TEMA N 06: PRUEBA DE HIPOTESIS

HIPOTESIS: solucin anticipada al problema que necesita ser demostrada es una afirmacin o conjetura sobre el problema.Hiptesis estadstica: es una afirmacin o conjetura sobre los parmetros de la poblacin o sobre el comportamiento de una variable aleatoria. Por ejm. Tipos de hiptesis.1) Hiptesis nula : es la hiptesis que es aceptada provisionalmente como verdadera y cuya valides ser comprometida a comprobacin experimental.2) Hiptesis alternativa : es la hiptesis que ser aceptada cuando se rechace la hiptesis nula.

Ejm:a) : = ; : b) : ; : c) : ; :

Ejm: X: ingreso mensual de encuestados.

: =800,00; : 800,00: 800,00; : 800,00: 800,00; : 800,00

Ejm: X: numero de personas que prefieren un producto W.: p = 0, 45; : p : p; : p : p; : p

Prueba de una hiptesis estadstica. Es un proceso que nos conduce a tomar la decisin de aceptar o rechazar la hiptesis nula en contra posicin de la hiptesis alternativa y en base a los resultados de una muestra aleatoria seleccionada de una poblacin en estudio.

Regiones crticas y de aceptacin.

(Tipo de colas de las pruebas)a) : = : Prueba de dos colas () RA: regin de aceptacin RC: regin critica o de rechazo.

1 - O

R.C. R.C.

b) : : Prueba de la cola izquierda.

RC 0 Z (T, X2, F) RA

c) : : Prueba de cola derecha.

0 RCRA

Regla de decisin.Si el estadstico de prueba () cae en la regin de aceptacin, entonces aceptamos ; si cae en la regin critica rechazamos y aceptamos .Estadstico de prueba:

Z = .

Procedimiento de Prueba de Hiptesis. Formulacin de la hiptesis : = :

Especificar el tamao del nivel de significacin () Definir las regiones de aceptacin y rechazo (RA y RC) Calcular en estadstico de prueba despus de seleccionarlo apropiadamente. Decisin estadstica.Aceptar o rechaza , segn comparacin del estadstico de prueba y regiones (RA y RC). Decisin estadstica en trminos del problema planteado (interpretacin de resultados).

PRUEBA DE HIPTESIS ACERCA DE UNA MEDIA ().A. Supuesto: si la varianza es conocida.Probar la hiptesis nula : = CONTROLA LAALTERNATIVA UTILIZA PRUEBA DE:RECHAZA SI:

Cola izquierda

Cola derecha

Dos colas RA

= estadstico de prueba.RA = ; Z ~

Ejm: Un proceso automtico llena latas de palmito. Si el peso medio de las lata llenas es de 400gr. Se afirma que el proceso est controlado, en caso contrario el proceso no est controlado. En el proceso de estado se ha determinado que los pesos de las latas llenas tiene una desviacin estndar de 20gr. Si una muestra aleatoria de 100 latas llenas de palmito ha dado el peso medio de 395gr, a la interrogacin se podra concluir que el proceso est fuera de control al nivel de significacin del 5 %.Solucin:: =400gr. (proceso controlado): 400gr. (proceso descontrolado)

= 5 % = 0,05 = = = 1.96 = = = - 2,5 en grafico se ubica en la regin critica.

= - 2,5 - = - 1,96 cae en la regin critica.Rechazamos = 400gr.El proceso esta descontrolado.

B. Supuesto: si la varianza es desconocida.

Probar la hiptesis nula : =

CONTROLA LAALTERNATIVA UTILIZA PRUEBA DE:RECHAZA SI:

Cola izquierda

Cola derecha

Dos colas RA

= estadstico de prueba.RA = ; ~ Nota: la poblacin es normal.

Ejm: Las cajas de cierto tipo de cereal procesado por una fbrica deben tener un contenido promedio de 160gr. Por una queja ante el defensor del consumidor de que tales cajas de cereal tienen menos contenido, un inspector tomo una muestra aleatoria de 10 cajas encontrando los siguientes pesos de cereal en gramos 157; 157; 163; 185; 161; 159; 162; 159; 158; 156. Es razonable que el inspector multe al fabricante utilicen un nivel del 5 % y supongan que los contenidos tienen distribucin normal?Solucin:De los datos podemos sacar

: 160gr (no lo multe al fabricante) : 160gr (multe al fabricante)

= 5 % = 0,05 = = = = = -1,833.

