TEMA 2. FOTOMETRÍA. La óptica geométrica desarrollada hasta ahora se limita a describir las trayectorias luminosas. En este tema estudiaremos la luz desde el punto de vista de la cantidad de energía que transporta, teniendo en cuenta además la sensibilidad del ojo humano a la radiación visible que incide sobre él. 2.1. Radiometría y Fotometría.

La Radiometría estudia la energía radiante (radiación electromagnética) para cualquier longitud de onda. El flujo radiado por una fuente de luz es su potencia radiométrica y su unidad en el SI es el watt (W). En los espectros continuos de emisión se define la densidad espectral We() como el flujo infinitesimal emitido por la fuente dFe, en un intervalo infinitesimal de longitud de onda d. De esta forma:

( ) ee

dFW

d

(2.1)

Si se conoce la distribución de la densidad espectral (fig. 2.1), el flujo emitido por la fuente es dFe = We()d, y el flujo total emitido por la fuente se calcula integrando

( )e eF W d

. (2.2)

Fig. 2.1

En el caso de que la distribución espectral sea discreta, la integral se sustituye por un sumatorio de modo que el flujo total emitido por la fuente vale:

1

n

i

e eF F

i

(2.3)

donde Fe(i) representa el flujo emitido para la longitud de onda i. De modo que si se quiere determinar el flujo energético emitido en el rango del espectro visible la integral o el sumatorio se calcula para el intervalo = [380 nm, 780 nm].

La Fotometría estudia el flujo de energía en la región visible del espectro y tiene como objetivo la evaluación de la energía radiante como estímulo productor de una sensación visual. Cada observador tiene una sensibilidad espectral diferente, lo que ha llevado al establecimiento de un observador patrón teórico medio que se utiliza como referencia. La Comisión Internacional de la Iluminación ha establecido la sensibilidad espectral del observador patrón en visión fotópica o diurna V() según la tabla 2.1. La figura 2.2 representa gráficamente la tabla anterior así como la curva de sensibilidad en visión escotópica o nocturna. En visión fotópica, el pico de máxima sensibilidad se encuentra en =555 nm (verde), mientras que para visión escotópica este valor se desplaza hasta = 510 nm (verde-azul). Este desplazamiento de la sensibilidad espectral a bajas luminosidades se conoce como el efecto Purkinje.

Tabla 2.1. Sensibilidad espectral fotópica del ojo humano V() según el observador patrón establecido por la CIE

2 - 1

Se define el flujo luminoso, F, como el flujo energético o radiante ponderado por los valores de la curva de sensibilidad espectral del observador patrón. Su unidad en el SI es el lumen (lm). En una distribución continua se expresa como:

2

1

eF K W V d

(2.4)

y en una distribución discreta su forma es:

1

n

i

i e iF K V F

(2.5) Fig. 2.2.

En las ecuaciones (2.4) y (2.5), K es una constante de valor K = 683 lm/W que relaciona las magnitudes radiométricas con las fotométricas

Rendimiento luminoso o coeficiente de eficacia luminosa. Se define el rendimiento luminoso o coeficiente de eficacia luminosa de una fuente de luz como el flujo F que emite dicha fuente por cada unidad de potencia P consumida para su obtención. Se expresa como

F

P (2.6)

Su unidad es el lumen por watt (lm/W). Si una lámpara transformara toda la potencia consumida en flujo luminoso de una longitud de onda de 555 nm, se obtendría el mayor rendimiento luminoso posible, 683 lm/W. En realidad las fuentes luminosas transforman la energía consumida (generalmente eléctrica) en otros tipos de energía: calorífica, electromagnética, luminosa o en combinaciones de ellas, transportando las radiaciones luminosas solo una pequeña parte de la energía transformada por la fuente. Como ejemplo de rendimiento luminoso puede estimarse el de una lámpara incandescente de 100 W (figura 2.3) que emite un flujo luminoso de 1.380 lm.

