TEMA 1: NÚMEROS ENTEROS CONCEPTOS BÁSICOS siemprefisicayquimica.iesnicolascopernico.com/3ESO/TEMAS/matespmar.pdf · 1.12) Un día de invierno a las 11 de la mañana la temperatura

Matemáticas adaptadas 2º ESO I.E.S. Nicolás Copérnico

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TEMA 1: NÚMEROS ENTEROS

CONCEPTOS BÁSICOS El conjunto de los números enteros incluye a los enteros positivos (llamados números naturales) y a los enteros negativos. Los positivos no suelen representarse con el signo + delante pero los negativos siempre llevan el signo – delante. En las operaciones con números nunca se representan dos signos juntos; para separarlos se utilizan los paréntesis. Mal escrito: 4 + -2 4 . – 5 -6 : -5 Bien escrito: 4 + 8 -3 + 4 5 + (– 6) -5 – (-3) 6 : (-2) El signo + delante no es obligatorio ponerlo de manera que

+ ( - 4) = - 4. MUY IMPORTANTE: Un signo menos delante de otro cambia el signo que viene detrás (lo entenderás en la siguiente página):

- (+4) = -4 - (-5) = 5 1.1) Indica cuáles de las siguientes expresiones están mal escritas y añade paréntesis para escribirlas de manera correcta:

a) 5 + - 4 . – 2 b) 6 . 3 – 8 : - 6 c) – 9 + - 6 : - 7 . – 8 d) 12 - + 5 . – 7 : - 5

OPERACIONES BÁSICAS CON ENTEROS: LA SUMA Piensa en los enteros positivos como bolas azules y en los enteros negativos como bolas verdes. Al sumar dos cantidades de bolas azules tendrás más bolas azules (más positivos). Igualmente si sumas dos cantidades de bolas verdes tendrás más bolas verdes (más negativos).

-4 + (-5) = -4 – 5 = -9 1.2) Haz las siguientes sumas: a) 8 + 9 + 6 + 5 + 12 = b) 4 + 12 + 14 = c) -2 + (-3) + (-6) = d) -3 – 5 –6 – 8 = Una propiedad importante de los números enteros es que LOS NÚMEROS POSITIVOS SE CONTRARRESTAN CON LOS NEGATIVOS:

8 + (-8) = 0 -3 +3 = 0 12 – 12 = 0 Por ello, 8 y -8 se denominan números opuestos. Dos números opuestos son aquellos cuya suma es cero. De esta manera cuando se suman positivos con negativos se compensan en la misma cantidad y el resultado final queda positivo o negativo (según haya más positivos o más negativos). Para sumar un conjunto de positivos y negativos tienes que sumar los positivos por un lado y los negativos por otro. La diferencia entre las dos cantidades te dará el resultado final con el signo que corresponda. 8 - 6 = 2 - 9 + 4 = -5 8 – 6 + 6 – 7 + 4 = 18 – 13 = 5 1.3a) Escribe el valor absoluto y el opuesto de los números -6, 5, 7, -8, -26, 10, 0, -15 1.3b) Realiza las siguientes sumas: a) -6 + 5 – 4 + 6 – 2 = b) 6 – 8 – 4 - 9 + 5 = c) - (-6) + 4 = d) 8 – (-6) =

e) 5 – 4 - (-5) + 8 = f) - 6 + (-3) – (-6) = g) - (-7) - (-9) = h) 7 + (-2) – (-8) = i) -3 + 8 – (-5) –7 = j) –(-7) + (-9) =


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OPERACIONES BÁSICAS CON ENTEROS: EL PRODUCTO

Debes recordar las tablas de multiplicar que aprendiste en el colegio (En caso de duda recuerda que 5 . 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20)

Al multiplicar dos enteros hay que multiplicar primero el signo. Esta operación se define de la siguiente manera: multiplicar dos signos iguales SIEMPRE resulta positivo; multiplicar dos signos diferentes SIEMPRE resulta negativo. 4 . 3 = + 12 = 12 - 6 . 5 = - 30 -5 . (-4) = +20 = 20 1.4) Realiza los siguientes productos: a) -4 . 6 = b) 5 . (-3) = c) -5 . (-3) = d) 8 . 9 = e) -7 . (-4) = f) 8 . (-4) = g) -3 . (-4) = h) –(-5) . (-6) =

No es necesario escribir el signo de multiplicar delante del paréntesis: 7.(-8) = 7(-8) Ahora puedes entender por qué –(-5) = 5. En realidad un signo menos sólo es el número -1: -(-5) = -1(-5) = 5

OPERACIONES BÁSICAS CON ENTEROS: EL COCIENTE Al dividir dos enteros hay que dividir primero el signo. Esta operación se define de la misma manera que el producto: dividir dos signos iguales SIEMPRE resulta positivo; dividir dos signos diferentes SIEMPRE resulta negativo. 1.5) Realiza las siguientes operaciones: a) 8 : (-2) = b) –36 : 6 = c) – 44 : (-11) = d) -50 : (-5) =

OPERACIONES COMBINADAS

MUY IMPORTANTE: Cuando te encuentres con sumas y productos (o cocientes) ten en cuenta que primero debes calcular los productos (o cocientes).

8 – 4 . 2 = 8 – 8 = 0 1.6) Realiza las siguientes operaciones: a) -4 + 3 . 5 = b) 5 . 4 + 3 . 2 = c) - 4 . (-3) –5 . (-6) = d) 4 – 6 . (-8) = e) 8 . (-3) – 7 = f) 5 . 3 . (-2) + 6 = g) -3 . (-4) + 6 – 5 . 7 + 8 . (-3) = h) 6 – (-3) . (-5) . (-2) + 4 . (-3) = i) 10 : 5 + 4 = j) –20 : 4 – (-5) . 2 = k) 6 + (-30) : (-6) + 2 . 4 =

COMPLICAMOS UN POCO: DIFERENTES NIVELES DE OPERACIONES Has visto que los paréntesis se utilizan para guardar números negativos de forma que no haya dos signos seguidos. Pero también los paréntesis se utilizan para guardar operaciones combinadas en distintos niveles, por ejemplo:

2 – (5 + 6 . 4) Estos casos no son más complicados que los anteriores. Sólo hay que tener un poco de orden. Calcula el contenido del paréntesis como si fuese un ejercicio anterior:

2 – (5 + 6 . 4) = 2 – (5 + 24) = 2 – (29) = 2 – 29 = -27

No te pierdas cuando te encuentres con varios paréntesis: todos se calculan de la misma forma.

¡SÓLO ES CUESTIÓN DE UN POCO DE ORDEN Y ATENCIÓN! Haz los cálculos paso a paso sin olvidar ningún número ni signo

-(3 . 4 – 6 . 2) + 3 . (-4 + 4 . 5) = haz los productos internos = - (12 – 12) + 3 . (-4 +20) = efectúa las sumas internas = - 0 + 3 . (16) = 3. 16 = 48


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1.7) ¿Es lo mismo 3 . 4 + 6 que 3 (4 + 6)? Explica la diferencia y calcula cada expresión. 1.8) Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 134+(34-23+12)-45= b) 234-(12+7-30)-16= c) (23+45-18)-(45-19+10)= d) 5·(2-4)-6·(-2)= e) 18:9+(4-6)·(-3)= f) -(-5-(-7+2)-4)= g) –5·3+(-32:-2)= h) 9-[3-(5-(-7))+4]= i) –7+(12-(-4+(-6)))-8= j) 8-(-10-(5-6-4)+1)= k) –1-((3-2)-(-5-2))= l) 4+2·(5-3)-5·(4+6)=

1.9) Estas tienen más paréntesis:

a) 3-[-14-(16-8-4)-2]+18= b) [-10-(-12+6-7)-3]-[-2+8-(-12)]= c) –18-[14-17-(-14+12-3)-10]= d) 21-[-14-6+(-8-6+10)-12]-31= e) [-3-5-(20-18+31)]+[-13-8+(8+9-4)]=

1.10) Coloca un paréntesis en cada igualdad para que sea cierta:

a) 16-9-3=19 b) 3·2+6·5=60 c) 12·10-6=48 d) 16-7-4·2=10

MATEMÁTICAS EN LA VIDA REAL 1.11) En la libreta de ahorro de Carla se han efectuado los siguientes movimientos reflejados en la tabla. Completa las anotaciones y el saldo final:

Concepto Fecha Importe (Euros) Saldo (Euros) Saldo anterior 04-12 325 Imposición efectivo 05-12 50 Pago recibo supermercado 06-12 45 Pago recibo almacén ropa 07-12 45 Imposición efectivo 08-12 220 Pago recibo club balonmano 09-12 24 Pago recibo luz 12-12 45 Pago recibo teléfono 15-12 60

1.12) Un día de invierno a las 11 de la mañana la temperatura en el patio del recreo es -3 ºC y la del Salón de Actos es de 20 ºC. Expresa la diferencia de temperatura entre las dos zonas. 1.13) El valor de las acciones de una empresa en Bolsa disminuye 15 euros. Cada día. Si hoy valen 675 euros. Expresa de forma numérica cuánto valdrán dentro de tres días. ¿Cuánto valían hace dos días? 1.14) Los dos primeros libros de una colección de 100 cuestan 5 euros. Y los restantes 4 euros cada uno. ¿Cuánto cuesta toda la colección? ¿Y comprar sólo los 28 primeros libros? 1.15) Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió? 1.16) Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 48 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo? 1.17) ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura? 1.18) La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC? 1.19) En un depósito hay 800 L de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 L por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 L por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?


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MÚLTIPLOS Múltiplo de un número es otro número resultado de multiplicar el primero por un entero. Así, son múltiplos de 2: 4, 6, 8, 10, 12, 14, etc. 1.20) Escribe los diez primeros múltiplos de 3, 4 y 9. Señala los múltiplos comunes a: a) 3 y 4 b) 3 y 9 c) 4 y 9 1.21) ¿Qué significa mínimo común múltiplo de dos números a y b? Basándote en el ejercicio anterior, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de 4 y 9? 1.22) Calcula de esta forma el mínimo común múltiplo de: a) 2 y 6 b) 5 y 6 c) 3, 4 y 9 d) 4, 7 y 8

DIVISORES Un número a es divisible por otro b cuando existe otro número entero c que al multiplicarlo por b nos da a.

15 es divisible entre 3 porque existe el número 5 de forma que 3 . 5 = 15 18 es divisible entre 6 porque existe el número ___ de forma que _________

MUY IMPORTANTE: Todos los múltiplos de un número son divisibles por éste número

Un número es divisible por:

DOS: Si dicho número acaba en cero o es par. TRES: Si la suma de sus cifras da 3 ó múltiplo de 3 CINCO: Si acaba en cero o cinco ONCE: Cuando la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la de las cifras de lugar impar es

múltiplo de 11 1.23) Averigua cuanto tiene que valer p para que se cumpla:

a) 1p40 sea múltiplo de 3. b) 215p sea múltiplo de 2 y de 5. c) 32p5 sea múltiplo de 3 y de 5. d) 3p62 sea múltiplo de 2 y de 3.

1.24) ¿Son divisibles por 3 los números 32571, 48570, 9315? 1.25) Escribe cuatro múltiplos de 11 y comprueba que se cumple el criterio de divisibilidad correspondiente.

NÚMEROS PRIMOS Un número primo es aquel que sólo es divisible por él mismo y por la unidad. De esta forma 4 no es primo porque es divisible por 1, por 2 y por 4.

ACTIVIDAD: LOS NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE CIEN

a) Escribe una tabla con los cien primeros números (en filas de diez) b) Tacha todos los múltiplos de 2 (no son primos ya que son divisibles por 2) c) De igual manera tacha todos los múltiplos de 3 (cuenta de tres en tres) d) Los múltiplos de 4 estarán todos tachados (porque también son múltiplos de 2) e) Tacha los múltiplos de 5 (terminados en 0 o en 5) f) El siguiente número sin tachar es el 7: anula los múltiplos de 7 (cuenta de 7 en 7) g) ¿Qué número sin tachar le sigue al 7? Anula todos sus múltiplos h) Continúa de esta forma hasta el final y te quedarán sin tachar los números primos menores

de 100


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DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS Esto es una actividad importante porque nos permitirá hacer cálculos más adelante. Se trata de expresar un número como productos de números primos. Para ello, tendremos que ir dividiendo sucesivamente ese número y los cocientes resultantes, por el número primo más pequeño posible hasta llegar a cociente 1. Así para descomponer el número 120:

120 : 2 = 60 60 : 2 = 30 30 : 2 = 15 15 : 3 = 5 5 : 5 = 1 Esto significa que 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 23 . 3 . 5

TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

Una vez que has descompuesto un número en factores primos puedes averiguar los divisores del número: cualquier combinación que hagas con los números primos que forman el número. Así son divisores de 120: 2; 3; 5; 2.2 (4); 2.3 (6); 2.5 (10); 3.5 (15); 2.2.2 (8); 2.2.3 (12); 2.2.5 (20); 2.3.5 (30); 2.2.2.3 (24); 2.2.2.5 (40); 2.2.3.5 (60); 2.2.2.3.5 (120) 1.26) Descompón en factores primos los números 216, 320 y 96. Escribe los divisores de 96. 1.27) Halla todos los divisores de 24, 48 y 60. ¿Cuáles son comunes a los tres? ¿Cuál es el máximo de los comunes divisores?

REGLAS PARA CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (mcd) Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm)

Una vez que has comprendido el significado de mcd y mcm es útil que te aprendas dos reglas para cálculos rápidos. Para calcular el mcd o el mcm de varios números debes expresar todos los números como productos de potencias números primos (como se ha hecho en el ejercicio 19). Entonces:

El mcd de ellos se calcula como producto de todas las potencias comunes a todos ellos elevados al mínimo exponente.

El mcm de ellos se calcula como el productos de TODAS las potencias que aparecen en todos ellos elevadas al máximo exponente.

Un ejemplo para aclarar las ideas: Tienes los números 32 y 120 que descompuestos resultan

120 = 23 . 3 . 5 32 = 25

Por lo que mcd (32 y 120) = 23 = 8 mcm (32 y 120) = 25 . 3 . 5 = 480 1.28) Calcula el mcd de los siguientes números.

a) 25 y 37 b) 40 y 85 c) 54 y 92 d) 120 y 75 1.29) Calcula el mcm de los siguientes números:

a) 4 y 3 b) 2 y 6 c) 11 y 5 d) 2 y 9 1.30) Halla el mcd y el mcm de 24, 48, 60 (descompuestos en factores primos en ejercicio 27). 1.31) Escribe todos los divisores de 180. Determina el máximo común divisor de 180 y 126.


