TEMA 2 · 2020. 5. 19. · SISTEMAS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS TEMA 2 ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS Página 3 de 43 2.1. Matrices. Una matriz es una disposición ordenada de entes

SISTEMAS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS TEMA 2

ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS Página 1 de 43

TEMA 2

ANÁLISIS DE

CIRCUITOS

ELÉCTRICOS



INDICE:

2.1. Matrices.

2.1.1 Suma de matrices.

2.1.2. Multiplicación de matrices.

2.2. Determinante de una matriz cuadrada. 2.2.1. Menor complementario y adjunto a un elemento. 2.2.2. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. 2.2.3. Propiedades de los determinantes.

2.3. Regla de Cramer. 2.4. Rama, nudo, malla y árbol de un circuito.

2.5. Análisis de un circuito aplicando las leyes de Kirchhoff y de Ohm.

2.6. Análisis de un circuito por el método de las corrientes de malla. 2.7. Análisis de un circuito por el método de las tensiones de los nudos.

Anexo 1: Wolframalpha.com.

Anexo 2: G.N.U. Octave.



2.1. Matrices.

Una matriz es una disposición ordenada de entes (números, funciones, etc.) en filas y columnas, encerradas

entre corchetes, y que obedece a ciertas reglas o álgebra.

𝐴 =

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13 …… 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 … . . . 𝑎2𝑛…… …… …… …… ……

…… …… …… …… ……

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 )

En la matriz (A) anterior, los números aij se llaman elementos de la misma. El elemento aij pertenece a la

fila i y a la columna j, por lo tanto esta matriz consta de m filas y n columnas y por eso decimos que es una matriz

de orden <m x n> y, la llamaremos <matriz A>, o <matriz A m x n>, o bien <matriz m x n [aij]>.

La condición necesaria y suficiente para que dos matrices sean iguales es que tengan idénticos sus

elementos correspondientes; es decir, una matriz ha de ser copia exacta de la otra para que sean iguales.

Algunos ejemplos de matrices pueden ser:

𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2 𝑥3 => 𝐴 = (1 −5 0

8 −9 3)

𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 𝑥 3 => 𝐵 = (

−5 10 96

2 −8 0

0 0 1

)

𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 4 𝑥 2 => 𝐶 = (

2 60 2

−10 102 7

)

𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 1 𝑥3 => 𝐷 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 1 + 𝑥2)

2.1.1. Suma de matrices.

Dos matrices del mismo orden se pueden sumar o restar, es decir, son conformes respecto a la suma

algebraica, si las matrices no son del mismo orden no hay una operación suma o resta entre ellas.

La suma de dos matrices de orden <m x n>, A = [aij] y B = [bij] es otra matriz C también de orden

<m x n> cuyos elementos son la suma de los correspondientes de A y B. Por lo tanto A + B =[aij + bij].

Por ejemplo:

𝐴 = (1 4 0

2 7 3) 𝑦 𝐵 = (

5 2 6

0 1 1)

𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = (1 + 5 4 + 2 0 + 6

2 + 0 7 + 1 3 + 1) = (

6 6 6

2 8 4)



𝐴 = (

2 3 6 −5 0

−3 0 0 8 −4

2 8 7 0 −1

) 𝑦 𝐵 = (

4 0 2 0 −1

2 2 2 1 −1

0 −8 −3 4 2

)

𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = (

2 + 4 3 + 0 6 + 2 −5 + 0 0 − 1

−3 + 2 0 + 2 0 + 2 8 + 1 −4 − 1

2 + 0 8 − 8 7 − 3 0 + 4 −1 + 2

) = (

6 3 8 −5 −1

−1 2 2 9 −5

2 0 4 4 1

)

La resta de dos matrices de orden <m x n>, A = [aij] y B = [bij] es otra matriz C también de orden

<m x n> cuyos elementos son la resta de los correspondientes de A y B. Por lo tanto A - B =[aij - bij].

Por ejemplo:

𝐴 = (1 4 0

2 7 3) 𝑦 𝐵 = (

5 2 6

0 1 1)

𝐶 = 𝐴 − 𝐵 = (1 − 5 4 − 2 0 − 6

2 − 0 7 − 1 3 − 1) = (

−4 2 −6

2 6 2)

𝐴 = (

2 3 6 −5 0

−3 0 0 8 −4

2 8 7 0 −1

) 𝑦 𝐵 = (

4 0 2 0 −1

2 2 2 1 −1

0 −8 −3 4 2

)

𝐶 = 𝐴 − 𝐵 = (

2 − 4 3 − 0 6 − 2 −5 − 0 0 + 1

−3 − 2 0 − 2 0 − 2 8 − 1 −4 + 1

2 − 0 8 + 8 7 + 3 0 − 4 −1 − 2

) = (

−2 3 4 −5 +1

−5 −2 −2 7 −3

2 16 10 −4 −3

)

2.1.2. Multiplicación de matrices.

Supongamos que tenemos una matriz A de orden <1 x m>:

𝐴 = (𝑎11 𝑎12 𝑎13 …… . 𝑎1𝑚)

Y tenemos otra matriz B de orden <m x 1>:

𝐵 =

(

𝑏11𝑏21𝑏31⋮𝑏𝑚1)



Si multiplicamos estas dos matrices obtendremos otra matriz C de orden <1 x 1>:

𝐶 = 𝐴𝑥𝐵 = (𝑎11 𝑎12 𝑎13 …… . 𝑎1𝑚)

(

𝑏11𝑏21𝑏31⋮𝑏𝑚1)

= (𝑎11 𝑏11 + 𝑎12 𝑏21 + 𝑎13 𝑏31 +⋯⋯+ 𝑎1𝑚 𝑏𝑚1)

Obsérvese que cada elemento de la fila se ha multiplicado por el correspondiente de la columna, sumando a

continuación los productos obtenidos. El producto de matrices se hace siempre multiplicando filas por columnas.

Por ejemplo:

𝐶 = 𝐴𝑥𝐵 = (1 3 5)(24−2) = (1(2) + 3(4) + 5(−2)) = 4

El producto de dos matrices A x B, siendo A = [aij] una matriz de orden <m x s> , y B =[ bij] una

matriz de orden <s x n>, es otra matriz C = [cij] de orden < m x n>, siendo:

𝒄𝒊𝒋 =∑𝒂𝒊𝒌 𝒃𝒌𝒋

𝒔

𝒌=𝟏

, 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … . ,𝒎 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … . , 𝒏

Por ejemplo:

𝐶 = 𝐴𝑥𝐵 = (

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22𝑎31 𝑎32

)(𝑏11 𝑏12𝑏21 𝑏22

) = (

𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22𝑎31𝑏11 + 𝑎32𝑏21 𝑎31𝑏12 + 𝑎32𝑏22

)

𝐶 = 𝐴𝑥𝐵 = (3 5 −82 1 64 −6 7

)(𝐼1𝐼2𝐼3

) = (3𝐼1 + 5𝐼2 − 8𝐼32𝐼1 + 1𝐼2 + 6𝐼34𝐼1 − 6𝐼2 + 7𝐼3

)

𝐶 = 𝐴𝑥𝐵 = (5 −34 2

) (8 −2 67 0 9

) = (5(8) + (−3)(7) 5(−2) + (−3)(0) 5(6) + (−3)(9)

4(8) + 2(7) 4(−2) + 2(0) 4(6) + 2(9))

𝐶 = (19 −10 346 −8 42

)

Estas matrices A y B que hemos multiplicado se llaman conformes respecto al producto, es decir, para que

exista el producto A x B es imprescindible que el número de filas de B se igual que el número de columnas de A.

por consiguiente, si A es una matriz de orden <3 x 2> y B es una matriz de orden <2 x 5> existe el producto A x B

dando como resultado una matriz C de orden <3 x 5>. El producto B x A no existe porque el número de columnas

de B no coincide con el número de filas de A.

Si A y B fueran matrices cuadradas de orden <3 x 3> existen ambos productos A x B y B x A, dando como

resultado otra matriz de orden <3 x 3>.



2.2. Determinante de una matriz cuadrada.

Consideremos una matriz cuadrada de orden <n> , (orden < n x n>):

𝐴 =

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13 …… 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 … . . . 𝑎2𝑛…… …… …… …… ……

…… …… …… …… ……

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 )

Con esta matriz vamos a formar todos los productos (a1j1 a2j2 a3j3 …… anjn), de manera que solo

exista en ellos un elemento de cada fila y otro de cada columna. Obsérvese que el orden del primer subíndice es,

por conveniencia 1, 2, 3, ….., n, razón por la cual el orden j1, j2, j3, ……, jn del segundo subíndice será una de

las n! permutaciones de los números 1, 2, 3, …., n. Además asociemos un signo (+) o (-) a cada producto, según

el número de inversiones de la permutación de los segundos subíndices sea par o impar, respectivamente.

En estas condiciones, el determinante de una matriz cuadrada A de orden <n>, que se escribe |A|, es

el polinomio que resulta de sumar los n! productos distintos, cada uno con su signo, que se puede formar con

los elementos de A.

El determinante de una matriz cuadrada de orden <n> se le llama determinante de orden <n>.

Por ejemplo, matriz cuadrada de orden 2:

𝑨 = (𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐

) 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝑨 = |𝑨| = [𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐

] = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏

Como vemos el determinante de una matriz cuadradas de orden 2 se resuelve haciendo el producto en cruz

de sus elementos, siendo un producto positivo u el otro negativo.

