Tema 2: Medimos para conocer mejoragrega.juntadeandalucia.es/repositorio/08112010/17/es-an... · números, tu conocimiento es pobre e insatisfactorio: puede ser el principio del

Tema 2: Medimos para conocer mejor

Medimos con reglas, cintas métricas, relojes, balanzas, termómetros, voltímetros, etc. Todas estasmedidas nos dan información para realizar tareas cotidianas de forma eficiente y fiable.

En ciencia tenemos que medir para conocer con más detalle el mundo que nos rodea y a la vez poderbuscar leyes en forma de relaciones matemáticas, que es la forma en que hoy mejor se puedeninterpretar los fenómenos que ocurren en el Universo.

"Cuando puedes medir aquello de lo que hablas, y expresarlo con números, sabes algoacerca de ello; pero cuando no lo puedes medir, cuando no lo puedes expresar connúmeros, tu conocimiento es pobre e insatisfactorio: puede ser el principio delconocimiento, pero apenas has avanzado en tus pensamientos a la etapa de ciencia" (LordKelvin)

¿Qué chica es más alta en el dibujo? ¿Qué figura es mas grande?

Mide con tu regla. La medida nos resuelve definitivamente la duda. ¿Coincide con la apariencia?

Mediante instrumentos, el hombre ha aprendido a detectar niveles y señales inaccesibles a nuestrossentidos. Telescopios, miscroscopios, micrófonos, detectores de radiación, recptores de radio ymuchos más. Los instrumentos nos han mostrado mundos que antes estaban ocultos y también loshemos medido para poder explicarlos mejor.

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1. Las cosas que se miden

¿Qué entendemos por magnitud?

Llamamos magnitud a todo aquello que podemos medir. Sonmagnitudes físicas la masa, el tiempo, la velocidad, la fuerza, laenergía, la temperatura, etc.

Escribe tres ejemplos de magnitudes físicas y otros tres de cualidades que no sonmagnitudes físicas

Las cosas que medimos pueden tener distintosnombres y sin embargo corresponer a una mismamagnitud.

La longitud L, es la distancia entre dos puntos.

Son medidas de longitud el ancho, el alto, el fondo, el grosor, la profundidad. Todo lo que se puedaexpresar con la misma unidad es una única magnitud aunque tengan nombres distintos.

¿Cómo se expresa una medida?

Una medida se expresa mediante una cantidad y una unidad. Decimos por ejemplo"he comprado 3 metros de tela". 3 es la cantidad y la unidad es el metro.La magnitudmedida es la longitud.

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a) Mi banca mide 75 cm de alta.

b) El tiempo que dura la clase es de 60 min.

c) Compré tres kilos de tomates.

d) Esa moto va a 80 km/h.

e) Estamos a 35 ºC.

F) Es capaz de beberse dos litros de Coca-Cola.

Vamos a reflexionar sobre cómo se hace unamedida. Supongamos que tenemos que medir unalongitud y no tenemos metro, ni cinta ni ningúnotros instrumento. Podemos utilizar como unidadun paso, la mano extendida (palmo), el pie, o lapulgada (última falange del dedo pulgar).Por ejemplo la mesa mide 5 palmos, la clase tiene15 pasos de larga, el libro mide 5 pulgadas.

¿Pero qué pasaría si estas medidas las hicierandistintas personas?

Las medidas saldrían distintas y sería dificilentendernos. Por eso es conveniente que haya unsistema internacional que defina con precisión lasunidades.

¿Cómo se mide?

Medir una magnitud es compararla con un valor que tomamos como unidad y vercuántas veces la que medimos contiene a la unidad. El sistema internacional (SI) esun acuerdo para la utilización por todos los países de las mismas unidades.

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2. ¡Necesitamos un acuerdo!

El Sistema Internacional de Unidades

En 1960 se creó el Sistema Internacional de Unidades cuya abreviatura es SI. En España se aprobóen 1987.