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PROBLEMAS RELACIONADOS CON mcd y mcm Son típicos los problemas donde hay que dividir dos a más magnitudes entre un mismo número que hay que averiguar (común divisor) o los problemas donde hay fenómenos que se repiten cada uno con una periodicidad y se quiere averiguar cuando vuelven a coincidir (común múltiplo). 1.32) Un ebanista quiere cubrir la pared de un salón de 80 dm de largo y 25 dm de alto con láminas cuadradas de madera lo más grandes posibles y enteras. a) ¿Cuánto medirá en cm el lado de cada lámina? b) ¿Cuántas laminas necesitará para cubrir la pared? 1.33) El manual de instrucciones de un coche especifica que debe cambiarse el aceite cada 7500 km, el filtro de aire cada 15000 km y las bujías cada 30000 km ¿A qué número de kilómetros como mínimo se deben hacer todos los cambios a la vez? 1.34) Luis tiene un perro y un gato. Al perro ha de darle un jarabe cada dos horas y al gato ha de ponerle unas gotas en los ojos cada tres horas. Cuando se levanta a las 8 de la mañana cuida a los dos animales. ¿A qué otras horas del día ha de atender a los dos animales juntos?. 1.35) La clase de 1º A tiene 32 alumnos y la de 1º B, 36 alumnos. Queremos distribuir los alumnos en equipos del mismo número de participantes de manera que no falte ni sobre nadie y no se mezcle el alumnado de cada grupo ¿Cuántos alumnos podrán entrar en cada equipo como máximo? 1.36) Queremos cubrir el suelo de una habitación rectangular de 82 dm de largo por 44 dm de anchura con baldosas cuadradas tan grandes como sea posible. Calcula el lado de cada baldosa y su superficie. 1.37) Sebastián visita a su abuela Concha cada 5 días. El otro nieto de Concha, Matías, la visita cada 7 días. Cada vez que vienen, Concha tiene que levantarse temprano para ordenar la casa. Si el 1 de enero de 2004 van los dos a visitarla, ¿cuántas veces tendrá que levantarse temprano en ese año? 1.38) El autobús hacia Madrid sale de un pueblo cada dos días. El autobús hacia Barcelona lo hace cada 3 días y el que va a París lo hace cada semana. Si el día 8 de octubre salen los tres autobuses el mismo día, ¿cuándo volverán a salir los tres juntos? 1.39) El planeta A tarda 6 años en dar una vuelta alrededor del Sol mientras que otro planeta B tarda ocho años en hacerlo. Si en el año 2015 se encuentran alineados, ¿cuándo volverán a estar en la misma posición? 1.40) El folio que utilizamos es el llamado A4 y tiene unas dimensiones de 297 mm de largo por 210 de ancho. Queremos dibujar una cuadrícula en el folio de forma que cubramos todo el folio con cuadrados sin que sobre ningún trozo de papel. ¿Qué tamaño tiene que tener cada cuadrado y cuántos cuadrados caben en el folio A4? 1.41) María está montada en un carrusel de feria que da 6 vueltas cada dos minutos mientras que Pepe se monta en otro carrusel que está al lado pero que da 8 vueltas cada dos minutos. Si en este momento los dos están uno junto al otro, ¿cuánto tardarán en volver a estar juntos? 1.42) Una tienda musical hace una oferta para vender en lotes toda la existencia pasada de moda que consiste en 92 discos de vinilo, 138 cintas de casette y 230 CD de forma que todos los lotes incluyan los tres productos. ¿Cuántos lotes se pueden formar como máximo? ¿Cuál sería la composición de dichos lotes? 1.43) Diego ha iniciado un tratamiento médico para su alergia. Debe tomar tres medicamentos distintos: unas pastillas, un jarabe y una crema. Las pastillas las debe tomar cada tres horas, el jarabe cada cuatro y la crema aplicarla cada dos horas. Si Diego tomó todos los medicamentos a las 8:00 de la mañana, ¿a qué hora los volverá a aplicar todos? 1.44) María va a plantar 54 naranjos y 27 limoneros en varias filas. Todas las filas tienen que tener el mismo número de árboles y no se pueden mezclar árboles diferentes en la misma fila. ¿Cuál es el máximo número de árboles que tiene que tener cada fila y cuántas filas de árboles debe plantar?


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1.45) Inés y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola. a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? b) ¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar? 1.46) Se tienen dos recipientes, uno con 216 litros de naranjada y otro con 360 litros de limonada. Se quiere embotellar toda la naranjada y toda la limonada en envases con la misma capacidad (sin mezclar los líquidos) y que sean lo más grande posible. ¿Cuál debe ser la capacidad del envase? ¿Cuántas botellas de naranjada y limonada podremos llenar? ACTIVIDAD: En la primera columna de la siguiente tabla aparecen unas expresiones aritméticas. En las otras columnas aparecen posibles resultados de la primera columna. Averigua cuál es el resultado correcto y observa la letra que lleva asociado. Cuando acabes, con todas estas letras obtendrás un mensaje secreto.


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TEMA 2: NÚMEROS FRACCIONARIOS

FRACCIONES Y DECIMALES Los números fraccionarios aparecen cuando queremos dividir un número por otro que no es divisor de éste, por ejemplo 7/3 (se lee siete tercios). Este número se puede convertir en un número decimal efectuando la división y cogiendo los decimales que queramos. Así: 1/4 (un cuarto) = 0’25 3/4 (tres cuartos) = 0,75

1/3 (un tercio)= 0’3333....... 1/2 (un medio) = 0’5 etc Como ves hay decimales exactos y otros que no lo son. Si tienes que sumar números fraccionarios tienes una primera posibilidad: convertirlos en decimales y sumar estos números decimales (recuerda poner todas las comas decimales en la misma columna). El problema es que si trabajas con decimales no exactos siempre cometerás un error. 2.1) Efectúa las siguientes sumas:

a) tres quintos + dos octavos + siete tercios = b) cinco cuartos – diez novenos =

CONVERSIÓN DE DECIMALES A FRACCIONES:

Un número decimal exacto es fácil convertirlo en fracción decimal: puedes dividirlo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga y eliminar la coma decimal:

12’35 = 1235/100 0’035 = 35/1000 1050’35678 = 105035678/100000 Después podrás simplificar la fracción como verás un poco más adelante. Pero con los números decimales no exactos (concretamente los decimales periódicos) esta técnica no sirve ya que el número de ceros que tendrías que poner en el numerador es indefinido. Por ejemplo con el número 2’333333……… Tienes dos opciones:

a) REDONDEAR: Esto es, despreciar los decimales a partir de cierta cifra (décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas, etc.) y utilizar la técnica anterior. Esto supondrá siempre una aproximación y la fracción no será exactamente el número decimal. La última cifra decimal que dejamos debe ser la más cercana al número decimal por lo que, si redondeamos a las milésimas:

2’3333…… ≈ 2’333 5’7777…… ≈ 5’778 3’4444…… ≈ 3’444

b) ELIMINAR CIFRAS DECIMALES INDEFINIDAS: Para ello tendrás que pensar un poco. Si tienes el decimal periódico 7’345345345345…. = D, hay una forma de eliminar las infinitas cifras decimales:

1000 . 7’345345345345…. - 7’345345345345…. = 7345’345345345….. - 7’345345345345…. = 7345 – 7 = 7338 = 1000D – D = 999D, por lo que D = 7338/999

2.2) Convierte los siguientes decimales periódicos en fracciones sin redondear: a) 2’367 b) 3’16161616….. c) 0’444444….. d) 14’897897897….. e) 6’343434….. 2.3) Piensa en lo que has hecho antes y trata de convertir un decimal periódico mixto como 2’2315151515…. en fracción exacta.

NÚMEROS MIXTOS Hay fracciones donde el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo 5/3. Al hacer la división de 5 entre 3 encontramos un cociente igual a 1 y un resto de 2, esto es: 5/3 = 1 + 2/3 (número mixto) 2.3) Expresa las siguientes fracciones como números mixtos: 8/5 7/3 9/2 34/8 25/2


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SIGNIFICADO DEL NÚMERO FRACCIONARIO MENOR QUE 1 Una fracción menor que la unidad representa una parte de una cantidad total. En el dibujo de la izquierda se representa una tarta (el total). Dicha tarta se corta en SEIS pedazos iguales. Cada pedazo representa 1/6 del total. Tres pedazos se escriben como 3/6.

2.4) Si la tarta entera cuesta 3’40 Euros. ¿Cuánto valdrá 1/6 de la misma? ¿Cuánto valdrán 4/6? 2.5) En una población de 1300 habitantes hay 3/5 de personas menores de 25 años. ¿Cuántos habitantes menores de 25 años son? Una pista:

52 . 18000 2 .

518000 18000 de

52

También puedes hacerlo transformando 2/5 en número decimal: 2/5 = 0’4 2/5 de 18000 = 0’4 . 18000 2.6) Las aceitunas producen 2/9 de su peso en aceite. ¿Cuántos Kg de aceite se obtienen con 324000 kg de aceitunas? 2.7) Para arar un campo, tres agricultores han trabajado durante 40 horas. El primero trabajó 1/5 del tiempo, el segundo 3/8 del tiempo. ¿Cuántas horas trabajó el tercero? 2.8) En un jardín los 2/3 de las flores son rosas y el resto margaritas. Los 2/5 de las rosas son blancas y los 4/7 de las margaritas son amarillas. Si en el jardín hay un total de 1260 flores, ¿cuántas rosas blancas hay? ¿Y margaritas amarillas? 2.9) Para preparar un pastel, se necesita 1/3 de un paquete de 750 g de azúcar, 3/4 de un paquete de harina de kilo y 3/5 de una barra de mantequilla de 200 g. ¿Cuál es la masa del pastel? 2.10) Un depósito contiene 150 L de agua. Se consumen los 2/5 de su contenido. ¿Cuántos litros de agua quedan? 2.11) De una pieza de tela de 48 m se cortan 3/4. ¿Cuántos metros mide el trozo restante? 2.12) Un cable de 72 m de longitud se corta en dos trozos. Uno tiene las 5/6 partes del cable. ¿Cuántos metros mide cada trozo?

PORCENTAJES: Un porcentaje se representa con el símbolo %. Así 45% significa cuarenta y cinco por ciento y esto se convierte en

la fracción 45/100.

El 16% de una cantidad A será por tanto: A . 16/100

Si el procentaje tiene decimales:

43’5% = 435/1000 58’35% = 5835/10000

Así el 14’56% de 2400 será igual a 2400 . 1456 /1000 2.13) El llamado Impuesto sobre el Valor Añadido (IVA) es un porcentaje (actualmente el 10% para alimentos y el 21% para la mayoría de las cosas) sobre una cantidad llamada BASE IMPONIBLE. Cuando compramos un objeto debemos pagar la base imponible más el IVA. Calcula el IVA de un objeto cuya base imponible es 24’60 Euros. ¿Cuál será el precio total del objeto?


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2.14) En unos grandes almacenes se han obtenido en un mes unos beneficios de 450.759 euros. El 53’2% proviene del sector de alimentación; el 23,4% de confección y el resto de electrodomésticos. ¿Cuánto beneficio ha hecho cada sección en el mes? 2.15) Un pantalón cuesta 36’00 Euros y nos hacen un descuento del 25%. ¿Cuánto debemos pagar por el mismo? 2.16) Se compra un artículo en 80 E y queremos venderlo con un beneficio del 15%. ¿Cuál debe ser el precio de venta? 2.17) Una barra de pan cuesta 0,85 E más el Impuesto sobre el Valor Añadido (IVA). Si el IVA es del 10% ¿cuánto debe pagarse por la barra de pan? 2.18) Una persona el año pasado cobraba al mes 1480 E y le suben el sueldo un 3%. ¿Cuál será su próxima nómina? 2.19) En un teatro con 540 localidades se han vendido el 65 %. Si cada entrada cuesta 25 E. ¿Cuál ha sido la recaudación? 2.20) Una familia compra un frigorífico que cuesta 840 E pagando una entrada del 30 % al contado y el resto en 6 mensualidades. ¿Cuál es el importe de cada mensualidad? 2.21) He comprado directamente a la fábrica placas solares para calentar el agua. Su precio está marcado en 3.850 E. Como compro directamente en la fábrica me rebajan el 40 %, y cuando ya tengo el precio rebajado al hacerme la factura tengo que pagar el 21 % de IVA. ¿Cuánto me cuestan al final las placas solares? 2.22) María compra 3/5 partes de una tarta mientras que su hermano Juan compra 2/7 partes. ¿Cuántas partes de la tarta quedarán por vender? 2.23) Un depósito que contiene 500 L de agua se vacía hasta que quedan 3/8 del volumen inicial. ¿Cuántos litros se han sacado del depósito? 2.24) Carmen acierta 70 preguntas de un test sobre Matemáticas. Si los aciertos suponen 7/12 del total, ¿cuántas preguntas tiene el test? 2.25) Pablo compra un ordenador y una impresora. Paga como primer plazo la cuarta parte del precio, y como segundo plazo, la sexta parte. ¿Cuántas partes quedan por pagar? 2.26) Entre tres hermanos deben repartirse 120 euros. El primero se lleva 7/15 del total, el segundo 5/12 del total y el tercero el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno? 2.27) Hoy he perdido 18 cromos que son 3/11 de los que tenía. ¿Cuántos cromos tenía? 2.28) En un rebaño de 240 ovejas hay 2/5 de ovejas churras siendo el resto ovejas meninas. ¿Cuántas ovejas de cada clase hay? 2.29) El precio de un traje es 240 euros. Si lo pagamos al contado nos hacen un 20% de descuento. ¿Cuánto tendremos que pagar por el traje al contado? 2.30) Un recipiente que tiene una capacidad de 200 L se llena hasta los 3/4. ¿Cuántos litros quedan sin llenar? 2.31) En un CD caben 24 canciones del mismo tamaño. Los 2/3 están ocupados con música de autores españoles y 1/4 con autores extranjeros. ¿Cuántas canciones de autores de cada nacionalidad tiene el CD? ¿Cuántas canciones se pueden grabar aún en el CD? 2.32) De 45 asientos de un bus escolar, el 60% están ocupados. De ellos, dos quintos están ocupados por niños. ¿Cuántos asientos están desocupados? ¿Cuántos niños viajan en el bus?