Por ejemplo, matriz cuadrada de orden 3:

𝑨 = (

𝐚𝟏𝟏 𝐚𝟏𝟐 𝐚𝟏𝟑

𝐚𝟐𝟏 𝐚𝟐𝟐 𝐚𝟐𝟑

𝐚𝟑𝟏 𝐚𝟑𝟐 𝐚𝟑𝟑

) 𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐝𝐞 𝐀 = |𝐀| = [

𝐚𝟏𝟏 𝐚𝟏𝟐 𝐚𝟏𝟑

𝐚𝟐𝟏 𝐚𝟐𝟐 𝐚𝟐𝟑

𝐚𝟑𝟏 𝐚𝟑𝟐 𝐚𝟑𝟑

]

|𝐀| = [

𝐚𝟏𝟏 𝐚𝟏𝟐 𝐚𝟏𝟑

𝐚𝟐𝟏 𝐚𝟐𝟐 𝐚𝟐𝟑

𝐚𝟑𝟏 𝐚𝟑𝟐 𝐚𝟑𝟑

] = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟑 + 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟏 + 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟏𝟑

−𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟏 − 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟏𝟏 − 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟑𝟑



El determinante de una matriz cuadrada de orden 3, se resuelve haciendo seis productos entre sus

elementos, tres de los cuales son positivos y tres son negativos.

Algún ejemplo numérico podrían ser los siguientes:

𝐴 = (2 3

1 −2) => |𝑨| = [

2 3

1 −2] = 2(−2) − 3(1) = −𝟕

𝐴 = (

1 2 3

−2 0 5

−1 2 6

) => |𝐴| = [

1 2 3

−2 0 5

−1 2 6

]

|𝑨| = 1(0)(6) + 2(5)(−1) + 2(−2)(3) − 3(0)(−1) − 2(5)(1) − 2(−2)(6) = −𝟖



2.2.1. Menor complementario y adjunto a un elemento.

El Menor complementario de un elemento aij de un determinante de orden <n>, es el determinante de

orden <n-1>, que se obtiene suprimiendo la fila y la columna a que pertenece dicho elemento. El menor

complementario de un elemento aij lo escribiremos de la forma |Mij|.

Por ejemplo:

|𝐀| = [

𝐚𝟏𝟏 𝐚𝟏𝟐 𝐚𝟏𝟑

𝐚𝟐𝟏 𝐚𝟐𝟐 𝐚𝟐𝟑

𝐚𝟑𝟏 𝐚𝟑𝟐 𝐚𝟑𝟑

]

Por ejemplo:

|𝐴| =

[ 1 2 32 0 20 2 3

−1 0 1−5 2 9−3 0 0

0 0 1−2 −1 −30 2 5

2 2 10 1 23 −2 −1]



El menor complementario con su signo, (−𝟏)𝒊+𝒋 |𝑴𝒊𝒋| , se le llama Adjunto del elemento aij y se

escribe 𝜟𝒊𝒋.

Por ejemplo:

|A| = [

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

]

𝛥31 = (−1)3+1 [

𝑎12 𝑎13

𝑎22 𝑎23] = [

𝑎12 𝑎13

𝑎22 𝑎23]

𝛥32 = (−1)3+2 [

𝑎11 𝑎13

𝑎21 𝑎23] = − [

𝑎11 𝑎13

𝑎21 𝑎23]

Por ejemplo:

|𝐴| = [

1 25 6

3 47 8

−1 2−5 −6

−2 −4−7 9

]

𝛥13 = (−1)1+3 [

5 6 8−1 2 −4−5 −6 9

]

𝜟𝟏𝟑 = 5(2)(9) + (−1)(−6)(8) + 6(−4)(−5) − 8(2)(−5) − 5(−6)(−4) − 6(−1)(9) = 𝟐𝟕𝟐

𝛥34 = (−1)3+4 [

1 2 35 6 7−5 −6 −7

]

𝜟𝟑𝟒 = −[1(6)(−7) + 3(5)(−6) + 2(7)(−5) − 3(6)(−5) − 7(−6)(1) − 5(2)(−7)] = −[0] = 𝟎

𝛥32 = (−1)3+2 [

1 3 45 7 8−5 −7 9

]

𝜟𝟑𝟐 = −[1(7)(9) + 5(−7)(4) + 3(8)(−5) − 4(7)(−5) − 8(−7)(1) − 5(3)(9)] = −[−136] = 𝟏𝟑𝟔



2.2.2. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.

El valor de un determinante |A| de orden <n> es la suma algebraica de los n productos que se

obtienen multiplicando cada elemento de una línea (fila o columna) cualquiera por su adjunto

correspondiente.

|A| = [

a11 𝐚𝟏𝟐 a13

a21 𝐚𝟐𝟐 a23

a31 𝐚𝟑𝟐 a33

] = 𝑎12 𝛥12 + 𝑎22 𝛥22 + 𝑎32 𝛥32

|𝐴| = −𝑎12 [𝑎21 𝑎23

𝑎31 𝑎33] + 𝑎22 [

𝑎11 𝑎13

𝑎31 𝑎33] − 𝑎32 [

𝑎11 𝑎13

𝑎21 𝑎23]

|A| = [

𝐚𝟏𝟏 𝐚𝟏𝟐 𝐚𝟏𝟑

a21 a22 a23

a31 a32 a33

] = 𝑎11 𝛥11 + 𝑎12 𝛥12 + 𝑎13 𝛥13

|𝐴| = 𝑎11 [𝑎22 𝑎23

𝑎32 𝑎33] − 𝑎12 [

𝑎21 𝑎23

𝑎31 𝑎33] + 𝑎13 [

𝑎21 𝑎22

𝑎31 𝑎33]

Por ejemplo:

[

1 4 7

2 1 −6

𝟑 𝟓 𝟎

] = 3 [4 7

1 −6] − 5 [

1 7

2 −6] + 0 [

1 4

2 1] = 3[4(−6) − 7(1)] − 5[1(−6) − 2(7)] + 0 = 𝟕

[

3 𝟓 8

1 𝟎 2

4 𝟎 3

] = −5 [1 2

4 3] + 0 [

3 8

4 3] − 0 [

3 8

1 2] = −5[1(3) − 2(4)] = 𝟐𝟓

[

4 7 −2

𝟎 𝟓 𝟎

8 2 −3

] = −0 [7 −2

2 −3] + 5 [

4 −2

8 −3] − 0 [

4 7

8 2] = 5[4(−3) − 8(−2)] = 𝟐𝟎

[

𝟐 0𝟎 1

0 −40 3

𝟎 2𝟏 0

−1 02 1

] = 2 [1 0 32 −1 00 2 1

] − 0 [0 0 −42 −1 00 2 1

] + 0 [0 0 −41 0 30 2 1

] − 1 [0 0 41 0 32 −1 0

] =

= 2[1(−1)1 + 2(2)(3)] − 1[1(−1)(4)] = 2[11] − 1[−4] = 𝟐𝟔



2.2.3. Propiedades de los determinantes.

A continuación daremos una serie de propiedades que cumplen los determinantes, y que vienen bien para

resolver determinantes, aplicando algunas de ellas.

Propiedad nº 1: Si un determinante tiene dos líneas (filas o columnas) iguales el determinante es nulo.

[𝟏 𝟒 𝟕4 −2 0𝟏 𝟒 𝟕

] = 0 [𝟏 8 𝟏−𝟒 2 −𝟒𝟔 1 𝟔

] = 0

Propiedad nº 2: Si multiplicamos los elementos de una línea (fila o columna) por un número K, el determinante

queda multiplicado por K.

2 [3 −4 2−1 5 02 6 7

] = [𝟔 −𝟖 𝟒−1 5 02 6 7

] = [𝟔 −4 2−𝟐 5 0𝟒 6 7

] = [3 −4 𝟒−1 5 𝟎2 6 𝟏𝟒

] = 𝟗𝟎

Propiedad nº 3: Permutando dos líneas de un determinante, éste cambia de signo.

[1 4 7−2 5 83 −6 9

] = − [𝟒 𝟏 7𝟓 −𝟐 8−𝟔 𝟑 9

] = − [𝟑 −𝟔 𝟗−2 5 8𝟏 𝟒 𝟕

] = [3 −6 9𝟏 𝟒 𝟕−𝟐 𝟓 𝟖

] = 𝟐𝟒𝟎

Propiedad nº 4: Si cada elemento de una línea es suma de dos o más números, el determinante se puede expresar

mediante la suma de dos o más determinantes.

[3 −7 52 4 −51 6 8

] = [3 −𝟗 + 𝟐 52 𝟒 + 𝟎 −51 𝟖 − 𝟐 8

] = [3 −𝟗 52 𝟒 −51 𝟖 8

] + [3 𝟐 52 𝟎 −51 −𝟐 8

]

|𝐴| = [3 −7 52 4 −51 6 8

] = 3(4)(8) + 6(2)(5) + 1(−7)(−5) − 5(4)(1) − 6(−5)(3) − 2(−7)(8) = 373

|𝐵| = [3 −9 52 4 −51 8 8

] = 3(4)(8) + 2(8)(5) + 1(−9)(−5) − 5(4)(1) − 8(−5)3 − 2(−9)(8) = 465

|𝐶| = [3 2 52 0 −51 −2 8

] = 3(0)(8) + 2(5)(−2) + 2(−5)(1) − 5(0)(1) − 3(−2)(−5) − 2(2)(8) = −92

|𝐴| = |𝐵| + |𝐶| = 465 − 92 = 373

Propiedad nº 5: Si a los elementos de una línea (fila o columna) se le añaden los de otra línea(también fila o

columna respectivamente) multiplicados por una constante K, el valor del determinante no varía. Es decir podemos

multiplicar o dividir cualquier fila o columna por una constante, y si sumamos esta fila o columna multiplicada o

dividida por la constante, a otra fila o columna respectivamente, el valor del determinante no varía.



|𝐴| = [1 9 −34 6 −2−3 1 5

] = [

1 9 + 3(−3) −34 6 + 3(−2) −2−3 1 + 3(5) 5

] = [1 𝟎 −34 𝟎 −2−3 𝟏𝟔 5

]

Hemos multiplicado la tercera columna por 3 y se la hemos sumado a la segunda columna, consiguiendo

dos ceros en el determinante. Si desarrollamos el determinante por los elementos de la línea roja marcada

tendremos:

|𝐴| = −16 [1 −34 −2

] = −16[1(−2) − 4(−3)] = −16[10] = −𝟏𝟔𝟎

Esta propiedad es muy útil para resolver determinantes de orden mayor que 3, buscando hacer ceros en

alguna fila o columna del determinante para después desarrollar el determinante por los elementos de una línea de

forma más sencilla. Por ejemplo:

|𝐴| = [

2 1−2 1

−1 13 −2

1 −2−3 1

1 12 −1

]