Toda la comunidad científica aceptó este sistema unificado deunidades físicas. A la derecha podemos ver el cilindro que seutilizó de patrón del kilogramo.

Sus magnitudes y unidades fundamentales son estas:

Magnitud Unidad

Masa (M) Kilogramo (kg)

Longitud(L) Metro (m)

Tiempo (T) Segundo (s)

Temperatura (θ) Grado Kelvin (ºK)

La intensidad de corriente(I) Amperio(A)

La intensidad luminosa (Il) Candela(cd)

La cantidad de sustancia(n) El mol (mol)

Si la magnitud que se mide es muy grande utilizaremos múltiplos que se relacionan con la unidadmediante potencias de diez con exponente positivo.

La distancia entre Almería y Granada es de 180 km.

1 km = 1000 m = 103 m

Si por el contrario la magnitud es más pequeña que la unidad, la relación se establece mediante unapotencia de diez con exponente negativo.

El espesor de un folio es de 0,07 mm

1 mm = 0.001 m = 10-3 m

El espesor de un folio se puede expresar así: 0,07 mm = 0,07. 10-3 m = 7.10

-2. 10

-3 m = 7.10

-5m


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Múltiplos y submúltiplos

Para medir objetos pequeños o grandes en comparación con las unidades del SI seutilizan múltiplos y submúltiplos.

Si la magnitud que se mide es muy grande utilizaremos múltiplos que se relacionancon la unidad mediante potencias de diez con exponente positivo.

Prefijo Giga Mega Kilo Hecto Deca Deci Centi Mili Micro Nano

Símbolo G M k h da d c m µ n

Factor 109

106

103

102 10 10

-110

-210

-310

-610

-9

La notación científica

Para valores muy grandes o muy pequeños es convenienteutilizar las potencias de 10. Por ejemplo:

La velocidad de la luz es de 300 000 000 m/s = 3.108 m/s

El diámetro de un átomo es 0,000 000 000 064 m = 6,4.

10-11

m

Se ve claro que la notación científica es más clara yelegante. Tenemos que tener claro que cuando la potenciade 10 es positiva nos dice lo grande que es ya que esequivalente al número de ceros que hay que añadir alnúmero.

Si la potencia es negativa, nos indica lo pequeño que es, yrepresenta lo que hay que desplazar la coma hacia laizquierda.

Para pasar a notación científica, el número se expresa con una parte entera de unúnico digito distinto de cero y una parte decimal, todo ello multiplicado por una

potencia de 10. Ejemplo 6,23.1020

Ejemplos: Vamos a poner con tres cifras de precisión en notación científica estos números tancomplicados de leer.

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a) 2383451298 cm ---->Dejamos tres cifras 2,38, una entera y las demás decimales. Vemos cuántoslugares hay que desplazar la coma desde las unidades hacia la derecha (9 lugares) porque es un

número mayor que 1 ------------>2,38.109 cm

b) 0,000 000 000 27 185 g ----> Dejamos también tres cifras 2,72 ( hemos redondeado los 185 g

por 200 g). La coma se ha desplazado 10 lugares---------> 2,72.10-10

g

Para operar con estos números hay que recordar que cuando se multiplican potencias de la mismabase se suman los exponentes y cuando se dividen se restan.

1,67.105 .2,81.10

2 = 1,67. 2,81. 10

5+2 = 4,6827.10

7 ----> 4,68.10

7

Pasa a notación científica con tres cifras de precisión los siguientes números:

a) 3420100

b) 0,00000367201

Medida directa es aquella que se hace con el instrumento de medida de esamagnitud. Por ejemplo cuando medimos la longitud de un campo de fútbol con unacinta métrica estamos haciendo una medida directa.

Medida indirecta es la que se otiene haciendo un cálculo a partir de otras magntudesmedidas. Por ejemplo, cuando queremos saber la superfcie del campo de fútbol paracubrirlo de césped artificial tenemos que multiplicar el largo por el ancho.