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2.33) Juan se come dos quintos de un pastel. Su hermana María se come un cuarto. El trozo que queda tiene una masa de 80 g. ¿Cuántas partes quedan? ¿Cuánto pesaba el pastel entero? 2.34) En una clase hay 25 estudiantes de los que 3/5 son alumnas. ¿Cuántos alumnos hay en la clase? 2.35) En un quiosco se han vendido a lo largo de la mañana los 2/3 de un lote de periódicos. Por la tarde se han vendido un cuarto del lote y han quedado 5 ejemplares sin vender. ¿Qué fracción de periódicos queda sin vender al final? ¿Cuántos periódicos formaban el lote completo? 2.36) Una familia compra un frigorífico que cuesta 840 € pagando una entrada del 30% al contado y el resto en 6 mensualidades. ¿Cuál es el importe de cada mensualidad? 2.37) Para preparar un pastel, se necesita 1/3 de un paquete de 750 g de azúcar, 3/4 de un paquete de harina de kilogramo y 3/5 de una barra de mantequilla de 200 g. Determina la masa total del pastel. 2.38) María se come un quinto del pastel anterior y Juan lo hace con un tercio. ¿Qué fracción de pastel queda? ¿Cuál es la masa del trozo que queda? 2.39) El 20% de los alumnos de 3º ESO D hicieron mal un examen. Si el grupo está formado por 45 alumnos. ¿Cuántos contestaron correctamente? 2.40) Un jarabe tiene la siguiente composición: Azúcar (10%), Fruta (15%), resto agua. Calcula la masa de cada componente que hay en 450 g de jarabe.

FRACCIONES EQUIVALENTES

2.41) Fíjate en las dos tartas de la izquierda y responde a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cuál es la expresión fraccionaria correspondiente a un trozo de la tarta izquierda? ¿Y de un trozo de la tarta derecha?

b) ¿Cómo se expresa tres trozos de la tarta izquierda? ¿Y cuatro de la izquierda?

c) ¿Qué quiere decir 5/5? ¿Y 10/10? d) ¿Cuántos trozos de la tarta derecha has de coger para igualar a

un troza de la tarta izquierda? Exprésalo en fracciones. e) ¿Es lo mismo 3/5 que 6/10? f) ¿Son iguales 4/5 y 8/10? g) ¿Qué es mayor 2/5 o 3/10?

Dos fracciones son equivalentes cuando representan a la misma cantidad. Así, 1/3 es equivalente a 2/6, a 3/9, a

4/12, etc.

En general una fracción a/b es equivalente a otra fracción n . a / n . b (donde n es cualquier número entero) 2.42) Escribe 5 fracciones equivalentes a 3/5, a 2/7 y a 1/5.

UNA PROPIEDAD MUY IMPORTANTE DE LAS FRACCIONES EQUIVALENTES:

Si a/b = c/d se cumple que a . d = b . c Si a . d es mayor que b . c la primera fracción es mayor que la segunda

2.43) ¿Qué números hay que colocar en lugar de las letras para que las siguientes fracciones sean equivalentes?: 2/6 = a/18 3/5 = 12/b 1/6 = c/12 4/5 = 48/d 2.44) ¿Qué es mayor 3/8 o 1/5? ¿1/3 ó 2/4?


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CONVERSIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR

Se trata de escribir fracciones diferentes en otras equivalentes pero que tengan el mismo denominador. RECUERDA: Para escribir una fracción en otra equivalente sólo tienes que multiplicar el numerador de la fracción y el denominador por un mismo número n. Si tenemos tres fracciones y queremos que los tres denominadores sean iguales tendremos que buscar los números adecuados para que en todos los denominadores obtengamos un múltiplo común de

los tres (por sencillez, el mínimo común multiplo). 2.45) Escribe las fracciones 2/8 , 3/6 y 1/4 como tres fracciones con común denominador. 2.46) Reduce a común denominador las fracciones 5/9, 3/6 y 5/8. 2.47) Reduce las siguientes fracciones a común denominador y después escríbelas ordenadas de menor a mayor.

10

3,

5

2,

3

1 6

5,

5

2,

8

3 6

4,

8

1,

5

3

SUMA DE FRACCIONES

Recuerda que SÓLO podemos sumar cosas que sean iguales:

2 lápices + 4 lápices = 6 lápices

2 lápices + 4 gomas = no se pueden sumar

Las fracciones que podemos sumar deben referirse a las mismas partes: Dos tercios + un tercio = tres tercios

Dos tercios + un quinto = no se refieren a partes iguales

Por tanto, para sumar fracciones hay que reducirlas a común denominador. 2.48) Calcula el valor de un tercio más un quinto.

2.49) Efectúa la siguiente suma 95 -

63

52

2.50) Calcula las siguientes sumas:

4

5

8

3

12

1 8

1

5

12

5

1

3

1

2

1

4

11

PRODUCTO DE FRACCIONES

El producto de dos fracciones es una operación muy sencilla de hacer:

2110

75

32 :ejemplo

d . bc . a

dc

ba

Es muy conveniente expresar el resultado como fracción equivalente con los números más pequeños posibles. Esto es

SIMPLIFICAR FRACCIONES.

Para simplificar fracciones se expresa el numerador y el denominador en forma de productos de números primos. Un factor del numerador se simplifica con otro igual del denominador (el cociente de dos factores iguales es 1).

75

7 . 3 . 25 . 3 . 2

4230


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2.51) Simplifica las siguientes fracciones: a) 12/18 b) 20/30 c) 56/48 d) 45/135 e) 900/1260 2.52) Realiza los siguientes productos expresando el resultado de forma simplificada:

89

65

34

62

41

420

56

Recuerda el orden de prioridad de operaciones en el mismo nivel: productos y cocientes antes que sumas

2.53) Calcula escribiendo el resultado lo más simplificado posible:

a) 45

83

121 b)

81

512 c)

63

27

54 d)

51

31

21

411

e)

21

92

41

31 f)

51

41

32

21

31 g)

41

34

52

312

h)

51

43

114

21

35

83 i)

52

31

43

211

31

53

NÚMERO INVERSO Y COCIENTE DE FRACCIONES

Se define el inverso de un número como otro de forma que el producto de los dos resulta ser igual a uno. La fracción inversa de a/b es otra fracción b/a. Por ejemplo, la inversa de 5/3 es 3/5, el inverso de 4 es 1/4, la inversa de 1/8 es 8.

2.54) Escribe los números inversos de: 6 4/5 3 6/9 5 2/7 8 3/4 De esta manera se puede definir el cociente de dos fracciones como el producto de la primera por la inversa de la

segunda. 2.55) Realiza los siguientes cocientes expresando el resultado de forma simplificada:

2 : 25

34 : 2

89 :

65 :

34

62 :

92

38 :

64

2.56) Expresa el resultado de la forma más simple:

a)

32

21

812

b)

51141

21

c)

41

62

81

52

d)

311:

52

35

e) f)

53:2 3.4-

32

4.3) 2(

41-6:

53


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TEMA 3: PROPORCIONALIDAD En la vida cotidiana encontramos MAGNITUDES. Éstas son propiedades de los objetos que pueden expresarse de forma numérica y que precisan de patrones aceptados por todos llamados UNIDADES. Así el precio de un objeto es una magnitud que puede expresarse en diferentes unidades: euros, dólares, pesetas, etc.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos magnitudes (a y b) son directamente proporcionales cuando se cumplen dos condiciones:

1) Que el valor de una dependa del valor de la otra de forma que a un valor a1 de una corresponde un sólo valor b1 de otra. Para otro valor a2 de una corresponde un solo valor b2.

2) Que el cociente del valor de una por el correspondiente de la otra se mantiene constante de forma que a1 / b1 = a2 / b2 = a3 / b3 . Esto significa que un aumento de a produce un aumento semejante de b: si a se duplica, b también lo hace; si a se triplica, b también lo hace, etc.

3.1) Señala cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales y explica la razón:

a) El precio y la masa (en kilogramos) de un saco de naranjas. b) El color de un jersey y su talla. c) El peso de un carrete de hilo y la longitud en metros del hilo. d) La velocidad de un coche y el tiempo empleado en recorrer una distancia. e) El número de páginas de un libro y su precio. f) El número de páginas de un libro y el tiempo que se tarda en leerlo. g) La longitud de la circunferencia y su radio. h) El área de un cuadrado y la longitud de su lado.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS PROPORCIONES

Si se cumple quecz

by

ax también se cumplen las siguientes relaciones:

1) Estas las tienes que conocer desde el tema anterior: x . b = a . y y . c = b . z x . c = a . z

2) Ésta es una nueva relación que debes aprender:

c b az y x

cz

by

ax

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes (a y b) son inversamente proporcionales cuando se cumplen dos condiciones:

1) Que el valor de una dependa del valor de la otra de forma que a un valor a1 de una corresponde un sólo valor b1 de otra. Para otro valor a2 de una corresponde un solo valor b2.

2) Que el producto del valor de una por el correspondiente de la otra se mantiene constante de forma que a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 . Esto significa que un aumento de a produce una disminución semejante de b: si a se duplica, b se hace la mitad; si a se triplica, b se hace un tercio, etc.

También se puede decir que a es directamente proporcional al inverso de b, es decir, a 1/b

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD SIMPLE:

Debes leer detenidamente el enunciado del problema y completar la siguiente tabla:

Magnitud a Magnitud b Datos: Valor a1 Valor b1 Problema: Incognita x Valor b2


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En segundo lugar hay que plantearse si la proporcionalidad de las dos magnitudes es directa o inversa (si a mayor a le corresponde mayor b es directa; si a mayor a le corresponde menor b es inversa). Una vez determinado sólo queda aplicar las ecuaciones:

DIRECTA: 1

2

1 bb

ax

INVERSA: 2

1

1 bb

ax

Fíjate: las magnitudes directas de la misma fila del cuadro están en el mismo sitio (numerador o denominador). Las magnitudes inversas de la misma fila están cambiadas (una en el numerador y la otra en el denominador) Resolver una ecuación es calcular el valor adecuado de x para que se cumpla la igualdad. Estas ecuaciones son fáciles de resolver. Sólo hay que despejar la incógnita x. Despejar consiste en dejar la x sola: para ello todos los números que la acompañan en el primer miembro de la ecuación pasan al segundo miembro haciendo la función contraria (si suman pasan con signo menos; si multiplican pasan dividiendo; si dividen a la x pasan multiplicando). Así, en el primer caso,

1

12b

a . b x

ATENCIÓN: SIMPLIFICA LAS FRACCIONES ANTES DE HACER LAS OPERACIONES

3.2) Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 2 minutos si mantiene su velocidad constante? 3.3) 14 operarios efectúan un trabajo en 6 días. ¿Cuánto tardarían 42 operarios trabajando la misma cantidad de horas diarias? 3.4) Una llave que arroja 12 litros por segundo de agua, demora 10 horas en llenar una piscina. ¿Cuánto demora una llave que da 20 litros por segundo? 3.5) En un plano, cuya escala es 1:100, una puerta mide 5 mm de ancho por 17 mm de alto ¿Cuáles son las medidas verdaderas de la puerta? 3.6) Calcula el valor de 4 huevos si una docena cuesta 54 Euros.

3.7) Un automóvil recorre en 3 horas. una distancia de 141 km. ¿Cuánto recorrerá en 6 horas si va la misma velocidad? 3.8) En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal? 3.9) Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el coche? 3.10) Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? 3.11) Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas? 3.12) Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?

PROPORCIONES COMPUESTAS

En estos casos se combinan más de dos magnitudes. Hay que construir una tabla semejante:


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Magnitud a Magnitud b Magnitud c Magnitud d Datos: Valor a1 Valor b1 Valor c1 Valor d1

Problema: Incognita x Valor b2 Valor c2 Valor d2 Hay que determinar si la relación entre x y cada una de las demás magnitudes es directa o inversa y plantear la ecuación:

inversos) (valores fila 2ª directos) (valores fila 1ª :de Productoinversos) (valores fila 1ª directos) (valores fila 2ª :de Producto

ax1

MUCHA MÁS ATENCIÓN: SIMPLIFICA ANTES DE CALCULAR 3.13) Cuatro jóvenes en una acampada de 10 días han gastado en comer 250 Euros. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 jóvenes durante una acampada de 15 días? 3.14) Quince obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias? 3.15) En un sembrado hay 25.000 matas de tomate. Si de cada 50 se pierden 6, ¿cuántas matas en total se perderán? 3.16) Las estadísticas muestran que de cada 30 fumadores compulsivos 5 adquieren enfermedad pulmonar antes de los 50 años. Si en una ciudad hay 24.000 fumadores compulsivos, ¿Cuántos casos de enfermedad pulmonar se producirán?. 3.17) Una persona de 1,72 metros de altura proyecta una sombra de 5 metros de largo a cierta hora de la tarde. A esa misma hora la sombra de una palmera es de 27,5 metros. ¿Cuál es la altura de la palmera? 3.18) El alimento de un mes (30 días) para 10 terneros cuesta 5.000 Euros, ¿cuánto costará el alimento de 27 terneros durante 20 días? 3.19) Las ruedas traseras y delanteras de un coche tienen un diámetro de 1,3 metros y 1 metro, respectivamente. Cuando las primeras han dado 370 vueltas, ¿cuántas han dado las segundas? 3.20) Jorge tarda 25 minutos de casa al colegio, dando 100 pasos por minuto. Un día se retrasa al salir y tiene que llegar al colegio en 20 minutos. ¿Cuántos pasos deberá dar por minuto? 3.21) Una piscina se llena en 12 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de agua en cinco minutos. a) ¿cuántas horas tardará si el grifo arroja 90 litros en dos minutos? 3.22) Una persona leyendo 4 horas diarias, a razón de 15 páginas por hora, tarda en leer un libro 10 días. Si leyendo a razón de 10 páginas por hora tardase 20 días ¿cuántas horas diarias leería? 3.23) Un barco lleva víveres para alimentar durante 45 días a su tripulación, formada por 60 hombres. Si acogen a 30 hombres más de un barco averiado, ¿cuántos días durarán los víveres? 3.24) Se ha excavado la mitad de un foso en 35 días con 120 obreros. Habiéndose aumentado éstos en 30 obreros, ¿en cuántos días acabarán el trabajo?

PROBLEMAS DE PORCENTAJES PARA HACER POR PROPORCIONES SIMPLES 3.25) Un traje cuesta 130 Euros y nos hacen un 20% de descuento. ¿Cuánto debemos pagar? 3.26) En una granja, la peste porcina mata al 18 % de los cerdos, quedando 164. ¿Cuántos han muerto?


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3.27) En la última subida de precios del autobús el billete sencillo ha pasado de 1,10 euros a 1,16 euros y el bonobús de diez viajes ha pasado de 4,70 euros a 4,91 euros. ¿Qué tanto por ciento de subida han sufrido el billete sencillo y el bonobús? 3.28) Una botella de aceite sube su precio un 20 %. La botella cuesta finalmente 4,08 euros. ¿Cuánto costaba antes de la subida? 3.29) Un cultivo de bacterias tiene 120.000 bacterias y, por la acción de un fármaco, se produce la muerte del 16 % de la población. Tratadas las bacterias supervivientes con otro producto se aumenta la población en un 14 %. ¿Cuántas bacterias forman la población finalmente?

