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CinemáticaTema 2
Ecuación del movimiento
La ecuación del movimiento nos da la posición en
la que se encuentra un móvil en función del
tiempo. Esto quiere decir, que dado un valor del
tiempo, podemos obtener la posición
Ejemplo 1.- La ecuación del movimiento de un móvil
viene dada por la función 𝑠 𝑡 = 2𝑡2 + 3𝑡. Calcula la
posición de la partícula en t=0 y en t=5 s.
Para calcular la posición en un determinado
instante de tiempo, lo único que tenemos que hacer
es sustituir el valor del tiempo en la ecuación:
𝑠 𝑡 = 0 = 2 · 02 +3 · 0 = 0 𝑚
𝑠 𝑡 = 5 = 2 · 52 +3 · 5 = 65 𝑚
Con lo que podemos decir, que en t=0 el móvil se
encuentra en el origen del sistema de referencia, y
en t=5 s el móvil se encuentra a 65 metros de origen
de coordenadas.
Velocidad media y velocidad instantánea
Definimos la velocidad media de un cuerpo como el
cociente entre el desplazamiento y el tiempo que se
ha empleado en dicho desplazamiento:
< 𝑣 >=𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Un móvil no necesariamente se mueve siempre a la
misma velocidad. Así, definimos la velocidad
instantánea como el valor de la velocidad que tiene
el móvil en cada instante de tiempo.
¡Ojo!. La velocidad es
vectorial
Representación gráfica de movementos
Representación de movementos.
(Continuación)
Representación gráfica de movimentos
Representación gráfica de movementos
Representación gráfica de movementos
(Continuación)
Representación gráfica de movementos
Representación gráfica de movementos
(Continuación)
Representación gráfica
Representación gráfica (Continuación)
Representación gráfica
Representación gráfica (Continuación)
El movimiento rectilíneo uniforme
El movimiento rectilíneo uniforme es un movimiento
que tiene lugar en línea recta y además la velocidad
de dicho movimiento se mantiene constante durante
el mismo. Es decir, la velocidad siempre tiene el
mismo valor.
Las ecuaciones de un cuerpo que se mueve con
movimiento rectilíneo uniforme son:
𝑣 = 𝑣0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑟 𝑡 = 𝑟0 ± 𝑣0 · 𝑡
Movimiento rectilíneo uniforme
Movemento rectilíneo uniforme
MRU
MRU
El movimiento rectilíneo uniforme
Ejemplo 2.- Un cuerpo situado inicialmente a 5 m de un árbol que tomaremos
como origen se mueve hacia la derecha alejándose del árbol a una velocidad
de 5 m/s. Plantea la ecuación del movimiento y calcula la posición del móvil a
los 2 s de haberse iniciado el movimiento.
Como la posición inicial nos dicen que está a 5 m del origen asignaremos los
siguientes valores:
𝑟0 = 5𝑚
𝑣0 = +2 𝑚/𝑠
𝑟 𝑡 = 5 + 2 · 𝑡
Para calcular la posición del móvil a los 2 segundos de haber iniciado el
movimiento, solamente tenemos que sustituir el tiempo por 2 s:
𝑟 𝑡 = 2 = 5 + 2 · 2 = 9 𝑚
El movimiento rectilíneo uniformeEjemplo 3.- Desde un punto A parte un coche hacia un punto B situado a
2500 m de A a 15 m/s. Al mismo tiempo, desde B sale una moto hacia A a una
velocidad de 20 m/s. Calcular las ecuaciones de ambos cuerpos y el punto de
encuentro, así como el tiempo que tardan en encontrarse:
La ecuación del cuerpo que sale de A y B será:
𝑟𝐴 = 15 · 𝑡
𝑟𝐵 = 2500 − 20𝑡
El punto de encuentro de ambos cuerpos se obtiene igualando las ecuaciones
del movimiento:
𝑟𝐴 = 𝑟𝐵 ⇒ 15 · 𝑡 = 2500 − 20𝑡
𝑡 = 71.43 𝑠
Por lo tanto, se encontrarán al cabo de 71.43 s. El punto de encuentro se
obtendrá sustituyendo el tiempo en cualquiera de las ecuaciones anteriores:
𝑟𝐴 = 15 · 𝑡 ⇒ 𝑟𝐴 = 15 · 71.43 = 1071.45 𝑚
Esto quiere decir que se encuentra a 1071.45 m de distancia de A
MRU
El movimiento rectilíneo uniformemente
aceleradoUn movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es aquel en el que la aceleración es
constante, por lo que la velocidad no será constante en este caso.
En lo que se refiere a las ecuaciones:
𝑣 = 𝑣0 ± 𝑎 · 𝑡
𝑟 = 𝑟0 + 𝑣0 · 𝑡 ± 1 2 · 𝑎 · 𝑡2
En estas ecuaciones utilizaremos los signos + para
movimiento de aceleración y – para los movimientos
de frenado.
El movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado
Ejemplo 4.- Un coche se mueve a una velocidad de 20 m/s, decelera a razón de 2 m/s2 hasta
que se para. Calcular el tiempo que tarda en pararse y el espacio que recorre hasta detenerse
Si el coche se para, la velocidad final es cero, con lo cual, las ecuaciones anteriores quedan:
0 = 20 − 2 · 𝑡 ⇒ 𝑡 = 10 𝑠
𝑟 = 0 + 20 · 10 − 1 2 · 2 · 102 ⇒ 𝑟 = 100 𝑚
Es decir, el coche tarda 10 s en detenerse y recorre 100 m hasta que se para del todo.