Superficie S = a.b. El resultado son lo m2 que tendremos que comprar de césped.

Eso es una medida indirecta.

La mayor parte de las medidas son indirectas. El valor de la medida se obtiene a partirde un cálculo

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Cómo medir la superficie útil tu casa

¿Qué necesitamos? Uncuaderno cuadriculado o foliosde papel milimetrado, lápiz,regla, borrador, calculadora yuna cinta métrica, cuanto máslarga mejor porque así lasmedidas serán más exactas.

Para dibujar la planta, vamoshabitación por habitaciónmidiendo el ancho ymultiplicando por el largo:4,20 metros de largo por 3,50de ancho, nos da que esahabitación tiene un superficie14,70 m².

Cuando le falta un trozo se leresta esa superficie. Si el trozoes triangular se calcula usandola fórmula del área deltriángulo:

Area = Base x altura/2 = B.h/2

Haz el cálculo de la superficie útil de la habitación de la figura sabiedo que el dbujoestá hecho a una escala 1:50 (por cada unidad del papel 50 de la realidad).


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3. Todo, todo al sistema internacional

Aunque podamos expresar las medidas con distintas unidades tenemos que aprender a convertirlasal Sistema Internacional para poder utiizarlas en las fórmulas.

Vamos a ver ejemplos de como convertir medidas a unidades del SI en el caso de magnitudesfundamentales:

Longitud Tiempo Masa Ejemplos

1 cm = 10 -2 m

1 mm = 10 -3 m

1 km = 103 m

1 min = 60 s

1 hora = 60 min =

=60 x 60 s = 3600s

1 g = 10-3 kg

1 t = 1000 kg

4 cm = 0,04 m = 4 . 10-2 m

456 g = 0,456 kg

34 km = 34 000 m = 34. 103 m

200 ms = 200.10-3 = 0,2 s

Convertir magnitudes derivadas

Las magnitudes derivadas son las que se pueden obtener relacionando algunasmagnitudes fundamentales.

Un ejemplo es la velocidad que se obtiene dividiendo el espacio recorrido porel tiempo. Su unidad es el m/s que no tiene nombre especial.

La aceleración es el cociente entre la velocidad y el tiempo. Su unidad es el

m/s2, también sin nombre especial.

La unidad de fuerza es el Newton (N). La fuerza es el producto de la masa por la

aceleración. 1N = 1kg.m/s2

La unidad de energía es el Julio. 1 Julio es el trabajo que realiza una fuerza de un1 Newton al desplazar un objeto una distancia de 1 metro. Por tanto 1 Julio = 1N.m

Hay unidades muy frecuentes y por eso nos puede resultar muy práctico saber cuál es la conversióndirecta.

En la tabla siguiente podemos ver la equivalencia entre algunas unidades frecuentes:

Volumen Energía Potencia

1 L = 1 dm3

-------------

1 dm3 = 10

-3 m

3

---------------

1 cm3 = 10

-6 m

3

1 cal = 4,18 J

---------------

1kWh = 3.6 106 J

1 CV = 735,5 W

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Para convertir otras medidas se utilizan los factores de conversión. Un factor deconversión es una fracción de valor uno. En el numerador y en el cociente tenemosuna misma medida expresada en dos unidades diferentes. En el denominador seescribe la unidad que queremos que desaparezca y en el denominador la nuevaunidad en la que queremos expresar la medida.

Por ejemplo:

Equivalencia Factor de conversión

1 km es equivalente a 103 m

1 kg es equivalente a 103g

1 hora son 3600 s

Si quiero pasar 2 mg a g------------>

Si quiero pasar 2 horas a segundos------------>

Trata de pasar al sistema internacional la siguientes medidas

a) 72 Km/h

b) 2,7 g/cm3

Caloría y Julio son dos unidades de energía. Sabiendo que 1 caloría

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2. 3,5 kJ a calorías.