MÁS PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD 3.30) Un coche tarda 40 min en recorrer una distancia yendo a 60 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer esa distancia si viaja a 90 km/h? 3.31) Cinco máquinas trabajando 4 horas diarias durante 10 días fabrican 2000 chalecos. ¿Cuántos días tardarán 3 máquinas en fabricar 5000 chalecos trabajando 6 horas al día? 3.32) Para construir 5 casas en 4 meses son necesarios 20 albañiles. ¿Cuántos albañiles serán necesarios para construir 8 casas en 10 meses? 3.33) Tres cosechadoras en tres horas han segado un campo de 27 hectáreas. ¿Cuántas cosechadoras serán necesarias para segar en dos horas 36 hectáreas? 3.34) 5 pintores pintan 600 m2 de muro en 4 días. ¿Qué superficie pintarán 7 pintores en 6 días? 3.35) 5 Caballos en 4 días consumen 60 kg de pienso. ¿Cuántos días podrán alimentarse a 8 caballos con 360 kg de pienso? 3.36) En un comedor escolar 75 alumnos han consumido 230 kg de pescado en 2 meses. ¿Cuántos kg de pescado consumirán 150 alumnos en 3 meses? 3.37) Una fábrica trabajando 8 horas diarias ha necesitado 5 días para fabricar 1.000 ruedas. ¿Cuántos días tardará para fabricar 3.000 ruedas si trabaja 10 horas diarias? 3.38) Un cine dando 2 sesiones diarias, puede dar entrada a 18.000 personas en 30 días. ¿A cuántas personas podrán recibir 4 cines dando 3 sesiones diarias durante 45 días? 3.39) Doce obreros, trabajando 8 horas diarias hacen una pared de 50 m de larga en 25 días. ¿Cuánto tardarán 5 obreros en hacer una pared de 100 m de larga si trabajan 10 horas diarias? 3.40) Sesenta terneros consumen 4.200 kg de pienso a la semana. ¿Durante cuantos días podremos alimentar a 15 terneros si disponemos de 600 kg de pienso? 3.41) Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una ciudad que está a 60 km de distancia, una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 50 kg a 200 km de distancia? 3.42) Para llenar un depósito hasta una altura de 80 cm se ha necesitado aportar un caudal de 20 litros por minuto durante 1h y 20min. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar otro depósito hasta una altura de 90 cm si se le aporta un caudal de 15 litros por minuto? 3.43) Con 12 botes conteniendo cada uno 1/2 kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.


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3.44) Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

PROBLEMAS DE REPARTOS PROPORCIONALES Son típicos los problemas donde hay que repartir proporcionalmente una cantidad total (T) entre varias personas siguiendo unos criterios de reparto. El reparto puede hacerse de forma directa (a más criterio más cantidad corresponde) o de una forma inversa (a más criterio menos cantidad corresponde). Para resolver el problema vamos a confeccionar el siguiente cuadro esquema:

Personas A B C Criterio reparto: datos problema a b c Cantidad adjudicada: incognitas x y z

Si el criterio de reparto es directo tendremos las ecuaciones x/a = y/b = z/c = (x+y+z)/(a+b+c) Si el criterio de reparto es inverso las ecuaciones se complican un poco (por las fracciones):

x/inverso de a = y/inverso de b = z/inverso de c = (x+y+z)/(1/a+1/b+1/c) Ten en cuenta que x+y+z será el total a repartir (T). A partir de las ecuaciones que salen se determinan los valores de las incógnitas x, y , z. 3.45) Pedro, Alberto y María tenían, respectivamente, 5, 3 y 2 euros. Juntaron su dinero y compraron 500 folios. ¿Cuántos folios recibe cada uno? 3.46) En una campaña de recogida de pilas para reciclar, Yolanda lleva 7 pilas, Miriam 11 y Juan 12. Si como premio ganan 60 bolígrafos, ¿cómo se los repartirán? 3.47) Un padre reparte 700 € en partes directamente proporcionales a sus edades: Miguel de 8 años, Fátima de 12 años y Lucía de 15 años. ¿Cuánto recibirá cada hijo? 3.48) Un padre reparte 700 € en partes directamente proporcionales a sus edades: Miguel de 8 años, Fátima de 12 años y Lucía de 15 años. ¿Cuánto recibirá cada hijo? 3.49) Tres amigos reciben 450 € por hacer de canguro. Rafa trabajó 3 días, Marina 5 días y Alfredo 7 días. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 3.50) Dos socios montan una empresa. El socio A puso 2 millones de euros y el socio B puso 5 millones. Al año han obtenido 28.000 € de beneficios. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 3.51) Entre cuatro personas compran un solar que mide 10.000 m2. Inés pagó 25.000 €, Clara 40.000 €, Alfonso 60.000 € y Carlos 75.000 €. ¿Cuántos m2 le corresponden a cada uno? 3.52) Una localidad tiene 3 institutos. El instituto A tiene matriculados 520 alumnos, el B 360 alumnos y el C 140 alumnos. Para su funcionamiento se debe repartir 124.440 € en partes directamente proporcionales al número de alumnos que tienen matriculados. ¿Cuánto recibirá cada instituto? 3.53) Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 € en proporción inversa a las edades que tienen y que son de 20, 24 y 32 años respectivamente. ¿Cuánto debe aportar cada uno? 3.54) Los dos camareros de un bar se reparten al final de mes un bote con 136 euros de propina de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado. Si uno ha faltado 3 días y otro 5, ¿cuántos euros corresponde a cada uno?


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3.55) Según un testamento, una fortuna de 65000 euros, se reparte entre tres personas en partes inversamente proporcionales al sueldo de cada una de ellas. Si los sueldos de estas personas son de 900, 1350 y 1800 euros, ¿cuánto le corresponde a cada una? 3.56) Reparte 114 caramelos entre cuatro niños de forma inversamente proporcional a las edades de ellos que son de 3, 4, 5 y 6 años respectivamente. 3.57) En una competición se van a repartir 174 puntos entre cinco participantes, en orden inversamente proporcional al tiempo que tardan en realizar la prueba. Si los participantes tardan 4, 6, 8, 10 y 12 minutos respectivamente, ¿cuántos puntos le corresponde a cada uno? 3.58) Tres amigos se reparten una pizza de forma inversamente proporcional a sus pesos que son respectivamente 60, 72 y 90 kilogramos. ¿Qué parte de pizza se debe comer cada uno? 3.59) Un padre reparte entre sus tres hijos 310 euros de forma inversamente proporcional al número de asignaturas suspensas, que han sido 2, 3 y 5 respectivamente. ¿Cuánto da a cada uno?

TEMA 4: POTENCIAS Y POLINOMIOS

PRIMERAS OPERACIONES BÁSICAS CON POTENCIAS

Las potencias se utilizan para escribir productos de números iguales (BASE).

2 . 2 . 2 . 2 = 24 (-2) (-2) (-2) = (-2)3 b . b . b . b . b = b5

4.1) Calcula el valor de las potencias siguientes: 42, -42 y (-4)2 4.2) Calcula el valor de las siguientes expresiones numéricas:

a) 32 – 5 . 24 = b) 3 . 23 – 3 . 52 = c) 4 . 33 + 2 . 53 – 6 . 25 = d) 7 . 33 + 4 . (-2)2 e) (-3)3 – (-2)4 = f) -5 . (-3)3 + 4 . (-2)4 = g) -4 . 23 – 5 . (-5)2 = h) (-2)5 – 3 . (-3)4 = i) (-3)2 + 2 . (-2)5 =

LENGUAJE MATEMÁTICO Y SUMA DE POTENCIAS

UNA REGLA FUNDAMENTAL: Las cosas iguales se pueden sumar (o restar) 2 bolígrafos + 4 bolígrafos = 6 bolígrafos

3 + 32 : no se puede realizar la suma, hay prioridad de operaciones = 3 + 3 . 3 = 3 + 9 = 12

32 + 32 = son dos potencias iguales y se pueden sumar = 2 . 32

Vamos a empezar a utilizar letras combinadas con números (EXPRESIONES ALGEBRÁICAS). La letra puede tomar cualquier valor numérico y la llamamos VARIABLE.

2a = 2 . a = dos veces a 2x3 = dos veces x3 5x6 = 5 veces x6

DEBES UTILIZAR EL LENGUAJE MATEMÁTICO DE FORMA CORRECTA: En la expresión 3x5 el número 3 se llama

coeficiente, la variable x es la base y el número 5 es el exponente. No se puede sumar: 3x + 4x2 5x2 + 4y2 3 + 8x Sí se puede sumar: 3x + 4x = 7x 5x2 + 4x2 = 9x2 6x3 – 9x3 = -3x2 Una expresión tipo axb se denomina monomio, si hay dos sumandos tipo axb + cxd se llama binomio. Si hay más sumandos se llama POLINOMIO. Llamamos grado del polinomio al exponente más grande que tenga el polinomio.


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4.3) Determina el valor del polinomio 3x2 -5x +15 para los siguientes valores de x: 2, -3, 0, 1/2 y -2/3. 4.4) Simplifica las siguientes expresiones algebraicas y señala el grado del polinomio resultante:

a) –5 + 3x – 2x2 + 8 – x2 + 5x = b) –8x + 5x3 – 4x2 + 6x – 3x2 + 9 – 2x3 = c) 8x2 + 3x2 – 5x + 8x = d) 2x/3 + 3x/2 + 5x/4 = e) 2x2/5 + 4x2/3 – 3x2/2 = f) -5x2/3 + 3x/2 – 6x2/5 + 4x/3 = g) 8x – 5x2/3 + 2x2 – 3x + 4x/3 – 2x + 3x2/2 =

PRODUCTO DE POTENCIAS Tienes que saber que x4 = x . x . x . x por tanto: x4 . x3 = x . x . x . x . x . x . x = x7

Para multiplicar potencias con la misma base se suman los exponentes

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: Cuando encontramos productos de sumas que no podemos efectuar (a + b)(c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d

4.5) Realiza los siguientes productos: a) x2 . x = b) 3x3 . 5 x2 = c) 8y2 . 6x5 = d) -5x . (-6x4) = e) -3a3 . 6a2 = f) 4x . (-5x5) . (-3x2) = g) -6a2 . 5a3 . (-5x3) . 4x = h) x(x + 1) = i) x2 (2 – x) = j) (x + 2) (x – 2) = k) x2 (x2 – 3x + 4) = l) (x2 – 1) (3x3 – 4x2 +7) =

4.6) Realiza las siguientes operaciones simplificando:

a) 2)- (x 2 b) 4) 2y- 3)(y - (y 2

c) 3y) - (-3 2 d) 2) 5x- x(x- 23 4.7) Realiza las siguientes operaciones y simplifica expresando el grado del polinomio final:

a) 8) 2x- 2)(x (-5x 3 b) 9) 3x - 5x)(6x- (x 242

c) 2) 9x)(-3x 5x-(7x 223 d) 3) 2x- 2)(8x (-9x 2

e) 6) 2x- 8)(3x 3x-(6x 224 4.8) Realiza las siguientes operaciones y simplifica expresando el grado del polinomio final:

a) x) (-4 2 b) 4)- 4)(-8x (-8x

c) 2) 5x- 4)(3x - (-2x 22 d) 4) 3x)(5x- -(4

POTENCIAS DE UN PRODUCTO O DE UN COCIENTE

(a . b)c = ac . bc (a/b)c = ac/bc 4.9 Calcula los valores de: a) (4 . 3)2 b) (4/3)2 c) (5 . 2)3 d) (5/2)3 e) (1/2)2 + 2/3)2

COCIENTE DE POTENCIAS

RECUERDA: Cuando un cociente está formado por productos en el numerador y en el denominador se puede operar con cualquiera de ellos (OJO: esto no se puede hacer cuando hay sumas)

16 2 . 2 . 4 510

36

28

2 . 5 . 310 . 6 . 8


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Así, para dividir 8x4 entre 4x2 se dividen números por un lado y potencias por otro.

32

5x

x . xx . x . x . x . x

xx

Para dividir potencias con la misma base se restan los exponentes También se pueden dividir números o letra positivos y negativos entre sí. El criterio del signo resultante es el mismo que para el producto. IMPORTANTE: Cuando se divide una potencia por otra de mayor exponente aparecen las potencias negativas:

2-26

4x

x1

x . x 1

x . x . x . x . x . x x . x . x . x

xx

Así 22-

x6 6x

22

6x1 6x

Una potencia con exponente negativo es la inversa de la potencia con exponente positivo.

Al dividir dos potencias iguales nos queda la base elevada a cero. Cualquier número elevado a cero es el cociente de

dos cosas iguales, esto es, a0 = 1 4.10) Realiza los siguientes cocientes: a) 4x3 / 2x = b) -5x5 / (-2x3) = c) -8x / 4x3 = d) 5x2 / x4 = e) -9y3 / (-3y3) = f) 8a3 . 4a2 / 16a6 = g) -8y2 / (-4y4) = h) 8a2 . (-4x2) / (-2a) . 2x5 =

Uno de los mayores errores consiste en no respetar las siguientes reglas:

4.11) Simplifica las siguientes expresiones algebraicas: a) 8x2 + 3x2 – 5x + 8x = b) (3x2 + 4)(-5x + 8) =

c) 2

35

2x4x - 8x

POTENCIA DE OTRA POTENCIA

(a5)4 = a5.a5.a5.a5= a5.4 = a20 En general (ab)c = ab.c 4.12) Simplifica: a) (32)4 = b) (24)3 = c) (53)2 = d) (43)3 = e) (62)4 = f) (2894)0 = 4.13) Expresa las siguientes potencias de manera que las bases sean números primos: a) (125)3 = b) (64)4 = c) (81)2 = d) (49)4 = e) (36)3 = f) (04)5 = 4.14) Simplifica: a) (52)3.(43)2/(23)2 = b) (62)3.(24)5/126 =

lcba también o b

ca

cb . a :PRODUCTO UN DE COCIENTE

cb

ca

cb a :SUMA UNA DE COCIENTE

222

4x 2x 4

16x 4

8x 416x 8x


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POTENCIAS DE DIEZ: NOTACIÓN CIENTÍFICA Cuando se utilizan cantidades muy grandes o muy pequeñas es aconsejable utilizar la notación científica. Ésta consiste en utilizar las POTENCIAS DE DIEZ: 100 = 10x10 = 102 1.000 = 10x10x10 = 103 1.000.000 = 10x10x10x10x10x10 = 106 2.000.000 = 2 x 1.000.000 = 2 x 106 1.500.000 = 1,5 x 1.000.000 = 1,5 x 106

0'1 = 1 / 10 = 10-1 0'001 = 1 / 1000 = 1 / 103 = 10-3

0'0000001 = 1 / 10000000 = 1 / 107 = 10-7 0'000000578 = 5,78 x 0'0000001 = 5'78 x 10-7

IMPRESCINDIBLE: Debes multiplicar y dividir por la unidad seguida de ceros, SIN UTILIZAR CALCULADORA

4.15) Expresa en notación científica las siguientes cantidades: a) 5.900.000 b) 1.200.000 c) 10.500.000 d) 0,00147 e) 0,00307 f) 0,00000748 4.16) Ordena las siguientes cantidades de menor a mayor: a) 5,4 x 103 b) 680 c) 0,5 x 104 d) 7980 e) 88 x 103 f) 5600000 x 10-3

RAÍCES: NÚMEROS IRRACIONALES

Son potencias con exponentes fraccionarios, por ejemplo a1/2 (llamada raíz cuadrada)

En general ab/c = raíz de índice c de ab

Si el cociente b/c es un número entero la raíz es exacta y el resultado es un número entero. Si el cociente b/c no es entero la raíz es un número llamado IRRACIONAL (no pueden expresarse como una fracción).