Multiplicamos la columna 3 por 2 y se la sumamos a la columna 1.

|𝐴| = [

0 14 1

−1 13 −2

3 −21 1

1 12 −1

]

Sumamos la columna 3 a la columna 2.

|𝐴| = [

0 04 4

−1 13 −2

3 −11 3

1 12 −1

]

Sumamos la columna 3 a la columna 4.

|𝐴| = [

𝟎 𝟎4 4

−𝟏 𝟎3 1

3 −11 3

1 22 1

]

Ahora aplicamos el desarrollo del determinante por los elementos de la línea roja marcada y tendremos:

|𝐴| = 0 [4 3 1−1 1 23 2 1

] − 0 [4 3 13 1 21 2 1

] − 1 [4 4 13 −1 21 3 1

] − 0 [4 4 33 −1 11 3 2

]

|𝐴| = −1[4(−1)(1) + 3(3)(1) + 4(2)(1) − 1(−1)(1) − 2(3)(4) − 3(4)(1) = −1[−22] = 𝟐𝟐



2.3. Regla de Cramer.

La regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales, utilizando determinantes,

esta es una forma muy metódica de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Supongamos que tenemos un sistema

de ecuaciones lineales con 3 incógnitas x, y, z.

𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎13 𝑧 = 𝑘1𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 + 𝑎23 𝑧 = 𝑘2𝑎31 𝑥 + 𝑎32 𝑦 + 𝑎33 𝑧 = 𝑘3

}

Los términos aij son los coeficientes que multiplican a las incógnitas y los términos ki son los que

llamamos términos independientes.

El sistema de ecuaciones se puede escribir de forma matricial, como un producto de matrices, donde (A)

seria la matriz de los coeficientes, (X) la matriz de las incógnitas y (B) la matriz de los términos independientes, de

la siguiente forma:

(𝐴)(𝑋) = (𝐵)

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

)(𝑥𝑦𝑧) = (

𝑘1𝑘2𝑘3

)

Vamos a ver cómo podemos despejar la primera incógnita (x) utilizando el cálculo de determinantes. Como

la matriz (A) es una matriz cuadrada, este tiene un determinante, que será:

|𝐴| = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Si multiplicamos cada elemento de la primera columna por (x), el valor del determinante quedaría

multiplicado por (x), esto sería así aplicando la propiedad nº 2 vista anteriormente.

𝑥|𝐴| = [

𝑎11 𝑥 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑥 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑥 𝑎32 𝑎33

]

Si multiplicamos la segunda columna por (y) y se la sumamos a la primera columna, el determinante no

varía, esto se puede hacer aplicando la propiedad nº 5 vista anteriormente.

𝑥|𝐴| = [

𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑥 + 𝑎32 𝑦 𝑎32 𝑎33

]

Si multiplicamos la tercera columna por (z) y se la sumamos a la primera columna, el determinante no

varía, en aplicación de la propiedad nº 5.

𝑥|𝐴| = [

𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎13 𝑧 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 + 𝑎23 𝑧 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑥 + 𝑎32 𝑦 + 𝑎33 𝑧 𝑎32 𝑎33

] = [

𝑘1 𝑎12 𝑎13𝑘2 𝑎22 𝑎23𝑘3 𝑎32 𝑎33

]



Por lo tanto la incógnita (x) la podemos averiguar de la siguiente forma:

𝑥 =𝑥 |𝐴|

|𝐴|=

[

𝑘1 𝑎12 𝑎13𝑘2 𝑎22 𝑎23𝑘3 𝑎32 𝑎33

]

[

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Si hacemos el mismo proceso con la segunda columna, es decir, multiplicamos la segunda columna por (y),

el determinante queda ahora multiplicado por (y).

𝑦|𝐴| = [

𝑎11 𝑎12 𝑦 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑦 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑦 𝑎33

]

Luego multiplicamos la primera columna por (x) y la tercera columna por (z) y se las sumamos a la

segunda columna, el determinante no varía.

𝑦|𝐴| = [

𝑎11 𝑎12 𝑦 + 𝑎11 𝑥 + 𝑎13 𝑧 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑦 + 𝑎21 𝑥 + 𝑎23 𝑧 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑦 + 𝑎31 𝑥 + 𝑎33 𝑧 𝑎33

] = [

𝑎11 𝑘1 𝑎13𝑎21 𝑘2 𝑎23𝑎31 𝑘3 𝑎33

]

Por lo tanto la incógnita (y) la podemos averiguar de la siguiente forma:

𝑦 =𝑦 |𝐴|

|𝐴|=

[

𝑎11 𝑘1 𝑎13𝑎21 𝑘2 𝑎23𝑎31 𝑘3 𝑎33

]

[

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Si hacemos el mismo proceso con la tercera columna, es decir, multiplicamos la tercera columna por (z),

con lo cual el determinante queda multiplicado por (z), seguidamente multiplicamos la primera columna por (x) y

la segunda por (y), y se las sumamos a la tercera columna nos quedaría el siguiente determinante:

𝑧|𝐴| = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑧 + 𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑧 + 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑧 + 𝑎31 𝑥 + 𝑎32 𝑦

] = [

𝑎11 𝑎12 𝑘1𝑎21 𝑎22 𝑘2𝑎31 𝑎32 𝑘3

]

Por lo tanto la incógnita (z) la podemos averiguar de la siguiente forma:

𝑧 =𝑧 |𝐴|

|𝐴|=

[

𝑎11 𝑎12 𝑘1𝑎21 𝑎22 𝑘2𝑎31 𝑎32 𝑘3

]

[

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

]



Por lo tanto si tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas como el siguiente:

𝒂𝟏𝟏 𝒙 + 𝒂𝟏𝟐 𝒚 + 𝒂𝟏𝟑 𝒛 = 𝒌𝟏𝒂𝟐𝟏 𝒙 + 𝒂𝟐𝟐 𝒚 + 𝒂𝟐𝟑 𝒛 = 𝒌𝟐𝒂𝟑𝟏 𝒙 + 𝒂𝟑𝟐 𝒚 + 𝒂𝟑𝟑 𝒛 = 𝒌𝟑

}

Las incógnitas se pueden averiguar aplicando el cálculo de determinantes de la siguiente forma:

𝑥 =𝒙 |𝑨|

|𝑨|=

[

𝒌𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑𝒌𝟐 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑𝒌𝟑 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑

]

[

𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑

]

𝒚 =𝒚 |𝑨|

|𝑨|=

[

𝒂𝟏𝟏 𝒌𝟏 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟏 𝒌𝟐 𝒂𝟐𝟑𝒂𝟑𝟏 𝒌𝟑 𝒂𝟑𝟑

]

[

𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑

]

𝒛 =𝒛 |𝑨|

|𝑨|=

[

𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒌𝟏𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒌𝟐𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒌𝟑

]

[

𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑

]

Este método de resolución se llama Regla de Cramer y se puede aplicar a cualquier sistema de (n)

ecuaciones lineales con (n) incógnitas siempre que el determinante de los coeficientes sea distinto de cero, porque

de lo contrario el sistema no tendría solución.

Vamos a hacer un ejemplo numérico de aplicación al siguiente sistema de ecuaciones:

3 𝑥 + 2 𝑦 − 5 𝑧 = 21𝑥 − 4 𝑦 + 2𝑧 = −172 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4

}

El sistema de ecuaciones expresado en forma matricial quedaría de la siguiente forma:

(3 2 −51 −4 22 1 −1

)(𝑥𝑦𝑧) = (

21−174)

El determinante de la matriz de los coeficientes será:

|𝐴| = [3 2 −51 −4 22 1 −1

] = 3(−4)(−1) + 1(1)(−5) + 2(2)(2) − 2(−4)(−5) − 1(2)(3) − 1(2)(−1) = −𝟐𝟗

𝑥 =

[𝟐𝟏 2 −5−𝟏𝟕 −4 2𝟒 1 −1

]

[3 2 −51 −4 22 1 −1

]

=21(−4)(−1) + 1(−5)(−17) + 2(2)(4) − 4(−4)(−5) − 1(2)(21) − (−1)(2)(−17)

−29

𝒙 =29

−29= −𝟏

𝑦 =

[3 𝟐𝟏 −51 −𝟏𝟕 22 𝟒 −1

]

[3 2 −51 −4 22 1 −1

]

=3(−17)(−1) + 4(1)(−5) + 2(2)(21) − 2(−17)(−5) − 4(2)(3) − 1(21)(−1)

−29

𝒚 =−58

−29= 𝟐



𝑧 =

[3 2 𝟐𝟏1 −4 −𝟏𝟕2 1 𝟒

]

[3 2 −51 −4 22 1 −1

]

=3(−4)(4) + 1(1)(21) + 2(−17)(2) − 2(−4)(21) − 1(−17)(3) − 1(2)(4)

−29

𝒛 =116

−29= −𝟒

2.4. Rama, nudo, malla y árbol de un circuito.

Antes de empezar a estudiar los diferentes métodos de análisis de los circuitos eléctricos, tenemos que dar

una serie de definiciones sobre las partes de los circuitos para que cuando hablemos de ellas sepamos a que nos

estamos refiriendo.

Supongamos que tenemos un circuito eléctrico cualquiera como el siguiente:

NUDO: Es un punto del circuito común a dos o más elementos del mismo.

En este circuito tenemos 7 nudos diferentes que son los indicados en el siguiente esquema:



Si en un nudo se unen tres o más elementos, a tal nudo le llamaremos NUDO PRINCIPAL.

En este circuito tenemos 5 nudos principales que son los indicados en el siguiente esquema:

RAMA: Es la parte del circuito que está conectada entre dos nudos principales cualesquiera.

