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TEMA 1. TRAZADOS GEOMÉTRICOS ELEMENTALES

GEOMETRÍA: Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las figuras geométricas, incluyendo puntos, rectas, planos… Proviene del Griego GEO (tierra) METRÍA (medida).

GEOMETRÍA PLANA: Estudia las propiedades de elementos con una o dos dimensiones, superficies y figuras en el plano. También se conoce como geometría euclídea (el matemático griego Euclides fue el primero en estudiarla en el siglo IV a.C.)

GEOMETRÍA ESPACIAL: Estudia las técnicas geométricas que permiten representar el espacio tridimensional sobre un plano (el papel), que tiene únicamente dos dimensiones.

1.1. ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA

PUNTO: Geométricamente podemos definirlo como la intersección de dos rectas o de una recta con un plano. No tiene dimensión. Describe una posición en el plano o en el espacio respecto a un sistema de coordenadas preestablecido. Se suelen representar con una pequeña cruz (+) y nombrar con una letra mayúscula (A, B, C,…).

RECTA: Es una sucesión infinita de puntos en una misma dirección. Una recta puede ser definida geométricamente por dos puntos (geometría plana) o por dos planos que se cortan (geometría descriptiva). Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios. Se suele representar con una letra minúscula.

SEMIRRECTA: Es una porción de recta delimitada por un punto. Ese punto se considera su inicio u origen y a partir de éste la sucesión de puntos es infinita en el sentido indicado.

SEGMENTO: Un segmento es una porción de recta delimitada por dos puntos. Para dibujar un segmento se suelen marcar y nombrar sus extremos con dos letras mayúsculas.

+

1.2. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

PARALELAS: Nunca se cortan. No tienen ningún punto en común.

SECANTES: Se cortan en un punto.

OBLICUAS: Se cortan sin formar ángulos rectos.

COINCIDENTES: Todos sus puntos son comunes.

PERPENDICULARES: Se cortan formando cuatro ángulos rectos. Este concepto está relacionado con el adjetivo “ortogonal” (forma ángulos rectos).

A

r O s

B C

Paralelas

Oblicuas

Secantes

Perpendiculares

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1.3. TRAZADOS GEOMÉTRICOS ELEMENTALES

1.3.1. PERPENDICULARIDAD

1.3.1.1. Mediatriz de un segmento

Dado un segmento AB, hallar la mediatriz.

1. Traza dos arcos de igual radio con centro en ambos extremos A y B. Obtienes así los puntos C y D donde ambos arcos se cortan.

2. Une los puntos C y D para obtener la mediatriz.

1.3.1.2. Perpendicular a una recta por uno de sus puntos

Dada una recta r, trazar la perpendicular por el punto P, en la recta.

1. Con centro en P, traza dos arcos que corten a la recta en los puntos A y B. 2. Con centro en los puntos A y B, traza dos arcos de radio mayor a la mitad de la distancia entre ellos. Donde ambos

arcos se cortan obtienes el punto C. 3. Une el punto C y el punto P para dibujar la perpendicular pedida.

1.3.1.3. Perpendicular a una recta por un punto exterior

Dada una recta r, trazar la perpendicular por el punto E, exterior a la recta.

1. Con centro en E, traza un arco que corte a la recta en los puntos A y B. 2. Con centro en los puntos A y B, traza dos arcos de radio mayor a la mitad de la distancia entre ellos. Donde ambos

arcos se cortan obtenemos el punto C. 3. Uniendo el punto C con el punto E obtendrás la perpendicular.

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1.3.1.4. Perpendicular a una semirrecta por su extremo

Dada una semirrecta s, trazar la perpendicular por su origen O.

1. Con centro en O, traza un arco (casi una semicircunferencia) que corta a la semirrecta en el punto A. 2. Con centro en A, traza otro arco con el mismo radio que corta al anterior en el punto B. 3. Con centro en B y el mismo radio, traza otro arco que corte al primero en el punto C. 4. Con centro en C, traza otro arco, de mismo radio, que corte al último en el punto D. 5. Une el punto D con el punto A y obtendrás la perpendicular.

