEMPLO

En una fábrica de tejidos, se inspeccionan telas tinturadas para detectar los defectos en diferentes

medidas de tela (yardas)

El primer paso, es ingresar los datos al Worksheet y posteriormente se selecciona la ruta STAT >

Control Chart > Attributes Charts > U.

Posteriormente en la ventana que aparece, se deben llenar los campos que corresponden a la

columna que contiene los valores de defectos por unidad “Variables” para MINITAB® y el

campo correspondiente a número de defectos “Subgroup Size”. Por último se selecciona OK,

para obtener el gráfico correspondiente.






67

En este caso, ninguno de los puntos se sale de los límites control, presentando variación aleatoria

alrededor de la media.

Sample

Sa

mp

le C

ou

nt

Pe

r U

nit

654321

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

_U=0,275

UCL=0,870

LCL=0

U Chart of Numero de unidad







68

COMENTARIOS SOBRE LAS CURVAS OC PARA GRÁFICOS DE CONTROL POR

ATRIBUTOS

Una consideración importante que se debe tener en cuenta al momento de construir las curvas

características de operación para los gráficos de control por atributos, es el de los principios

estadísticos que sirven de base para la construcción de estos diagramas. En el caso de los gráficos

de control por variables, los principios estadísticos se basan en una distribución normal. Para los

gráficos de control por atributos estos principios estadísticos se basan en las distribuciones

Binomial y Poisson, por tal razón el calculo de las probabilidad de éxito o fracaso (Error tipo I o

Error tipo II), se deben realizar con base en estas distribuciones.

Para ejemplarizar esto, se asume que para un valor estimado p de un proceso que se encuentra

bajo control (p-barra = 0.076), con un valor de n= 120 y considerando que

La curva característica de operación para este grafico P, es representada por:

Es decir la probabilidad de no detectar un cambio en la fracción no-conforme del proceso desde

su valor nominal p-barra al valor p.

El cálculo de esta probabilidad se puede realizar con base en la distribución Binomial, dado que:

Considerando por ejemplo que la fracción de no-conformes pasa de p-barra a p= 0.125, esto

supone aproximadamente un incremento de 2σ en dicha fracción. En este caso para calcular la

probabilidad se definen los limites de control de la siguiente manera LCI = 0, 41 y LCS = 17, 87,

por lo tanto la probabilidad es igual a

Esta probabilidad es muy alta sobre todo si se compara con la probabilidad de detectar una

variación 2σ en un gráfico x-barra con subgrupos de tamaño 120.






69

1)1( iii zxz

0

1

0

21

)1()1(

])1()[1(

zx

zxxz

ji

i

J

j

iiii

i

zi

222 )1(12

TEMA No. 5 GRAFICOS EWMA

Cuando en un proceso se produce un desajuste muy pequeño, los gráficos estudiados en los

temas anteriores pueden ser poco efectivos. El problema que tienen ante pequeños cambios es que

tardan mucho tiempo en detectar el desajuste. En este tema se presentan procedimientos

alternativos que son más apropiados que los estudiados hasta el momento para detectar

pequeños desajustes con más rapidez. La idea de los gráficos de control que se presentan en este

tema es que la representación gráfica no se basa en las observaciones individuales, o promedios

de una muestra de ellas, sino en la acumulación de información.

Los gráficos EWMA o de medias móviles ponderadas exponencialmente (EWMA= exponentially

weighted moving average) se realizan usualmente sobre observaciones individuales. En este

gráfico acumula en cada periodo los valores de observaciones pasadas. La variable que se

representa en cada periodo es un promedio de la observación contemporánea y las observaciones

anteriores, donde se da más peso a las observaciones más recientes. En general, a este tipo de

promedios donde en cada instante se incorpora nueva información y se le va restando peso a las

informaciones históricas se le denomina media móvil (en inglés moving average). Los gráficos

EWMA utilizan una forma muy concreta de hacer medias móviles que consiste en dar un peso a

las informaciones históricas que decae exponencialmente con el tiempo.