Fig. 2.3

En este caso el rendimiento luminoso vale:

1.380

13,8100

F lm

P W

lm

W (2.7)

que porcentualmente es

13,8

Rendimiento (%) = 100 100 2%683 683

(2.8)

La tabla 2.2 muestra los rendimientos luminosos típicos de diferentes fuentes de luz. Es de destacar que el tubo fluorescente tiene un rendimiento aproximadamente 8 veces superior que la lámpara de incandescencia.

2 - 2

Tabla 2.2. Rendimiento luminoso de algunas lámparas

2.2. Magnitudes fotométricas.

Ángulo sólido. Se define el ángulo sólido como el espacio limitado por la superficie engendrada por una semirrecta que con origen fijo recorre una línea cerrada. El ángulo sólido se expresa como:

2

S

R (2.9)

donde S representa la proyección de S respecto del radio R (fig. 2.4). La unidad de ángulo sólido es el estereorradián (sr). El ángulo sólido de una esfera vale

2

2 2

44

S Rsr

R R

(2.10)

Fig. 2.4

El ángulo sólido elemental d es:

2

dSd

R (2.11)

donde, de nuevo, la expresión dS significa que el elemento de superficie es perpendicular a R. El ángulo sólido elemental d es un cono cuya generatriz forma un ángulo con el eje, se calcula teniendo en cuenta el esquema de la figura 2.5.

Fig. 2.5

A partir de ella se deducen las expresiones

, cos , 2 cosr R sen dr R d dS r dr (2.12)

Sustituyéndolas en (2.11), se obtiene

2d sen d (2.13)

a) INTENSIDAD LUMINOSA. Consideremos el flujo dF que una fuente puntual O emite en la dirección del punto A situado en el centro de un elemento de superficie dS que subtiene un ángulo sólido d desde O (fig. 2.6). Se define la intensidad luminosa, I, como

dF

Id

(2.14)

2 - 3

Fig. 2.6

La intensidad luminosa es una magnitud física fundamental en el SI de unidades. La unidad de intensidad luminosa en el SI es la candela (cd). Se trata de una unidad fundamental y la candela patrón se define como: “La candela es la intensidad luminosa, en una dirección determinada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 1012 Hz ( 555 nm), cuya intensidad energética en esta dirección es de 1/683 W/sr”.

Curvas fotométricas. Los catálogos de las lámparas comerciales suelen contener gráficas que muestran la distribución de la intensidad luminosa en función de la dirección de emisión. La fig. 2.7 muestra diferentes curvas de intensidad para distintas lámparas.

Fig. 2.7

A partir de la ecuación (2.14) el flujo luminoso se expresa como

0

F I d

(2.15)

De esta manera un lumen (lm) es el flujo emitido por una fuente isótropa de una candela de intensidad en un ángulo sólido de 1 estereorradián: 1 lm = 1cd 1sr. En el caso particular de que la intensidad radiada I sea independiente de la dirección (fuente isótropa), el flujo total F emitido por la fuente es:

4

40

0

4F I d I

I (2.16)

Medida del flujo luminoso. La medida del flujo luminoso se realiza en el laboratorio por medio de un fotoelemento ajustado según la curva de sensibilidad fotópica del ojo a las radiaciones monocromáticas, incorporado a una esfera hueca a la que se le da el nombre de Esfera de Ulbricht (Fig. 2.8), y en cuyo interior se coloca la fuente a medir. La esfera está recubierta internamente por una pintura difusora y se practica en su pared una pequeña abertura, en la que se pone un difusor de vidrio o porcelana esmerilados. Una pantalla impide que llegue a la abertura luz directa de la fuente de luz. En estas condiciones la iluminancia de la abertura es proporcional al flujo total

Fig. 2.8

b) EXCITANCIA O EMITANCIA LUMINOSA. Se define la excitancia o emitancia luminosa, M, como el flujo luminoso que emite la unidad de superficie (fig. 2.9a):

2 - 4

dF

MdS

(2.17)

La unidad de excitancia o emitancia luminosa en el SI es el lm/m2.

