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Dr. PEDRO CORDOVA MENDOZA
ICA-PERU
CURSO:
INGENIERIA ECONOMICA AMBIENTAL Y
SANITARIA
12 de Abril del 2013
TEMA:
SIMBOLOS Y DIAGRAMAS DE
FLUJO DE CAJA
UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL Y SANITARIAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL Y
SANITARIA
101/05/2013
Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” Ica-
Perú
01/05/2013 2
“Trata de dejar el mundo en mejores condiciones
que las que tenía cuando llegaste a él”
Dr. PEDRO CORDOVA MENDOZA
Docente Principal de la Escuela Profesional de Ingeniería
Ambiental y Sanitaria de la FIAS-UNSLG
SIMBOLOS Y DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA
01/05/2013 3
SIMBOLOS Y DIAGRAMAS DE FLUJO DE
CAJA
Este capitulo le enseñará el significado de los símbolos
empleados en la ingeniería económica y como construir un
diagrama de flujo de caja. El material que se aprende en este
capitulo será utilizado en el resto del curso En particular, usted
encontrará el diagrama de flujo de caja excepcionalmente útil
para simplificar problemas descriptivos complicados.
CRITERIOS
1. Definir y reconocer en el enunciado de un problema los
símbolos económicos, P, F, A, n, e, i.
2. Definir el significado de convención de fin de año
3. Definir flujo de cada y tabular flujos de caja, dado un
enunciado de la secuencia del flujo de caja
4. Hacer un diagrama de flujo de caja, dado un enunciado que
describe la cantidad y los periodos de tiempo en los que se
llevan a cabo los flujos de caja.
SIMBOLOS y SU SIGNIFICADO01/05/2013 5
En las relaciones matemáticas utilizadas en la
ingeniería económica se emplean los siguientes
símbolos:
P = Valor o suma de dinero en un tiempo señalado
como el presente.
F = Valor o suma de dinero en algún tiempo futuro
A = Una serie de cantidades periódicas e iguales de
dinero
n = Numero de periodos de interés
i = Tasa de interés por período de interés
Símbolos y sus Significados
Los símbolos P y F representan valores que ocurren una vez en
un solo periodo: A ocurre en cada periodo de interés por un
número específico de periodos con la misma cantidad de dinero.
Las unidades de los símbolos ayudan a clarificar su significado.
La suma presente P y la suma futura F se expresan en pesos,
mientras que A se expresa en pesos por periodo de interés.
Es importante observar que para que una serie sea
representada por el símbolo A, debe ser uniforme (por ej. el valor
de la moneda debe ser el mismo para cada período) y las
cantidades uniformes de dinero deben extenderse a través de
períodos consecutivos.
Continua…
Antes que los valores del peso puedan ser
representados por A, deben cumplirse
ambas condiciones. Dado que n se expresa
generalmente en años, A se expresa
comúnmente en unidades de dinero por
año. La tasa de interés capitalizada i se
expresa en porcentaje por período de
interés; por ejemplo, 5% anual. Excepto
cuando se indique lo contrario, esta tasa
se aplica a lo largo de todos los años o n
períodos de interés. Los problemas más
comunes de la ingeniería económica
incluyen el uso de n y de i y por lo menos
dos de los tres términos P, F y A. Los
cuatro ejemplos siguientes ilustran el uso
de los símbolos.
Continua…
Ejemplo 2.1: Si usted solicita un préstamo por $ 2.000 hoy, y
debe pagar el préstamo más los intereses a una tasa del 7%
anual en cinco años, ¿cuál es la cantidad total que debe
pagar? Enumere los valores de P, F, A, n y de í.
Ejemplo 2.2: Si usted solicita un préstamo por $ 2.000 hoy al
7% anual por cinco años y debe pagar el préstamo en pagos
anuales iguales, ¿cuánto deberá pagar? Determine el valor de
los símbolos utilizados
Ejemplo 2.3: Si usted deposita $ 500 en una cuenta de
ahorros el 1° de abril de 2013 la cual paga el 7% anual,
¿cuánto puede usted retirar anualmente durante los diez años
siguientes? Enumere los valores, de los símbolos.