Esta media móvil se denota por zi y se define como

Donde z0 = µ0 o bien z0 = x-barra, y donde el parámetro λ lo decide el analista en el rango 0 < λ ≤

1. Por tanto, en cada momento, se pondera la observación actual xi con el valor de la media

móvil anterior zi−1. Si se sustituye se obtiene:

Si se cumple las hipótesis de independencia y estabilidad sobre xi (media y varianza constantes)

se tiene que:

GR

AF

ICO

S

EW

MA






70

])1(1[2

])1(1[2

2

0

0

2

0

i

i

LLCI

CenterLine

LLCS

2

2

0

0

0

LLCI

CenterLine

LLCS

De esta manera el gráfico EWMA se puede construir dibujando zi contra numero de muestra. Los

límites de control y la línea central son entonces:

Puede verse que los límites varían en cada instante i. Si i es muy elevado se tiene que,

aproximadamente,

Por ejemplo la tabla que se muestra a continuación contiene ocho medias muestrales junto con su

valor EWMA asociado usando un peso de 0,2:

SUBGRUP

O

1 2 3 4 5 6 7 8

Media 14 9 7 9 13 4 9 11

EWMA 10,4 10,1 9,4 9,3 10,1 8,8 8,9 9,3

Para empezar, de acuerdo con lo que se definió anteriormente e el valor EWMA para el subgrupo

0 corresponde a la media de todos los datos, en este caso 9,5. El valor EWMA para el subgrupo 1

será:






71

4,105,9)2,01()14()2,0(1 xz

1,104,10)2,01()9()2,0(2 xz

El valor EWMA para el subgrupo 2 será

Y así sucesivamente para cada uno de los valores que conformen el grupo analizado.

Para construir este grafico en MINITAB®, el procedimiento es sencillo y similar al seguido para

construir los gráficos que se han analizado hasta ahora.

1. Se ingresan en el Worksheet, los datos correspondientes a la media, posteriormente se sigue la

ruta Stat >Control Charts > Time-Weighted Charts > EWMA

2. A continuación se debe completar la ventana EWMA Chart, se debe seleccionar la opción que

corresponda a la forma en la cual se ingresaron los datos, en este caso todos están en una sola

columna. En la casilla Subgroup Sizes se coloca de nuevo la columna que contiene los datos,

esto para indicar que son individuales. El siguiente paso es asignar el Weight of EWMA cuyo

valor corresponde a Lambda. Para finalizar se selecciona OK y a continuación aparecerá la

grafica correspondiente.






72

Si se desea obtener los valores de limites de control correspondientes a cada zi, en la ventana

anterior antes de seleccionar OK, se elige la opción EWMA Options con lo cual aparece la

siguiente ventana:

Una vez allí, se selecciona la opción Storage, la cual se encuentra en el menú de la parte

superior de la ventana. Una vez seleccionada esta opción, Store these values for each point,

las opciones que se deben marcar son:

- Point plotted que corresponden a los zi.

- Center line value, el cual corresponde al limite central.

- Contro limit values, que corresponde a los limites superior e inferior.

Luego de esto si se procede a graficar los datos, seleccionando la opción OK.






73

El gráfico que se obtiene tiene la siguiente apariencia:






74

Sample

EW

MA

87654321

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

__X=9,5

UCL=13,121

LCL=5,879

EWMA Chart of Media

En el Worksheet aparecen los datos correspondientes a zi, LCI, LC y LCS, presentados de la

siguiente manera:

Donde cada columna corresponde a:

Media son los datos originales que se desean analizar

PPOI1 zi

CENL1 Límite Central

CONL1 Límite de Control Inferior

CONL2 Límite de Control Superior

Como se puede observar el valor de los zi es el mismo que el obtenido inicialmente al aplicar

la formula manualmente.