1.3.2. PARALELISMO

1.3.2.1. Paralela a una recta por un punto exterior (Método 1)

Dada una recta r un punto M exterior a ésta.

1. Elige un punto O en la recta como centro y traza una semicircunferencia de radio OM que la corte en los puntos A y B.

2. Con centro en A toma el radio AM y desde el punto B traza un arco que corte al primero en el punto N. 3. Uniendo el punto M con N y obtendrás la paralela a la recta dada que pasa por M.

1.3.2.2. Paralela a una recta por un punto exterior (Método 2)

Dada una recta r un punto M exterior a ésta.

1. Toma dos puntos aleatorios de la recta dada r y llámalos A y B. 2. Con centro en M y con radio AB, dibuja una circunferencia. 3. Haz centro en B y con radio AM traza un arco que corte a la primera circunferencia en N. 4. Uniendo M con N obtienes la paralela a la recta dada que pasa por M.

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1.3.3. ÁNGULOS

1.3.3.1. Copiar un ángulo con compás y regla

Dado un ángulo V, trazar otro ángulo igual V'

1. Dibuja una semirrecta y señala V', que será el vértice del nuevo ángulo copiado. 2. Con centro en el punto V, traza un arco de radio cualquiera que corte los lados del ángulo en los puntos A y B. 3. Con centro en V', traza un arco de igual radio que cortará al lado ya dibujado en el punto B'. 4. Desde el punto B del ángulo dado, mide con el compás la distancia desde A hasta B. 5. En el nuevo ángulo copiado, con centro en B', traza un arco que corte al anterior en A'. 6. Une V' con A' para completar la copia del ángulo.

1.3.3.2. Bisectriz conocido el vértice

Dado un ángulo V, trazar su bisectriz

1. Con centro en el vértice y un radio cualquiera (suficientemente amplio), traza un arco que corte a ambos lados del ángulo en los puntos A y B.

2. Con centros en los puntos A y B, traza dos arcos de igual radio (mayor a la mitad de la distancia entre A y B) que se corten en el punto C.

3. Une el punto C con el vértice del ángulo dado para dibujar la bisectriz.

1.3.3.3. Bisectriz con el vértice fuera del papel

Dados los dos lados a y b de un ángulo cuyo vértice es inaccesible

1. Dibuja una recta cualquiera r, que corte a los dos lados del ángulo. 2. Obtén las bisectrices de los cuatro ángulos internos formados, que se cortarán en dos puntos C y D. 3. Une los puntos C y D y obtendrás la bisectriz del ángulo cuyo vértice queda fuera de los límites del dibujo.

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TEMA 2. POLÍGONOS REGULARES

POLÍGONO: Superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada.

POLÍGONO REGULAR: Tiene todos sus lados y ángulos iguales.

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO:

LADOS: Son los segmentos que forman el polígono.

VÉRTICES: Son las intersecciones o los extremos de los lados.

DIAGONALES: Segmentos determinados por cada dos vértices no consecutivos.

CIRCUNFERENCIA INSCRITA: Es interior y tangente a todos los lados del polígono.

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA: Pasa por todos los vértices del polígono y lo contiene completamente en su interior

2.1. TRIÁNGULO EQUILÁTERO

2.1.1. Triángulo equilátero conociendo el radio

Dado el radio del triángulo equilátero (3 cm)

1. Dibuja una circunferencia de 3 cm. de radio. 2. Traza un diámetro AD. Oriéntalo verticalmente. 3. Con centro en D y con radio el de la circunferencia, dibuja un arco que corte a la circunferencia en B y C. 4. Uniendo A, B y C obtendrás el triángulo equilátero.

2.1.2. Triángulo equilátero conociendo el lado

Dado el lado del triángulo equilátero (5 cm)

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB. 2. Con centro en los puntos A y B, traza dos arcos de radio 5 cm. que se corten en el punto C. 3. Uniendo A y B con C obtendrás el triángulo equilátero.

