Tema 2: Modelado de sistemas físicos

Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

Tema 2: Modelado deTema 2: Modelado de sistemas físicos. sistemas físicos.


2

1. Procedimiento de modelado2. Principios de conservación 3. Ecuaciones constitutivas

3.1 Transporte3.2 Reacción3.3 Propiedades físicas3.4 Otras relaciones/restricciones

4. Ejercicios y aplicaciones

Indice


3

1. Procedimiento de modelado


4

Describir el proceso a modelar y el objetivo.Especificar entradas y salidasEspecificar el grado de exactitud requerido y el ámbito de aplicaciónEspecificar las características temporalesEspecificar la distribución espacial.

Definición del problema


5

Identificar los factores y mecanismos controlantes

Qué procesos físico-químicos y qué fenómenos suceden:Reacción químicaDifusión de masaConducción de calorTransferencia de calor

por conveccionEvaporaciónMezcla turbulentaTransferencia de masa o energíaFlujo de fluidos


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Ejemplo

Identificar los mecanismos controlantes en el siguiente sistema.

Flujo de líquido entrante y salienteFlujo de aceite entrante y saliente a la camisaTransferencia de calor entre la camisa y el tanqueTrabajo del agitadorPérdidas de calor a través de la camisaPérdidas de calor a través de la superficie del líquidoEvaporación de líquido


7

Evaluar los datos empíricos de que disponemos y su exactitud.Evaluar los parámetros de que disponemos y su exactitud.Si faltan datos o parámetros puede ser que el problema haya que redefinirlo.

Desarrollar las ecuaciones del modelo.Procedentes de principios de conservación (serán ecuaciones algebraicas/diferenciales)Procedentes de ecuaciones constitutivas (serán en general ecuaciones algebraicas).Verificar que el modelo está correctamente especificado: Análisis de los grados de libertad.Verificar la consistencia del modelo: chequeo de unidades y dimensiones.

Evaluar los datos

Construir el modelo


8

Subprocedimiento para construir el modelo

Establecer los volúmenes donde se van a realizar los balances de materia, energía y momento.

Determinar qué variables (total, componentes, molar o másica,...) van a caracterizar el sistema: entradas, salidas y estados internos

Plantear los balances de conservación: materia, energía y momento.

Plantear las ecuaciones de transporte de calor, masa y momento entre los diferente volúmenes.

Establecer las leyes termodinámicas, como ecuaciones de estado...

Relación entre diferentes volúmenes donde se aplican las ecuaciones, por ejemplo entre diferentes fases.Definir las restricciones del proceso, bien sean por operación o por control

Definir y aplicar las suposiciones del modelo.


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Los grados de libertad se definen como:

DOF= Número de variables(incógnitas) – Número de ecuaciones

Indican el número de variables que se deben fijar para que el problema estébien formulado o completamente determinado. (DOF=0)

Si tras un análisis de DOF tenemos:

Grados de libertad (DOF)

Es importante hacer un análisis de los grados de libertad antes de resolver el modelo.

Sistema indeterminado, hay que especificar menos variables o bien añadir nuevasEcuaciones independientes que las contengan.

Sistema sobredeterminado. Las ecuaciones que sobran pueden ser:Redundantes: No añaden información al sistema (no son

independientes)Inconsistentes: Son ecuaciones independientes que hacen el

sistema irresoluble.

DOF<0

DOF>0


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Identificar la forma matemática del modelo.(generalmente AEs/ODEs/DAEs)Escoger un procedimiento (método numérico) de resolución.Intentar evitar problemas matemáticos (como “alto índice”) que dificultan el uso de métodos estándar de resolución.

Verificar si el modelo se comporta correctamente.Verificar la correcta implementación (código del programa) del modelo.

Resolver el modelo

Verificar laSolución del modelo


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Validar el modelo

Se chequea el modelo (los resultados de su simulación) con la realidad modelada.Posibilidades de validar el modelo:

Verificar las suposiciones de forma experimental.Comparar el comportamiento del modelo y del proceso real.Comparar el modelo con datos del proceso.