En este circuito tenemos 8 ramas diferentes que son las indicadas en el siguiente esquema:

Un circuito tendrá tantas corrientes o intensidades diferentes como ramas tenga, es decir en este circuito

circularán 8 intensidades diferentes, una por cada rama del circuito.

MALLA: Es cualquier recorrido cerrado que podamos realizar sobre el circuito.

En un circuito podemos tener tantas mallas diferentes como recorridos cerrados sobre sí mismo podamos

hacer sobre él. A continuación tenemos indicadas algunas de las mallas posibles sobre el circuito.



Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a cualquiera de las mallas marcadas, sabemos que la suma

algebraica (cada una con su signo correspondiente) de todas las tensiones de la malla siempre nos dará cero.

ARBOL: Es el conjunto de ramas que unen todos los nudos principales del circuito.

En un circuito podemos tener también diferentes árboles en función del conjunto de ramas que se cojan

para unir todos los nudos principales. A continuación se indican algunos de los posibles árboles del circuito.



2.5. Análisis de un circuito aplicando las leyes de Kirchhoff y de Ohm.

En el Tema 1 hemos estudiado la forma de analizar circuitos en corriente alterna, es decir determinar sus

corrientes, sus tensiones y sus potencias, pero con dos limitaciones importantes, que son:

1º)- Que en el circuito solamente haya un generador de tensión.

2º)- Que las asociaciones de los elementos eléctricos (Resistencias, bobinas y condensadores) solamente

estén en serie o en paralelo. Ya veremos más adelante que se pueden asociar también en estrella y en

triángulo.

En este apartado y los siguientes de este tema veremos cómo analizar los circuitos eléctricos sin estas dos

limitaciones, es decir, que:

- El circuito puede tener varios generadores.

- Los elementos eléctricos pueden estar asociados en serie, paralelo, estrella o triángulo.

Sabemos que las fuentes de tensión en un circuito eléctrico originan las corrientes que hay por él, y

sabemos también que en un circuito hay tantas corrientes diferentes como ramas tenga, a su vez, estas intensidades

dan lugar a las caídas de tensión en los componentes o elementos de las mismas. Resolver un circuito consiste en

hallar estas intensidades que circulan por cada de rama, con su sentido de circulación, y determinar luego

las caídas de tensión que se produce en cada uno de los componentes del circuito. Una vez se tenga la

intensidad y la tensión en cada componente, se pueden hallar las potencias que consume cada componente y

posteriormente las potencias totales del circuito o su triángulo de potencias.

En este apartado analizaremos los circuitos eléctricos, planteando como incógnitas las corrientes de rama

del circuito. Esto lo vamos a hacer planteando un sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas sean las

corrientes de rama, y este sistema de ecuaciones lo obtendremos aplicando las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm.

Para entender el proceso a seguir vamos a aplicarlo a un ejemplo.

Supongamos que tenemos que analizar el siguiente circuito eléctrico:

En este circuito tenemos: 2 Nudos Principales y 3 Ramas, por lo tanto tenemos 3 corrientes de rama que

averiguar, es decir tenemos que obtener un sistema de ecuaciones lineales, de tres ecuaciones cuyas tres incógnitas

sean las corrientes de rama.

El sistema de ecuaciones lo obtendremos aplicando las leyes de Kirchhoff y de Ohm al circuito, y los pasos

a seguir son los siguientes:



1º)- Marcamos las corrientes de rama con el sentido de circulación que nos dé la gana. Como no

sabemos el sentido de circulación que van a tener las corriente de rama, marcamos uno cualquiera, y al resolver el

sistema, si hemos acertado en el sentido, la corriente nos dará positiva y si va en sentido contrario nos dará

negativa, esto sucedería si el circuito que analizamos es de corriente continua, si es de corriente alterna el resultado

nos da con un desfase de 180º.

2º)- Aplicamos la 1º ley de Kirchhoff a todos los nudos principales menos a uno. De aquí ya obtenemos

las primeras ecuaciones entre las corrientes de rama.

𝑁𝑢𝑑𝑜 1 => 𝐼1⃗⃗ ⃗ = 𝐼2⃗⃗ ⃗ + 𝐼3⃗⃗ ⃗

En este caso tendremos una sola ecuación que la obtenemos del nudo 1.

No podemos utilizar todas las ecuaciones de los nudos, porque no sería linealmente independientes y el

sistema de ecuaciones no tendría solución. Para que las ecuaciones obtenidas sean linealmente independientes,

tenemos que dejar un nudo cualquiera del circuito sin utilizar.

3º)- Con los sentidos de las corrientes de rama indicados, marcamos las tensiones en cada uno de los

componentes del circuito. Sabemos que aplicando la ley de Ohm, por donde entra la corriente se produce un

potencial positivo, y por donde sale la corriente se produce un potencial negativo. En los generadores el potencial

no depende del sentido de circulación de la corriente, el potencial de la tensión lo determinan los propios

generadores.

4º)- Aplicamos la 2º ley de Kirchhoff a tantas mallas del circuito como sean necesarias, hasta obtener

las ecuaciones necesarias para resolver el sistema. Vamos a plantear cada una de las tres mallas posibles del

circuito.



Malla 1:

Para aplicar la 2º ley de Kirchhoff a una malla podemos empezar en cualquier punto de la malla y girar en

el sentido que queramos, la ecuación obtenida será siempre la misma, por ejemplo:

Empezamos en el Nudo 1 y giramos en el sentido de las agujas del reloj:

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 1 => 𝑉𝐶2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0

Empezamos en el Nudo 1 y giramos en sentido contrario a las agujas del reloj:

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 1 => −𝑉𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑉𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝐶2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0

Empezamos en el positivo del generador 1 y giramos en el sentido de las agujas del reloj:

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 1 => 𝑉𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑉𝐶2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0

Como vemos obtenemos siempre la misma ecuación, con los términos cambiados de sitio, por lo tanto

cuando apliquemos la 2º ley de Kirchhoff a una malla, podemos empezar a plantearla desde cualquier punto

de la malla y girando en cualquier sentido, la ecuación que obtenemos es siempre la misma.

Malla 2:


𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 2 => 𝑉𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝐶2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0



Malla 3:


𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 3 => −𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑉𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0

Por lo tanto de las mallas obtenemos 3 ecuaciones de las mallas que son:

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 1 => 𝑉𝐶2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 2 => 𝑉𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝐶2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 3 => −𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑉𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0

}

Como sabemos, para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución las ecuaciones tienen que ser

independientes entre sí, es decir que ninguna ecuación se puede obtener como combinación de las demás. Si

observamos las tres ecuaciones de las mallas, la ecuación de la Malla 3 se puede obtener sumado la ecuación de la

Malla1 y la Malla 2, con lo cual estas ecuaciones no son linealmente independientes, por lo tanto solamente

podemos utilizar dos de ellas para plantear el sistema de ecuaciones.

Para que las ecuaciones de las mallas sean independientes, tenemos que coger los recorridos más cortos que

podamos realizar en el circuito que son en este caso la Malla 1 y la Malla 2. Es decir: buscaremos las ecuaciones

que nos faltan para resolver el sistema de ecuaciones, cogiendo las mallas más cortas o pequeñas que

podamos recorrer sobre el circuito.

5º)- Plantear el sistema de ecuaciones con las ecuaciones que sean linealmente independientes y

resolverlo. Nuestro sistema de ecuaciones estará constituido por la ecuación del Nudo 1, con las ecuaciones de las

Mallas 1 y 2, quedando de la siguiente forma:

𝑁𝑢𝑑𝑜 1 => 𝐼1⃗⃗ ⃗ = 𝐼2⃗⃗ ⃗ + 𝐼3⃗⃗ ⃗

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 1 => 𝑉𝐶2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 2 => 𝑉𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝐶2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0

} =>

𝐼1⃗⃗ ⃗ − 𝐼2⃗⃗ ⃗ − 𝐼3⃗⃗ ⃗ = 0

𝑉𝐶2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0

𝑉𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉𝐶2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0

}

Aplicando la ley de Ohm a cada una de las tensiones tendremos:

𝐼1⃗⃗ ⃗ − 𝐼2⃗⃗ ⃗ − 𝐼3⃗⃗ ⃗ = 0

(−3𝑗)𝐼3⃗⃗ ⃗ − 200 |20º + 5 𝐼1⃗⃗ ⃗ + (10𝑗)𝐼1⃗⃗ ⃗ = 0

(−5𝑗)𝐼2⃗⃗ ⃗ + 10𝐼2⃗⃗ ⃗ − 100 |0º − (−3𝑗)𝐼3⃗⃗ ⃗ = 0

} =>

𝐼1⃗⃗ ⃗ − 𝐼2⃗⃗ ⃗ − 𝐼3⃗⃗ ⃗ = 0

(5 + 10𝑗)𝐼1⃗⃗ ⃗ + (−3𝑗)𝐼3⃗⃗ ⃗ = 200 |20º

(10 − 5𝑗)𝐼2⃗⃗ ⃗ + (3𝑗)𝐼3⃗⃗ ⃗ = 100 |0º

}



Expresamos el sistema de ecuaciones en forma matricial, donde obtendremos la matriz de los coeficientes,

que en este caso son números complejos.

(

1 −1 −1(5 + 10𝑗) 0 −3𝑗

0 (10 − 5𝑗) 3𝑗)(

𝐼1⃗⃗ ⃗

𝐼2⃗⃗ ⃗

𝐼3⃗⃗ ⃗

) = (

0200 |20º

100 |0º)

Aplicamos la regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones.