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2.2. CUADRADO

2.2.1. Cuadrado conociendo el radio

Dado el radio del cuadrado (3 cm)

1. Dibuja una circunferencia de 3 cm. de radio. 2. Traza el diámetro AC. 3. Levanta la mediatriz BD de AC y dividirás la circunferencia en cuatro partes iguales. 4. Une los cuatro puntos señalados y conseguirás el cuadrado pedido.

2.2.2. Cuadrado conociendo el lado

Dado el lado del cuadrado (4 cm)

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB. 2. Construye dos perpendiculares al segmento desde sus extremos. 3. Lleva la medida del segmento sobre las dos perpendiculares, obteniendo los puntos C y D. 4. Une mediante segmentos los puntos A, B, C y D y obtendrás el cuadrado pedido.

2.3. PENTÁGONO

2.3.1. Pentágono conociendo el radio

Dado el radio del pentágono (3 cm)

1. Dibuja una circunferencia de 3 cm. de radio. 2. Traza dos diámetros perpendiculares AC y BD. 3. Halla el punto medio E del radio OC, mediante la mediatriz FG. 4. Desde E, dibuja un arco BH, con radio EB. 5. La cuerda BH es el lado del pentágono regular pedido.

Constrúyelo con ella.

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2.3.2. Pentágono conociendo el lado

Dado el lado del pentágono (3,5 cm)

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB. 2. Traza la mediatriz del lado AB para determinar su punto medio M. 3. A partir de un extremo, se traza una perpendicular y lleva el lado AB. Obtienes N 4. Con centro en M y radio MN, traza un arco. Hallas O. 5. Con radio AO traza arcos desde A y B. Obtienes D. 6. Desde D, traza dos arcos de radio AB. Obtienes E y C. 7. Une los puntos A, B, C, D y E y conseguirás el pentágono.

2.4. HEXÁGONO

2.4.1. Hexágono conociendo el radio

Dado el radio del hexágono (3 cm)

1. Dibuja una circunferencia de radio 3 cm. 2. Traza un diámetro AD orientado verticalmente. 3. Con centro en A y radio el de la circunferencia, traza un arco que corte a la circunferencia en B y F. 4. Con centro en D y el mismo radio, traza un arco que corte a la circunferencia en C y E. 5. Une los seis puntos y obtendrás el hexágono.

2.5. HEPTÁGONO

2.5.1. Heptágono conociendo el radio

Dado el radio del heptágono (3 cm)

1. Dibuja una circunferencia de 3 cm. de radio. 2. Traza dos diámetros perpendiculares AC y BD. 3. Halla el punto medio E del radio OC, mediante la mediatriz FG. 4. El segmento EF es la medida del lado del heptágono.

Utilízalo para su construcción.

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2.5.2. Heptágono conociendo el lado

Dado el lado del heptágono (2,5 cm)

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB 2. Con el radio AB traza un arco desde A y otro desde B que se corten en el punto M. 3. Por M y por B dibuja dos perpendiculares a r. 4. Traza la bisectriz del ángulo MAB, que corta a la perpendicular en N. 5. Con el radio AN traza un arco hasta cortar a la perpendicular r, obteniendo el punto O. 6. Desde O, con un radio AO, traza una circunferencia. A partir de B lleva siete veces el lado AB. 7. Une todos los puntos y obtendrás el heptágono.

2.6. OCTÓGONO

2.6.1. Octógono conociendo el radio

Dado el radio del octógono (3 cm)

1. Dibuja una circunferencia de 3 cm. de radio. 2. Traza dos diámetros perpendiculares AC y BD. 3. Halla las bisectrices de los cuatro ángulos obtenidos y dividirás la circunferencia en ocho partes. 4. Une los puntos y obtendrás el octógono pedido.

