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Relaciones trigonometricasOperaciones con logaritmos

Funciones elementales y sus graficasGraficas de funciones elementales

LımitesContinuidad

Tema 1: Repaso de conocimientos previos.Funciones elementales y sus graficas. Lımites.

Continuidad.

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1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.

Matematicas (Grado en Quımica)




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1 Relaciones trigonometricas

2 Operaciones con logaritmos

3 Funciones elementales y sus graficas

4 Graficas de funciones elementales

5 Lımites

6 Continuidad




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5 Lımites

6 Continuidad




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Relaciones trigonometricas




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5 Lımites

6 Continuidad




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Operaciones elementales con logaritmos

loga(x · y) = loga(x) + loga(y)

loga( xy ) = loga(x)− loga(y)

loga(xy ) = y · loga(x)

ax = bx logb(a)




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Definicion de funcion real de variable real

Definicion:

Sea A ⊂ R. Una funcion real de variable real es una aplicacionf : A ⊂ R→ R.




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Operaciones con funciones

Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x)

Producto: (fg)(x) = f (x)g(x)

Producto por escalar: (kf )(x) = kf (x)

Composicion: (g ◦ f )(x) = g(f (x))




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Propiedades de las funciones

Dominio. Se llama dominio de f al conjunto

D(f ) = {x ∈ R : ∃f (x) ∈ R}

Imagen. Se llama imagen de f al conjunto

Im(f ) = {y = f (x) : x ∈ D(f )} = f (D(f ))

Grafica. La grafica de f es

Gf = {(x , y) ∈ R2 : y = f (x)}

Funcion recıproca o inversa. Dada f inyectiva, la inversa def , f −1, es la funcion tal que (f −1 ◦ f )(x) = (f ◦ f −1)(x) = x .

Funcion periodica. La funcion f es periodica si existe T > 0tal que f (x) = f (x + T ) para todo x ∈ D(f ). El menor detales T > 0 se llama perıodo de la funcion.




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Propiedades de las funciones

Funcion par e impar. Si f (−x) = f (x) para todo x ∈ D(f ),se dice que f es par. Si f (−x) = −f (x) para todo x ∈ D(f ),se dice que f es impar.

Funcion creciente y decreciente. Una funcion f : A→ R escreciente (decreciente) si para todo x1 < x2 esf (x1) ≤ f (x2)(f (x1) ≥ f (x2)). Si la desigualdad es estricta,decimos que f es estrictamente creciente (estrictamentedecreciente).

Funcion acotada. Una funcion f es acotada inferiormente siexiste k ∈ R tal que f (x) ≥ k para todo x ∈ D(f ). Se diceque f es acotada superiormente si existe k ∈ R tal quef (x) ≤ k para todo x ∈ D(f ). Decimos que f es acotada si loes superior e inferiormente.




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5 Lımites

6 Continuidad




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y = x , y = x2, y = x3




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y = 1x




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y = |x |




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y = sin(x), y = cos(x)




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y = tan(x)




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y = sin(x), y = arcsin(x)




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y = cos(x), y = arc cos(x)




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y = tan(x), y = arctan(x)




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y = ax




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y = loga(x)




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6 Continuidad




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Definicion de lımite

Definicion de lımite

Sea I = (c , d) un intervalo abierto con a ∈ I y sea f una funciondefinida en I (salvo quiza en a). Dado l ∈ R, se dice quelımx→a f (x) = l si y solo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si0 < |x − a| < δ, entonces |f (x)− l | < ε. Una definicionequivalente, mediante el empleo de sucesiones, es la siguiente:lımx→a f (x) = l ⇐⇒ (∀xn → a con xn 6= a para todon→ {f (xn)} → l)




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Definicion de lımites laterales

Definicion de lımites laterales

Dado l+ ∈ R, se dice que limx→a+f (x) = l+ si, y solo si, para todoε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < x − a < δ, entonces|f (x)− l+| < ε.Si, en vez de aproximar la x a la a por la derecha, lo hacemos por laizquierda, obtenemos el lımite por la izquierda, lımx→a− f (x) = l−.Los lımites laterales tambien se pueden definir empleandosucesiones que se aproximen por cada uno de los lados de a.