Para calcular raíces debes expresar a como producto de números primos y trabajar con las potencias como hemos hecho antes

4.17) Averigua, sin hacer uso de la calculadora, las siguientes raíces: a) Raíz cuadrada de 64 b) Raíz cúbica (índice 3) de 729 c) Raíz cuarta de 256 d) Raíz cúbica de 216 e) Raíz cuadrada de 196 f) Raíz cúbica de 343

Para calcular rápidamente raíces cuadradas debes saber de memoria los cuadrados de los números enteros ya que elevar al cuadrado y sacar la raíz cuadrada son operaciones inversas

ATENCIÓN A OTRO ERROR MUY FRECUENTE:

c ba

222 24 122

22 555 5125 133

3 33


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pero

DIVISIÓN DE POLINOMIOS Recuerda cómo haces la división entre dos números y fíjate en la imagen de la izquierda. Es la división del polinomio 8x3-4x2+2x+7 entre el polinomio 2x2+x-1. Buscamos un monomio que multiplicado por 2x2 resulte 8x3 (es evidente que es 4x). Lo demás es seguir las reglas de la división ordinaria.

Al igual que en la división de números, el producto del polinomio cociente por el polinomio divisor más el polinomio resto debe dar el polinomio dividendo

4.18) Sean los polinomios P(x) = 4x3 – 5x2 + 6x -8, Q(x) = 2x2 – 1 y R(x) = x – 2. Realiza las siguientes operaciones con ellos: a) P(x) + 2.Q(x) – R(x) b) P(x) . Q(x) c) P(x):Q(x) d) P(x):R(x) e) Q(x):R(x) 4.19) Realiza las siguientes divisiones:

a) 6x4 - 4x3 + 2x - 6 : x - 3 b) 5x5 - 3x4 + 4x3 - 2x2 + 5 : x + 1 c) 3x3 - 2x2 + 7x - 4 : x - 2 d) 5x4 - 4x3 + x2 - 4 : x - 1 e) 3x6 - 3 : x - 1 f) 3x6 + 3 : x + 1

Fíjate que al dividir por el binomio (x – a) el resto es un número sólo. Puedes averiguar el resto de la división

sustituyendo la x en el polinomio dividendo por el valor de a (Esto se llama en Matemática el Teorema del Resto)

4.20) Dados los siguientes polinomios: A = 2x5 - 4x3 + 6x2 - 7x B = 4x4 - 6x3 - 2x2 + 5x - 4 C = 3x4 - 5x3 - 6x2 - 9x + 3 D = 6x5 - 4x3 + 2x2 - 7x + 6 Calcula: a) A + B + C + D b) A – B – C + D c) 2A - 3B + C – D 4.21) Dados los siguientes polinomios: A = 2x4 - 3x3 + 6x2 - 4x + 5 B = 3x3 - 6x2 + 4x - 5 C = 2x4 - 3x2 + 4x - 5 D = 5x4 - 3x3 + 6x2 - 4x + 3 Calcula:

a) 2A - 3B + C – D b) (3A – 2B) – (2D – 3C) c) (3A – 2C) - (3D + 2B)

TEMA 5: FUNCIONES POLINÓMICAS Y ECUACIONES Tienes dos polinomios P(x) y Q(x). ¿Es posible que haya valores de x para los que el valor de P(x) sea igual al valor de

P(x)?

La expresión P(x) = Q(x) es una ecuación. Encontrar los valores de x que hacen posible la igualdad es resolver la ecuación

5.1) Averigua si los números 2 y -2 son soluciones de la ecuación 4 3x- 8- 2x 3x- 223

10 5 . 2 125 . 8125 . 8 333 10 133125 8 33


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5.2) Averigua si los números 3 y -1 son soluciones de la ecuación 3 6x- 10 3x - 5x 324

Si el grado de los dos polinomios es 1 tenemos una ecuación de primer grado (con una solución como máximo). Si el grado de un polinomio es 2 tenemos una ecuación de segundo grado (con dos soluciones como máximo)

Un nuevo problema que se plantea es encontrar el valor adecuado de la x para que el polinomio P(x) tome un determinado valor numérico P. La igualdad planteada es una ecuación. Resolver la ecuación es encontrar el valor o valores adecuados de la x. El valor que toma el polinomio P(x) depende de la variable x. Para cada valor de x se obtiene un valor de P(x). En Matemática esta relación se llama FUNCIÓN (función polinómica ya que hay muchas más).

A la función se le suele asignar la letra y = P(x) Una manera de resolver la ecuación es usar la representación gráfica. Se le dan valores a la x, se averigua el correspondiente P(x) y estos puntos se llevan a una gráfica de ejes OX / OY. 5.3) Sea el polinomio y = 3x2 + 5x – 8. Completa la siguiente tabla y representa los valores en una gráfica:

Valor x -10 -6 -2 0 2 6 8 10 14 Valor y

Las representaciones gráficas se realizan fácilmente con la aplicación SetupGraphBeta-4.5.0.566

La representación de los polinomios de primer grado (con x elevado a uno) es muy sencilla ya que todos los puntos están en línea recta. Con dos valores de x y de sus correspondientes P(x) podemos representar la recta (la función y

= a.x + b se llama función lineal) 5.4) Sea el polinomio y = -4x + 8. Representa el polinomio en una gráfica (papel gráfica en página 31).

a) ¿Cuánto vale y para x = 10? b) ¿Cuánto debe valer x para que y = 0? ¿Y para que y = 12?

La representación de la función y = a . x + b es una recta donde a se llama pendiente de la recta (nos da la inclinación de la recta) y b es el punto donde la recta corta al eje OY (el valor de y para x = 0). 5.5) Representa las siguientes funciones lineales: a) y = 2x – 8 b) y = 5x + 6 c) y = -3x + 2 d) y = -4x - 10 La resolución gráfica de ecuaciones es un buen método para ecuaciones de tercer grado o más, pero para ecuaciones

de primer grado y de segundo grado es más útil utilizar técnicas matemáticas.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Vamos a establecer varios niveles de dificultad. Es muy importante que domines un nivel antes de subir al siguiente nivel. NIVEL 1: Ecuaciones tipo a . x = b Lo que hay a la izquierda del signo igual es el primer miembro de la ecuación. A la derecha el segundo miembro. Resolver la ecuación es conseguir que en el primer miembro sólo aparezca la x (esta operación se llama despejar la incógnita). Una propiedad muy importante de una igualdad es que si al primer miembro le hacemos algo tendremos que hacer lo mismo en el segundo miembro para que la igualdad continúe. Por ejemplo, si dividimos el primer miembro por el número a, también tendremos que dividir el segundo miembro por a:

ab x

ab

ax . a


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Esto lo resumimos de una manera simple: el número que multiplica a la incógnita pasa al segundo miembro dividiendo. Si el número divide a la incógnita pasa al segundo miembro multiplicando. 5.6) Despeja la incógnita en las siguientes ecuaciones de nivel 1: a) 8x = 24 b) -6x = 12 c) –5x = -20 d) 3x = -15 e) x/6 = 3 f) 3x/2 = 6 g) –4x/3 = -8 h) 2x/7 = 3/5

Si te encuentras con la ecuación a/x = b/c puedes invertir los dos miembros: 5.7) Despeja la incógnita en las siguientes ecuaciones de nivel 1: a) 10/x = 5 b) 2/3x = 5/4 c) –3/2x = -8

NIVEL 2: Ecuaciones tipo ax + b = cx + d Los términos con x se pasan todos al primer miembro y los términos independientes de x (números) se pasan al segundo miembro. Para pasar de un miembro al otro deben cambiar el signo que tienen. Para que lo entiendas: 3x – 2 = 4x Podemos restar 4x en los dos miembros (la ecuación no varía) 3x – 2 – 4x = 4x – 4x Es decir: 3x – 2 -4x = 0 Decimos que hemos pasado 4x del segundo miembro al primero Una vez pasados los términos con x al primer miembro y los números al segundo, sólo queda simplificar sumando términos y estaremos en el nivel 1. 5.8) Resuelve las siguientes ecuaciones de nivel 2:

a) 3x – 7 + 8x = 5x + 4 b) 5x – x + 9 = 4 – 6x c) 7 – 2x = 4x + 3x – 6 d) 3x – 6x + 5 = 30 – 7x – 8 e) 5x – 3 + 3x = -8x + 6 f) -7x + 4 = 8 – 3x

NIVEL 3: Ecuaciones con paréntesis

Aplica la propiedad distributiva para eliminar paréntesis y estarás en el nivel 2 5.9) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3(4x – 5) + 8x = -2(3x + 2) b) 6x – (2x + 8) = 7(5 – 3x) c) -(6 – 3x) = 8x + 2(5x – 2) d) 10x – (4x + 2) = 20 – (-5x – 3) e) -(3x – 2) + 7x = 5(-4x + 1) f) –(-4x + 7) = 3(6 – 4x)

RECUERDA: Un paréntesis representa un producto Hay que multiplicar el número que hay fuera del paréntesis por todos los sumandos que hay dentro

Y no te olvides de multiplicar los signos.

NIVEL 4: Ecuaciones con denominadores Para eliminar los denominadores se multiplican todos los sumandos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Divides dicho mcm entre cada denominador y tendrás un nuevo producto, Si el numerador es una suma tendrás que poner un paréntesis en ese producto y estarás en el nivel 3. 5.10) Resuelve las ecuaciones:

a) 62x - 5

43 - 8x

b) 5

4 8x 23x - 5

c) 2

3x - 4 3x 4

5x

d) 42 - 7x

35x 6x e)

3x - 3

23 2x 4

f)

62x - 5 - 3x

3x

44 - 3x

bc

ax

cb

x a


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g) 3

2 -x 10

6x - 3 5

6 2x - 4x

Ahora combinamos paréntesis con fracciones:

Si las fracciones están dentro de paréntesis tendrás que quitar primero los paréntesis. Si los denominadores están fuera de paréntesis tendrás que quitar primero los denominadores.

5.11) Resuelve las ecuaciones:

a) 3x) - 5(2 3) - 2

3x4( b) 8

4x) - 6(3 24x

42) - 5(3x

c) 2

1) 5(4x 3x) 3

4 x2(

d) 3

3 4x- 5 5

3x) - (3 -2

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES

Esto es lo interesante de las ecuaciones: sirven para resolver problemas. Pero primero tienes que aprender a transformar textos escritos en expresiones matemáticas. Aquí tienes los primeros textos:

El doble de un número 2x El triple de un número 3x Un número aumentado en 7 x + 7 Un número disminuido en 3 x – 3 La mitad de un número x/2 La quinta parte de un número x/5 La diferencia de un número y su mitad x – x/2 El 15% de un número 15x/100

5.12) Tienes x euros. Escribe en notación algebraica (letras y números) las siguientes expresiones:

a) El doble de tu dinero, más cinco. b) El doble de: tu dinero más cinco. c) La mitad de cuarenta menos tu dinero. d) La mitad de tu dinero, menos veinte.

5.13) Un hombre tiene s años. Expresa algebraicamente:

a) su edad hace 5 años b) su edad hace T años c) su edad hace 5 +T años d) su edad dentro de 5 + T años

5.14) Escribe los siguientes enunciados en forma de ecuaciones y resuélvelas:

a) 4x sumado con 4 resulta 44. b) Si a 12x le restamos 4 resulta lo mismo que si a 4x le añadimos 12. c) Si se suma 10 a 10x y se resta 15 el resultado es igual a 2x + 3.

b) Si a 10x le sumamos 4 resulta lo mismo que si a 8x le quitamos (2-3x). 5.15) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número? 5.16) En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor ?. (Sol: 12, 24, 108)

IMPORTANTE: Tienes que decidir cuál es la incógnita x y poner las demás edades en función de esta x. Plantea la

ecuación y resuélvela. 5.17) Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene?


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5.18) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? (Sol: 9 y 20 m) 5.19) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. (Sol: 4). 5.20) Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se paga por ello 96 E. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma y cada lápiz cuesta el doble de cada goma. ¿Cuánto cuesta cada material?. 5.21) La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. y 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez? 5.22) Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia Matemática, la cuarta parte estudia Física, la séptima parte aprende Filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego? 5.23) Al comprar 3 kg de tomates y 4 kg de patatas se pagó 17 E . ¿Cuánto vale el kg de tomates sabiendo que es 1 E más caro que el kg de patatas? 5.24) La entrada para una función de teatro al aire libre vale 3 E para los adultos y 2 E para los niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de 800 E. ¿Cuántos niños asistieron a la función? 5.25) En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler, publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta cuántos hombres y cuántas mujeres son” 5.26) Fernando tiene el doble de dinero que María y el triple que Carmen. Si Fernando regalara 14 E a María y 35 E a Carmen, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 5.27) En un concurso televisivo se asignan 250 puntos por cada respuesta acertada y se restan 150 por cada respuesta incorrecta. Un concursante ha respondido a 15 preguntas y ha acumulado 2150 puntos. ¿Cuántas respuestas correctas ha dado? 5.28) Tenemos tres números: el segundo es 5 unidades más que el primero y el tercero es el doble de la suma de los dos primeros. Si la suma de los tres es 75, ¿cuál es el segundo? 5.29) ¿Dentro de cuántos años la edad de un hombre de 53 años será 10 veces la edad de su hijo de 8 años? 5.30) ¿Qué altura tiene un tronco que es dos metros más corto que un árbol de altura triple que la del tronco?