2.6.2. Octógono conociendo el lado

Dado el lado del octógono (2,5 cm)

1. Sobre una recta r cualquiera coloca el lado AB y traza su mediatriz. 2. Dibuja una perpendicular en el punto B y lleva el lado AB, obteniendo M. 3. Une A con M. Corta a la mediatriz en N. 4. Con centro en N y con radio MN, traza un arco y obtienes O. 5. Con centro en O, y radio OA, dibuja la circunferencia.

Sobre ésta lleva el lado AB ocho veces. 6. Une todos los puntos y conseguirás el octógono pedido.

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2.7. POLÍGONO REGULAR INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA (Método general)

Recuerda:

Dado el radio del polígono de n lados (3 cm)

1. Dibuja una circunferencia de 3 cm. de radio. 2. Traza su diámetro, y divídelo en n partes iguales. 3. Desde cada extremo del diámetro, y con un radio igual a éste, dibuja dos arcos que se corten en el punto B. 4. Haz pasar una recta por el punto B y la división nº 2 y prolóngala hasta la circunferencia. 5. La cuerda AC es el lado del polígono regular pedido. Con su medida obtendrás el polígono pedido.

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TEMA 3. TRIÁNGULOS

3.1 CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

3.1.1. Triángulo equilátero, conocido el lado

Dado el lado a

1. Dibuja un segmento igual a a. 2. Desde sus extremos como centro, y con radio igual a a, dibuja dos arcos que se corten en A. 3. El punto A es el vértice del triángulo equilátero.

3.1.2. Triángulo isósceles, conocidos dos lados diferentes

Dados el lado desigual a y uno de sus lados iguales b

1. Dibuja un segmento igual a a. 2. Desde los extremos de a como centro, y con un radio igual a b, traza dos arcos que se corten en A. 3. El punto A es el vértice del triángulo isósceles.

3.1.3. Triángulo, conocidos sus tres lados

Dados los lados a, b y c.

1. Dibuja un segmento igual a a. 2. Desde sus extremos, traza dos arcos con radios iguales a b y c, que se corten en A. 3. El punto A, es el vértice del triángulo.

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3.1.4. Triángulo, conocidos dos lados y su ángulo

Dados los lados a y b, y su ángulo �̂�.

1. Dibuja un segmento igual a a. 2. Transporta el ángulo �̂� a uno de sus extremos. 3. Lleva la longitud de b al otro lado del ángulo y obtendrás el vértice A. 4. Une los extremos de los segmentos a y b, y obtendrás el triángulo.

3.1.5. Triángulo, conocidos un lado y sus dos ángulos

Dados el lado a y los ángulos �̂� y �̂�

1. Dibuja un segmento igual a a. 2. Transporta los ángulos propuestos a sus extremos. 3. El punto A, donde se cortan los lados de dichos ángulos, es el tercer vértice del triángulo.

3.1.6. Triángulo rectángulo, conociendo la hipotenusa y un ángulo agudo

Dados la hipotenusa a y el ángulo �̂�

1. Transporta el ángulo �̂�. 2. Lleva la hipotenusa a sobre uno de los lados del ángulo. 3. Desde el extremo libre de a baja una perpendicular al otro lado del ángulo, y quedará construido el triángulo

pedido.

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3.2 CENTROS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

3.2.1. Circuncentro

Circuncentro: Punto donde se cortan las mediatrices de los lados de un triángulo. Es el centro de la

circunferencia circunscrita al triángulo. Por eso la distancia desde el circuncentro a cada vértice del triángulo

es la misma.

Mediatrices de un triángulo: Perpendiculares trazadas por los puntos medios de sus lados.

Circuncentro en un triángulo acutángulo Circuncentro en un triángulo obtusángulo

3.2.2. Baricentro

Baricentro: Punto donde se cortan las medianas de un triángulo. Divide a cada mediana en dos partes, siendo

una el doble que la otra. En el baricentro se encuentra el centro de gravedad del triángulo.

Medianas de un triángulo: Son las trazadas de cada vértice al punto medio del lado opuesto.

