Tema 10 - Dinámica de Fluidos Perfectos (Cont.)

7/25/2019 Tema 10 - Dinmica de Fluidos Perfectos (Cont.)

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LECCIN 10: DINMICA DE FLUIDOS PERFECTOS (CONT.)

10.1 Cantidad de movimiento y momento cintico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 - 1

10.2 Umbral en la solera de un canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 - 2

10.3 Compatibilidad de los teoremas de conservacin de la energa y de lacantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 - 4

10.4 Ensanchamiento brusco de una tubera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 - 6

10.5 Boquilla de Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 - 8

10.6 Reaccin de un chorro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 - 9

10.7 Reaccin sobre un codo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 -10

10.8 Lmite de Betz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 -11


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LECCIN 10. DINMICA DE FLUIDOS PERFECTOS (CONT.)

10.1 Cantidad de movimiento y momento cintico

La cantidad de movimiento dpi de una partcula con volumen dV, densidad y

velocidad viser:

dVvdp ii = . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

y la integracin de (1) sobre el volumen limitado por una superficie fluida permitir obtener la

cantidad de movimiento de la masa fluida interior:

=V

ii dVvp . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

Como la fuerza es la derivada de la cantidad de movimiento respecto al tiempo, se

puede calcular la resultante de las fuerzas ejercidas sobre la masa limitada por la superficie

fluida en base a la variacin de la cantidad de movimiento:

=V

ii dVvdt

dF . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

expresin que, usando el teorema de arrastre de Reynolds (seccin 6.13) puede escribirse:

+

=S

i

V

ii dQvdV

t

)v(F . . . . . . . . . . . . . . . . . (4)

Consideraciones anlogas pueden hacerse para el momento cintico. Recordando que no

es otra cosa que el momento de la cantidad de movimiento, su expresin elemental dqies:

dVvxdq kjijki = . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)

Siguiendo los mismos pasos (integrando sobre el volumen y derivando respecto al

tiempo), el momento resultante de las fuerzas que actan sobre la masa contenida en la

superficie fluida puede calcularse como:

=V

kjijki dVvxdt

dM

+

=V S

kjijkkjijk dQvxdV)vx(t

. . . . . . . . . . . . . . . (6)


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10-2

Si el movimiento es estacionario, las derivadas locales son nulas:

==S

mi

S

ii dQvdQvF . . . . . . . . . . . . . . . . . (7)

==S S

mkjijkkjijki dQvxdQvxM . . . . . . . . . . . . . . . (8)

donde Qmes el caudal msico.

Es decir, que la fuerza es igual al saldo saliente (a travs de la superficie) en la unidad de

tiempo de la cantidad de movimiento. El momento es el saldo saliente (a travs de la superficie)

en la unidad de tiempo del momento cintico.

10.2 Umbral en la solera de un canal

Un umbral es un escaln en la solera. El canal tiene anchura infinita o, lo que es

equivalente, tiene anchura unidad sin rozamiento en las paredes verticales. El perfil longitudinal

aparece en la Fig. 10.1.

Fig. 10.1 Flujo al pasar un umbral en la solera

Supongamos conocida la velocidad uniforme de llegada v1y la altura y1. Buscamos la

velocidad supuesta uniforme de salida v2y la altura y2, as como la fuerza sobre el escaln. Elfluido es perfecto y no hay prdidas de carga. Las lneas de corriente son rectas y paralelas, tanto

en 1 como en 2, con lo que las distribuciones de presiones son hidrostticas en ambas secciones.

Utilizaremos Bernoulli y la continuidad para obtener velocidades medias y calados.

Estableciendo Bernoulli entre 1 y 2:

g2

vpz

g2

vpz

2

222

2

111 +

+=+

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (9)

1

2

v1

y1

y2

a

v2


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10-3

donde 11

1 yp

z =

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (10)

ayp

z 22

2 +=

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (11)

lo que reemplazado en (9) da:

g2

vay

g2

vy

2

22

2

11 ++=+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (12)

Por continuidad, el caudal debe ser constante:

2211 vyvy = . . . . . . . . . . . . . . . . . (13)

lo que permite sustituir y2en funcin de v2en la ecuacin (12) y as hallar v2; reemplazando en

(13) se obtiene y2.

Para obtener la fuerza, utilizaremos la conservacin de la cantidad de movimiento.