= = = - 1,36 en grafico se ubica en la regin aceptacin.

= - 1,36 = - 1,833 cae en la regin aceptacin.Aceptamos : u = 160gr.No se multa al fabricante.

PRUEBA DE HIPTESIS ACERCA DE LA VARIANZA.Supuesto: si lo parmetros son desconocida.

Probar la hiptesis nula : =

CONTROLA LAALTERNATIVA UTILIZA PRUEBA DE:RECHAZA SI:

Cola izquierda

Cola derecha

Dos colas RA

= estadstico de prueba.RA = ; Nota: la poblacin es normal.

Ejm: Una muestra de 16 sobres de cierto producto cuyos pesos se distribuyen normalmente ha dado una desviacin estndar de 0,6 gramos. Utilizando un nivel de significacin del 5 %, es vlido inferir que la varianza de los pesos de tales sobres es mayor de 0, 25Solucin:: =0, 25: 0, 25 = 0,05 = = 24,99 25 = = = = 21,6.

= 21,6 = 25 cae en la RAAceptamos : = 0,25No es vlido inferir que la varianza es mayor que 0,25.

PRUEBA DE HIPTESIS ACERCA DE DOS MEDIA.A. Supuesto: si la varianza es conocida (poblacin normal)Probar la hiptesis nula : - = 0CONTROLA LAALTERNATIVA UTILIZA PRUEBA DE:RECHAZA SI:

- 0 Cola izquierda

- 0 Cola derecha

- 0Dos colas RA

= estadstico de prueba RA = ; Z ~ Ejm: Una fbrica quiere comparar dos marcas A y B; para fabricar un tipo de artculo. Observa dos muestras aleatorias de 60 artculos procesados por A y B respectivamente y encuentra que las medias respectivas son 1230 y 1190 segundos. Suponga segundos al nivel de significancia del 5 %, se puede inferir que la maquina B es mas rpida que la maquina A?Solucin: - 0

- 0

= 0,051 - = 0,95

= = 1,64 = = = = = 2,07 = 2,07 RC Rechazamos - 0 Aceptamos - 0 La marca B utiliza menos tiempo en el proceso de fabricacin.B. Supuesto: si la varianzas son desconocidas (poblacin normal)CONTROLA LAALTERNATIVA UTILIZA PRUEBA DE:RECHAZA SI:

- 0 Cola izquierda

- 0 Cola derecha

- 0Dos colas RA

= estadstico de prueba.

RA =

Ejm: Se quiere determinar la diferencia entre los promedios de tiempos (en minutos) que utilizan los hombres y las mujeres para realizar determinada tarea con este fin se escogen 10 hombres y 16 mujeres resultado los tiempos promedios respectivos 40 y 35 minutos y desviaciones estndares respectivas 9 y 8 minutos. Suponga que las poblaciones de ambos tiempos son independientes y se distribuyen normalmente con varianzas iguales. Al nivel de significacin del 1 %. Este tiempo promedio de hombres mayor al tiempo promedio de mujeres?

Solucin:

- =0 - 0= 0,01 = = 2,46De varianzas desconocidas iguales entra a tallar la varianza conjunta. = = = = 1,66= = = 72,5

= 1,66 RA aceptamos - =0No existe diferencia entre hombres y mures para realizar la tarea es decir al 1 % pero si este porcentaje aumenta los resultados pueden ser otros.C. Supuesto: si la varianzas son desconocidas (poblacin normal)CONTROLA LAALTERNATIVA UTILIZA PRUEBA DE:RECHAZA SI:

- 0 Cola izquierda

- 0 Cola derecha

- 0Dos colas RA

= estadstico de prueba.

RA = ; =

Ejm: Una compaa debe decidir cul de dos tipos de componente electrnica va adquirir A o B hace una prueba de 5 componentes escogidos al azar para cada marca resultando 1 = 8000 y = 2500 horas para A y 2 = 7000 y = 800 horas para B. suponga poblaciones normales con varianzas diferentes. Pruebe la hiptesis nula que los rendimientos medios son iguales contra la alternativa de que A rinde ms que B use = 5%. Datos: 1 = 8000 y = 2500; = 5 = 5%.2 = 7000 y = 800; = 5

Solucin: - =0 - 0= 0,05 = = = 2,02

= = = 2,02

= = = 0, 85Aceptamos - =0Tienen rendimientos iguales A y B.