Baricentro en un triángulo cualquiera

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3.2.3. Incentro

Incentro: Punto donde se cortan las bisectrices del triángulo. Este punto es el centro de la circunferencia

inscrita en el triángulo. Por eso la distancia desde el incentro a cada lado del triángulo es la misma.

Bisectrices del triángulo: Son las que dividen a cada uno de los ángulos del triángulo en dos partes iguales.

Incentro en un triángulo cualquiera

3.2.4. Ortocentro

Ortocentro: Punto donde se cortan las alturas de un triángulo.

Alturas del triángulo: Perpendiculares trazadas desde los vértices a los lados opuestos o a sus prolongaciones.

Ortocentro en un triángulo acutángulo Ortocentro en un triángulo obtusángulo

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TEMA 4. TANGENCIAS

4.1 CONCEPTO DE TANGENCIA

4.1.1. Concepto

El término viene del latín TANGERE = Tocar. Se emplea en geometría para designar líneas, curvas y superficies

que se tocan, sin llegar a cortarse.

Dos elementos son tangentes cuando tienen un punto en común, denominado punto de tangencia. Los

elementos son rectas y circunferencias (o arcos de circunferencia, en algunos casos curvas cónicas).

Un enlace es la unión armónica de curvas con curvas o curvas con rectas.

4.1.2. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Tres son las posiciones relativas que pueden adoptar una recta y una circunferencia:

1. Recta exterior a la circunferencia: cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es

mayor que el radio de esta.

2. Recta secante a la circunferencia: cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es

menor que el radio de esta.

3. Recta tangente a la circunferencia: cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es

igual que el radio de esta.

Al ser la distancia de un punto a una recta la perpendicular trazada por este punto a la recta, el radio trazado

desde el centro de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente, siendo el pie de la perpendicular el

punto de tangencia entre ambos elementos.

1. 2. 3.

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4.1.3. Posiciones relativas de dos circunferencias

Las posiciones que pueden adoptar entre sí dos circunferencias son:

1. Exteriores: No tienen ningún punto en común, la distancia entre sus centros es mayor que la suma de

sus radios.

2. Concéntricas: No tienen ningún punto en común salvo que sus radios sean idénticos, tienen el mismo

centro.

3. Secantes: Tienen dos puntos en común, la distancia entre sus centros es menor que la suma de sus

radios.

4. Tangentes: Tienen un punto común de tangencia, alineado con los centros de las dos circunferencias.

1. 2. 3. 4.

4.2 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS TANGENCIAS

1. Si dos circunferencias son tangentes, el

punto de tangencia está en la recta O1 O2.

2. Si una recta es tangente a una circunferencia, el

punto de tangencia está en la perpendicular a r,

trazada por O.

3. Si una circunferencia pasa por dos puntos, el

centro está en la mediatriz.

4. Si una circunferencia es tangente a dos rectas, el

centro está en la bisectriz.

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4.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TANGENCIAS

4.3.1. Circunferencia que pasa por dos puntos, dado el radio

Dados dos puntos A y B, y el radio de la circunferencia r

1. Traza un arco con radio r, con centro en el punto A. 2. Traza otro arco con el mismo radio, con centro en B y que corte al arco anterior. 3. En el punto de intersección se encuentra la solución. Dibuja la circunferencia de radio r que pasa por los puntos.

4.3.2. Circunferencia que pasa por tres puntos

Dados tres puntos A, B y C

1. Une los puntos A y B, y halla su mediatriz. 2. Une C con cualquiera de los anteriores y traza la mediatriz del nuevo segmento. 3. En el punto de intersección se encuentra la solución. Dibuja la circunferencia.

4.3.3. Circunferencia tangente a una recta

Dada la recta m, el punto de tangencia T sobre ella, y el radio de la circunferencia r

1. Traza una recta perpendicular a la recta m, por el punto de tangencia T. 2. Con centro en el punto de tangencia, traza un arco de radio r, que corte a la perpendicular. 3. En el punto de intersección se encuentra la solución. Dibuja la circunferencia.