Realizar validaciones estadísticas: contraste de hipótesis, cálculo de medias, distribuciones, varianzas,...Corregir el modelo si los resultados de la validación no son de la exactitud especificada al formular la definición del modelo.


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Resumen: Elementos de un modelo.

Suposiciones.Características espaciales y temporalesCondiciones de flujoPropiedades a ignorar: dinámicas, términos de flujo,...Etc...

Ecuaciones y variables características.Ecuaciones de balance (diferenciales) y constitutivas (algebraicas)Variables: flujos, temperaturas, presiones, concentraciones, entalpías y acumulaciones de masa, energía y momento.

Condiciones iniciales.Condiciones iniciales para la resolución numérica (modelos dinámicos)

Condiciones de contorno (en el caso de modelos distribuidos).Parámetros.

Procedencia, valor, unidades, validez y precisión de los parámetros empleados.


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1.Definición:

-Agrupado/distribuido

-¿Dinámico?

Objetivo del modelo:

-Control/diseño/...

2.Mecanismos controlantes:

•Reacción química

•Transferencia de masa

•Transferencia de calor

•Transferencia de Momento

MODELADO DE UN REACTOR CSTR

Suposiciones:

1. Mezcla perfecta

2. Adiabático

ProblemDefinition

IdentifyControllingfactors

Evaluate the problemdata

Constructthe model

Solvethe model

Verify the modelsolution

Validatethe model

ProblemDefinition



Constructthe model

Solvethe model


Validatethe model

EJEMPLO


14ProblemDefinition



Constructthe model

Solvethe model


Validatethe model

3. Datos:

•Datos fisicoquímicos

•Datos de cinética química

•Parámetros del equipo

•Datos fisicoquímicos: Cp, entalpías, densidades,...

•Datos de cinética química: k0,Ea,Hreac

•Parámetros del equipo: V


15ProblemDefinition



Constructthe model

Solvethe model


Validatethe model

Suposiciones.Ecuaciones y variables características.

Ecuaciones de balance y constitutivas Variables.

Condiciones iniciales.Parámetros.

4. Construcción del modelo:

Suposiciones:

1. Mezcla perfecta

2. Reacción de primer orden

3. Adiabático

4. Propiedades constantes (densidad,...)

5. ...


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Ecuaciones:

Ecuaciones de balance

•Balances de masa

•Global

•A componentes

•Balance de energía

•Ecuación de Arrhenius

•Ecuación de la entalpía

•Relación concentración-masa

•...

0

aE

RTAr k e C

-

=H Cp T= D

A Am C V=

Condiciones iniciales:

CA(0)=CAi

T(0)=Ti

Parámetros y entradas:

•V,k0,EA,Cp,....•CAi,Ti,Fi

Ecuaciones constitutivas


17ProblemDefinition



Constructthe model

Solvethe model


Validatethe model

5. Resolución del modelo:

•Modelo dinámico: Ecuaciones algebraido diferenciales (DAEs)

6. Verificación del modelo7. Validación del modelo


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2. Principios de conservación

Se basan en los principios físicos que indican que la masa, la energía y el momento no pueden ser ni creados ni destruidos sino solo transformados.

Se establecen sobre una región de interés (con un volumen y una superficie asociada). Esta región se suele denominar volumen de control.

Los volumenes de control muchas veces se establecen:

•Los volúmenes físicos de los equipos.•Las diferentes fases presentes en un equipo.


19

Ejemplos de volúmenes de control


20

El balance dinámico sobre el sistema:

Cambio neto = Entra por - Sale por + Generación – Consumoen el tiempo la frontera la frontera neta neto

Este balance se aplica a: Masa, energía y momento.

Agrupados DinámicosDistribuidos Estáticos

Modelos macroscópicos (ODEs)Modelos microscópicos (PDEs)


21

Balance de masa global

2.1 Sistemas agrupados dinámicos

No hay descripción espacial.