Consideramos la masa de fluido de la figura y las fuerzas horizontales que actan sobre ella: las

resultantes de las presiones (F1y F2) y la fuerza en el umbral desconocida (F) (Fig. 10.2). El

teorema de la cantidad de movimiento aplicado a la direccin horizontal, requiere que se

cumpla:

Fig. 10.2 Fuerzas aplicadas en el volumen de control

=S

m21 dQvFFF . . . . . . . . . . . . . . . . . (14)

En el contorno inferior y en la superficie libre, dQm= 0. En la superficie 1, v = v1=

cte y adems = mm QdQ . Usando razonamientos anlogos para la superficie 2, podemosescribir:

m2m121 QvQvFFF +=

F1

F

F2


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)vv(Q 12m = . . . . . . . . . . . . . . . . . (15)

Por otra parte, las resultantes de las presiones en 1 y 2 son:

2

11 y2

1

F = . . . . . . . . . . . . . . . . . (16)

2

22 y2

1F = . . . . . . . . . . . . . . . . . (17)

En consecuencia:

)vv(QFFF 21m21 +=

)vv(Q)yy(2

121m

2

2

2

1 += . . . . . . . . . . . . . . . . . (18)

En todo lo anterior, se ha supuesto que la velocidad en las secciones es uniforme. Si no

lo fuera, aparecera un coeficiente en el trmino cintico de Bernoulli. Tambin se hasupuesto que el fluido es perfecto. Si no lo fuera, habra una componente horizontal de fuerza

debido al rozamiento con la base adems de las prdidas de carga en el umbral.

10.3 Compatibilidad de los teoremas de conservacin de la energa y de la cantidad demovimiento

Es claro que, tanto la energa como la cantidad de movimiento, deben conservarse. Sin

embargo, el ingeniero se encuentra a menudo con que la idealizacin del problema propuesto

produce resultados distintos segn el teorema que se aplique. Veamos un ejemplo sencillo de la

mecnica elemental.

Dos partculas con masa m1 y m2, velocidades v1 y v2, respectivamente, chocan y, al

chocar, quedan unidas (Fig. 10.3). Cul es la velocidad de la partcula resultante?

Fig. 10.3 Choque y fusin de dos partculas

v1 v2 v

m1 m2 m1+ m2


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10-5

La conservacin de la cantidad de movimiento implica que dicha velocidad v debe

satisfacer:

v)mm(vmvm 212211 +=+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (19)

es decir:

21

2211

mm

vmvmv

+

+= . . . . . . . . . . . . . . . . . (20)

Sin embargo, la conservacin de energa requiere que se satisfaga una condicin

diferente, que es:

2

21

2

22

2

11 v)mm(2

1vm

2

1vm

2

1+=+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (21)

es decir:

21

2

22

2

11

mm

vmvmv

+

+= . . . . . . . . . . . . . . . . . (22)

resultado que claramente difiere de (20).

Lo que ocurre es que no toda la energa cintica inicial puede utilizarse para dar

velocidad al centro de masa de la partcula compuesta. La velocidad del centro de masa es enrealidad la que resulta en (20). La energa que falta puede ir a uno de dos sitios:

a) Si la ligadura entre las dos partculas es elstica, ambas partculas oscilarn con

respecto al centro de masa del conjunto; entonces la energa est almacenada en las

deformaciones de la ligadura y en la velocidad oscilatoria de las partculas respecto al

centro de masa.

b) Si la ligadura es plstica, se disipar la energa en forma de calor; es decir, se degrada

la energa a oscilaciones que ocurren a escala an menor que la de las dos partculas

individuales, se degrada hasta la escala molecular.

Si hubiramos calculado la velocidad por medio de (22), el resultado que obtendramos

sera errneo. El planteamiento presupone un final imposible tras el impacto.

La energa que se pierde es

2

21

221121

2

22

2

11mm

vmvm)mm(

2

1vm

2

1vm

2

1E

+

+++=


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22121

21 )vv(mm

mm

2

1

+=

que slo se anula en el caso trivial de que no haya impacto (una de las masas es nula o ambas

velocidades iniciales coinciden).

Lo mismo ocurre en hidrulica. El estudio experimental es el que ha proporcionado la

clave de qu teorema debe usarse en cada momento.

En general, si la friccin juega un papel poco importante, el movimiento es

aproximadamente irrotacional y pueden utilizarse tanto el teorema de la energa como el de la

cantidad de movimiento. El primero es ms cmodo para obtener velocidades medias; el

segundo, para obtener fuerzas. Esto incluye embocaduras, chorros, vertederos, labes y codos.