Ejemplo 2.4: Si usted deposita $ 100 anuales en una cuenta
de ahorros durante siete años, a una tasa de interés anual del
6%, ¿qué cantidad podrá retirar después de los siete años?
Defina los símbolos y sus funciones.
Ejemplos prácticos
Resolución Ejemplo 2.1
Paso 1. CRITERIO
En esta situación sólo se trabaja con
P y F.
El valor de A no se toma en cuenta
dado que todas las transacciones son
pagos sencillos.
Paso 2. DATOS-SOLUCION
Los valores son los siguientes:
P = $ 2000
F = ?
i = 7% anual
n = 5 años
01/05/2013 10
Resolución Ejemplo 2.2
Paso 1. CRITERIO
En esta situación sólo se trabaja con
P y A.
El valor de F no se toma en cuenta
dado que todas las transacciones son
pagos sencillos.
Paso 2. DATOS- SOLUCION
Los valores son los siguientes:
P = $ 2000
A = ? Anual por cinco años
i = 7% anual
n = 5 años
01/05/2013 11
Resolución Ejemplo 2.3
Paso 1. CRITERIO
En esta situación sólo se trabaja
con P y A.
El valor de F no se toma en
cuenta dado que todas las
transacciones son pagos
sencillos.
Paso 2. DATOS-SOLUCION
Los valores son los siguientes:
P = $ 500
A = ? Anual por diez años
i = 7% anual
n = 10 años01/05/2013 12
En los dos ejemplos anteriores, el valor P de $ 2.000 es una entrada
y F o A son un desembolso. Es igualmente correcto usar estos
símbolos en funciones contrarias, como se ilustra en los ejemplos
que se dan a continuación.
Comentario Los valores del
desembolso P por $ 500 y la
entrada A reciben los mismos
nombres de símbolos que
antes, pero se consideran en
un contexto diferente. De esta
manera, un valor P puede ser
una entrada (ejemplos 2.1 y
2.2) o un desembolso (este
ejemplo).
Resolución Ejemplo 2.4
Paso 1. CRITERIO
los depósitos iguales anuales son una
serie A y el retiro es una suma futura
o un valor F.
No existe aquí un valor P.
Paso 2. DATOS-SOLUCION
Los valores son los siguientes:
P = $ 100 por año durante 7 años
A = ?
i = 6% anual
n = 7 años01/05/2013 13
COLOCACIÓN EN EL TIEMPO DE P, F, y A
01/05/2013 14
Las cantidades de pesos de P, F, o A se consideran
siempre como ocurridas al final del periodo de interés.
Esto es tan sólo una convención para simplificar, útil en
la derivación de fórmulas y solución de problemas.
Sin embargo, debe entenderse que esto no significa que el
fin del año es diciembre 31. En el caso del ejemplo
2.3, los retiros se harán el 1° de mayo de 1 Abril del 2014
y así sucesivamente durante 10 años, puesto que la
inversión tuvo lugar el 1° de Abril de 2013, (el último
retiro se efectuará el 1° de mayo de 2023, no en 2024). De
esta manera, fin de año significa un año a partir de la
fecha de la transacción (ya sea entrada o desembolso).
Colocación en el tiempo de P, F, y A
Debido a que el período de interés más común es un año, el
símbolo A indicará una cantidad de fin de año (desembolso o
entrada) seguida por n años consecutivos. Con este marco de
tiempo es conveniente definir nuestros símbolos con mayor
precisión, utilizando paréntesis para las unidades comunes.
Donde:
n = Número de períodos de interés (generalmente años)
i = Tasa de interés por período de interés (% anual)
P = Una suma sencilla de dinero en el presente ($)
F = Una suma sencilla de dinero, al final de n períodos
de interés ($)
A = Una serie de cantidades de fin de período, consecutivas e
iguales ($ por año).
En el próximo tema se aprenderá a determinar las relaciones
equivalentes entre los valores P, F, y A en tiempos diferentes.