Veamos el primer caso.

Observa que cuando queremos pasar de calorías a Julios, usamos el factorde conversión con los Julios en el numerador y las calorías en eldenominador. Al simplificar la fracción podemos eliminar las calorías queaparecen arriba y abajo en la fracción.

Veamos el segundo caso. Primero convertirmos los kilojulios en Julios.

que cuando queremos pasar de kilojulios a Julios, usamos el factor deconversión con los kilojulios en el denominador y los Julios en el numerador.Al simplificar la fracción podemos eliminar los kilojulios que aparecen arribay abajo en la fracción.

Luego convertimos los Julios en calorías.

Observa que cuando queremos pasar de Julios a calorías, usamos el factorde conversión con los Julios en el denominador y las calorías en elnumerador. Al simplificar la fracción podemos eliminar los Julios queaparecen arriba y abajo en la fracción.


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4. Aparatos de medida: Imprecisiones yerrores

Necesitamos medir el ancho de una estantería de nuestra casapara hacer un encargo a un carpintero. Si medimos enmilímetros vemos que pueden salir resultados distintos segúncomo midamos. Y si quiseramos ser más precisos apareceríanmás diferencias.

Es absurdo pensar que podemos medir con totalexactitud. Siempre se producen imprecisiones pordiversas causas.

Llamamos imprecisión aboluta (IA) de una medida a la

diferencia entre el valor medido x y el valor real, xr.

También podemos calcular la imprecisión relativa (IR) para comparar la calidad de unas medidas

con otras. Se obtiene dividiendo la imprecisión absoluta por el valor real y multiplicándolo por 100para obtener el tanto por ciento de error. Una medida con una imprecisión relativa por debajo del 2% puede ser considera una buena medida.

¿Cuál de las siguientes medidas tiene mayor calidad?

Un ciclista que con su cuentakilómetros obtiene de medida de la longitud de unacalle 1234 m, siendo su valor real de 1245m.

Un dibujante que mide en un plano una logitud de 34 mm siendo la longitud real33 mm.

La medida nunca es exacta. Hay muchas causas que producen imprecisión. La máscomún es la debida a que los aparatos de medida no estén bien calibrados o laslecturas no se hagan bien.

Un error sistemático es aquel que es debido al proceso de medida. Un reloj queadelanta, una balanza que no está equilibrada, una regla torcida produce siempre unafalta o exceso del valor de medida.

Pregunta de Elección Múltiple

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ligeramente disitintos.

Imprecisión absoluta de una medida es la diferencia entre la medida tomada y elvalor verdadero. Es la desviación que hemos tenido. Lo lejos que nos hemos quedado

de acertar. IA = x - x

r

Imprecisión relativa (%) es el cociente entre la imprecisión absoluta y el valor real

multiplicado por 100. Nos informa de la calidad de una medida. IR = 100.(x -

xr)/x

r

Tiramos un montón de dardos al centro de centro deuna diana y estos se van distribuyendo por lasproximidades. No somos perfectos.

¿Dónde podemos intuir que estará el centro de la dianabasándonos en la posición en la que han quedado losdardos?

Ralaciona esto con la forma en que se calcula el valorde la medida cuando obtenemos muchas distintas porcausas accidentales.

Con un cronómetro que mide hasta las centésimas de segundo queremos medir el tiempo que tardaen caer al suelo una bola desde 20 metros de altura.

Empezamos a anotar y nos salen resultados como estos, 1,98 s, 1,87 s, 2,0s , 1,92 s, 1,94 s y 1,91 s.

El tiempo, de forma aleatoria, cambia en cada medida. Decimos que estamedida está afectada por un error accidental. Una vez nos adelantamos alactuar sobre el cronómetro y otras veces nos retrasamos. Lo mejor paracorregir su efecto es hacer muchas medidas y finalmente hacer la media.