75

CONSIDERACIONES SOBRE EL ARL

Los gráficos EWMA son muy efectivos para evaluar pequeños cambios en el proceso. Al

construirlos, los parámetros considerados son múltiplos del sigma usado en los límites de control,

es decir, el valor L. De esta manera cuando se desea diseñar un grafico EWMA, el objetivo

principal será siempre obtener por anticipado largos de corridas fijos para un valor ARL que

indique fuera de control. Esto se obtiene al llegar a una combinación precisa en los valores de λ y

L, que permitan obtener el valor predecible para el ARL






76

TEMA No. 6 GRAFICOS DE CONTROL MULTIVARIADOS

Los gráficos de control multivariados son útiles para el control simultáneo de varias

características de calidad relacionadas.

Cuando se decide implementar un gráfico de control multivariado para monitorear un proceso, se

hace necesario diseñar un esquema de muestreo, por lo que se deben definir ciertos parámetros

entre los cuales están: el tamaño de muestra o subgrupo de observaciones con los cuales se

generaran los puntos a incluir en el gráfico y además definir la frecuencia o intervalo de muestreo,

es decir el tiempo que se dejará transcurrir entre cada muestreo.

GRAFICOS DE CONTROL T2 DE HOTELLING

El grafico de control T2, se basa en la estadística del T2 de Hotelling, se utiliza para detectar

cambios en el proceso. En vez de usar las variables individuales del proceso, la estadística del T2

se calcula para los componentes principales del proceso, que son combinaciones lineares de

diferentes variables o características.

El gráfico T2 de Hotelling se puede considerar como la extensión multivariada del gráfico de

control Shewhart univariado. Es el proceso de monitoreo multivariado mas común en el control

de calidad. Este estadístico T2 es un escalar que combina información para la dispersión y media

de las variables que se desean analizar. Si asumiendo una distribución normal multivariada y

conociendo los verdaderos parámetros de la distribución, es decir, el vector de medias y la matriz

de varianzas y covarianzas, el estadístico T2 sigue una distribución chi-cuadrado.

Este estadístico analiza las medias muéstrales de las respectivas variables (x1, x2), las medias

poblacionales (µ1 ,µ2) , las desviaciones típicas (σ1 , σ2) y la covarianza (σ12 ), como se muestra

en la siguiente ecuación:

En el caso de analizar más de dos variables, la ecuación queda definida de la siguiente manera:

GR

AF

ICO

S D

E C

ON

TR

OL

MU

LT

IVA

RIA

DO

S






77

donde µ es el vector de medias, ∑ es la matriz de varianzas y covarianzas y n es el tamaño

muestral. El límite superior de control se va a situar para un nivel de significación dado por X2 (n,p),

y el límite inferior está situado en cero, ya que el estadístico es no negativo.

Cuando los valores poblacionales no son conocidos, es necesaria su estimación, dando origen al

gráfico T2 de Hotelling. Con p variables y m muestras de tamaño n, la media y varianza muestral

se calculan como:

Donde xijk es la i-ésima observación en la j-ésima característica de calida en la muestra k. La

covarianza entre dos características de calidad j y h se calcula para la muestra k :

Con las expresiones anteriores podemos determinar la media y varianza para las m muestras y

para las variables a través de las expresiones:






78

De esta manera el estadístico T2 queda:

Para datos agrupados, el estadístico T2 sigue una distribución F de Snedecor, por lo que los límites

de control bajo los supuestos usuales van a venir dados como:

De esta manera se puede analizar si el proceso se encuentra bajo control mediante la

representación de los valores T2 junto a dicho límite de control. Cuando el valor T2 para todas las

muestras sea inferior al LSC, el proceso se considera bajo control y, en caso contrario, significa que

existe una anomalía que ocasiona una situación fuera de control.