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4.3.4. Recta tangente a una circunferencia

Dada la circunferencia con centro O y el punto de tangencia T

1. Une los puntos O y T con un segmento. 2. Con radio OT y centro en T, traza un arco a partir de O, que corte en B a la circunferencia. 3. Traza un arco con el mismo radio, desde B, que corte al arco anterior en C. 4. La mediatriz de BC dará la recta pedida, perpendicular a OT y tangente a la circunferencia.

4.3.5. Circunferencia tangente a dos rectas que se cortan, dado el punto de tangencia

Dadas las rectas m y n, y el punto de tangencia T sobre una de ellas

1. Trazamos la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas. 2. Trazamos una perpendicular a la recta m sobre el punto de tangencia T. 3. La intersección de la bisectriz con la perpendicular O, es el centro buscado. Desde ese centro trazamos una

perpendicular a la otra recta, que nos da el otro punto de tangencia. 4. Desde O, dibujamos la circunferencia buscada.

4.3.6. Circunferencia tangente a dos rectas que se cortan, dado el radio de la circunferencia

Dadas las rectas m y n, y el radio de la circunferencia r

1. Trazamos una paralela a una distancia r de la recta m. 2. Hacemos lo mismo con la recta n, y obtenemos el punto O, de intersección de las dos paralelas obtenidas. 3. Desde el punto O, trazamos perpendiculares a las dos rectas m y n, para hallar los puntos de tangencia. 4. Con centro en O, dibujamos la circunferencia pedida.

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4.4. ENLACES

4.4.1. Enlazar por medio de arcos de circunferencia varios puntos no alineados

Dados los puntos A, B, C, D, E, F, G, H… y el radio del primer arco de enlace r

1. Une ordenadamente los puntos entre sí mediante segmentos.

2. Obtén las mediatrices de dichos segmentos.

3. Con centro en A y radio r, traza un arco que corte a la mediatriz del segmento AB. Así obtendrás O1, que es el

centro del primer arco de enlace que trazarás de A a B.

4. Une O1 con B y prolonga hasta cortar a la mediatriz del siguiente segmento BC en O2, centro del segundo arco de

enlace y de radio O2-B, que trazarás hasta C.

5. Une O2 con C y prolonga hasta cortar a la mediatriz del siguiente segmento CD en O3, centro del tercer arco de

enlace y de radio O3-C, que trazarás hasta D.

6. De igual modo sigue trabajando para el resto de los puntos dados.

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4.5. ESPIRALES

La espiral es una curva abierta y plana generada por el movimiento de un punto que se aleja de otro u otros

fijos denominados centros.

Puede estar constituida por arcos de circunferencia enlazados entre sí y de radios gradualmente mayores. Se

denomina espira al fragmento de curva que describe el punto en una vuelta completa.

Las espiras contiguas distan entre sí una magnitud constante denominada paso.

4.5.1. Construcción de la espiral de dos centros, conocido el paso.

Dado el paso de la espiral P

1. Dibujamos una recta, que será inicio y fin de los sucesivos arcos que determinan la espiral.

2. Señalamos en una recta los puntos A y B, que tendrán una separación entre ellos igual a la mitad del

paso (La magnitud del paso es igual al doble de la magnitud del segmento AB).

3. Hacemos centro en A o B y describimos una semicircunferencia de radio AB que corta en C a la

recta.

4. Cambiamos de centro y trazamos otra semicircunferencia con el mismo sentido y a continuación de

la anterior, a partir de C, de radio BC y por tanto igual a P obteniendo en su intersección sobre la

recta el punto D.

5. Desde D trazamos otra semicircunferencia con centro en A y radio 3P/2 y así sucesivamente.

(Observaremos que el radio de las semicircunferencias aumenta P/2 en cada ocasión)

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4.5.2. Construcción de la espiral de tres centros conocido el paso.