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS Algunos de los problemas anteriores se pueden resolver planteando dos incógnitas y dos ecuaciones con ellas. Resolver el sistema es encontrar el valor adecuado de las dos variables para que se cumplan las igualdades propuestas. El método general de resolución de estos sistemas de ecuaciones es el llamado “método de sustitución”: elige una incógnita y despéjala de una de las ecuaciones (la que prefieras aunque siempre será mejor la incógnita que tenga como coeficiente 1 ó -1 ya que al despejarla no tendrás denominadores). Una vez despejada la primera incógnita enmárcala para que la veas bien ya que tendrás que volver a ella. A continuación coge la segunda ecuación y sustituye la incógnita que has despejado por la expresión que has despejado. De esta forma tendrás una ecuación con una incógnita que podrás resolver. Una vez averiguado el valor de esta incógnita podrás calcular el valor de la primera mediante la expresión que despejaste y enmarcaste. Por ejemplo: Sea el sistema de dos ecuaciones 3x + y = 2 5x -3y = 3 Decido despejar la y de la primera ecuación y obtengo la expresión y = 2 -3x


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Sustituyo el valor de y en la segunda ecuación por la expresión anterior y obtengo 5x -3(2 – 3x) =3 que resulta ser una ecuación con una incógnita que puedo resolver obteniendo el valor x = 9/14. Con este valor de x puedo averiguar el valor de y = 2 – 3 . 9/14 = 1/14 5.31) Resuelve los siguientes sistemas:

a) x – 3y = 4 2x + 3y = 6 b) 2x + 5y = 2 5x + y = 6 c) -3x – 2y = 2 x – 8y = 6 d) 5x – 2y = 4 4x + y = 2 e) 3x – y = 6 4x + 2y = 4 f) 5x – 2x = 3 -2x + 3y = 4 g) 3x + y = -8 -4x + 6y = 5 h) -6x + 7y = -5 x – 2y = 4

PROBLEMAS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS 5.32) En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. Hallar el número de conejos y gallinas. (Sol: 37 conejos y 24 gallinas) 5.33) Un padre tiene el doble de edad que su hijo. Hace 17 años, tenía el triple. Hallar la edad de ambos. (Sol: 68 y 34 años) 5.34) Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro mide 80 m y la altura es 2/3 de la base.

(Sol: 16 m de alto y 24 m de ancho) 5.35) Un campo está plantado con un total de 250 árboles, entre olivos y almendros. Si el doble de almendros son 10 menos que el total de los olivos, ¿cuántos almendros habrá? ¿Y cuántos olivos? (Sol: 80 almendros y 170 olivos) 5.36) La edad actual de Luis es el doble que la de su hermano pequeño. Hace 7 años la suma de sus edades era igual a la edad actual de Luis. Hallar ambas edades. (Sol: 28 años Luis y 14 años su hermano) 5.37) Ana y Luisa tienen en total 40 €, pero Luisa tiene 10 € más que su amiga ¿Cuánto dinero tiene cada una? (Sol: Ana 15 € y Luisa 25 €) 5.38) El perímetro de un solar rectangular mide 40 m. Si su ancho es la tercera parte de su largo, ¿cuánto miden los lados del solar? (Sol: 15 m de largo y 5 m de ancho) 5.39) En una granja viven la mitad de gallinas que de conejos. Si en total podemos contar 110 patas, ¿cuántos conejos y gallinas pueblan la granja? (Sol: 11 gallinas y 22 conejos) 5.40) La edad de un padre es actualmente el quíntuple de la de su hijo. Hace 5 años, la edad del padre era nueve veces la de su hijo. Hallar la edad actual de ambos. (Sol: 50 y 10 años) 5.41) Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? (Sol: 13 sencillas y 37 dobles) 5.42) Javier tiene 27 años más que su hija Nuria. Dentro de ocho años, la edad de Javier doblará la de Nuria. ¿Cuántos años tiene cada uno? (Sol: Javier, 46 años, y Nuria, 19) 5.43) Un librero vendió 84 libros a dos precios distintos: unos a 4,50 €, y otros a 3,60 €, obteniendo de la venta un total de 310,50 €. ¿Cuántos libros vendió de cada clase? (Sol: 9 y 75, respectivamente) 5.44) Hace 10 años la edad de un abuelo era el cuádruple de la edad del nieto, mientras que dentro de 20 años sólo será el doble. Hallar sus edades. (Sol: 70 y 25 años, respectivamente) 5.45) Se desea mezclar aceite de 55 cént./litro con otro de 40 cént./litro, de modo que la mezcla resulte a 45 cént./litro. ¿Cuántos litros de cada clase deberán mezclarse para obtener 300 litros de la mezcla deseada? (Sol: 100 litros de 55 cént. y 200 litros de 40 cént.)


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5.46) Un padre tiene 30 años más que su hijo. Dentro de 15 años duplicará su edad. Hallar la edad de ambos. (Sol: 45 y 15)

5.47) Con dos tipos de barniz, de 3,50 €/kg y de 1,50 €/kg, queremos obtener un barniz de 2,22 €/kg. ¿Cuántos kilogramos tenemos que poner de cada clase para obtener 50 kg de la mezcla? (Sol: 18 kg del barniz de 3,50 y 32 kg del de 1,50) 5.48) Hace un año la edad de un padre era tres veces mayor que la del hijo, pero dentro de 13 años no tendrá más que el doble. Hallar las edades de ambos. (Sol: 43 y 15 años) 5.49) En una clase el 70% son chicos. Además, se sabe que hay 12 chicas menos que chicos. ¿Cuántas chicas y chicos hay? (Sol: 21 chicos y 9 chicas) 5.50) Hace 5 años la edad de una persona era el triple de la de otra, y dentro de 5 años será el duplo. Hallar la edad de ambos. (Sol: 35 y 15 años) 5.51) Con dos clases de café, de 9 €/kg y 12 €/kg, se quiere obtener una mezcla de 10 €/kg. Hallar la cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 30 kg de mezcla. (Sol: 20 kg y 10 kg) 5.52) Un padre tiene 49 años y su hijo 11. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple de la edad del hijo? (Sol: Dentro de 8 años) 5.53) Un padre, preocupado por motivar a su hijo en Matemáticas, se compromete a darle 1 € por problema bien hecho, mientras que, si está mal, el hijo le devolverá 0,5 €. Después de realizar 60 problemas, el hijo ganó 30 €. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente? (Sol: 40 problemas) 5.54) Entre Juan y Pedro tienen 40 €, pero si Juan le diera 5 € a Pedro entonces éste tendría el triple que su amigo ¿Cuánto dinero tiene cada uno? (Sol: Juan 15 € y Pedro 25 €) 5.55) En un garaje hay 15 vehículos entre coches y motos. Si hay en total 50 ruedas, ¿cuántos vehículos hay de cada tipo? (Sol: 10 coches y 5 motos) 5.56) Dos números suman 44. Si al mayor lo dividimos entre 3 y al segundo entre 4 los números obtenidos se diferencian en 3 unidades. Halla dichos números. (Sol: x = 24, y = 20) 5.57) Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan 4 plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan 2 conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay? (Sol: 6 jaulas, 32 conejos) 5.58) Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 60 cm y que la base es el doble de la altura. (Sol: base = 20, altura = 10) 5.59) Para pagar un artículo que costaba 3 €, he utilizado 9 monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase he utilizado? (Sol: 4 monedas de 50 cE ,monedas de 20 cE) 5.60) Sobre una mesa hay latas de tónica y cola, en número total de 10. Si se duplica el número de latas de cola existentes hay 14 latas en total. Averigua el número de latas de cada clase. (Sol: 4 latas de cola, 6 latas de tónica) 5.61) Halla una fracción sabiendo que si se aumenta en uno el numerador se convierte en 1/3, en cambio si se hace con el denominador, la fracción se convierte en 1/4. (Sol: numerador = 4, denominador = 15) 5.62) Al comenzar los estudios de Secundaria se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente? (Sol: 22 preguntas correctas, 8 preguntas incorrectas)


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5.63) Juan y Roberto comentan: Juan: Si yo te cojo 2 monedas, tendré tantas como tú. Roberto: Sí, pero si yo te cojo 4, entonces tendré 4 veces más que tú. ¿Cuántas monedas tienen cada uno? (Sol: Roberto tiene 12, Juan tiene 8) 5.64) En una fábrica de zumos se mezclan dos tipos de calidades, una de 50 céntimos el litro y otra de 80 céntimos el litro. ¿Cuántos litros de zumo han de mezclarse de cada tipo para obtener 120 litros con un coste total de 85,50 €? (Sol: 35 litros de 50 cE, 85 litros de 80 cE) 5.65) En un taller hay 50 vehículos entre motos y coches. Si el número total de ruedas es 140, ¿cuántos vehículos hay de cada tipo? (Sol: 20 coches, 30 motos) 5.66) Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano? (Sol: hermano 15 años, padre 35 años) 5.67) Juan compró un ordenador y un televisor por 2000 € y los vendió por 2260 €. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%? (Sol: 800 y 1200 euros respectivamente) 5.68) En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa? (Sol: 25 hombres y 35 mujeres) 5.69) Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado 3500 €. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado 3170 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo? (Sol: 2500 y 1000 E) 5.70) Resuelve los siguientes problemas con sistemas de ecuaciones:

a) En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

b) En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

c) Tenemos un total de 26 monedas, algunas de 5 céntimos y otras de 20 céntimos. En total tenemos 2,65 euros (265 céntimos). Cuántas monedas tenemos de cada clase?

d) Se sabe que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que de aquí a 12 años le doblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?


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Papel para gráficas


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TEMA 6: GEOMETRÍA BÁSICA

VOCABULARIO GEOMÉTRICO Debes recordar el vocabulario utilizado en geometría. Se utilizan raíces de origen griego: EQUI (igual) LATERO (lado) GONO (ángulo) SEMI (mitad) PENTA (5) HEXA (6) HEPTA (7) OCTA (8) NONA (9) DECA (10) EDRO (cara) 6.1 Señala el significado de las siguientes palabras:

a) Polígono b) Cuadrilátero c) Hexágono d) Equiláteral e) Obtusángulo f) Rectángulo g) Equiangular f) Semicírculo g) Poliedro h) Octaedro i) Triángulo k) Decágono 6.2 ¿Qué diferencia hay entre una recta y un segmento de recta? ¿Qué es un segmento de círculo? 6.3 Para consultar en la bibliografía. Explica y dibuja los siguientes segmentos de recta: a) Diámetro b) Mediana c) Mediatriz d) Apotema e) Cuerda f) Diagonal g) Bisectriz 6.4 Un polígono regular tiene que ser equilateral y equiangular. Explica estas condiciones y dibuja cinco polígonos regulares con sus nombres. Otros elementos de un polígono que debes conocer:

CENTRO: Punto equidistante de todos los vértices y lados PERÍMETRO: Medida de todos los lados de un polígono VÉRTICE: Punto donde se unen dos lados de un polígono (se identifica con letras mayúsculas, el lado queda

identificado por las dos letras de sus vértices) ÁNGULO INTERIOR: Ángulo menor formado por dos lados consecutivos ÁNGULO CENTRAL: Ángulo formado por los dos segmentos de recta que van desde los dos vértices de un lado

al centro del polígono

SISTEMA SEXAGESIMAL Y EL TIEMPO La primera civilización que la Historia estudia es la sumeria localizada hace unos 5.000 años en la zona de Oriente Próximo. Tenían una curiosa forma de contar con los dedos de una mano: con el pulgar tocaban las tres falanges de los cuatro dedos restantes y contaban hasta 12. Combinando estos 12 con los 5 dedos de la otra mano podían contar hasta 60 por lo que este número se convirtió en una referencia en las operaciones comerciales y en las medidas. Además, 60 tienen un gran número de divisores. Así surgió el SISTEMA SEXAGESIMAL que hoy utilizamos en las medidas de tiempo y de ángulos. 6.5 Piensa un poco y razona por qué las medidas de tiempo y ángulos están tan relacionadas. 6.6) Realiza las siguientes operaciones:

a) 93 h 47 min + 18 h 49 min 23 s b) 25 h 12 min 5 s – 14 h 12 s c) 5 h 30 min + 2 h 15 min d) 8 h 30 min – 4 h 45 min

6.7) En una carrera de Fórmula 1, Fernando Alonso emplea, por término medio, 1 min 35 s en dar una vuelta al circuito. Si la carrera se compone de 50 vueltas, ¿en cuánto tiempo completará la carrera? 6.8) Si Pedro ha hablado por el teléfono móvil con sus amigos un total de 18 min 32 s y le cuesta 0,18 €/min, ¿cuánto tiene que pagar? 6.9) Un autobús tarda 1 h 20 min 32 s en hacer un trayecto de ida. En el camino de vuelta tarda 1 h 35 min 15 s a) ¿Cuánto tiempo ha invertido entre la ida y la vuelta? b) ¿Cuánto tiempo tarda más en la vuelta que en la ida? 6.10) Ana trabaja 12 h 15 min un día, y 7 h 13 min otro día. Si le pagan la hora a 7 €, ¿cuánto dinero habrá ganado?


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UNIDADES ANGULARES La Tierra completa una vuelta sobre sí misma en un día. Al giro completo se asignó el valor 360º (grados sexagesimales angular) y un tiempo de 24 horas. Fíjate que ambas cantidades son múltiplos de 12. En el Antiguo Egipcio el día se dividía en 12 horas de luz y 12 horas de noche (con el evidente problema de que la duración de las horas iba cambiando durante todo el año y no era lo mismo una hora de luz que una hora de noche, salvo en los dos días del año en los que la noche y el día tienen la misma duración. 6.11) ¿Cuáles son los días del año en que la noche y el día tienen la misma duración? Cada grado sexagesimal (º) se dividió en 60 minutos (‘) y cada minuto en 60 segundos (‘’). En la época de la Revolución Francesa se intentó sustituir el sistema sexagesimal por el sistema decimal. Un giro completo serían 400 grados decimales divididos en 100 minutos decimales y cada minuto decimal se dividiría en 100 segundos decimales. Es evidente que el intento no tuvo mucho éxito. 6.12) Sean los ángulos α = 35º 41' 35'' y β = 40º 25' 58''. Calcula α + β y β – α. 6.13) Un ángulo mide 43° 28' 45". a) Halla cuánto mide el complementario. (Nota: dos ángulos son complementarios si suman 90º). b) Halla cuánto mide su suplementario. (Nota: dos ángulos son suplementarios si suman 180º). 6.14) En la figura de la derecha tienes una recta que corta a otras dos rectas paralelas. Determina el valor de los ángulos α (alfa), β (beta), γ (gamma) y θ (theta).