La interpretación de los resultados en el caso de los gráficos multivariados es algo compleja. El

objetivo es detectar situaciones en las que el proceso presenta cambios moderados y una vez

detectadas, determinar sus causas. Similar que en el caso univariado, determinar esa situación

fuera de control es relativamente fácil, pero determinar las causas que han provocado ese cambio

será más complicado.

Un procedimiento para interpretar esas señales fuera de control consiste en la descomposición del

estadístico T2 de forma que mida la influencia de cada una de las variables. Si T2 es el valor del

estadístico, y T2(i) es su valor para todas las variables del proceso excepto la i-ésima, se puede

calcular un indicador de la contribución de la variable i-ésima sobre el conjunto de la siguiente

forma:

Cuando aparece una situación fuera de control en un gráfico de control multivariado es

conveniente calcular esta contribución para cada una de las variables y centrar la atención en

aquellas variables cuya contribución sea superior.






79

EJEMPLO

A continuación se presenta un caso en el cual es útil emplear los gráficos multivariados.

Se tienen los datos de un proceso de fabricación de textiles que se desea controlar, las

características de calidad que deben ser monitoreadas en la fibra textil son 3 diferentes, que

afectan de igual manera el resultado final del producto. Se analizaron 10 muestras de tamaño 4, a

continuación se encuentra la tabla con la información recolectada.

Muestra

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4

X1 X2 X3 X1 X2 X3 X1 X2 X3 X1 X2 X3

1 310,1 0,037 3 310,2 0,237 2,9 310,5 0,137 3,1 310,8 0,237 3,2

2 332,3 0,039 3,1 332,5 0,339 2,9 332,7 0,239 3,1 333,1 0,339 3,3

3 312,6 0,03 2,4 312,9 0,43 2,1 313 0,33 2,3 313,5 0,43 2,6

4 312,8 0,032 2,5 312,9 0,232 2,4 313,2 0,132 2,6 313,5 0,232 2,7

5 330 0,033 2,8 330,2 0,333 2,5 330,4 0,233 2,7 330,8 0,333 3

6 322,8 0,326 3,5 323,1 0,726 3,2 323,2 0,626 3,4 323,7 0,726 3,7

7 333,8 0,342 3 333,9 0,542 2,9 334,2 0,442 3,1 334,5 0,542 3,2

8 324,3 0,33 2,7 324,5 0,63 2,5 324,7 0,53 2,7 325,1 0,63 2,9

9 345,5 0,283 2,2 345,8 0,683 1,9 345,9 0,583 2,1 346,4 0,683 2,4

10 329,6 0,36 1,8 329,7 0,56 1,7 330 0,46 1,9 330,2 0,46 2

La construcción y análisis de los gráficos multivariados se puede realizar utilizando diferentes

software entre ellos Excel, MINITAB® y MATLAB®.

A continuación se presentan algunas indicaciones para construir estos gráficos utilizando estos

programas.

GRAFICOS MULTIVARIADOS EN EXCEL.

Como se explico al inicio del manual, los gráficos multivariados dependen de dos valores

específicos para su construcción: El estadístico T2 y el Límite de control superior. Una vez

calculados estos valores es posible construir el grafico.

Sin embargo para llegar a la obtención del estadístico T2, se hace necesario definir la matriz

varianza-covarianza de las diferentes muestras y su correspondiente vector de promedios, de

acuerdo con la ecuación:






80

Estos valores se obtienen siguiendo los siguientes pasos:

1. Utilizando Excel, se organizan los datos por característica, es decir se agrupa la

característica 1 de todos los productos analizados, la característica 2 y la característica 3, en

arreglos o matrices diferentes.

2. El siguiente paso es conformar las matrices de promedios, varianzas y covarianzas. Esto se

hace por medio de las siguientes funciones del programa:

Average (number1; number2…) Para los promedios

Var (number1; number2…) Para las varianzas

Covar(array1; array2…) Para las covarianzas, en esta formula es necesario aplicar un factor

de corrección para los valores hallados el cual se calcula de la siguiente manera: 1n

n,

donde n es el numero de valores que están siendo correlacionados.