Dado el paso de la espiral P

1. Construimos el triángulo equilátero ABC siendo la magnitud de su lado la tercera parte del paso dado

P. A, B y C serán los centros de los sucesivos arcos.

2. Prolongamos los tres lados del triángulo y hacemos centro en uno de los vértices, trazando un arco

de radio P/3 (centro en A y radio AC), que corta a una de las prolongaciones en D (la primera

prolongación interceptada BA).

3. Con centro en el vértice adyacente B, se traza otro enlazado con el anterior y por tanto a partir del

punto D hasta cortar a la prolongación siguiente y así sucesivamente.

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4.5.3. Construcción de la espiral de cuatro centros conocido el paso.

Dado el paso de la espiral P

1. Dibujamos un cuadrado ABCD de lado P/4, siendo P el paso dado.

2. Procedemos de igual forma que en el ejercicio anterior.

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4.6. ÓVALO

Es una curva cerrada y plana compuesta por un número par de arcos de circunferencia enlazados entre sí y

simétricos respecto de sus ejes mayor y menor perpendiculares entre sí.

Construcción de un óvalo conocidos sus dos ejes.

Dados el eje mayor y el eje menor del óvalo

1. Traza un arco con centro en O y radio OA que corta a la prolongación de CD en el punto P. Une A

con C.

2. Dibuja un arco de radio CP con centro en C hasta cortar al segmento AC en V.

3. Dibuja la mediatriz de AV, que corta a OD en el punto M, y al semieje mayor en el punto N.

4. Señala los puntos simétricos de M y N respecto a los ejes del óvalo, M’ y N’. Une los puntos M y M’

con N y N’, respectivamente, y prolonga las líneas.

5. Traza los arcos con centro en M y M’, con radio M’D y MC, obteniendo los puntos Q y Q’ y P y P’.

6. Por último, dibuja los arcos con centro N y N’ de radio NA y N’B hasta los puntos de tangencia

anteriormente trazados Q y Q’ y P y P’. De esta manera conseguirás el óvalo.

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Construye el óvalo, dados los ejes

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4.7. OVOIDE

El ovoide es una curva cerrada simétrica con respecto a su eje, cóncava hacia él, y conformada por cuatro arcos

de circunferencia: uno de ellos es una semicircunferencia y otros dos son iguales y simétricos.

Su nombre deriva de su parecido con la sección longitudinal de un huevo.

4.7.1. Construcción de un ovoide, conocido su eje menor.

Dado el eje menor del ovoide

1. Traza la mediatriz del eje menor del ovoide AB, que le corta en O. Prolóngala en su parte superior.

2. Dibuja una circunferencia con centro en O y radio OA. Esta corta a la mediatriz, en su parte superior,

en el punto C.

3. Desde A y B traza rectas que pasen por el punto C. Prolóngalas.

4. Con centro en A, desde B, traza un arco hasta la línea inclinada que has trazado. Repite el proceso

con centro en B.

5. Desde C dibuja un arco que una los puntos de corte obtenidos y habrás completado el ovoide.

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4.7.2. Construcción de un ovoide, conocido su eje mayor.

Dado el eje mayor del ovoide

1. Divide el eje mayor del ovoide AB en seis partes iguales. Para ello utiliza el método de división de

segmentos basado en el teorema de Tales.

2. Obtén una perpendicular que pase por la división nº2.

3. Dibuja una semicircunferencia, con centro en la división nº2, que pase por A y corte a la

perpendicular en los puntos C y D.

4. Traza dos rectas desde C y D, respectivamente, que pasen por la división nº5 y prolóngalas.

Cortarán a la circunferencia en los puntos E y F.

5. Con centro en la división nº2 y radio 2B, dibuja una semicircunferencia que comience y termine en

la perpendicular CD.

6. Tomando C como centro, dibuja un arco que enlace con la semicircunferencia hasta la recta CF.

Repite el proceso desde D hasta la recta DE.

7. Desde la división nº5, y con radio 5A, completa el ovoide.