El estudio realizado en el apartado anterior sobre un umbral en la solera de un canal es un

ejemplo de estas aplicaciones: all utilizbamos la energa para calcular velocidades y calados,

mientras que obtenamos la fuerza a travs de la cantidad de movimiento.

Si la friccin es importante y localizada, es ms seguro utilizar la cantidad de

movimiento, a no ser que se conozca la prdida de carga independientemente. Si la friccin es

continua, es mejor aplicar la conservacin de energa, pues la pendiente motriz ha de saberse de

todos modos.

10.4 Ensanchamiento brusco de una tubera

Como ejemplo de aplicacin de lo anterior, veamos aqu que, en un ensanchamiento

brusco en una tubera (Fig. 10.4), la conservacin de la cantidad de movimiento exige una

prdida de carga localizada incluso en el caso de un fluido perfecto.

Fig. 10.4 Ensanchamiento brusco de una tubera

Supuestas las presiones y velocidades uniformes en las secciones 1 y 2 (lejos del

ensanchamiento), el teorema de la cantidad de movimiento implica:

)vv(Q)SS(pSpSp 12122211 =+ . . . . . . . . . . . . . . (23)

S2S1

p2

v2v1

p1

p

p


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Como el caudal es:

2211 SvSvQ == . . . . . . . . . . . . . . . . . (24)

puede escribirse:

1

2

12

2

2122211 SvSv)SS(pSpSp =+ . . . . . . . . . . . (25)

de donde

2

2

2

12

1

2

1

2

112 v

S

Sv

S

S1p

S

Spp +

+= . . . . . . . . . . . . (26)

La prdida de carga entre 1 y 2 es:

+

+

=

g2

vp

g2

vpH

2

22

2

11 . . . . . . . . . . . . . . . . . (27)

o lo que es igual:

2

vp

2

vpH

22

2

21

1 += . . . . . . . . . . . . . . . . . (28)

y sustituyendo en esta ecuacin el valor de p2trado de (26):

2

v

S

Sv

S

S1p

S

Sp

2

vpH

2

2

2

12

1

2

1

2

11

2

11 +

+= . . . . (29)

Expresando v2en funcin de v1, deducimos:

2

2

2

1

2

1

2

12

1

2

1

2

1

2

11

S

S

2

v

S

Sv

2

v

S

S1p

S

S1pH ++

=

2

2

121

2

11

S

S1

2

v

S

S1)pp(

+

= . . . . . . . . . . . . (30)

La prctica demuestra que p1es aproximadamente igual a p con lo que:

2

2

1

2

1

S

S1

g2

vH

. . . . . . . . . . . . . . . . . (31)


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Con carcter general, la expresin (31) puede formularse:

g2

vH

2

1= . . . . . . . . . . . . . . . . . (32)

donde es funcin de las caractersticas del ensanchamiento y, en primera aproximacin, vale:

2

2

1

S

S1

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (33)

Esto explica que, al igual que el resultado obtenido en la seccin anterior, no toda la

energa inicial puede conservarse; hay una parte, la que expresa la ecuacin (32), que debe

degradarse. En un fluido perfecto dicha energa quedara en remolinos internos, es decir,

oscilaciones del lquido respecto a su centro de masa, como ocurra en el caso de las partculas.En un fluido real, la viscosidad se encargara de convertir progresivamente estas oscilaciones en

calor. Por ltimo, puede observarse (31) que la prdida de energa slo se evitar en los casos

triviales: cuando no hay movimiento (v1= 0) y cuando no hay ensanchamiento (S1= S2)

10.5 Boquilla de Borda

La boquilla de Borda es un tubo de pared delgada entrante en un gran depsito de forma

que el lquido, separndose del borde interno, salga sin tocar las paredes del tubo (Fig. 10.5). La

seccin AB es pequea y est lejos de las paredes del depsito. La presin en A B es, enconsecuencia, hidrosttica.

Fig. 10.5 Boquilla de Borda y volumen de control

La presin en la zona paralela del chorro es la atmosfrica. Aplicamos el teorema de la

cantidad de movimiento a la zona rayada:

= dQvSh . . . . . . . . . . . . . . . . . (34)

Sc

S

A

B

A

B

h


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cSvvSh = . . . . . . . . . . . . . . . . . (35)

El coeficiente de contraccin de la seccin se define como el cociente de la seccin

contrada Sca la original S.