Para los datos antes presentados, en Excel el arreglo de estas funciones se hace de la

siguiente manera:






81

Estos arreglos toman los valores correspondientes por muestra, es decir cada grupo de

datos ubicado en cada fila.

3. Con estas matrices ya se pueden calcular el estadístico T2 para cada muestra. La ecuación

queda entonces de la siguiente forma:

Muestra

Matriz de Promedios

X1 X2 X3

1 4,3 92,9 2,7

2 3,5 91,9 4,6

3 3,9 91,7 4,3

4 3,5 89,2 7,2

5 4,2 90,7 5,0

6 4,9 88,5 6,6

7 6,4 87,6 6,0

8 5,9 86,1 8,0

9 6,6 86,4 6,9

10 4,5 88,2 7,3

Promedios 4,78 89,36 5,87






82

- Para la muestra numero 1 la matriz de promedios necesaria seria:

( xxi) = [(4,3 – 4,78) (92,9-89,3) (2,7-5,87)]

Y así para cada una de las muestra, evaluadas.

- La matriz varianza- covarianza (pxp) necesaria en la ecuación de T2 se forma utilizando los

datos de la siguiente tabla, estos se organizan en una matriz de tal manera que se puedan

obtener los promedios correspondientes:

Varianzas

Covarianzas

S1 S12 S13

S12 S2 S23

S13 S23 S3

De esta manera la matriz varianza-covarianza será de 3 filas por 3 columnas. Los promedios

correspondientes a las varianzas y covarianzas, se ubican de acuerdo con la tabla anterior, en

este caso la matriz tendrá la siguiente forma:

2,8777 -4,702 1,824

-4,702 14,4480 -9,737

1,824 -9,737 7,9070

Luego de tener esta matriz, se utiliza la función Minverse de Excel para obtener la matriz

requerida en la ecuación.

Muestra

Matriz de Varianzas Matriz de Covarianzas

S1 S2 S3 S12 S13 S23

1 0,8533 0,3433 2,2633 0,533 -1,387 -0,877

2 0,5633 0,3233 0,9300 0,097 -0,665 -0,325

3 1,3633 0,0033 1,2633 -0,052 -1,312 0,048

4 0,0633 4,2233 4,3300 0,022 -0,085 -4,245

5 6,6233 13,0433 3,7733 -7,947 1,323 -5,097

6 5,3433 69,6033 37,8700 -18,538 13,195 -51,065

7 3,3033 20,7100 14,8633 -4,575 1,272 -16,135

8 0,6533 13,3233 8,8900 -2,543 1,890 -10,780

9 5,3200 14,0033 3,5633 -7,880 2,560 -6,123

10 4,6900 8,9033 1,3233 -6,135 1,445 -2,768

Promedios 2,8777 14,4480 7,9070 -4,7018 1,8237 -9,7367






83

El cálculo de la matriz inversa en Excel se hace siguiendo los siguientes pasos:

- Se selecciona un área equivalente a la de la matriz original, es decir 3x3.

- Se ingresa en la primera celda la función Minverse (array), donde el array corresponde al

rango de celdas donde se encuentra la matriz original.

- Para finalizar, se presionan simultáneamente las teclas Shift - Ctrl y Enter. Inmediatamente

aparecen los valores.

En este momento ya se puede calcular el estadístico T2 para la muestra número 1:

T2= n* ( ) r * S-1+ ( )

T2 = 3 x[(4,3 – 4,78) (92,9-89,3) (2,7-5,87)]r x

x [(4,3 – 4,78) (92,9-89,3) (2,7-5,87)]

Este procedimiento se repite para cada una de las muestras evaluadas, hasta obtener todas las

estadísticas necesarias para construir el gráfico.