MRUA
El movimiento rectilíneo uniformemente
aceleradoEjemplo 5.- Un coche se mueve a una velocidad de 20 m/s, frena y se para utilizando 200 m para pararse del todo. Calcula el valor de
la aceleración y el tiempo que tarda en detenerse.
Las ecuaciones anteriores quedan:
0 = 20 − 𝑎 · 𝑡
200 = 20 · 𝑡 − 1 2 · 𝑎 · 𝑡2
Esto forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Despejando una de ellas de la primera ecuación:
𝑡 =20
𝑎
Ahora sustituimos en la segunda:
200 = 20 ·20
𝑎− 1 2 · 𝑎 ·
20
𝑎
2
𝑎 = 1 𝑚/𝑠
Una vez calculada la aceleración, podemos calcular el tiempo empleado en la parada:
𝑡 =20
𝑎= 20 𝑠
Caída libre y tiro vertical
La caída libre y el tiro vertical son movimientos que
tienen lugar en el eje vertical sometidos a la
aceleración de la gravedad.
Para el tiro vertical, tendremos en cuenta que
lanzamos un cuerpo hacia arriba desde una altura
h0 determinada a una velocidad inicial v0. Las
ecuaciones del movimiento son:
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔 · 𝑡
ℎ = ℎ0 + 𝑣0 · 𝑡 − 1 2 · 𝑔 · 𝑡2
Para la caída libre, tendremos en cuenta, que
dejamos caer un cuerpo (con velocidad inicial nula)
desde una altura h0. Las ecuaciones del movimiento
son:
𝑣 = −𝑔 · 𝑡
ℎ = ℎ0 − 1 2 · 𝑔 · 𝑡2
Caída libre y tiro vertical
Ejemplo 6.- Dejamos caer desde una altura de 25 m un cuerpo. Calcular el tiempo que tarda
en llegar al suelo.
Si llega al suelo, la altura fina será cero, por lo tanto las ecuaciones de la caída libre nos
quedará:
ℎ = ℎ0 − 1 2 · 𝑔 · 𝑡2
0 = 25 − 1 2 · 9.8 · 𝑡2 ⟹ 𝑡 = 2.26 𝑠
Caída libre y tiro verticalEjemplo 7.- Lanzamos desde una altura inicial de 5 m un cuerpo hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/s. Calcula la altura máxima que alcanza y el tiempo que tarda
en llegar al suelo.
Las ecuaciones del tiro vertical son:
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔 · 𝑡
ℎ = ℎ0 + 𝑣0 · 𝑡 − 1 2 · 𝑔 · 𝑡2
Sustituyendo los datos que nos da el problema las ecuaciones quedarán:
𝑣 = 12 − 9.8 · 𝑡
ℎ = 5 + 12 · 𝑡 − 4.9 · 𝑡2
Lo primero que nos pregunta el problema es la altura máxima. La altura máxima tiene lugar cuando la velocidad se anula.
12 − 9.8 · 𝑡 = 0 ⟹ 𝑡 = 1.22 𝑠
Este es el tiempo que tarda en llegar al punto de máxima altura. Para calcular el valor de esta altura, tendremos que sustituir este tiempo en la ecuación de la altura
ℎ = 5 + 12 · 1.22 − 4.9 · 1.222 = 12.35 𝑚
Posteriormente nos preguntan el tiempo que tarda en llegar al suelo. Para ello, tendremos en cuenta que cuando llega al suelo h=0. Sustituyendo en la ecuación
correspondiente:
0 = 5 + 12 · 𝑡 − 4.9 · 𝑡2
Que tiene como solución positiva (la solución negativa se deshecha por no tener significado físico):
𝑡 = 2.81 𝑠
Caída libre e tiro vertical
Caída libre e tiro vertical
Caída libre e tiro vertical
Caída libre e tiro vertical
Caída libre e tiro vertical
Caída libre e tiro vertical (Continuación)
Caída libre e tiro vertical
Movimiento circular uniforme
En el movimiento circular uniforme se define una
magnitud llamada velocidad angular:
𝜔 =á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑔𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Relacionado con esta magnitud tenemos el periodo
(T). Se define el periodo como el tiempo que tarda el
móvil en describir una vuelta entera. Se calcula
como:
𝑇 =2𝜋
𝜔
También se puede calcular la frecuencia. Se define
la frecuencia como el número de vueltas que da el
cuerpo en 1 segundo. La frecuencia es la inversa del
periodo y se puede calcular como:
𝑓 =𝜔
2𝜋
La unidad de frecuencia en el sistema internacional
es el Hercio (Hz)
También se puede calcular la velocidad lineal (v) de
un punto que está describiendo una trayectoria
circular como:
𝑣 = 𝜔 · 𝑅
Siendo R el radio de la circunferencia que está
describiendo el móvil
Movimiento circular uniforme
Ejemplo 8.- Una rueda de una bicicleta está
girando a razón de 50 rad/s. Calcula:
a) El periodo
b) La frecuencia
c) La velocidad lineal de un punto de la periferia
de la rueda si tiene un radio de 20 cm
Para calcular el periodo:
𝑇 =2𝜋
𝜔=2𝜋
50= 0.125 𝑠
La frecuencia es la inversa del periodo:
𝑓 =1
𝑇=
1
0.125= 8 𝐻𝑧
La velocidad lineal de un punto de la periferia de la
rueda la calcularemos como:
𝑣 = 𝜔 · 𝑅 = 50 · 0.2 = 10 𝑚/𝑠
Movemento circular uniforme
Movemento circular uniforme
Movemento circular uniforme
Movemento circular uniforme