22

cc

v

hg

v

h

S

SC =

== . . . . . . . . . . . . . . . . . (36)

Pero el teorema de Bernoulli exige (frmula de Torricelli):

hg2v= . . . . . . . . . . . . . . . . . (37)

por tanto:

21Cc = . . . . . . . . . . . . . . . . . (38)

condicin que se cumple con independencia de la forma de la seccin de salida y que coincide

bastante bien con los resultados experimentales.

10.6 Reaccin de un chorro

Considrese un depsito de grandes dimensiones del que se escapa un chorro horizontal

de seccin pequea (Fig. 10.6). Para calcular la fuerza horizontal ejercida por el recipiente sobre

el fluido aplicamos el teorema de la cantidad de movimiento a toda la masa de fluido limitada

por la seccin Sc, donde el movimiento es ya paralelo y rectilneo:

Fig. 10.6 Chorro saliente del depsito y volumen de control

vQF = . . . . . . . . . . . . . . . . . (39)

Pero el caudal es:

vSQ c= . . . . . . . . . . . . . . . . . (40)

Sc


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y la velocidad de salida es:

hg2v= . . . . . . . . . . . . . . . . . (41)

Reemplazando:

vQF =

2

c vS=

hg2Sc=

cSh2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . (42)

La fuerza ejercida por el recipiente sobre el fluido tiene pues el sentido del chorro. La

fuerza ejercida por el fluido sobre el recipiente es igual y de signo contrario. Vale el doble del

peso de una columna de lquido de seccin Sc y altura la de la superficie libre sobre la cota del

orificio.

10.7 Reaccin sobre un codo

Supongamos dos secciones planas normales al eje en zonas rectas de una tubera antes y

despus de un codo (Fig. 10.7). Se suponen las presiones y velocidades uniformes en cadaseccin.

Fig.10.7 Fuerzas aplicadas sobre el volumen de control

_

F1

_

F2

S1S2

_

R

_

P

2n

1n

1v

2v


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Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento al volumen de control indicado en

la figura:

)vv(QFFPR 2121 +=+++ . . . . . . . . . . . . . . . . (43)

donde R es la fuerza ejercida por el codo sobre el fluido, P es el peso y 21 F,F son las fuerzas

ejercidas por la presiones en S1 y S2, respectivamente.

Llamando 21 nyn a las normales unitarias a S1y S2en el sentido de la velocidad, la

fuerza ejercida por el fluido sobre el codo es:

)vv(QFFPRR 2121 +++== . . . . . . . . . . . . . (44)

22221

211222111 nvSnvSnSpnSpP ++=

22

2

2211

2

11 nS)vp(nS)vp(P +++= . . . . . . . . . . . (45)

10.8 Lmite de Betz

El marco de subvenciones legislado ha ido convirtiendo a Espaa en un lder mundial

en generacin elctrica elica. Para 2007 Espaa ya era responsable del 20% de la generacin

elica mundial, aun representando slo el 0,66% de la poblacin y el 2,2% del PIB. Y en

2010 la potencia elica instalada en Espaa alcanzaba 20 GW, casi la mitad de la demanda

mxima (aunque su contribucin para suplirla fuera proporcionalmente muy inferior).

Veamos por tanto el llamado lmite de Betz, una consecuencia ms de la conservacin

de la cantidad de movimiento. Albert Betz demostr en 1919 que es imposible extraer ms

del 59,3% de la energa cintica del viento, con independencia del mtodo utilizado, sea con

aerogeneradores o con algn otro dispositivo.

Antes de ver la demostracin conviene entender el origen fsico de esa limitacin. La

clave es que, tras extraerle energa, el aire debe conservar an energa para irse. Si se la

quitramos toda, se quedara parado y no podra venir ms aire para aportar la suya; al otro

extremo, si no le quitramos nada, el aire nuevo llegara sin dificultad pero no extraeramos

ninguna energa. El lmite de Betz establece la mxima eficiencia posible entre esos dosextremos intiles.

Digamos que el aerogenerador o dispositivo intersecta un rea S. Consideremos el

tubo de flujo circunscrito a S y sean A1 y A2 secciones del tubo aguas arriba y abajo del

dispositivo donde el flujo es axial. Las secciones A1, S y A2se ven atravesadas por el mismo

caudal msico de aire; llamaremos v1, v y v2a las velocidades medias en esas tres secciones

(ver figura 10.8). Digamos que el dispositivo es ideal, no tiene prdidas ni experimenta

fuerzas de arrastre.


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