Fig. 2.9

c) ILUMINANCIA. Se define la iluminancia E como el flujo luminoso que incide sobre la unidad de superficie (fig. 2.9b):

'

dFE

dS (2.18)

La unidad de iluminancia en el sistema internacional es el lux (lx): 1 lx = 1 lm /1 m2.

Relación intensidad-iluminancia. Sea O una fuente de luz (fig. 2.10). Teniendo en cuenta las ecuaciones (2.14) y (2.18), la iluminancia que produce en la superficie dS' es

2 2

' 'cos

' ' ' ' 3

I d I dS I dS IdFE h

dS dS r dS r dS r

(2.19)

Fig. 2.10

Fig. 2.11

Si O es una fuente isótropa, I es constante y si la incidencia es normal a la superficie (cos=1) la iluminancia varía con el inverso del cuadrado de la distancia. La fig. 2.11 muestra como el flujo emitido por una fuente puntual O en un ángulo sólido se distribuye sobre áreas cada vez más grandes, dando lugar a una iluminancia que disminuye inversamente con el cuadrado de la distancia. Medida de la iluminancia. La medida del nivel de iluminación se realiza por medio de un aparato especial denominado luxómetro, que consiste en una célula fotoélectrica con un filtro de corrección de espectro que, al incidir la luz sobre su superficie, genera una débil corriente eléctrica que aumenta en función de la luz incidente. Dicha corriente se mide, de forma analógica o digital, con un miliamperímetro calibrado directamente en lux (Fig. 2.12). Inicialmente fueron empleados por fotógrafos y cineastas, aunque es cada vez más utilizado para optimizar la iluminación interior o exterior.

Fig. 2.12. Luxómetro

d) LUMINANCIA. Las fuentes luminosas (al igual que los receptores) siempre tienen una extensión superficial por pequeña que ésta sea. Debemos plantearnos pues una fotometría para superficies más que para puntos. Esta magnitud fotométrica tiene especial interés al ser la variable que aprecia el ojo cuando observa fuentes extensas.

2 - 5

La luminancia, L, se define como la intensidad emitida por unidad de superficie, tomando la superficie emisora perpendicular a la dirección de propagación (fig. 2.11)

cos

I IL

S S

(2.20)

Fig. 2.13

La unidad de luminancia en el SI es el nit (nt): 1 nt = 1 cd /m2. En la tabla 2.3 se incluyen algunos valores de luminancias emisores o difusores habituales.

Tabla 2.3. Ejemplos de luminancias

LUMINANCIAS (cd/m2)

El Sol 109

Arco de carbón 108

Filamento lámpara 106

Papel blanco al sol 104

Cielo claro 104

Luna llena 103

Cielo sin luna 10-4

2 - 6

Fig. 2.14. Luminancímetro

Medida de la luminancia. La medida de la luminancia se realiza por medio de un aparato especial llamado luminancímetro o nitómetro. Se basa en dos sistemas ópticos, uno de dirección y otro de medición (Fig. 2.14). El de dirección se orienta de forma que la imagen coincida con el punto a medir, la luz que llega una vez orientado se ve convertida en corriente eléctrica y recogida en lectura analógica o digital, siendo los valores medidos en cd/m2.

Cuando el receptor es la pupila del ojo, tenemos una sensación subjetiva que se llama claridad, la cual varía con la luminancia. Luminancias iguales producen la misma claridad subjetiva.

Emisores y difusores perfectos. Ley de Lambert. En general L depende de la dirección de observación ( en la figura 2.15). Sin embargo, en los emisores y difusores perfectos la luminancia es constante e independiente de . En ese caso, el valor de la luminancia para = 0o es (2.20):

00

IL

S (2.21)

Fig. 2.15

y teniendo en cuenta esta ecuación y la ecuación (2.21), válida para un ángulo de observación cualquiera se obtiene la Ley de Lambert:

0 cosI I (2.22)

Los emisores o difusores que cumplen la ecuación (2.23) se llaman perfectos o lambertianos. En ellos la intensidad emitida por una superficie pequeña S será radiada según muestra la figura 2.16. El sol es un emisor lambertiano mientras que son difusores lambertianos: el papel blanco mate, la escayola, la tela blanca mate, la Luna, etc.