1 2 3 4 5 6 t.medio

1,98 s 1,87 s 2,0 s 1,92 s 1,94 s 1,91 s 1,94 s

Para tener una idea del margen de imprecisión de la medida podemos hacer una media de lasdesviaciones, D, que han tenido las medidas con respecto al valor medio que lo tomamos como elverdadero.

Medida 1 2 3 4 5 6 Medias


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t 1,98 s 1,87 s 2,0 s 1,92 s 1,94 s 1,91 stm

1,94 s

D 0,04s 0,07s 0,06s 0,02s 0,00s 0,03s

Dm

0,03s

Para calcular cada desviación restamos el valor de la media y nos quedamos con su valor absoluto (el mismo número si es positivo o el opuesto si es negativo).

D1= |t

m - t1| = |1.94 -1.98| = |- 0.04 | = 0.04

Y así todos los demás. Finalmente calculamos la media de todas las desviaciones.

IMPRECISIÓN INSTRUMENTAL

Una regla es un instrumento sencillo que nos puede ayudar a comprender algunos aspectosimportantes de la medida.

En dibujo se utiliza habitualmente la regla milimetrada que quiere decir que esta dividida enmilímetros.Supongamos que cuando medimos la longitud de un lápiz vemos quesu extremo está entre 84 y 85 mm, es decir, después del número 8 cmentre la cuarta y la quinta rayita de los milimetros. Esto es normal queocurra. No vamos a tener la suerte de que tenga una medida exacta,¿qué valor de medida tomamos? Bueno pues si decimos 84 no escorrecto y si decimos 85 tampoco y si decimos 84,2 pues no es ciertoque podamos saber ese decimal. Lo mejor es reconocer que nosmovemos en un margen de imprecisión de 1 mm. Decimos que laregla tiene una imprecisión de 1 mm. Todos los aparatos tiene unaimprecisisón que es el mínimo valor que puede distinguir. La medida lapodemos expresar como 84 si aceptamos que esa última cifra no essegura. Las cifras de una medida son todas seguras salvo la última que puede cambiar hasta unlímite que depende de la imprecisión del instrumento.

Todos los aparatos tiene una imprecisisón que es el mínimo valor que puedendistinguir. La medida la podemos expresar como un número y aceptamos que laúltima cifra no es segura. Las cifras de una medida son todas seguras salvo la últimaque puede cambiar hasta un límite que depende de la imprecisión del instrumento.

Las probetas de la figura miden el volumen de dos líquidos en mililitros (mL).

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¿Cuál es la imprecisión de cada una de lasprobetas?

La pesa más pequeña de una balanza de brazos igualeses de 2 g.

Otra balanza, de tipo digital, de las que usan en loscomercios mide de 5 en 5 g.

¿Qué balanza mide con más precisión?

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Llamamos cifras significativas a las que se relacionan con la medida. Cuando hagamoscálculos no podemos escribir los resultados con más precisión que la que aportan lasmedidas. Si nos salen más cifras deberemos redondear. Pasamos a cero las cifras nosignificativas y las expresamos como potencias de 10.

Reglas de redondeo. Una vez que sepas cuantas cifras significativas debes tener, el número se redondeautilizando las siguientes reglas:

Si el primer dígito no significativo (primero de la derecha) es menor que cinco,se elimina y se mantiene el anterior que se convierte así en el último. Ejemplo siel número es 3,72; como el último dígito es 2 (menor que cinco), quedaría 3,7.

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si seguimos redondeando el resultado anterior (13,7) quedaría 14 dado que 7 esmayor que cinco, se suma una unidad al anterior que pasaría de 3 a 4.

Supongamos que tenemos que hacer un cociente entre dos medidas de 10,2m y 1,4 s. Como 1,4 s solo tiene dos cifras significativas, el resultado esridículo que lo expresemos con más precisión. Esto se debe a que si en laprimera medida tenemos una impresición relativa de 1/102*100 y en lasegunda de 1/14*100, el cociente de ambas será tan impreciso como la quemás lo sea. Por lo tanto nos quedamos con una sola cifra significativa aloperar.