𝛥 = [

1 −1 −1(5 + 10𝑗) 0 −3𝑗

0 (10 − 5𝑗) 3𝑗] = 118,84 |−165,37º

𝑰𝟏⃗⃗⃗⃗ =

[

0 −1 −1200 |20º 0 −3𝑗

100 |0º (10 − 5𝑗) 3𝑗]

𝛥= 2672,25 |155,23º

118,84 |−165,37º= 𝟐𝟐, 𝟒𝟖 |−𝟑𝟗, 𝟒𝟎º 𝑨

𝑰𝟐⃗⃗⃗⃗ =

[

1 0 −1(5 + 10𝑗) 200 |20º −3𝑗

0 100 |0º 3𝑗]

𝛥= 718,24 |−169,06º

118,84 |−165,37º= 𝟔, 𝟎𝟒 |−𝟑, 𝟔𝟗º 𝑨

𝑰𝟑⃗⃗⃗⃗ =

[

1 −1 0(5 + 10𝑗) 0 200 |20º

0 (10 − 5𝑗) 100 |0º]

𝛥=

213,54 |143,89º

118,84 |−165,37º= 𝟏𝟕, 𝟗𝟐 |−𝟓𝟎, 𝟕𝟒º 𝑨

Una vez tenemos las corrientes de cada rama ya podemos averiguar la tensión en cada componente del

circuito.

𝑽𝑹𝟏⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐼1⃗⃗ ⃗ = 5 22,48 |−39,40º = 𝟏𝟏𝟐, 𝟒 |−𝟑𝟗, 𝟒𝟎º 𝑽

𝑽𝑳𝟏⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑋𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐼1⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 10 |90º 22,48 |−39,40º = 𝟐𝟐𝟒, 𝟖 |𝟓𝟎, 𝟔𝟎º 𝑽

𝑽𝑪𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑋𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝐼2⃗⃗ ⃗ = 5 |−90º 6,04 |−3,69º = 𝟑𝟎, 𝟐 |−𝟗𝟑, 𝟔𝟗º 𝑽

𝑽𝑹𝟐⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐼2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 10 6,04 |−3,69º = 𝟔𝟎, 𝟒 |−𝟑, 𝟔𝟗º 𝑽

𝑽𝑪𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑋𝐶2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝐼3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 |−90º 17,92 |−50,74º = 𝟓𝟑, 𝟕𝟔 |−𝟏𝟒𝟎, 𝟕𝟒º 𝑽

Una vez tenemos las tensiones de cada componente podemos averiguar las potencias de cada uno.

𝑷𝑹𝟏 = 𝑉𝑅1 𝐼1 = 112,4 22,48 = 𝟐𝟓𝟐𝟔, 𝟕𝟓 𝑾

𝑷𝑹𝟐 = 𝑉𝑅2 𝐼2 = 60,4 6,04 = 𝟑𝟔𝟒, 𝟖𝟏 𝑾

𝑸𝑳𝟏 = 𝑉𝐿1 𝐼1 = 224,8 22,48 = 𝟓𝟎𝟓𝟑, 𝟓𝟎 𝑽𝑨𝑟

𝑸𝑪𝟏 = 𝑉𝐶1 𝐼2 = 30,2 6,04 = −𝟏𝟖𝟐, 𝟒𝟏 𝑽𝑨𝒓

𝑸𝑪𝟐 = 𝑉𝐶2 𝐼3 = 53,76 17,92 = −𝟗𝟔𝟑, 𝟑𝟖 𝑽𝑨𝑟



Ahora podemos obtener el triángulo de potencias total del circuito.

𝑷𝒕 = 𝑃𝑅1 + 𝑃𝑅2 = 2526,75 + 364,81 = 𝟐𝟖𝟗𝟏, 𝟓𝟔 𝑾

𝑸𝒕 = 𝑄𝐿1 + 𝑄𝐶1 + 𝑄𝐶2 = 5053,5 − 182,41 − 963,38 = 𝟑𝟗𝟎𝟕, 𝟕𝟏 𝑽𝑨𝒓

𝑺𝒕 = √(𝑃𝑡2 +𝑄𝑡2) = √(2891,562 + 3907,712) = 𝟒𝟖𝟔𝟏, 𝟐𝟎 𝑽𝑨

𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑃𝑡

𝑆𝑡=2891,56

4861,20= 0,594

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑜 cos(0,594) = 53,50º

Para comprobar que el circuito está bien resuelto, vamos a calcular las potencias que entregan los dos

generadores al circuito, y la potencia que entregan tiene que ser la misma que la que consumen los componentes del

circuito. Vamos a calcular estas potencias utilizando la potencia compleja.

𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 1 => 𝑆1⃗⃗⃗⃗ = 𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝐼∗1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 200 |20º 22,48 |39,40º = 4496 |59,40º = (2288,65 + 3869,89𝑗)𝑉𝐴

𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 2 => 𝑆2⃗⃗⃗⃗ = 𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝐼∗2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 100 |0º 6,04 | 3,69º = 604 | 3,69º = (602,74 + 38,87𝑗)𝑉𝐴

Si sumamos las dos potencias obtendremos la total del circuito.

𝑆𝑡⃗⃗ ⃗ = 𝑆1⃗⃗⃗⃗ + 𝑆2⃗⃗⃗⃗ = 2891,39 + 3908,76𝑗 = 4861,94 |53,50º 𝑉𝐴

Como vemos nos da el mismo triángulo de potencias que el que consumen las cargas, por lo tanto el

cálculo es correcto.

Este método de análisis de circuitos eléctricos lo podemos utilizar siempre, pero no resulta práctico

porque tiene dos inconvenientes que son:

1º)- Tenemos tantas incógnitas como ramas diferentes tenga el circuito, con lo cual un circuito con

muchas ramas, requiere plantear un sistema con muchas ecuaciones, con la dificultad que eso añade al

resolver el sistema.

2º)- No todas las ecuaciones que obtenemos del circuito son válidas, ya que tenemos que buscar las

que sean linealmente independientes para que el sistema de ecuaciones tenga solución.

Con los dos métodos de análisis siguientes que veremos estos dos problemas los solucionamos, es

decir, podremos resolver el circuito con un número de ecuaciones inferior al número de ramas del circuito, y

con la garantía de que las ecuaciones que cojamos serán linealmente independientes, con lo cual el sistema

siempre va a tener solución.



2.6. Análisis de un circuito por el método de las corrientes de malla.

Este método consiste en asignar a las mallas del circuito unas corrientes que circulan por ellas (son

ficticias, es decir no existen, solamente es una herramienta matemática), que llamaremos Corrientes Cíclicas o de

Maxwell o simplemente Corrientes de Malla. Luego escribiremos las ecuaciones de cada malla aplicando la

segunda ley de Kirchhoff tomando estas intensidades de malla como las incógnitas, y se resuelve el sistema de

ecuaciones obtenido.

A partir de los valores obtenidos de las corrientes de malla obtendremos los valores de las corrientes de

rama aplicando la primera ley de Kirchhoff a cada rama.

Como el número de corrientes de malla que necesitamos para resolver el circuito siempre es menor que el

de ramas, obtendremos un sistema de ecuaciones con menos incógnitas que con el método anterior con lo cual será

más fácil de resolver.

Si elegimos adecuadamente las mallas para resolver el circuito la solución del mismo se puede simplificar

extraordinariamente. Por lo tanto es importante elegir adecuadamente las mallas y que estas sean linealmente

independientes para que el sistema de ecuaciones tenga solución.

Vamos a ver ahora como elegimos el número mínimo de mallas independientes, para resolver el circuito. Si

el circuito es plano y sencillo el número de mallas necesario se deduce fácilmente a simple vista. Para circuitos más

complejos es preciso tener algún criterio que proporcione el número de ecuaciones linealmente independientes para

resolver el circuito.

Supongamos que tenemos que analizar el siguiente circuito.

En este circuito tenemos 4 nudos principales y 7 ramas, por lo tanto tenemos que averiguar 7 corrientes de

rama, con el método del punto anterior tendríamos que obtener un sistema de 7 ecuaciones con 7 incógnitas con la

dificultad que ello conlleva.

Con el método de las corrientes de malla el número de ecuaciones necesario para resolver el circuito

es:

Número de ecuaciones = Número de ramas – (Número de nudos principales -1)

Por lo tanto en este circuito necesitaremos: Nº Ecuaciones = 7 - (4 - 1)= 4 ecuaciones. En consecuencia

tenemos que elegir 4 mallas para resolverlo y que estas sean linealmente independientes.



Para elegir las mallas adecuadamente, tenemos que elegir un árbol del circuito.

En la figura anterior se representa el Grafo del circuito, donde están representados los nudos

principales del circuito y las ramas están sustituidas por líneas, por lo tanto el grafo es una representación

simplificada del circuito. También tenemos un posible Árbol del grafo que solamente contiene ramas que

no forman mallas o lazos cerrados. Como sabemos un circuito puede tener varios árboles. Las ramas que no

forman parte del árbol les llamaremos Ramas de Enlace. Cada una de las ramas de enlace forma una malla

única con las ramas del árbol. El número de mallas necesarias para resolver el circuito es igual al número de

ramas de enlace (en este circuito 4).

Por lo tanto las mallas que tenemos que utilizar serán las que necesitamos para coger cada rama de

enlace con el árbol.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a cada una de estas mallas tenemos un sistema de cuatro ecuaciones

con cuatro incógnitas (las corrientes de malla) que serán linealmente independientes.

Si elegimos otro árbol del circuito obtendremos otras cuatro mallas independientes diferentes pero que al

final nos darán como resultado las mismas corrientes de rama que son las corrientes reales del circuito, por lo tanto

es importante elegir correctamente el árbol del circuito para que el sistema de ecuaciones nos salga lo más sencillo

posible.



Otro árbol y conjunto de mallas podría ser el siguiente:

Como vemos estas mallas tienen un recorrido mayor por el circuito que las anteriores, con lo cual las

ecuaciones son más laboriosas se manejar, es por tanto importante elegir el árbol que nos de las mallas más

simples.

Vamos a aplicar este método al circuito del punto (2.5).

En este circuito tenemos 2 nudos y tres ramas, por lo tanto el número mínimo de mallas para resolver el

circuito será:

Número de ecuaciones = 3 – (2 -1) = 2

Necesitaremos dos mallas para resolver el circuito, y los pasos a seguir serán los siguientes:

1º)- Elegimos un árbol y determinamos las mallas necesarias para resolver el circuito.