TRIÁNGULOS

Debes saber que: Los vértices se identifican con letras mayúsculas: A, B, C, …. Los ángulos se identifican con letras griegas minúsculas: alfa (α), beta (β), gamma (γ),

delta (δ), épsilon (ε)… Los lados se identifican con letras minúsculas (a, b, c) o con las letras de los vértices

que lo limitan: AC (b), AB (c), BC (a) Los triángulos se clasifican atendiendo a las medidas de sus lados y de sus ángulos:

a) Según sean sus lados: 1. Equiláteros: tres lados iguales 2. Isósceles: dos lados iguales 3. Escaleno: Ningún lado igual

b) Según sus ángulos: 1. Rectángulo: tiene un ángulo recto 2. Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso 3. Acutángulo: todos sus ángulos son agudos

6.15) Combina los tres términos según los lados y los tres términos según los ángulos y dibuja un triángulo que represente a los nueve casos posibles.

CUADRILÁTEROS CONVEXOS Se suelen clasificar por el paralelismo de sus lados:

a) Paralelogramo: tiene sus lados paralelos dos a dos. Se dividen en: 1. Con todos los ángulos rectos: RECTÁNGULOS 2. Con todos los lados iguales: ROMBOS 3. Suele llamarse ROMBOIDE al paralelogramo que no es ni rectángulo ni rombo.

b) Trapecio: Tiene un par de lados paralelos y el otro par no paralelos. Dos casos especiales: 1. Trapecio Isósceles: sus dos lados no paralelos son iguales. 2. Trapecio Rectángulo: tiene dos ángulos rectos.


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c) Trapezoide: no tiene ningún par de lados paralelos. El más interesante es el DELTOIDES o COMETA (cuadrilátero con dos pares de lados consecutivos iguales).

6.16) ¿Dónde encaja el cuadrado? 6.17 Dentro de los cuadriláteros cóncavos también hay deltoides pero no forma un cometa sino una punta de flecha. Haz un dibujo de un deltoide cóncavo.

ÁNGULOS DE POLÍGONOS

6.18) a) Fíjate en la figura de la izquierda y explica cuánto suman los tres ángulos de cualquier triángulo. b) Basándote en ello ¿cuánto suman los cuatro ángulos de un cuadrilátero? c) ¿Y los cinco ángulos de un pentágono? d) Intenta sacar una expresión para el valor de la suma de los ángulos de cualquier polígono.

6.19) a) En un triángulo isósceles el ángulo desigual mide 19º 50', ¿cuánto miden los ángulos iguales? b) En un triángulo escaleno, dos de sus ángulos miden 23º 0' 12'' y 45º 2' 14'', ¿cuánto mide el tercer ángulo? 6.20) a) Si un triángulo es rectángulo e isósceles, ¿cuánto mide cada uno de los ángulos agudos? b) En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide 20º, ¿cuánto mide el otro? c) Un ángulo de un triángulo escaleno mide 102º 21' 44'', otro ángulo mide la mitad, ¿cuánto mide el tercer ángulo? 6.21) a) Dos de los ángulos de un triángulo miden 30º 45’ y 80º 30’ respectivamente. ¿Cuánto mide el tercer ángulo? b) Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 44º 35’. ¿Cuánto miden los demás ángulos? 6.22) a) Dibuja un rectángulo y sus diagonales. Si uno de los ángulos de las diagonales es 70º, ¿cuánto miden los demás ángulos? b) Si el ángulo obtuso de un romboide mide 150º, ¿cuánto mide el ángulo agudo? c) ¿Cuánto mide el ángulo central (α) de un pentágono regular? ¿Y los ángulos interiores (β) del pentágono regular? d) ¿Cuánto mide el ángulo central de un hexágono regular? ¿Y los ángulos interiores del hexágono regular?

TEOREMA DE PITÁGORAS

Una herramienta fundamental para determinar longitudes

Sólo se cumple en triángulos rectángulos La hipotenusa es el lado con mayor longitud Los dos lados que forman el ángulo recto se denominan

catetos. La expresión es simple:

Hipotenusa2 = cateto a2 + cateto b2

c2 = a2 + b2 Si tienes que calcular c, primero obtendrás c2, después tendrás que sacar la raíz cuadrada:

Si tienes que calcular un cateto tendrás que despejar a2 = c2 – b2 y después sacar la raíz cuadrada.

2c c


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6.23) Calcula la altura de un triángulo equilátero cuyos lados miden 14 cm. 6.24) Calcula la longitud de cuerda que se necesita para formar las letras de la figura: 6.25) La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2,4 metros y la distancia desde el punto de penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros. ¿Qué distancia recorre un balón que se lanza desde el punto de penalti y se estrella en el punto central del larguero? 6.26) Una cometa está atada al suelo con un cordel de 200 metros de longitud. Cuando la cuerda está totalmente tensa, la vertical de la cometa al suelo está a 160 metros del punto donde se ató la cometa. ¿A qué altura está volando la cometa? 6.27) La altura de un triángulo equilátero mide 8 centímetros. Calcula la medida, en milímetros, de su perímetro. 6.28) Calcula el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 7 cm de radio. 6.29) Calcula el radio R de una circunferencia inscrita en un cuadrado de 15 cm de diagonal. 6.30) En un triángulo equilátero de 10 cm de lado se inscribe una circunferencia. Calcula el radio de la circunferencia, sabiendo que es la tercera parte de la altura del triángulo. 6.31) En un cuadrado de lado 10 centímetros se inscribe otro más pequeño que apoya sus vértices en los puntos medios de los lados del cuadrado mayor. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado menor? 6.32) El perímetro de un triángulo equilátero mide 30 cm. ¿Cuál es la altura del triángulo? 6.33) Un cuadrado tiene una diagonal que mide 4 m. ¿Cuánto mide el lado? 6.34) Calcula la distancia entre los puntos A y B de las siguientes figuras:

6.35) Determina el valor de x en las siguientes figuras:


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ÁREAS La superficie patrón en el SISTEMA INTERNACIONAL es el metro cuadrado (m2), definido como un cuadrado de lado 1 m. Es fácil deducir que cada múltiplo o submúltiplo de esta unidad equivale a 100 del correspondiente inferior. En la cuadrícula de la derecha el cuadrado completo tiene una superficie de 1 m2 y cada cuadrado pequeño tiene una superficie de 1 dm2. Resulta obvio que 1 m2 equivale a 100 dm2. Las equivalencias entre múltiplos o submúltiplos de superficie son las correspondientes a

las longitudes elevadas al cuadrado 6.36) Escribe las siguientes equivalencias:

a) 1 m2 = dm2 b) 1 dam2 = dm2 c) 1 hm2 = m2 d) 1 dm2 = mm2 6.37) Un área es una superficie equivalente a 100 m2. ¿Cuál será la superficie de una hectárea? 6.38) Clasifica las siguientes medidas de mayor a menor: 12 m2 3400 dm2

0'046 dam2 6.39) Una pieza cuadrada de 10 cm de lado de cierto tablero tiene una masa de 20 g.

a) ¿Qué masa tendrá otra pieza cuadrada de 30 cm de lado? b) ¿Cuál será la superficie de un tablero cuya masa es 420 dag?

6.40) Las siguientes medidas son las superficies de cuatro terrenos expresadas en distintas unidades. ¿Cuál es el más grande? Expresa las superficies en áreas (100 m2) y hectáreas (ha). 12.456 m2 1,2 . 10-6 km2 1,6x109 cm2 235 dam2 6.41) Los lados de un campo de fútbol miden 105 m y 58 m respectivamente. Expresa el área del campo de fútbol en áreas y en hm2. ¿Cuántas parcelas de 200 m2 caben dentro del campo de fútbol? No existen aparatos para medir superficies directamente. Las superficies geométricas se calculan haciendo uso de conocidas fórmulas: es imprescindible recordar las correspondientes a las superficies de un rectángulo y de un círculo, ya que las demás son fáciles de deducir: un triángulo se puede deducir a partir de rectángulos adecuados, un hexágono se puede descomponer en seis triángulos iguales, etc. 6.42) a) ¿Cuál es el área de un círculo cuya circunferencia mide 14'2 m? b) ¿Cuál es la circunferencia de un círculo de superficie 30 m2? 6.43) Una piscina circular de 4 m de diámetro está rodeada por una acera de 1 m de anchura. ¿Cuál será la longitud de la acera si la medimos exactamente por la mitad de su anchura? ¿Cuál es la superficie de la piscina? 6.44) La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

a

b c

Superficie rectángulo =lado 1 x lado 2

R

Superficie círculo =

. R2

1 m

1 dm

NO CONFUNDAS:

CIRCUNFERENCIA: Es la longitud del perímetro circular L = 2 . . R

CÍRCULO: Es el área encerrada por la circunferencia S = . R2


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6.45) Calcula el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal. 6.46) En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo. 6.47) Calcula el área de la parte sombreada de la figura de la derecha, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm. 6.48) La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área. 6.49) Calcula la superficie de un triángulo equilátero cuyos lados miden 40 cm. 6.50) Un cuadrado tiene una superficie de 200 cm2. ¿Cuánto miden sus lados? Calcula la superficie del mayor círculo que se puede recortar de dicho cuadrado. Haz un dibujo del problema 6.51) Una habitación rectangular que mide 4 m de ancho y 6 m de largo se quiere enlosar con baldosas cuadradas de 33 cm de lado, cuyo precio unitario es 120 ptas. ¿Cuánto costará el material necesario? 6.52) Las dimensiones de la pieza representada en la figura son:

Radio de la parte semicircular: 10 m Lado superior A = 38 m Lado inferior B = 26 m

Calcula el área de la misma. 6.53) Un depósito cilíndrico tiene 16 m de altura y 3,2 m de diámetro y se desea pintar por fuera. Para ello se utiliza una pintura que cuesta 2’50 Euros/m2. ¿Cuánto costará la pintura necesaria? 6.54) Un cuadrado de 5 cm de lado de cierto material tiene una masa de 10 g. ¿Qué masa tendrá un círculo del mismo material y de radio 30 cm? 6.55) Una plancha de cartón de forma irregular tiene una masa de 230 g. Se recorta un cuadrado de 3cm de lado y se pesa dando una masa de 2 g. ¿Cuál es la superficie de la plancha de cartón? 6.56) Un rollo de papel pesa 6'50 kg. Una pieza del mismo papel de 20 cm de ancho y 1'50 m de alto tiene una masa de 50 g. ¿Cuántos m2 de papel contiene el rollo? 6.57) Determina el área de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm. 6.58) Calcula el perímetro de un cuadrado cuya área es 25 dm2. 6.59) Calcula el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm respectivamente. 6.60) Calcula el lado de un rombo cuyo perímetro mide 40 cm. 6.61) Calcula el perímetro y el área de un rombo cuyo lado mide 10 cm y la diagonal mayor16 cm. 6.62) Calcula el área de un hexágono regular cuyos lados miden 10 dm. 6.63) Se quiere enlosar un patio hexagonal cuyos lados miden 10 m con losas cuya superficie es 40 dm2. ¿Cuántas losas harán falta para ello? 6.64) Una finca rectangular que mide 1698 m de largo por 540 m de ancho se sembró de trigo. Al realizar la cosecha cada decámetro cuadrado de terreno ha producido 7890 kg de trigo. ¿Cuántos kg se han cosechado? Si el trigo se vende a 0,2 euros el kg, ¿Cuánto dinero se obtendrá?

R

B

A


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6.65) Se necesita cercar un huerto rectangular, de 180 m de longitud y 150 m de anchura, con tela metálica. El metro lineal de valla cuesta 15 euros. Al mismo tiempo, es necesario abonarlo con abono nitrogenado. El fabricante del abono recomienda 25 kg por hectárea. a) Calcula la longitud de la tela metálica y el coste de la misma para cercar el huerto. b) Calcula la cantidad de abono nitrogenado necesario para abonarlo.

ARCOS Y SECTORES CIRCULARES

En ocasiones se plantea el problema de determinar la longitud L de un arco de circunferencia de radio r correspondiente a un ángulo θ o el área del sector circular correspondiente (área pintada en verde). Puedes utilizar relaciones de equivalencia para resolver estos problemas. Recuerda:

La longitud total 2.π.r y el área total π.r2 corresponde al ángulo total 360º

6.66) Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente? (NOTA 1 milla = 1852 m) 6.67) El área de un sector circular de 90° es 4π cm2. Calcula el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia. 6.68) Halla el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia. 6.69) Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcula el área del trapecio circular formado. 6.70) Calcula el área de la parte sombreada de la figura de la derecha, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D. 6.71) Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo. 6.72) A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Calcula el área de la corona circular así formada. 6.73) Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

FIGURAS SEMEJANTES

Son figuras que tienen la misma forma pero tamaño diferente. Por tanto, sus ángulos correspondientes son iguales entre sí. El tamaño de lados correspondientes es diferente pero todos guardan la misma proporción simple y directa que puede utilizarse como factor de conversión para hacer cálculos (es lo que se llama razón de semejanza). El caso más corriente es el uso de plano: la razón de semejanza se llama escala.

6.74) En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente. En la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?


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6.75) En un mapa de escala 1:250.000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. a) ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos? b) ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km? 6.76) En el plano de una vivienda, a escala 1:350, las medidas del jardín son 36 mm y 29 mm. ¿Cuál es la superficie real de la terraza? 6.77) Calcula la altura de un poste que proyecta una sombra de 21 metros en el momento en que una estaca de 2 m proyecta una sombra de 3,5 metros. 6.78) En una pizzería, la pizza pequeña tiene 23 cm de diámetro y es para una persona. Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm de diámetro, justo el doble que la pequeña, pero dicen que es para 4 personas. ¿Nos están engañando? 6.79) En un plano cuya escala es 1:40, ¿qué medidas tendrá una mesa rectangular de 0,96 m x 0,72 m? 6.80) Una maqueta de un coche, a escala 1:50, tiene 8 cm de longitud, 3,5 cm de anchura y 2,8 cm de altura. Calcula las dimensiones reales del coche. 6.81) La sombra de una torre eléctrica mide 10 m y en el mismo instante, la sombra de un joven mide 1,5 m. Si el joven tiene una altura de 1,8 m, ¿cuál es la altura de la torre? 6.82) Se consideran dos triángulos semejantes. Del primero conocemos un ángulo, 35º, y del segundo sabemos que uno de sus ángulos es 55º. Con estos datos, ¿qué podemos averiguar de los triángulos? 6.83) Si dos triángulos rectángulos son semejantes y las hipotenusas miden, respectivamente, 26 y 39 cm, y el menor de los catetos del primer triángulo mide 10 cm, ¿cuánto miden los otros lados en ambos triángulos?