Continua…
DESCRIPCION Y TABULACION DEL FLUJO DE CAJA
01/05/2013 17
Toda persona o compañía tiene entradas de dinero
(ingresos) y desembolsos de dinero (costos). El resultado
de ingresos y costos es llamado por conveniencia flujo de
caja y puede verse como entradas netas y desembolsos
netos que resultan de las entradas y los desembolsos
ocurrido en un mismo periodo de interés.
Algebraicamente.
Así, un flujo de caja positivo indica una entrada neta en un
periodo de interés especifico del año, mientras que un flujo
de caja negativo indica un desembolsos neto en dicho
periodo.
sDesembolso - Entradas caja de Flujo
Descripcion y Tabulacion del Flujo de Caja
Ejemplo 2.5: Supongamos que usted solicito un
préstamo de $ 1.000 el 1° de abril se comprometió a
pagarlo en una suma global de $ 1.402,60 al final de
cuatro años % anual. Tabule sus flujos de caja anuales.
Ejemplo 2.6: Si usted compra un televisor nuevo en el
año 2013 por $ 300, lo mantiene durante tres años a un
costo de $ 20 anuales y después lo vende por $ 50
¿cuales son sus flujos de caja?
Ejemplos prácticos
Tabulando los flujos de caja anuales.
Fecha Entrada Desembolso Flujo de caja
Abril 1, 2013
Abril 1, 2014
Abril 1, 2015
Abril 1, 2016
Abril 1, 2017
$ 1.000,00
0
0
0
0
$ 0
0
0
0
1.402,60
$ 1.000.00
0
0
0
-1.402,60
Resolución Ejemplo 2.5
Año Entrada Desembolso Flujo de caja
2013
2014
2015
2016
$ 0
0
0
50
$ 300
20
20
20
$ -300
- 20
- 20
+ 30
Comentario: Es importante recordar que todas las
entradas y desembolsos y por lo tanto los valores del flujo
de caja, se consideran cantidades de fin de periodo. De
esta manera, en el año 2013 es el presente (ahora) y 2016
es el final del año 3.
Resolución Ejemplo 2.6
DESCRIPCION Y
TABULACION DEL FLUJO DE
CAJA01/05/2013 22
Un diagrama de flujo de caja es simplemente la
representación gráfica de los flujos de caja dibujados en
una escala de tiempo.
El diagrama debe representar el enunciado de un
problema y debe incluir los datos dados y los que hay
que encontrar.
Es decir, después de dibujar el diagrama de flujo de
caja un observador ajeno al problema debe ser capaz de
solucionarlo mirando el diagrama de flujo de caja.
El tiempo cero se considera el presente y el tiempo 1 el
final del periodo de tiempo 1.
DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA
La escala de tiempo de la figura 2.1 se ha establecido por
cinco años, dado que se supone que los flujos de caja
ocurren solo al final del año, nos preocupamos solamente de
los tiempos denominados 0, 1, 2, …, 5.
Figura 2.1 Una escala de tiempo típica de un diagrama de flujo de caja
La dirección de las flechas en el diagrama de flujo de caja es
muy importante para la solución de problemas.
Por lo tanto, en este capitulo utilizamos una flecha vertical
que señala hacia arriba para indicar un flujo de caja
positivo.
Continua…
01/05/2013 25
Figura 2.2 Ejemplo de flujos de caja positivo y negativo
1 2 3
0
+
-
tiempo
tiempo
Contrariamente, para indicar un flujo de caja negativo se
utiliza una flecha señalando hacia abajo.
La Figura 2.2 ilustra un diagrama de flujo de caja en el
cual aparece una entrada (ingreso) al final del año 1 y un
desembolso al final de año 2.
Continua…
Ejemplo 2.7: Considere la situación presentada en el ejemplo
2.1, donde $ 2.000 (P) es el préstamo y F se debe encontrar
cinco años después. Haga un diagrama de flujo de caja para
este caso, suponiendo una tasa de interés (i)del 6% anual.
Ejemplo 2.8: Si usted comienza ahora y efectúa cinco
depósitos de $ 1000 por año (A) en una cuenta al 7% anual,
¿cuánto dinero se habrá acumulado inmediatamente después
que ha hecho el último depósito? Elabore un diagrama de flujo
de caja.