Suposición: Volumen bien mezclado: densidad independiente del espacio

Suposición:Flujo de densidad homogéneo: densidad independiente de la superficiev = velocidad

F= flujo másico

V = volumen

A = superficie

= densidad

m = masaAcumula = Entra - Sale

( )v A

ddV v n dA

dtr r=- ×òòò òò

( )( )

A

d V dmv n dA

dt dt

rr= =- ×òò

1

( ) m

i i in in in out out outi Ai

d V dmv dA v A v A

dt dt

rr r r

== = = -å òò

in in in out out out in out

dmv A v A F F

dtr r= - = -


22

Balance de masa a componentes

Acumula = Entra – Sale + Genera - Consume

Expresado en masa

Expresado en moles

Balance a cada especie (componente) presente en el sistema (volumen de control)

( )i i iv A v

ddV v n dA rdV

dtr r=- × +òòò òò òòò

, , , , , , , ,i

i in i in i in i out i out i out i i in i out i

dmv A v A rV F F rV

dtr r= - + = - +

, ,i

i in i out i

dnn n rV

dt= - +


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Los balances de materia se pueden establecer en masa o en moles.El principio de conservación sólo se aplica a la masa global, por tanto si se expresa el balance de materia global en moles hay que tener en cuenta el término de generación/consumo por reacción.En los balances a componentes, sean en masa o en moles siempre hay que tener en cuenta el término generación/consumo por reacción.El balance a componente se puede reescribir a balance a la concentración del componente:

Consideraciones finales

EJEMPLOEJEMPLO

1( )i i i i

i i

dMx dx dx dMxdM dMx M x

dt dt dt dt M dt dt= + Þ = -


24

Balance de energía

Energía cinética

Energía potencial

Energía interna

La transmisión de energía puede ser:Por los flujos másicos (convección)Por conducción y radiación de calorTérminos de trabajo

E U K f= + +2 / 2K v

gz

U H PV

f

=

=

= +


25

Suposiciones:•La independencia de la densidad tanto del volumen como de la superficie•Energía cinética y potencial despreciables (baja velocidad y poca dif. de altura)

Balance de energía II

Acumula = transmite por flujo + transmite por calor + término de trabajo

Tiene el calor de reacción de forma implícita en el cálculo de las entalpías.

Suposición: PV constante

EJEMPLOEJEMPLO

( ) ( ) ( ) : :

( ) ( )( ) ( ) ( ( )( ) )

( ) ( )( ) ( ) ( ) :

c r s E F s Fv A

c r s Ev A A

c r s E Ev A

dEdV E v n dA Q Q W W W W trabajo eje W trabajo flujo

dtd

U K dV U K v n dA Q Q W W PV v n dAdtd

U K dV H K v n dA Q Q W W W trabajdt

r r

r f r f r

r f r f

= × + + + + +

+ + = + + × + + + + + ×

+ + = + + × + + + +

òòò òò

òòò òò òò

òòò òò expo ansion

( ) ( )in in in out out out c r s E

dUv A h v A h Q Q W W

dtr r= - + + + +

in in out out c r s E

dHF h F h Q Q W W

dt= - + + + +

( )in in out out c r s E R

dHF h F h Q Q W W rV H

dt= - + + + + + - D


26

Balance de momento ( o balance de fuerzas)

Acumula = momento entra – momento sale + generación de momento

Las fuerzas que generan momento son:•Fuerzas gravitatorias•Fuerzas de fricción•Fuerzas de presión•Fuerzas de cizalla

El balance a momento es un problema tri-dimensional dado que las magnitudes involucradas son vectores. (muchas veces se simplifica y se considera únicamente una dimensión)

EJEMPLOEJEMPLO

( )i o g p f c

d Mvf f f f

dt=M -M + + + +


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Balances a un sistema

Balances de masa

Global---------------------------1

Componentes-----------------NC-1

Balance de energía-----------------------1

Balances de momento--------------------3

(NC= número de componentes)

Las ecuaciones resultantes de establecer los balances a un sistema son:

Las ecuaciones generadas por estos balances en sistemas agrupados dinámicos son ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs)


28

2.2 Sistemas agrupados estacionariosNo hay descripción espacial.

No hay acumulación de :•Materia•Energía•Momentoen el sistema, dado que estamos en el estado final de equilibrio.