10,2/1,4 = 7,28571.... --> redondeo = 7,3

Mantenemos así el mismo tipo de precisión en el resultado que el que aportala medida menos precisa.

Según esto, no es lo mismo 45,0 cm que 45 cm. La primera medida tiene una imprecisión de 0,1 cm. Se ha hecho con una cinta milimetrada. La segundatiene una imprecisión de un centímetro. Es como una cinta de costura que solo tiene marcado loscentímetros. La primera es una medida más precisa.

Aunque hagamos un cambio de unidad la medida debe seguir manteniendo sus cifras. Llamamoscifras significativas a aquellas que tienen que ver con la medida y nos dan una idea de su precisión.

45,0 cm = 45,0 . 10-2 m

Las cifras de medida siguen siendo tres 45.0 y debe de mantenerse separadas de la potencia de 10que indica otra cosa, un cambio de unidad.


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5. Cómo se mide la materia

Cómo medimos la materia: Masa, volumen y densidad

Vamos a meternos en el laboratorio. Queremos medir algunas propiedades de la materia. Lamateria se caracteriza porque ocupa volumen y tiene masa.

CÓMO MEDIR EL VOLUMEN

1) Volumen de cuerpos geométricos.

La caja rectangular o paralelepípedo. V = a.b.c

El cilindro. V = Π.R2.h

La esfera: V = 4/3.Π.R3

2) Volumen de un líquido.

Las probetas son tubos de cristal con unagraduación normalmente en mililitros, mL.Se pone el líquido y según la altura quealcanza podemos ver el volumen.

3) Volumen de un sólido irregular sepuede medir por desplazamiento delíquido. Se echa liquido en una probeta yse mide el volumen. Se introduce el objetoirregular y se vuelve a medir el volumenque alcanza el liquido. La diferencia es elvolumen del sólido. En la figura se ve quees 4 mL.

MEDIDAS DE MASA.

La masa es la mejor forma de medir la cantidad demateria.

Para medir la masa se utiliza la balanza. La tecnologíahoy nos permite, mediante las balanzas digitales comola de la derecha, hacer lecturas directas sin tener queutilizar pesas.

Masa de un sólido. Para medir la masa de un sólidose pone sobre el plato y tenemos la masa. A veces,cuando la sustancia está en polvo, hay que utilizar unrecipiente que se pesa previamente vacío. Después, ala medida, se le resta el peso del recipiente.

Masa de un líquido. Pesamos primero el recipientevacío. Después agregamos el líquido y volvemos apesar. Finalmente restamos y tenemos la masa dellíquido.

Masa de un gas. Como el líquido pero mucho más complicado. El problema del gas es que hay quemantenerlo en recipientes cerrados ya que si no se difunden y se mezclan con el aire.

MEDIDAS DE DENSIDAD.

La densidad de una sustania es el cociente entre su masa y su volumen: d = m/v.

La densidad es una propiedad característica de cada sustancia. Puede servir para distinguir unas deotras.


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Hemos medido con una regla milimetrada las dimensiones de una pequeña barrarectangular de aluminio y hemos obtenido las siguientes medidas:

a= 6,2 cm

b= 1,4 cm

c = 1, 4 cm

Calcula su volumen y exprésalo con las cifras significativas que le corresponden.

Vamos a hacer los experimentosque se proponen en esta páginaweb.

Tienes que realizar lo que sepropone referente a:

1) MEDIDA DE MASA

2) MEDIDAS DE VOLUMEN

3) MEDIDAS DE DENSIDAD

(SE TRATA DE UN EXPERIMENTOSIMULADO INTERACTIVO)Haz un informe del experimento y de los resultados obtenidos.


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