6.84 Fíjate en la figura de la derecha. ¿Son semejantes los triángulos ABC y ADC? Determina el valor de todos los lados de ambos triángulos. 6.85) Calcula el valor de los lados x, y, z en la figura de la izquierda.

6.86) Sabiendo que las rectas a, b, c y d del dibujo de la izquierda son paralelas calcula la longitud de x e y:

6.87) Calcula el valor de x e y en el dibujo de la derecha: 6.88) Para calcular la distancia desde un barco a la playa se han tomado las medidas a, b y c de la figura. Calcula la distancia al barco sabiendo que a = 20 m, b = 5 m y c = 30 m.


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TEMA 7: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD BÁSICA El término alemán Statistik se utilizó en el siglo XVIII para referirse al análisis de datos del Estado, es decir, la «ciencia del Estado». Se utilizaba para obtener datos del censo de la población y de las cuentas del Estado. También se llamó aritmética política. En el siglo XIX el término estadística adquirió el significado de recolectar y clasificar datos de un conjunto de seres o cosas.

VOCABULARIO ESTADÍSTICO

Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que aportan información sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos la edad de los habitantes en una ciudad, la población será el total de los habitantes de dicha ciudad.

Muestra: Subconjunto de la población seleccionado de acuerdo con un criterio, y que sea representativo de la población. Por ejemplo, elegir 30 personas por cada barrio de la ciudad para saber sus edades, y este será representativo para la ciudad.

Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si estudiamos la edad de cada habitante, cada habitante es un individuo.

Variable: Propiedad que vamos a estudiar y que puede tomar diversos valores. Las variables pueden ser de dos tipos: Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad,

color de la piel, sexo). Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales. Por su

parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas: Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de

hermanos (puede ser 1, 2, 3...., etc. pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45). Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la

velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc. 7.1) Clasifica las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas:

a) La nacionalidad de una persona. b) Número de litros de agua contenidos en un depósito. c) Número de libros en un estante de librería. d) Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados. e) La profesión de una persona. f) El área de las distintas baldosas de un edificio.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN FRECUENCIAS Y GRÁFICAS Se elaboró una encuesta en en una clase sobre la mascota preferida por los niños y niñas y se obtuvo el siguiente resultado:

Perro Gato Perro Hámster Pájaro Hámster Gato Perro Hámster Gato Pájaro Gato Perro Perro Hámster Pájaro Perro Perro Pájaro Gato

Haciendo recuento construimos la tabla de distribución de frecuencias (absoluta: número de veces que se repite un valor, relativa: fracción del número de veces respecto al total y porcentual: frecuencia relativa expresada en %) de las mascotas preferidas:

Mascota Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia porcentual Perro 7 0,35 35% Pájaro 4 0,20 20% Hámster 4 0,20 20% Gato 5 0,25 25% Total 20 1,00 100%

Estos datos se pueden representar en una gráfica de barras o en una gráfica de pastel (sectores):


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7.2) Las notas de inglés de una clase de 40 alumnos han sido las siguientes: Construye la tabla de distribución de frecuencias y representa los datos en una gráfica de barras. 7.3) En una clase de 25 alumnos hemos preguntado la edad de cada uno, obteniendo estos resultados:

14, 14, 15, 13, 15, 14, 14, 14, 14, 15, 13, 14, 15, 16, 14, 15, 13, 14, 15, 13, 14, 14, 14, 15, 14 Construye la tabla de distribución de frecuencias y representa los datos en una gráfica de sectores. 7.4) Se ha lanzado un dado de parchís 40 veces, y se han obtenido estos resultados: 6, 1, 5, 3, 4, 1, 2, 3, 5, 4, 6, 4, 3, 4, 1, 2, 3, 5, 4, 6, 1, 4, 3, 5, 2, 1, 2, 4, 6, 3, 5, 4, 1, 2, 3, 5, 4, 6, 2, 3. Construye la tabla de distribución de frecuencias. 7.5) Se ha realizado una encuesta a los 44 alumnos de 2º ESO sobre la estación del año en la que han nacido. Asignamos a la primavera la letra P, al verano V, al otoño O y al invierno I, y se anotan los siguientes resultados: P, I, V, I, O, P, V, O, V, O, I, V, I, O, P, V, O, V, O, I, V, P, V, O, O, I, P, P, V, V, O, I, P, V, O, I, I, P, V, O, V, O, I, P. Completa la tabla de distribución de frecuencias y representa los datos en una gráfica de sectores. 7.6) En la gráfica de sectores de la derecha se representa el estudio estadístico del color del chaleco que lleva el alumnado de una clase de 2º ESO. Construye la tabla de distribución de frecuencias a partir del gráfico.

7.7) En la gráfica de la izquierda se representan las notas obtenidas por el alumnado en un examen de Física. Construye la tabla de distribución de frecuencias a partir de la gráfica.

7.8) En la gráfica de la derecha se representa el color de pelo del alumnado de 2º ESO del centro. Sabiendo que hay un total de 120 alumnos y alumnas en dicho curso, construye la tabla de distribución de frecuencias correspondiente.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Son valores de referencia que se utilizan para comparar un valor determinado. Se utilizan para variables cuantitativas. Las medidas de tendencia central más comunes son:

1 7 9 2 5 4 4 3 7 84 5 6 7 6 4 3 1 5 92 6 4 6 5 2 2 8 3 64 5 2 4 3 5 6 5 2 4


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La media aritmética: comúnmente conocida como media o promedio. Se representa por medio de una letra M o por

una X con una línea en la parte superior. Se calcula como la suma de todos los valores dividido por el número de ellos. La mediana: Es el valor que se ubica en el centro de todos los valores posibles. Se representa como Md. La moda: Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. Se representa Mo.

De estas tres medidas de tendencia central, la media es reconocida como la mejor y más útil. Sin embargo, cuando en una distribución se presentan valores muy bajos o muy altos respecto al resto del grupo, es recomendable utilizar la mediana o la moda (se debe a que, dadas las características de la media, ésta es afectada por los valores extremos). 7.9) Calcula la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4. 7.10) Determina el valor de la media aritmética, la mediana y la moda de los ejercicios anteriores. 7.11) Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido: 15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13. Construye la tabla de distribución de frecuencias y determina los valores de la media aritmética, la mediana y la moda.

7.12) La gráfica de la izquierda representa la distribución de pescado que ha entrado en un puerto durante un mes. a) Determina el porcentaje que corresponde a cada especie. b) Si han entrado 20 toneladas de sardinas determina la cantidad total de pescado y la cantidad de cada especie. 7.13) En la siguiente gráfica aparece la distribución de notas de la primera evaluación en Física y Química de 2º ESO A. Determina la nota media del grupo, la mediana y la moda.

7.14) Los alumnos de 2º ESO de Matemáticas han recogido información del resultado de sumar la tirada de 2 dados en 30 ocasiones. Los resultados han sido los siguientes: 4,8,7,5,9,6,4,4,5,8,7,8,7,8,2,10,5,11,11,4,4,9,11,12,3,7,7,6,5,4 Crea la tabla de frecuencias absolutas y relativas y calcula la media, mediana y moda de esta distribución estadística. 7.15) Un profesor tiene anotadas en su cuaderno las notas de los 25 alumnos/as de una clase, que son: 5 – 3 – 5 – 4 – 8 – 6 – 9 – 8 – 7 – 9 – 6 – 0 – 2 – 9 – 8 – 5 – 3 – 10 – 7 – 7 – 3 – 4 – 7 – 2 – 7 Escribe la tabla de frecuencias y calcula la moda, la media y la mediana. Representa el diagrama de barras correspondiente. 7.16) El número de hijos de 15 familias es el siguiente: 1, 1, 2, 0, 3, 1, 1, 0, 2, 1, 4, 2, 1, 4 y 1. Efectúa el recuento y forma una tabla estadística con los datos, las frecuencias absolutas y las frecuencias relativas. Calcula la moda, la media y la mediana y representa el diagrama de barras y de sectores correspondiente. 7.17) El número de goles por partido marcados por un equipo durante las 15 primeras jornadas de Liga fue: 4 – 3 – 2 – 0 – 1 – 4 – 2 – 5 – 1 – 0 – 1 – 2 – 1 – 3 – 1 Efectúa el recuento y forma una tabla estadística con los datos, las frecuencias absolutas y las frecuencias relativas. Calcula la moda, la media y la mediana y representa el diagrama de barras y de sectores correspondiente. 7.18) Las temperaturas mínimas de un lugar durante un mes de 30 días fueron: 7 – 7 – 8 – 8 – 8 – 9 – 12 – 11 – 12 – 11 – 7 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 - 10 - 11 – 12 – 9 – 8 – 7 – 8 – 10 – 10 – 11 – 7 – 10 – 10 – 11 Efectúa el recuento y forma una tabla estadística con los datos, las frecuencias absolutas y las frecuencias relativas. Calcula la moda, la media y la mediana y representa el diagrama de sectores correspondiente.


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PROBABILIDAD: VOCABULARIO Experimento aleatorio: Es una experiencia en la que el resultado depende del azar y, por lo tanto, no se puede predecir el resultado que se va a obtener al realizarlo. Espacio muestral: Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se designa con la letra E. Sucesos: Son subconjuntos del espacio muestral. Debes conocer:

Suceso imposible: El que nunca se verifica. Se designa por O. Suceso seguro: El que siempre se verifica. Sucesos incompatibles: Los que no se pueden verificar a la vez. Sucesos compatibles: Los que se pueden verificar a la vez. Sucesos contrarios: Si se verifica un suceso entonces el otro no. Sucesos equiprobables: Los que tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Probabilidad (Ley de Laplace): Si todos los sucesos de un experimento aleatorio son equiprobables, la probabilidad de que ocurra un suceso es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número total de casos posibles. Ley de los grandes números: Al repetir muchas veces una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de cada suceso toma valores parecidos a su probabilidad. Además, cuanto más veces repitamos el experimento más se parecerán la frecuencia relativa y la probabilidad. 7.19) ¿Cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios? a) Abrir un libro por una página cualquiera y anotar el número de la página de la derecha. b) Realizar el sorteo del cupón de la ONCE. c) Extraer sin mirar una bola de una bolsa que contiene 5 bolas azules y 6 verdes. d) Abrir las compuertas de un pantano lleno de agua. e) Medir la longitud de una circunferencia de 5 m de radio. f) La celebración de las elecciones generales. g) Lanzar un dado y anotar el resultado que se obtiene. 7.20) ¿Cuál es el espacio muestral asociado a cada uno de estos experimentos aleatorios?:

a) Lanzar una moneda al aire y anotar el resultado. b) Extraer una carta de una baraja española y anotar el resultado. c) Preguntar en una encuesta si es Hombre (H) o Mujer (M) y si se es Trabajador (T) o Parado (P) y anotar los

resultados. 7.21) Se hace girar una ruleta numerada del 0 al 36. Define los sucesos:

a) P: “Obtener una potencia entera de 2 o de 3”. b) Q: “Obtener un múltiplo de 2 o de 5”. c) M: “Obtener un múltiplo de 7 o de 11”. d) R: “Obtener un número mayor que 10 y menor que 15”.

7.22) Una persona dispone de 3 tiros para hacer blanco en una diana. En cada tiro puede acertar (A) o fallar (F). Define los sucesos contrarios a cada uno de los siguientes:

a) A: “Hacer blanco en el primero o en el segundo intento”. b) B: “Fallar en los dos primeros intentos”.

7.23) En el experimento “lanzar un dado al aire”, define los siguientes sucesos, señalando si alguno de ellos es seguro o imposible:

a) Obtener un resultado par. b) Obtener un múltiplo de 7. c) Obtener un divisor de 6. d) Obtener un número menor o igual que 6.


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7.24) En una urna hay 2 bolas negras, 4 rojas y 3 verdes. Se sacan, simultáneamente dos bolas. ¿Cuál es el espacio muestral asociado a esta experiencia? 7.25) En el experimento aleatorio de lanzar un dado, halla el espacio muestral y calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Obtener un múltiplo de 3 b) Obtener un número menor o igual a 3 c) Obtener un divisor de 6 7.26) Se lanzan 3 monedas al aire y se anotan los resultados. Dibuja un diagrama de árbol para analizar los casos posibles. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y dos cruces? 7.27) Escribe, utilizando un diagrama de árbol, el espacio muestral asociado al experimento “anotar el sexo de los tres primeros hijos de una familia numerosa. 7.28) En el experimento de lanzar 2 dados y hallar la suma de los dos números, halla el espacio muestral. ¿Cuál es el suceso contrario a que la suma sea menor a 6? ¿Qué probabilidad tiene ese suceso? 7.29) En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número que tiene. a) Describe los siguientes sucesos escribiendo todos sus elementos: A: "Obtener par" B: "Obtener impar" C: "Obtener primo" D: "Obtener impar menor que 9" b) ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D? c) ¿Cuál es el suceso A U B? ¿y C ∩ D? 7.30) Se extrae una carta de un conjunto de doce figuras (reyes, caballos y sotas) de la baraja española. Nos dan los sucesos A: Sacar oros, B: Sacar una sota o espadas. ¿Cuáles son los sucesos siguientes?: a) A B = b) A B = 7.31) Clara tiene que realizar un examen sobre 12 temas, pero sólo ha estudiado 10. El examen consta de 3 temas. ¿Qué probabilidad tiene de contestar bien a los tres temas? 7.32) En una baraja de 40 cartas se extrae una al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea espadas? b) ¿Y de qué sea figura? c) ¿Y de qué no sea figura? 7.33) Se lanza una moneda hasta que salga cara. Halla la probabilidad de que esto suceda en el primer lanzamiento, en el segundo, en el tercero. 7.34) Un dado está construido de tal forma que las probabilidades de obtener las respectivas caras son las que aparecen en la tabla.

CARA 1 2 3 4 5 6 PROBABILIDAD 1/4 1/5 1/6 X 1/7 1/8

a) ¿Qué probabilidad corresponde al suceso obtener 4? b) ¿Qué probabilidad corresponde al suceso obtener puntuación par?

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TEMA 1: NÚMEROS ENTEROS CONCEPTOS BÁSICOS siemprefisicayquimica.iesnicolascopernico.com/3ESO/TEMAS/matespmar.pdf · 1.12) Un día de invierno a las 11 de la mañana la temperatura