2º)- Marcamos las mallas obtenidas sobre el circuito. Es decir marcamos el sentido de circulación de las

corrientes de mallas. Este puede ser cualquiera, podemos darle el sentido de las agujas del reloj o el contrario, da

igual, ya que las ecuaciones que obtenemos al aplicar la segunda ley de Kirchhoff son las mismas pero cambiadas

de signo.

3º)- Con las corrientes de malla indicadas, marcamos las tensiones que producen en cada

componente. Sabemos que aplicando la ley de Ohm, por donde entra la corriente se produce un potencial positivo,

y por donde sale la corriente se produce un potencial negativo. En los generadores el potencial no depende del

sentido de circulación de la corriente, el potencial de la tensión lo determinan los propios generadores.

4º)- Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a cada malla. Con esto obtendremos dos ecuaciones con dos

incógnitas que son las dos corrientes de malla. Sabemos que podemos empezar a aplicar la segunda ley de

Kirchhoff empezando en cualquier punto de la malla y girando en cualquier sentido, la ecuación que obtenemos es

la misma.

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 𝐼𝑎 => 5 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ + 10𝑗 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ + (−3𝑗)𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ − (−3𝑗)𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ − 𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 𝐼𝑏 => (−5𝑗)𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ + 10 𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ − 𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + (−3𝑗)𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ − (−3𝑗)𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ = 0

Arreglamos las ecuaciones y las expresamos en forma matricial:

(5 + 7𝑗)𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ + (3𝑗)𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ = 200 |20º

(3𝑗)𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ + (10 − 8𝑗)𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ = 100 |0º}

((5 + 7𝑗) 3𝑗3𝑗 (10 − 8𝑗)

) (𝐼𝑎⃗⃗ ⃗

𝐼𝑏⃗⃗ ⃗) = (

200 |20º

100 |0º)



5º)- Resolvemos al sistema de ecuaciones. Aplicamos la regla de Cramer para resolver el sistema de

ecuaciones.

𝛥 = [(5 + 7𝑗) 3𝑗3𝑗 (10 − 8𝑗)

] = 118,75 |14,67º

𝑰𝒂⃗⃗⃗⃗ =

[200 |20º 3𝑗

100 |0º (10 − 8𝑗)]

𝛥= 2671,14 |−24,76º

118,75 |14,67º= 𝟐𝟐, 𝟒𝟗 |−𝟑𝟗, 𝟑𝟕º 𝑨

𝑰𝒃⃗⃗⃗⃗ =

[(5 + 7𝑗) 200 |20º

3𝑗 100 |0º]

𝛥= 718,24 |10,93º

118,75 |14,67º= 𝟔, 𝟎𝟒 |−𝟑, 𝟕𝟒º 𝑨

6º)- Marcamos sobre el circuito las corrientes de rama y las calculamos a partir de las corrientes de

malla. Como no sabemos el sentido de circulación que van a tener las corriente de rama, marcamos uno cualquiera,

y al resolver el sistema, si hemos acertado en el sentido, la corriente nos dará positiva y si va en sentido contrario

nos dará negativa, esto sucedería si el circuito que analizamos es de corriente continua, si es de corriente alterna el

resultado nos da con un desfase de 180º.

Aplicando la primera ley de Kirchhoff obtendremos el valor de las corrientes de rama a partir de las

corrientes de malla. Tenemos que sumar o restar las corrientes de malla en función de si las corrientes de rama

coinciden o no con el sentido de las corrientes de mallas.

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑰𝟏⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ = 𝟐𝟐, 𝟒𝟗 |−𝟑𝟗, 𝟒𝟕º 𝑨

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑰𝟐⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ = 𝟔, 𝟎𝟒 |−𝟑, 𝟕𝟒º 𝑨

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑰𝟑⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ − 𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ = 22,49 |−39,47º − 6,04 |−3,74º = 𝟏𝟕, 𝟗𝟐 |−𝟓𝟎, 𝟔𝟖 𝑨

Como vemos, hemos obtenido los mismos resultados que con el método del punto (2.5) , pero con un

sistema de ecuaciones más fácil de resolver.



Vamos a aplicar este método a otro circuito un poco más complicado.

En este circuito tenemos 4 nudos y 6 ramas, por lo tanto el número mínimo de mallas para resolver el

circuito será:

Número de ecuaciones = 6 – (4 -1) = 3

Vamos a seguir los pasos para resolver el circuito.

1º)- Elegimos un árbol y determinamos las mallas necesarias para resolver el circuito.



2º)- Marcamos las mallas obtenidas sobre el circuito.

3º)- Con las corrientes de malla indicadas, marcamos las tensiones que producen en cada

componente.

4º)- Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a cada malla.

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 𝐼𝑎 => −𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 5 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ + 5𝑗 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ − 5𝑗 𝐼𝑐⃗⃗ ⃗ + 10 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ − 10 𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ = 0

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 𝐼𝑏 => 10 𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ − 10 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ + 2 𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ − 2 𝐼𝑐⃗⃗ ⃗ + (−4𝑗)𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ = 0

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 𝐼𝑐 => 5𝑗 𝐼𝑐⃗⃗ ⃗ − 5𝑗 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ + (−4𝑗)𝐼𝑐⃗⃗ ⃗ + 2 𝐼𝑐⃗⃗ ⃗ − 2 𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ = 0


(15 + 5𝑗)𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ − 10 𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ − 5𝑗 𝐼𝑐⃗⃗ ⃗ = 50 |0º

−10 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ + (12 − 4𝑗)𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ − 2 𝐼𝑐⃗⃗ ⃗ = 0

−5𝑗 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ − 2 𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ + (2 + 1𝑗)𝐼𝑐⃗⃗ ⃗ = 0

}

(

(15 + 5𝑗) −10 −5𝑗−10 (12 − 4𝑗) −2−5𝑗 −2 (2 + 1𝑗)

)(𝐼𝑎⃗⃗ ⃗

𝐼𝑏⃗⃗ ⃗

𝐼𝑐⃗⃗ ⃗

) = (50 |0º

00

)



5º)- Resolvemos al sistema de ecuaciones.

𝛥 = [

(15 + 5𝑗) −10 −5𝑗−10 (12 − 4𝑗) −2−5𝑗 −2 (2 + 1𝑗)

] = 491,93 |25,56º

𝑰𝒂⃗⃗⃗⃗ =

[

50 |0º −10 −5𝑗

0 (12 − 4𝑗) −20 −2 (2 + 1𝑗)

]

𝛥= 1210,95 |9,45º

491,93 |25,56º= 𝟐, 𝟒𝟔 |𝟑𝟔, 𝟎𝟏º 𝑨

𝑰𝒃⃗⃗⃗⃗ =

[

(15 + 5𝑗) 50 |0º −5𝑗

−10 0 −2−5𝑗 0 (2 + 1𝑗)

]

𝛥=

1414,21 |45º

491,93 |25,56º= 𝟐, 𝟖𝟕 |𝟕𝟏, 𝟓𝟔º 𝑨

𝑰𝒄⃗⃗ ⃗ =

[

(15 + 5𝑗) −10 50 |0º

−10 (12 − 4𝑗) 0−5𝑗 −2 0

]

𝛥= 3605,5 |56,31º

491,93 |25,56º= 𝟕, 𝟑𝟐 |𝟖𝟐, 𝟖𝟕º 𝑨

6º)- Marcamos sobre el circuito las corrientes de rama y las calculamos a partir de las corrientes de

malla.

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑰𝟏⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ = 𝟐, 𝟒𝟔 |𝟑𝟔, 𝟎𝟏º 𝑨

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑰𝟐⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ − 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ = 2,87 |71,56º − 2,46 |36,01º = 𝟏, 𝟔𝟕𝟔 |𝟏𝟑𝟎, 𝟐𝟎º 𝑨

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑰𝟑⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝑐⃗⃗ ⃗ − 𝐼𝑎⃗⃗ ⃗ = 7,32 |82,87º − 2,46 |36,01º = 𝟓, 𝟗𝟐 |𝟏𝟎𝟎, 𝟔𝟐º 𝑨

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑰𝟒⃗⃗⃗⃗ = −𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ = −2,87 |71,56º = 𝟐, 𝟖𝟕 |−𝟏𝟎𝟖, 𝟒𝟒º 𝑨

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑰𝟓⃗⃗⃗⃗ = −𝐼𝑐⃗⃗ ⃗ = −7,32 |82,87º = 𝟕, 𝟑𝟐 |−𝟗𝟕, 𝟏𝟑º 𝑨

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑰𝟔⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝑏⃗⃗ ⃗ − 𝐼𝑐⃗⃗ ⃗ = 2,87 |71,56º − 7,32 |82,87º = 𝟒, 𝟓𝟒 |−𝟗𝟎º 𝑨



2.7. Análisis de un circuito por el método de las tensiones en los nudos.

Mediante la elección de lazos cerrados o mallas y la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff, se ha

establecido en el punto anterior el método de las corrientes de malla para la solución de los problemas de circuitos.

En este punto llegaremos a la misma solución planteando un sistema de ecuaciones determinado por la aplicación

de la primera ley de Kirchhoff. Este método se llama Método de las Tensiones en los Nudos.

Para ver como se aplica este método vamos a repasar los convenios de signos en los circuitos, aplicados a

los nudos. Supongamos que tenemos un circuito eléctrico cualquiera y dentro de este circuito elegimos 3 nudos

cualesquiera.

Entre dos nudos cualesquiera del circuito siempre

vamos a tener una tensión o diferencia de potencial.

Cuando indicamos la tensión 𝑉12⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ estamos diciendo

la tensión que hay del nudo 1 al nudo 2 del circuito, por lo

tanto el potencial positivo de la tensión estará en el nudo 1 y

el negativo en el 2.









En conclusión, cuando indicamos la tensión entre dos nudos cualesquiera siempre la indicaremos

desde la primera referencia a la segunda referencia V (Primera referencia)(Segunda referencia).