Fig. 2.16

2.3. Fotometría de fuentes extensas.

A partir de la ecuación (2.20) puede definirse la intensidad para una fuente extensa (emisor o difusor perfecto), de superficie dS, según:

cosI LdS (2.23)

Si tratamos de iluminar la superficie elemental dS2, fig. 2.17, y queremos que tenga una iluminancia E, deberá recibir un flujo dF, tal que E=dF/dS2 y esto lo podemos hacer poniendo en P una fuente puntual o una extensa dS1. Si lo hacemos con fuente puntual, todo el flujo irá realmente dentro de un cono de ángulo sólido d.

Fig. 2.17

Si se hace con fuente extensa podemos aproximar para el flujo que dS2 recibe de dS1:

1 1

21 1 2

coscos

dSdF LdS d I d I

r 2 (2.24)

y para la iluminancia

1 2

22

cosIdFE

dS r

(2.25)

que dimensionalmente recuerda a (2.19). La única diferencia esencial es que si la fuente es extensa, (2.25) es sólo aproximada, ya que ni r, ni los ángulos pueden considerarse constantes.

Validez de la ley del cuadrado de la distancia. La ley del cuadrado de la distancia para la iluminancia es exacta par fuentes puntuales y para elementos infinitesimales de áreas receptora y emisora. En el caso de una fuente finita presenta un error que vamos a intentar estimar. Suponemos un disco circular de radio R, fig. 2.18, que emite con arreglo a la ley de Lambert con luminancia L y determinamos la iluminancia que pruduce en un punto O de una superficie dS’ paralela al disco a una distancia r. Se tiene (ver libro OPTICA, de J. Casas, pg. 524):

2 42

21 ...

R R RE L

r r r

(2.26)

Fig. 2.18 Si R<<r, prodemos tomar como primera aproximación

2

2 2

R LSE L

r r (2.27)

que coincidiría con la iluminancia que produce una fuente puntual en un punto O de una superficie elemental perpendicular a r. Habitualmente, el error que se comete al aplicar la ecuación (2.27) respecto de la unidad será el segundo término en la serie (2.26). Por ejemplo, para tener un error del 1% debería ser R/r = 0.1, de modo que la separación debe ser cinco veces mayor que el diámetro de la fuente.

2 - 7

2.4. Otras relaciones fotométricas de interés.

Luminancia de un emisor perfecto debido a su excitancia M. Sea S la superficie de un emisor perfecto cuya excitancia es M (fig. 2.19a). Teniendo en cuenta la ecuación (2.17), el flujo emitido por esta superficie lambertiana es F MS (2.28)

Por otra parte, el flujo emitido en todo el semiespacio, se puede calcular considerando (2.13) y (2.15):

2 / 2

0 0

2F I d I sen d

(2.29)

Teniendo en cuenta (2.21), e integrando la ecuación anterior se obtiene:

/ 2 2 2

0 0

2 cos 22

senF LS sen d LS LS

(2.30)

Igualando (2.28) y (2.30), la luminancia de un emisor perfecto de excitancia M es:

M

L

(2.31)

Fig. 2.19

Luminancia de un difusor perfecto debido a la iluminancia E. Si se considera un difusor perfecto, la luminancia que presente será debida al flujo luminoso incidente en su superficie. Sea S la superficie de un difusor perfecto de reflectancia difusa . Supongamos que esta superficie recibe una iluminancia E de manera que presenta una luminancia L (figura 2.19b). Teniendo en cuenta (2.18), el flujo incidente Fi sobre la superficie es ES. El flujo emitido por el difusor lambertiano es:

iF F ES (2.32)

Considerando el flujo emitido en todo el espacio (2.30), e igualándolo a (2.32), la luminancia de un difusor perfecto de coeficiente de reflexión difusa que recibe una iluminancia E es:

E

L

(2.33)

Si el difusor lambertiano, en vez de ser reflectante fuese transmisor (fig 2.19c) con transmitancia , la expresión anterior sería

E

L

(2.34)

2.5. Fotometría de un sistema óptico.

Consideremos el caso de un sistema óptico, que representaremos por una lente y un diafragma, donde dS y dS’ son elementos de superficie conjugados entre sí (fig. 2.17).