GRAFICOS MULTIVARIADOS EN MINITAB®

Como en los casos anteriores la construcción de este tipo de gráficos en MINITAB®, se consigue

siguiendo pasos sencillos; la única condición es que los datos deben estar agrupados en columnas

y por muestras consecutivas, como se muestra a continuación:

334,0 333,7 333,9

333,7 333,8 334,1

333,9 334,1 334,5

xxixxi






84

Luego de ingresar los datos de esta manera se debe seguir la ruta:

STAT > CONTROL CHARTS > MULTIVARIATE CHARTS > TSQUARED

Siguiendo esta ruta aparece una ventana en la cual se debe ingresar la información como se indica

a continuación:

En la opción Variables se ubican las columnas que contienen los datos de las características

analizadas X1, X2, X3. En la opción Subgroup Sizes se ubica la columna Muestras. Para finalizar

y obtener el gráfico se selecciona OK.






85

Sample

Tsq

ua

red

10987654321

20

15

10

5

0

Median=2,34

UCL=19,75

LCL=0,03

Tsquared Chart of X1; ...; X3

Como se puede observar se grafican 10 puntos correspondientes al estadístico T2 de cada una de

las muestras. El programa calcula automáticamente estos valores así como también el del límite

de control correspondiente. Una consideración importante que se debe tener en cuenta, es el valor

de alfa (α), ya que de acuerdo con esto, el límite de control puede variar su valor.

GRAFICOS MULTIVARIADOS EN MATLAB®

La construcción de los gráficos multivariados se facilita en este programa, en el cual además de

calcular el valor del estadístico T2, se obtiene el valor del límite de control superior y por tanto el

gráfico correspondiente.

Se debe considerar que el cálculo del estadístico requerido, se hace por medio de matrices por

tanto, es necesario crear una rutina para recorrer estas matrices y así obtener los valores

requeridos.

Algunas de las consideraciones que se deben tener en cuenta al construir estos gráficos son:

- Se deben crear variables independientes a la rutina, para los datos obtenidos del muestreo

(valores de las características). Se debe generar una variable para cada característica y los

datos se deben ingresar en formato de matriz. Donde el número de filas corresponde al

número de muestras y el número de columnas corresponde al tamaño de las muestras.

- El valor del porcentaje para la distribución F, se debe calcular manualmente e ingresarlo

como input a la rutina.

Un ejemplo de una subrutina que se puede generar para el cálculo de la matriz de promedios, se

presenta a continuación:






86

A = matriz correspondiente a los datos de la característica 1, conformada por nc filas y nr

columnas.

El loop puede tener la siguiente forma

[nc nr]=size(A);

for i=1:nc;

Valores1=A(i,:);

Promedio1=mean(Valores1);

Columna1(i,1)=Promedio1;

end

Promedios=[Columna1 Columna2… Columna_n]

- Valores1 corresponde a los datos contenidos en cada una de las filas de la matriz A.

- Promedio1 corresponde al promedio obtenido en cada una de las filas.

- Columna1 conforma el vector de los datos promedios de la característica 1, los cuales harán

parte posteriormente de la Matriz de promedios requerida para el cálculo del estadístico T2.






87

ErrorMS2

n

MSMS ErrorradorPiezasxope2

an

MSMS radorPiezasxopeOperador2

bn

MSMS radorPiezasxopePiezas2

22222

y

TEMA No. 7 R&R REPRODUCIBILIDAD Y REPETIBILIDAD DE LAS MEDIDAS

El diseño de experimentos es un acercamiento sistemático para variar las variables de entrada del

proceso y analizar los efectos de estas variables en la salida del proceso. Uno de los mayores usos

del diseño de experimentos es el aislamiento y la estimación de las fuentes de variabilidad en un

proceso.

El objetivo del estudio de reproducibilidad y repetibilidad es por lo tanto, analizar y determinar

la precisión y exactitud de un sistema de medidas. Para analizar los resultados dentro de un

experimento R&R se utiliza el concepto de componentes de varianza, en el cual se realiza un

análisis de varianza a partir del ANOVA.