También podemos decir que: 𝑽𝟏𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −𝑽𝟐𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏 𝑽𝒂𝒃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −𝑽𝒃𝒂⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

Como la tensión entre los tres nudos forman un lazo cerrado, podemos aplicar a estas tensiones la segunda

ley de Kirchhoff de la siguiente forma:

𝑉12⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑉23⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑉31⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0

Por lo tanto si sabemos dos de las tensiones entre los tres nudos, la tercera tensión la podemos averiguar.

𝑉𝟏𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −𝑉31⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑉23⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑉𝟏3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑉𝟐3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑉𝟐𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −𝑉12⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑉31⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑉𝟐1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑉𝟑1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑉𝟑𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −𝑉23⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑉12⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑉𝟑2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑉𝟏2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

De forma general la tensión entre dos nudos del circuito se obtiene hallando la diferencia de la

tensión de esos dos nudos con un tercer nudo cualquiera del circuito.



Si entre los dos nudos de un circuito hay conectada una impedancia, por ella circulara una corriente que

podemos averiguar de la siguiente forma.

En este circuito el valor de la intensidad la podemos obtener de la

siguiente forma.

𝐼 =𝑉𝟏𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑍 = 𝑉𝟏3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑉𝟐3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑍

La intensidad sale del nudo 1 y entra al nudo 2.

En este circuito el valor de la intensidad la podemos obtener de la

siguiente forma.

𝐼 =𝑉𝟐𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑍 = 𝑉𝟐3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑉𝟏3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑍

La intensidad sale del nudo 2 y entra por el nudo 1.

Por lo tanto la intensidad por una rama la podemos averiguar si sabemos la tensión de los dos nudos

de esa rama con otro nudo cualquiera del circuito, y el planteamiento es, la tensión del nudo del que sale la

corriente menos la tensión del nudo por el que entra la corriente partido por la impedancia que hay entre

estos dos nudos.

Bueno, pues el método de las tensiones en los nudos, consiste en plantear un sistema de ecuaciones lineales

donde las incógnitas son las tensiones de los nudos principales del circuito con respecto a un nudo cualquiera,

también principal, del circuito que llamaremos Nudo de Referencia. Si sabemos todas las tensiones de los nudos,

aplicando lo visto en este apartado podemos averiguar todas las corrientes de las ramas del circuito.

Para entender cómo funciona este método vamos a aplicarlo a un circuito cualquiera como el siguiente:



En este circuito tenemos tres nudos principales marcados con los números 1, 2 y 3, y dos nudos que no son

principales marcados con las letras A y B.

Tenemos que averiguar las tensiones de los nudos principales respecto a otro nudo principal, que

denominamos Nudo de Referencia. Este nudo de referencia puede ser cualquier nudo del circuito. Vamos a coger

el nudo 3 como nudo de referencia.

Aplicando la primera ley de Kirchhoff a las corrientes de los nudos principales obtendremos un sistema de

ecuaciones donde las incógnitas serán las tensiones de estos nudos respecto al que hemos cogido de referencia.

Planteamos la primera ley de Kirchhoff solamente a los nudos principales, y el número de ecuaciones

que necesitamos para resolver el circuito es igual a:

Número de ecuaciones = Número de Nudos Principales – 1

Por lo tanto en este circuito necesitaremos: Nº ecuaciones = 3 – 1 =2, que son las ecuaciones que

obtendremos aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo 1 y al nudo 2.

Veamos como sacamos estas ecuaciones:

Nudo 1: En este nudo intervienen tres ramas, por lo tanto confluyen en él tres corrientes de rama, y les vamos a dar

un sentido de circulación cualquiera a estas corrientes.

𝐼1⃗⃗ ⃗ + 𝐼2⃗⃗ ⃗ + 𝐼3⃗⃗ ⃗ = 0

𝑽𝟏𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑽𝑨𝟑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑹𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑽𝟏𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑿𝑪⃗⃗ ⃗⃗ ⃗+𝑽𝟏𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑽𝟐𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑹𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗= 𝟎

Como el nudo 3 es el de referencia y todas las

tensiones de los nudos son respecto al nudo 3, no hace falta

que pongamos la referencia, porque siempre es la misma,

entonces la ecuación quedaría escrita de la siguiente forma:

𝑽𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑽𝑨⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑹𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑽𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑿𝑪⃗⃗ ⃗⃗ ⃗+𝑽𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑽𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑹𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗= 𝟎 =>

𝑽𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑽𝒈𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑹𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑽𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑿𝑪⃗⃗ ⃗⃗ ⃗+𝑽𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑽𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑹𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗= 𝟎

Si a las corrientes de rama les damos otro sentido, la ecuación del nudo quedaría de la siguiente forma:

𝐼2⃗⃗ ⃗ + 𝐼3⃗⃗ ⃗ = 𝐼1⃗⃗ ⃗

𝑉31⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑋𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑉23⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑉13⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗=𝑉13⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑉𝐴3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗

Si pasamos todos los términos a un lado de la

igualdad:

−𝑉31⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑋𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗−𝑉23⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑉13⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑉13⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑉𝐴3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗= 0



Si quitamos los negativos de la igualdad tendremos:

−−𝑉13⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑋𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗−−(𝑉13⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑉23⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑉13⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑉𝐴3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗= 0 =>

𝑽𝟏𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑿𝑪⃗⃗ ⃗⃗ ⃗+(𝑽𝟏𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑽𝟐𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )

𝑹𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑽𝟏𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑽𝑨𝟑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑹𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗= 𝟎

Como vemos obtenemos la misma ecuación que si las corrientes de los nudos eran todas salientes.

En conclusión: Al plantear las ecuaciones de los nudos aplicando la segunda ley de Kirchhoff, la

ecuación que obtenemos siempre es la misma independientemente del sentido de circulación que le demos a

las corrientes de rama. Para fijar un criterio común a la hora de plantear estas ecuaciones, vamos siempre a

suponer que las corrientes de rama salen del nudo.

Nudo 2: En este nudo también intervienen tres ramas, por lo tanto confluyen en él tres corrientes de rama, y les

vamos a dar un sentido de circulación que es saliendo del nudo, según el criterio que ya hemos fijado en el párrafo

anterior.

𝐼1⃗⃗ ⃗ + 𝐼2⃗⃗ ⃗ + 𝐼3⃗⃗ ⃗ = 0

𝑽𝟐𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑽𝟏𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑹𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑽𝟐𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑿𝑳⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑽𝟐𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑽𝑩𝟑⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑹𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗= 𝟎

Como el nudo 3 es el de referencia y todas las

tensiones de los nudos son respecto al nudo 3, no hace

falta que pongamos la referencia, porque siempre es la

misma, entonces la ecuación quedaría escrita de la

siguiente forma:

𝑽𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑽𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑹𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑽𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑿𝑳⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑽𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑽𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑹𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗= 𝟎 =>

𝑽𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑽𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑹𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑽𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑿𝑳⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑽𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑽𝒈𝟐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑹𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗= 𝟎

Ya tenemos el sistema de ecuaciones:

𝑁𝑢𝑑𝑜 1 => 𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑋𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗= 0

𝑁𝑢𝑑𝑜 2 =>𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑋𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

𝑅3⃗⃗⃗⃗ ⃗= 0

}


(1

𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗+1

𝑋𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗+1

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗) 𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ + (−

1

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗) 𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗ =

𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗

(−1

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗) 𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ + (

1

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗+1

𝑋𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗+1

𝑅3⃗⃗⃗⃗ ⃗) 𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗ =

𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

𝑅3⃗⃗⃗⃗ ⃗ }



(

(1

𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗+1

𝑋𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗+1

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗) (−

1

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗)

(−1

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗) (

1

𝑅2⃗⃗⃗⃗ ⃗+1

𝑋𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗+1

𝑅3⃗⃗⃗⃗ ⃗))

(

𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗)

=

(

𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

𝑅1⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

𝑅3⃗⃗⃗⃗ ⃗ )

Una vez ya se tiene el sistema de ecuaciones, lo resolvemos mediante la regla de Cramer, y ya con las

tensiones de los nudos se pueden averiguar las corrientes de las ramas.

Vamos a aplicar este método al circuito del punto (2.5).

En este circuito tenemos 2 nudos principales, por lo tanto el número de ecuaciones necesarias para resolver

el circuito será:

Número de ecuaciones = 2 – 1 = 1


1º)- Marcamos sobre el circuito los nudos principales y el de referencia.

2º)- Sacamos las ecuaciones de los nudos, suponiendo que las corrientes de rama salen de ellos.

𝑁𝑢𝑑𝑜 1 => 𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

(5 + 10𝑗)+𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗

−3𝑗+𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ − (−𝑉𝑔2)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

(10 − 5𝑗)= 0



Arreglamos la ecuación y la expresamos en forma matricial:

(1

(5 + 10𝑗)−1

3𝑗+

1

(10 − 5𝑗))𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ =

𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

(5 + 10𝑗)−

𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

(10 − 5𝑗)

3ª)- Resolvemos al sistema de ecuaciones.

𝑽𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗ =

200 |20º(5 + 10𝑗)

−100 |0º(10 − 5𝑗)

(1

(5 + 10𝑗)−13𝑗+

1(10 − 5𝑗)

)= 𝟓𝟑, 𝟕𝟕 |−𝟏𝟒𝟎, 𝟕𝟐º 𝑽

4º)- Marcamos sobre el circuito un sentido de las corrientes de rama.

5º)- Calculamos las corrientes de rama con el sentido marcado a partir de las tensiones de los nudos.

𝑰𝟏⃗⃗⃗⃗ =𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗

(5 + 10𝑗)=200 |20º − 53,77 |−140,72º

(5 + 10𝑗)= 𝟐𝟐, 𝟒𝟖 |−𝟑𝟗, 𝟑𝟖º 𝑨

𝑰𝟐⃗⃗⃗⃗ =𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ − (−𝑉𝑔2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )

(10 − 5𝑗)=53,77 |−140,72º − (−100 |0º)

(10 − 5𝑗)= 𝟔, 𝟎𝟒 |−𝟑, 𝟔𝟖º 𝑨

𝑰𝟑⃗⃗⃗⃗ =𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗

−3𝑗=53,77 |−140,72º

−3𝑗= 𝟏𝟕, 𝟗𝟐 |−𝟓𝟎, 𝟕𝟐º 𝑨

Como vemos obtenemos los mismos resultados que con los métodos anteriores.