2 - 8

Fig. 2.17

El flujo luminoso emitido por dS que incide en la pupila de entrada (PE) del sistema es:

0 0

cos cos 2dF LdS d LdS sen d

(2.35)

Tomando L y dS como independientes de e integrando la expresión anterior se obtiene que el flujo elemental que incide en la PE del sistema vale:

2dF LdS sen (2.36)

Análogamente, el flujo luminoso que llega a la imagen dS' después de pasar por la lente es

2' ' 'dF L dS sen ' (2.37)

donde, en este caso, L' es la luminancia de la imagen aérea formada por el sistema óptico. Teniendo en cuenta la transmitancia de la lente resulta:

'dF dF (2.38)

Sustituyendo (2.36) y (2.37) en (2.38), se obtiene

2' ' 'L dS sen LdS sen2 (2.39)

Consideremos ahora la condición del seno de Abbe que garantiza que un sistema stigmático para dos puntos del eje, O y O', lo sea también para dos puntos muy próximos a ellos y situados en sendos planos perpendiculares al eje óptico en O y O':

' ' 'n y sen n y sen (2.40)

y expresemos las magnitudes lineales (y,y') en función de las superficies (dS, dS'). En este caso, la condición del seno de Abbe se puede expresar de la siguiente manera:

' 'n dS sen n dS sen ' (2.41)

Elevando la ecuación anterior al cuadrado y agrupando términos se obtiene:

2

2' ''

ndS sen dS sen

n2

(2.42)

Sustituyendo (2.42) en (2.39) se obtiene la relación que existe entre la luminancia de la imagen aérea y la del objeto:

2

''

nL

nL

(2.43)

En el caso de sistemas con medios extremos iguales la ecuación anterior resulta

'L L (2.44)

2 - 9

relación que indica que la luminancia de la imagen no puede ser mayor que la del objeto.

En el caso de un sistema óptico con nL lentes cuyos factores de transmisión sean i y con nE espejos cuyos factores de reflexión sean Rj el parámetro engloba el efecto sobre el flujo que llega a la imagen de todos estos elementos:

1 1

L En n

ii j

jR

(2.45)

Si va a formarse la imagen sobre una superficie sensible o una pantalla, la iluminancia de la imagen se obtiene a partir de (2.37) y (2.43):

2'' '

'

dFE L sen L sen

dS2 ' (2.46)

Si la imagen se forma en una pantalla de coeficiente de reflexión difusa , la luminancia de la imagen que se observa en la pantalla, según la ecuación (2.33), es:

2'' 'E

L L sen

(2.47)

Aproximando las funciones tg ' sen ', se deduce que la apertura cumple la condición

'2 ' '

PS

p

senz z

(2.48)

donde PS

f

es el diámetro de la pupila de salida y z’ y z’p son respectivamente las posiciones de la

pupila de salida y del plano imagen respecto del foco imagen del sistema. Teniendo en cuenta que 'z y ' 'pz f p , donde /p PS PE es el aumento pupilar, la expresión anterior queda:

'

2 ' 1 /PE

p

senf

(2.49)

Sustituyendo (2.49) en (2.46) se obtiene una nueva expresión para la iluminancia de la imagen

2 22 44 1 / efp

LE

NN

L

(2.50)

donde N es el número de diafragma del sistema, y Nef es el número de diafragma efectivo, el cual se define como:

1 /ef pN N (2.51)

Finalmente, para sistemas simétricos, 1p , y objeto en el infinito, 0 , la iluminancia sólo

dependerá del valor del número de diafragma del sistema.

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