Ejemplo 2.9: Supongamos que usted se propone depositar
una cantidad P en una cuenta dentro de dos años a partir de
la fecha, para retirar $ 400 anuales durante cinco años
comenzando dentro de tres años. Vamos a pretender que la
tasa de interés es 5 1/2% anual. Elabore el diagrama de flujo
de caja.
Ejemplos prácticos
01/05/2013 27
Es importante que el estudiante entienda detalladamente el
significado y construcción de un diagrama de flujo de
caja, ya que éste es una valiosa herramienta para la solución
de los problemas. Los tres ejemplos siguientes ilustran la
construcción de diagramas de flujo de caja.
Resolución Ejemplo 2.7
Paso 1. CRITERIO
En esta situación sólo se trabaja
con P y F.
El valor de A no se toma en
cuenta dado que todas las
transacciones son pagos
sencillos.
01/05/2013 28
P = $ 2000
F = ?
1 20
+
-
3 4 5
i= 6 %
Figura 2.6 Diagrama de Flujo de caja para el ejemplo 2.10
Paso 2. DATOS
P = $ 2000
F = ?
i = 6% anual
n = 5 años
Paso 3. GRAFICO
Continua…
01/05/2013 29
Los flujos de caja se muestra en el siguiente diagrama
Resolución Ejemplo 2.8
Paso 1. CRITERIO
En esta situación sólo se trabaja
con A y F.
El valor de P no se toma en
cuenta dado que todas las
transacciones son pagos
sencillos.
Paso 2. DATOS
A = $ 1000
F = ?
i = 7% anual
n = 5 años
01/05/2013 30
Figura 2.4 Diagrama de Flujo de caja para el ejemplo 2.8
Comentario Dado que usted decidió empezar ahora, el primer
depósito es en el año cero, el quinto depósito y el retiro de fondos
ocurrirán al final del año 4. Tenga presente que en este ejemplo, la
cantidad acumulada después del quinto depósito debe ser
calculada; entonces la cantidad futura se representa por un signo
de interrogación (por ejemplo, F = ? ).
A = $ 1000
F = ?
1 20 3 4
i= 7 %
Paso 3. GRAFICO
Continua…
01/05/2013 31
La figura 2.5 ilustra los flujo de caja, donde se debe
encontrar P
Resolución Ejemplo 2.9
Paso 1. CRITERIO
En esta situación sólo se trabaja
con P y A.
El valor de F no se toma en
cuenta dado que todas las
transacciones son pagos
sencillos.
Paso 2. DATOS
P = $
A = 400
i = 5 1/2%
n = 2 años deposita una cantidad P
N = 5 años retirar deposito cantidad A
01/05/2013 32
Resolución Ejemplo 2.9
Comentario Observe que el diagrama ilustra los datos
proporcionados y los que hay que encontrar. El diagrama, por lo
tanto, expresa claramente qué cálculos deben efectuarse Dichos
diagramas de flujo de caja son muy importantes en los capítulos
posteriores, donde se presentan problemas descriptivos más
extensos.
A = $ 400
P = ?
1 20 3 5 6
i= 5 1/2 %
Figura 2.5 Diagrama de Flujo de caja para el ejemplo 2.9
4 7
Paso 3. GRAFICO
EJEMPLOS RESUELTOS
Ejemplo 2.10: Supongamos que usted quiere hacer un
depósito total de $ 5000 hoy en una cuenta que paga el 6%
anual y que usted se propone retirar una cantidad de final
de ano igual de $ 1000 durante cinco años, a partir del año
entrante. Al final del sexto ano, usted piensa cerrar la
cuenta retirando los fondos restantes. Defina los símbolos
de ingeniería económica involucrados.
Ejemplo 2.11: La compañía HRP invirtió $ 2.500 en un
nuevo compresor de aire hace siete años. El ingreso anual
del compresor era $ 750 anuales. Durante el primer año se
gastaron $ 100 en mantenimiento y este costo aumentó
cada año en $ 25 anuales. La compañía piensa vender el
compresor con fines de recuperación al final del año próximo
(año 8) en $ 1500. Tabule los flujos de caja anuales para
esta pieza del equipo.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 2.12: Supongamos que usted desea hacer hoy un
depósito en su cuenta para poder retirar una cantidad" igual
anual de A1= $200 durante los primeros cinco años,
comenzando un año después de su depósito, y una
cantidad diferente anual de A2 = $300 durante los tres años
siguientes.' ¿Cómo resultaría el diagrama de flujo de caja-si i
es 4 ½% anual?