Vamos a aplicar este método al mismo circuito del apartado anterior.

En este circuito tenemos 4 nudos principales y 6 ramas, por lo tanto el número de ecuaciones para resolver

el circuito será:

Número de ecuaciones = 4 – 1 = 3


1º)- Marcamos sobre el circuito los nudos principales y el de referencia.

2º)- Sacamos las ecuaciones de los nudos, suponiendo que las corrientes de rama salen de ellos.

𝑁𝑢𝑑𝑜 1 => 𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗

10+𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑉3⃗⃗⃗⃗ ⃗

−4𝑗+𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ − (−𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗)

5= 0

𝑁𝑢𝑑𝑜 2 => 𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗

5𝑗+𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑉3⃗⃗⃗⃗ ⃗

−4𝑗+𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗ − (𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗)

5= 0



𝑁𝑢𝑑𝑜 3 => 𝑉3⃗⃗⃗⃗ ⃗

2+𝑉3⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗

−4𝑗+𝑉3⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗

−4𝑗= 0


(1

10−1

4𝑗+1

5)𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ − (

1

5)𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗ + (

1

4𝑗)𝑉3⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −

𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

5

− (1

5)𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ + (

1

5𝑗−1

4𝑗+1

5)𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗ + (

1

4𝑗)𝑉3⃗⃗⃗⃗ ⃗ =

𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

5

(1

4𝑗)𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ + (

1

4𝑗)𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗ + (

1

2−1

4𝑗−1

4𝑗)𝑉3⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0

}

(

(1

10−1

4𝑗+1

5) −

1

5

1

4𝑗

−1

5(1

5𝑗−1

4𝑗+1

5)

1

4𝑗1

4𝑗

1

4𝑗(1

2−1

4𝑗−1

4𝑗))

(

𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑉3⃗⃗⃗⃗ ⃗)

=

(

−50 |0º

5

50 |0º

5

0 )

3ª)- Resolvemos al sistema de ecuaciones.

𝛥 =

[ (1

10−1

4𝑗+1

5) −

1

5

1

4𝑗

−1

5(1

5𝑗−1

4𝑗+1

5)

1

4𝑗1

4𝑗

1

4𝑗(1

2−1

4𝑗−1

4𝑗)]

= 0,0615 |63,43º

𝑽𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗ =[ −50 |0º5

−15

14𝑗

50 |0º5

(15𝑗−14𝑗 +

15)

14𝑗

014𝑗 (

12 −

14𝑗 −

14𝑗)]

𝛥= 1,03 |−165,96º

0,0615 |63,43º= 16,75 |−229.39º = 𝟏𝟔, 𝟕𝟓 |𝟏𝟑𝟎, 𝟔𝟏º𝑽

𝑽𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗ =[ (110 −

14𝑗 +

15) −

50 |0º5

14𝑗

−15

50 |0º5

14𝑗

14𝑗 0 (

12 −

14𝑗 −

14𝑗)]

𝛥=

1,82 |74,05º

0,0615 |63,43º= 𝟐𝟗, 𝟓𝟗 |𝟏𝟎, 𝟔𝟐º 𝑽



𝑽𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗ =[ (110−14𝑗+15) −

15

−50 |0º5

−15

(15𝑗−14𝑗+15)

50 |0º5

14𝑗

14𝑗

0]

𝛥=0,559 |153,43º

0,0615 |63,43º= 𝟗, 𝟎𝟗 |𝟗𝟎º 𝑽

4º)- Marcamos sobre el circuito un sentido de las corrientes de rama.

5º)- Calculamos las corrientes de rama con el sentido marcado a partir de las tensiones de los nudos.

𝑰𝟏⃗⃗⃗⃗ =𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ − (−𝑉𝑔1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

5=16,75 |130,61º − (−50 |0º + 29,59 |10,62º)

5= 12,42 |35,75º

5= 𝟐, 𝟒𝟖 |𝟑𝟓, 𝟕𝟓º 𝑨

𝑰𝟐⃗⃗⃗⃗ =𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗

10=16,75 |130,61º

10= 𝟏, 𝟔𝟕𝟓 |𝟏𝟑𝟎, 𝟔𝟏º 𝑨

𝑰𝟑⃗⃗⃗⃗ =0 − 𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗

5𝑗=−29,59 |10,62º

5𝑗= 𝟓, 𝟗𝟏𝟖 |𝟏𝟎𝟎, 𝟔𝟐º 𝑨

𝑰𝟒⃗⃗⃗⃗ =𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑉3⃗⃗⃗⃗ ⃗

−4𝑗=16,75 |130,61º − 9,09 |90º

−4𝑗=11,48 |161,62º

−4𝑗= 2,87 |251,62º = 𝟐, 𝟖𝟕 |−𝟏𝟎𝟖, 𝟑𝟖º 𝑨

𝑰𝟓⃗⃗⃗⃗ =𝑉3⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗

−4𝑗=9,09 |90º − 29,59 |10,62º

−4𝑗=29,30 |172,86º

−4𝑗= 7,325 |262,86º = 𝟕, 𝟑𝟐𝟓 |−𝟗𝟕, 𝟏𝟒º 𝑨

𝑰𝟔⃗⃗⃗⃗ =0 − 𝑉3⃗⃗⃗⃗ ⃗

2=−9,09 |90º

2= 𝟒, 𝟓𝟒𝟓 |−𝟗𝟎º 𝑨



ANEXO 1

www. Wolframalpha.com

En este anexo se explica la forma de introducir matrices y sistemas de ecuaciones en el wolframalpha.

- Matrices: Devuelve el determinante de la matriz.

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

Introducir la matriz en la línea de comandos de forma que las líneas de la matriz queden delimitadas por

corchetes y cada línea separada por punto y coma.

{{𝒂𝟏𝟏 , 𝒂𝟏𝟐 , 𝒂𝟏𝟑 }; {𝒂𝟐𝟏 , 𝒂𝟐𝟐 , 𝒂𝟐𝟑 }; {𝒂𝟑𝟏 , 𝒂𝟑𝟐 , 𝒂𝟑𝟑}}

- Sistemas de ecuaciones: Devuelve la solución al sistema de ecuaciones.

𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎13 𝑧 = 𝑏11𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 + 𝑎23 𝑧 = 𝑏21𝑎31 𝑥 + 𝑎32 𝑦 + 𝑎33 𝑧 = 𝑏11

} => (

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 23𝑎31 𝑎32 𝑎33

) (𝑥𝑦𝑧) = (

𝑏11𝑏21𝑏31

)

Se introducen las ecuaciones en la línea de comandos separados por un punto y coma.

𝒂𝟏𝟏 𝒙 + 𝒂𝟏𝟐 𝒚 + 𝒂𝟏𝟑 𝒛 = 𝒃𝟏𝟏 ; 𝒂𝟐𝟏 𝒙 + 𝒂𝟐𝟐 𝒚 + 𝒂𝟐𝟑 𝒛 = 𝒃𝟐𝟏 ; 𝒂𝟑𝟏 𝒙 + 𝒂𝟑𝟐 𝒚 + 𝒂𝟑𝟑 𝒛 = 𝒃𝟏𝟏 ;

- Números complejos: Los números complejos se introducen da la siguiente forma:

𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑗 = 𝑟 |𝜑º

Por ejemplo: 𝑍 = 3 − 5𝑗 = 5,83 |−59,03º

Forma Binómica: 𝟑 − 𝟓𝒊

Forma Polar: 𝟓, 𝟖𝟑 𝒆^(−𝟓𝟗, 𝟎𝟑º𝒊)



ANEXO 2

G.N.U. OCTAVE

En este anexo se explica la forma de introducir matrices y sistemas de ecuaciones en el Octave.

- Matrices:

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

Introducir en la línea del editor, cada coeficiente separado por coma, y cada línea separada por punto y

coma.

𝑨 = [𝒂𝟏𝟏 , 𝒂𝟏𝟐 , 𝒂𝟏𝟑 ; 𝒂𝟐𝟏 , 𝒂𝟐𝟐 , 𝒂𝟐𝟑 ; 𝒂𝟑𝟏 , 𝒂𝟑𝟐 , 𝒂𝟑𝟑]

- Determinante: Devuelve el determinante de la matriz.

𝐝𝐞𝐭(𝑨)

- Sistema de ecuaciones: Devuelve la solución del sistema de ecuaciones.

𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎13 𝑧 = 𝑏11𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 + 𝑎23 𝑧 = 𝑏21𝑎31 𝑥 + 𝑎32 𝑦 + 𝑎33 𝑧 = 𝑏11

} =>

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 23𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

𝐴

(𝑥𝑦𝑧)

𝑋 =

(

𝑏11𝑏21𝑏31

)

𝐵

Introducir en la línea del editor:

𝑨 = [𝒂𝟏𝟏 , 𝒂𝟏𝟐 , 𝒂𝟏𝟑 ; 𝒂𝟐𝟏 , 𝒂𝟐𝟐 , 𝒂𝟐𝟑 ; 𝒂𝟑𝟏 , 𝒂𝟑𝟐 , 𝒂𝟑𝟑]

𝑩 = [𝒃𝟏𝟏 ; 𝒃𝟐𝟏 ; 𝒃𝟑𝟏]

𝑿 = 𝑨 \ 𝑩

- Números complejos: Los números complejos se introducen de la siguiente forma.

𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑗 = 𝑟 |𝜑º

Por ejemplo: 𝑍 = 3 − 5𝑗 = 5,83 |−59,03º

Forma Binómica: 𝟑 − 𝟓𝒊

Forma Polar: 𝟓, 𝟖𝟑 ∗ 𝒆𝒙𝒑(𝒊 ∗ (−𝟓𝟗, 𝟎𝟑º) ∗ (𝝅/𝟏𝟖𝟎))

El programa trabaja en radianes, por lo que hay que pasar los grados sexagesimales a radianes.

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TEMA 2 · 2020. 5. 19. · SISTEMAS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS TEMA 2 ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS Página 3 de 43 2.1. Matrices. Una matriz es una disposición ordenada de entes