PRUEBA DE HIPTESIS ACERCA DE UNA PROPORCION.Se resume en la siguiente tabla:Probar la hiptesis nula : = CONTROLA LAALTERNATIVA UTILIZA PRUEBA DE:RECHAZA SI:

Cola izquierda

p Cola derecha

Dos colas RA

= estadstico de prueba RA = ; Z ~ Ejm: una fbrica afirma que el 30% de los consumidores prefieren su producto con el fin de evaluar esta afirmacin se tomo una muestra aleatoria de 400 consumidores y se encontr que 100 de ellos prefieren dicho producto. Esta es suficiente evidencia para inferir el % de preferencia del producto no es 30 % utilice = 1?

Solucin:: p = 0, 30: p 0, 30 = 1 % = 0, 01 = =2, 58 = = 0, 25 = = = = - 2, 18

Se acepta que = 30 %.La afirmacin del fabricante es correcta.

PRUEBA DE HIPTESIS ACERCA DE DOS PROPORCIONES.Se resume en la siguiente tabla:Probar la hiptesis nula : - CONTROLA LAALTERNATIVA UTILIZA PRUEBA DE:RECHAZA SI:

- Cola izquierda

- Cola derecha

- Dos colas RA

= estadstico de prueba.

RA = ; ~ Poblacin infinita.

Ejm: Una empresa de estudio de mercado quiere saber si un producto promocionado a nivel nacional lo adquieren en mayor porcentaje que las mujeres si en dos muestras aleatorias independientes de 900 hombres y 800 mujeres se encontr que 270 hombres y 200 mujeres adquieren el producto, Cul es su decisin? Datos: = 0,04; = 900; 1 = 270; = = 0,30 = 800 2 = 200 = = 0,25

Solucin: - =0 - 0= 0,04 = = 2,66

= = = = 2,31.Se acepta que - =0Por tanto hombres y mujeres adquieren la misma cantidad.PRUEBA DE INDEPENDENCIA.

Las pruebas de hiptesis de independencia implican dos variables categricas (cualitativas) y lo que se prueba es la suposicin de que las dos variables son estadsticamente independientes para cada frecuencia observada en una celda hay una frecuencia esperada que se calcula a partir de sus hiptesis nula especificada y que se supone verdadera.

Formulacin de la hiptesis. Las variables son independientes (no tienen relacin): Las variables son dependientes (si tienen relacin)

Nivel de significacin y tipo de prueba (Regiones) Dado

Calcular el estadstico de prueba.Datos observados. VariableAVariable B

Total

Total

Datos esperados ()VariableAVariable B

Total

Total

= Entonces: (Estadstico de prueba)Donde: : calcular. Decisin estadstica. Decisin en trmino del problema.Ejm: En un proceso de produccin se registr el nmero de objetos defectuosos clasificndolos por turnos de produccin y por mquina de produccin. Las frecuencias observadas se registran en el cuadro dado posteriormente. Verificar al nivel de significacin del 5 % si el nmero de objetos, defectuosos producidos por la maquina e independiente de los turnos de produccin.

TABLA DE CONTINGENCIA 3*3 Datos ObservadosTURNOSMAQUINAS A B CTotal

Maana 75 90 85250

Tarde 70 85 70255

Noche 95 85 75255

Total240 260 230730

A = = 82.19 B = = 90.82 A = = 73.97 C = = 78.77 A = = 83.84 C = = 70.89 B = = 89.04 C = = 80.34 B = = 80.30 Datos Esperados ()TURNOSMAQUINASA B CTotal

Maana82,19 89.04 78.77

Tarde73,97 80.30 70.89

Noche83.84 90.82 80.34

Total

El numero de objetos defectuosos poblacin por la maquina no dependen de los turnos.: El numero de objetos defectuosos poblacin por la maquina si dependen de los turnos. = 0.05 = = 9.49

1 - = 0.95

=

3.87Se acepta El numero de objetos defectuosos poblacin por la maquina no dependen de los turnos.No hay relacin no depende, los objetos producidos por la mquina.