Ejemplo 2.13: Considere los flujos de caja del ejemplo 2.6.
Haga un diagrama de los flujos de caja y designe cada flecha
con P, F. ó A con su valor de dinero respectivo si desea
encontrar la cantidad única en 2012 que sería equivalente a
todos los flujos de caja mostrados. Suponga una tasa de
interés del 7%.
Ejemplos Resueltos
Paso 1. CRITERIO
En esta situación se trabaja con P, A y F.
Resolución del Ejemplo 2.10
Paso 2. DATOS
P = $ 5000
A = $ 1000 anuales durante cinco años
F = ?
i = 7% anual
n = 5 años
Paso 1. CRITERIO
Tabulando los flujos de caja anuales para la pieza del equipo.
Resolución del Ejemplo 2.11
Paso 2. CUADRO DE FLUJO DE CAJA
Fin de año Ingreso Costo Flujo de caja
0
1
2
3
4
5
6
7
8
$ 0
750
750
750
750
750
750
750
750+150
$ 2500
100
125
150
175
200
225
250
275
$ - 2500
650
625
600
575
550
525
500
625
Paso 1. CRITERIO
Los flujos de caja resultarían como ilustra
la fig. 2.6.
El primer retiró (flujo de caja positivo)
ocurre al final del año 1, exactamente un
ano después de que se ha depositado P.
Resolución del Ejemplo 2.12
Paso 2. DATOS
P = $ 5000
A = $ 1000 anuales durante cinco años
F = ?
i = 7% anual
n = 5 años
Paso 3. GRAFICO
A = $ 200
P = ?
1 20 3 5 6
i= 4 1/2 %
Figura 2.6 Diagrama de Flujo de caja para el ejemplo 2.12
4 7 8
A = $ 200
Continua…
Paso 1. CRITERIO
La Figura 2.7 presenta el diagrama de flujo
de caja
Resolución del Ejemplo 2.13
Paso 2. DATOS
P = ?
F1 = $ 300
F2 = $ 30
A = $ 20
i = 7% anual
n = 5 años
Figura 2.7 Diagrama de Flujo de caja para el ejemplo 2.13
A = $ 20
P = ?
2013 20142012 2015 2016
i= 7 %
A = $ 20
F1 = $ 300
F2 = $ 30
Comentario: Los dos flujos de caja negativos de $20 forman usa
serie de dos valores iguales de fin de año.
Siempre que los dos valores san iguales y ocasionan en dos o más
períodos consecutivos, se pueden representar por A, sin tener en
cuenta dónde empiezan o dónde terminan.
Continua…Paso 3. GRAFICO
Sin embargo, el flujo de caja positivo de $ 30 es 2016 es un valor
de ocurrencia única en el futuro y, por lo tanto, se puede
denominar valor F.
Es posible, sin embargo, considerar todos los flujos de caja
individuales como valores F.
El diagrama se puede dibujar tal como se ilustra en la figura
2.8.
No obstante, generalmente, si dos o más cantidades iguales de
fin de año ocurren consecutivamente, según la definición
(Colocación en el tiempo P, F o A) deberían denominarse valores
A porque, como se describira en el capítulo 3, el uso de valores A
cuando sea posible simplifica considerablemente las
operaciones.
De esta manera, se deja de lado la interpretación del diagrama
de la figura 2.8 y no se volverá a utilizar en este texto.
Figura 2.8 Un flujo de caja para el ejemplo 2.13 que considera todos los valores como futuros
F2 = $ 20
P = ?
2013 20142012 2015 2016
i= 7 %
F 3= $ 20
F1 = $ 300
F4 = $ 30
Tenemos que cuidarlo esta en nuestras manos!!!!!!!
Gracias
Cel. 956-041243
[email protected]/05/2013 44