Las ecuaciones que se utilizan para calcular los componentes de varianza y analizar los resultados

del ANOVA realizado a un experimento de este tipo son las siguientes:

Modelo matemático ANOVA

Yijk = µ + τi + βj + τβij + Error (ij)k

Pieza Operador Interacción Instrumento o Sistema

Reproducibilidad Repetibilidad

RE

PR

OD

UC

IBIL

IDA

D Y

RE

PE

TIB

ILID

AD






88

%70)(2

2

Totaly

Piezas

Después de calcular los componentes de varianza y poder concluir sobre el sistema de medida

(instrumento) se debe evaluar utilizando el siguiente criterio:

Porcentaje de contribución debido a piezas =

Porcentaje de contribución R&R < 30%

Anova R&R Típico

FUENTE

GRADOS

DE

LIBERTAD

SUMA

DE

CUADRADOS

PROMEDIO

CUADRADOS F

Piezas a-1 SSp MSpart= SSp/a-1 MSp/MSerror

Operador b-1 SSop MSop= SSop/b-1 MSop/MSerror

Interacción (a-1)(b-1) SSpxop MSopxp=SSpxop/

(a-1)(b-1)

MSopxop/ MSerror

Error gl error SSerror MSerror=

SSerror/glerror

Total abn -1 SStotal

Para comprender el análisis que se realiza en el estudio R&R, se considerará el siguiente ejemplo.

Un instrumento es usado para medir una dimensión crítica en una pieza. Veinte (20) piezas han

sido seleccionadas del proceso de producción, adicionalmente se seleccionaron aleatoriamente

tres (3) operadores para que tomaran la medida en cada pieza.

El orden en que las medidas fueron realizadas es completamente aleatorio. Por lo tanto este es un

experimento factorial con dos factores: Partes y Operadores, con dos replicas. Las partes y los

operadores son factores aleatorios.






89

Pieza

Número Operador A Operador B Operador C

1 21 20 20 20 19 21

2 24 23 24 24 23 24

3 20 21 19 21 20 22

4 27 27 28 26 27 28

5 19 18 19 18 18 21

6 23 21 24 21 23 22

7 22 21 22 24 22 20

8 19 17 18 20 19 18

9 24 23 25 23 24 24

10 25 23 26 25 24 25

11 21 20 20 20 21 20

12 18 19 17 19 18 19

13 23 25 25 25 25 25

14 24 24 23 25 24 25

15 29 30 30 28 31 30

16 26 26 25 26 25 27

17 20 20 19 20 20 20

18 19 21 19 19 21 23

19 25 26 25 24 25 25

20 19 19 18 17 19 17

Utilizando el programa MINITAB®, se realiza el análisis ANOVA para obtener los datos

necesarios y realizar el estudio de los componentes de varianza.

El primer paso es ingresar los datos, se deben organizar tres columnas, una para las piezas, otra

para los operadores y otra para los resultados obtenidos en las medidas. Como se presenta en la

siguiente pantalla.






90

Luego de ingresar los datos, para realizar el análisis se pueden seguir dos rutas:

1. La primera opción proporciona el análisis Anova y de manera indirecta se pueden obtener los

correspondientes componentes de varianza. La ruta que se debe seleccionar es la siguiente STAT

> ANOVA > General Linear Model






91

En la ventana que se obtiene al seguir esta ruta, se deben seleccionar las opciones de acuerdo

como se indica a continuación:

En esta ventana se debe seleccionar la opción Results y una vez allí se debe seleccionar la opción

Display expected mean squares and variante components, de acuerdo con lo que se muestra a

continuación:

Para finalizar se selecciona OK y se obtiene el siguiente resultado:






92

General Linear Model: Medida versus Pieza; Operador

Factor Type Levels Values

Pieza random 20 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15;