Teorema

Existe lımx→a f (x) si y solo si existen los lımites laterales ycoinciden, esto es, lımx→a+ f (x) = lımx→a− f (x) = l ∈ R




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Lımites infinitos y lımites en el infinito

Lımites infinitos. Decimos que lımx→a f (x) = +∞ (−∞) sipara todo M ∈ R existe un δ > 0 tal que f (x) > M(f (x) < M) para todo x tal que 0 < |x − a| < δ.Los lımites laterales infinitos lımx→a+ f (x) = ±∞ ylımx→a− f (x) = ±∞ se definen de modo analogo, peroaproximandose por el lado adecuado de a.

Lımite finito en el infinito. Si (a,+∞) ⊂ D(f ), se dice que ftiende a l cuando x → +∞, esto es, limx→∞f (x) = l si paratodo ε > 0 existe M ∈ R tal que si x > M entonces|f (x)− l | < ε.




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Lımites infinitos y lımites en el infinito

Lımite infinito en el infinito. Si (a,+∞) ⊂ D(f ), decimos quelimx→+∞f (x) = −∞ si para todo M ∈ R,∃N ∈ R tal que six > N entonces f (x) > M.De modo analogo se definen los lımites lımx→+∞ f (x) = −∞,lımx→−∞ f (x) = +∞ y lımx→−∞ f (x) = −∞.

Teorema

El lımite, si existe, es unico.




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Propiedades de los lımites

Sean f , g tales que lımx→a f (x) = l1 y lımx→a g(x) = l2. Entonces:1 limx→aα = α, α ∈ R2 limx→af (x) = αl1, α ∈ R3 limx→a(f (x)± g(x)) = l1 ± l24 limx→a(f (x)g(x)) = l1l25 limx→a

f (x)g(x) = l1

l2(l2 6= 0)

6 limx→a(f (x))n = ln17 limx→af (x)1/n = l

1/n1 (si n impar o n par y l1 ≥ 0)

8 limx→abf (x) = bl1 , b ∈ R9 limx→af (x)g(x) = l l21 (l1 > 0)

Los casos0

0,∞∞, 0 · ∞,∞−∞, 1∞, 00,∞0

son indeterminaciones.Matematicas (Grado en Quımica)



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Regla del Sandwich

Regla del Sandwich

Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) en un entorno de a (salvo, quiza, en elpropio a) y lımx→a f (x) = lımx→a h(x) = l , entonceslımx→a g(x) = l . Aquı a y l pueden ser tanto finitos como infinitos.




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6 Continuidad




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Definicion de continuidad

Definicion de continuidad

Una funcion f es continua en a si se satisfacen las condicionessiguientes:

1 f (a) esta definida.

2 limx→af (x) = f (a) (el lımite existe y es igual a f (a)).

Otra caracterizacion de continuidad es con sucesiones: f escontinua en a ∈ D(f ) si para toda sucesion xn → a se verifica que{f (xn)} → f (a).Decimos que f es continua en un intervalo abierto (c , d) si lo es encada punto del intervalo.




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Definicion de discontinuidad

Si f no es continua en a, se dice que f tiene en a unadiscontinuidad. La discontinuidad es:

Evitable si existe limx→af (x) ∈ R.

Inevitable en caso contrario.




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Continuidad lateral

Definicion

La funcion f es continua por la izquierda (derecha) de a ∈ D(f ) silımx→a− f (x) = f (a) (limx→a+f (x) = f (a)).

Definicion

La funcion f es continua en a si y solo si es continua por laderecha y por la izquierda de a.




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Propiedades de la continuidad

Definicion

Sean f, g continuas en a ∈ R. Entonces

kf es continua en a para cualquier k ∈ R.

(f ± g) es continua en a.

(fg) es continua en a.

Si g(a) 6= 0, entonces fg es continua en a.

Si h es continua en g(a), entonces (h ◦ g)(x) = h(g(x)) escontinua en a.




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Funciones elementales continuas

Las funciones elementales (polinomios, funciones racionales, raıces,funciones trigonometricas, trigonometricas inversas, funcionesexponenciales, logarıtmicas) son todas ellas continuas en susdominios.




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Teorema del valor intermedio

Teorema del valor intermedio

Si f es continua en I = [a, b] y k es un numero real entre f (a) yf (b), existe al menos un c ∈ I tal que f (c) = k.




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Teorema de Weierstrass

Teorema de Weierstrass

Si f : [a, b]→ R es continua, entonces f alcanza un maximo y unmınimo en el intervalo [a, b], esto es, existen x1, x2 ∈ [a, b] talesque

f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2) ∀x ∈ [a, b]


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