16; 17; 18; 19; 20

Operador random 3 A; B; C

Analysis of Variance for Medida, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Pieza 19 949,492 949,492 49,973 7,54 0,000

Operador 2 2,217 2,217 1,108 0,17 0,847

Pieza*Operador 38 251,783 251,783 6,626 6,91 0,000

Error 60 57,500 57,500 0,958

Total 119 1260,992

S = 0,978945 R-Sq = 95,44% R-Sq(adj) = 90,96%

Expected Mean Squares, using Adjusted SS

Source Expected Mean Square for Each Term

1 Pieza (4) + 2,0000 (3) + 6,0000 (1)

2 Operador (4) + 2,0000 (3) + 40,0000 (2)

3 Pieza*Operador (4) + 2,0000 (3)

4 Error (4)

Error Terms for Tests, using Adjusted SS

Synthesis

of Error

Source Error DF Error MS MS

1 Pieza 38,00 6,626 (3)

2 Operador 38,00 6,626 (3)

3 Pieza*Operador 60,00 0,958 (4)

Variance Components, using Adjusted SS

Estimated

Source Value

Pieza 7,2246

Operador -0,1379

Pieza*Operador 2,8338

Error 0,9583






93

la ultima parte del resultado, contiene los componentes de varianza necesarios para el análisis.

Nótese que el componente de varianza para el operador tiene signo negativo, algo que no es

razonable, esto porque de acuerdo con la definición de varianza estas son no negativas.

Desafortunadamente el proceso de análisis no esta exento de obtener un resultado negativo como

en este caso y ocurre cuando se usa el análisis de varianza como método de estimación. En este

caso el procedimiento a seguir consiste en asumir que la estimación negativa significa que el

componente de variación es cero, dejando las otras estimaciones no negativas sin cambios.

2. La Segunda ruta que se puede seleccionar es STAT > QUALITY TOOLS > Gage Study >

Gage R&R Study (Crossed)

En la ventana que se obtiene al seguir esta ruta, se deben seleccionar las opciones de acuerdo

como se indica a continuación:

Para finalizar se selecciona OK y se obtiene el siguiente resultado:






94

Gage R&R Study - ANOVA Method

Two-Way ANOVA Table With Interaction

Source DF SS MS F P

Pieza 19 949,49 49,9732 7,54213 0,000

Operador 2 2,22 1,1083 0,16727 0,847

Pieza * Operador 38 251,78 6,6259 6,91396 0,000

Repeatability 60 57,50 0,9583

Total 119 1260,99

Gage R&R

%Contribution

Source VarComp (of VarComp)

Total Gage R&R 3,7921 34,42

Repeatability 0,9583 8,70

Reproducibility 2,8338 25,72

Operador 0,0000 0,00

Operador*Pieza 2,8338 25,72

Part-To-Part 7,2246 65,58

Total Variation 11,0167 100,00

Study Var %Study Var

Source StdDev (SD) (6 * SD) (%SV)

Total Gage R&R 1,94733 11,6840 58,67

Repeatability 0,97895 5,8737 29,49

Reproducibility 1,68338 10,1003 50,72

Operador 0,00000 0,0000 0,00

Operador*Pieza 1,68338 10,1003 50,72

Part-To-Part 2,68785 16,1271 80,98

Total Variation 3,31914 19,9148 100,00

En este caso el resultado que se obtiene, incluye la tabla de análisis de varianza, los valores para

los componentes de varianza del caso en estudio y su correspondiente porcentaje de contribución,

adicionalmente la clasificación del resultado hace la distinción entre repetibilidad y

reproducibilidad.

A partir de estos resultados se puede realizar el análisis correspondiente al proceso analizado y

responder si se acepta o no el sistema de medidas evaluado.

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TEMA 1. HERRAMIENTAS PARA EL CONTROL DE …academic.uprm.edu/dgonzalez/lab4078/MANUAL LABORATORIO ININ 4… · Dentro del control de calidad existen siete herramientas básicas: Diagramas