Todos los términos de las variables de estado (términos de acumulación) que son las derivadas temporales se igualan a CERO.

Las ecuaciones generadas por estos balances en sistemas agrupados estacionarios son ecuaciones diferenciales algebraicas (AEs)

No se considera la evolución temporal. El tiempo deja de ser una variable.

B. Materia

B. Energía

B. Momento

0 in outF F= - , ,0 i in i out in n rV= - +

0 ( )in in out out c r s E RF H F H Q Q W W rV H= - + + + + + - D

0 i o g p f cf f f f=M -M + + + +


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3. Ecuaciones constitutivas

Fenómenos de transferencia: masa, calor/energía y momento.Expresiones de cinéticas de reacción. Equilibrio químico.Relaciones termodinámicas. Relaciones entre volúmenes de control.Restricciones de equipos, control,...

Son ecuaciones algebraicas que junto con las ecuaciones procedentes del balance conforman el modelo. Estas ecuaciones:

•Relacionan las cantidades conservadas (variables extensivas) con variables intensivas.•Definen cantidades fisico-químicas como densidades, entalpías,...•Definen los ratios de transferencia (masa, energía,...)•Definen otras relaciones que permiten constituir el modelo.

Se pueden establecer 5 grupos que establecen ecuaciones constitutivas:


30

3.1. Fenómenos de transferenciaTransporte molecular (fenómenos microscópicos)

Transporte global (fenómenos macroscópicos)Cantidad Calor Masa MomentoFlujo q NA Z

Fuerza T CA PPropiedad Trans. Calor Trans. Masa Fricción

hT kL

Relación q= hT T NA= NA CA (factor fricción)

Cantidad Calor Masa MomentoFlujo q NA Z

Fuerza T/z CA/z vz/zPropiedad Conductividad Difusividad Viscosidad

kT DA Ley Fourier Fick NewtonRelación q= kT T/z NA= DACA/zZ=vz/z


31

Reacción simple:

3.2. Descripción cinética (Reacción Química)

nAA---------->nBB

Las expresiones cinéticas dependen mucho del tipo de aplicación y del sistema multi-fase de que se trate.La geometría, reacciones laterales, inhibiciones hacen que en la práctica se tengan expresiones complicadas.

;

( , ,...),

j

j

nAA B

d1 nr =V v dt

r kf C C r k ;Ca b= =

aE-RT0k = k e


32

Donde j son los coeficientes estequiométricos (reactantes <0) y j son los potenciales químicos.

Para una reacción de equilibrio en fase gas:

naA nbB

La ecuación anterior queda:

nb B - na A = 0

y para gases el potencial químico se puede definir:

j = jo + RT ln Pj

jo : Potencial químico estándar

Pj : Presión parcial del componente j.

Equilibrio Químico

queda descrito:

EJEMPLOEJEMPLO

NC

j jj=1

=0mnS


33

*Cualquier programa de simulación de procesos suele contener un servicio de propiedades físicas. *La calidad del diseño, simulación o estudio de un proceso depende de la forma en que las leyes físicas y químicas son aplicadas al problema. *Las tareas principales que debe proporcionar un servicio de propiedades fisicas son:

•Suministrar de forma reiterada estimaciones de un número de diferentes propiedades físicas durante la ejecución de la simulación •Proveer al usuario de valores de las propiedades de interés durante el cálculo o bien al final de la simulación. •Permitir al usuario introducir sus propios datos para nuevos componentes y emplearlos en el paquete de simulación

• Proporcionar al usuario una forma de estimar de forma media las propiedades de compuestos de los que se sabe poco más que su estructura.

3.3 Relaciones termodinámicas

Importancia de las propiedades físicas


34

*El cálculo de las propiedades físicas se lleva gran parte del tiempo del cálculo total de las simulaciones.

*Dependiendo del problema y del programa empleado el tiempo dedicado a las propiedades físicas puede ser del orden del 80%

*Cualquier preprocesamiento que se pueda hacer es por tanto muy necesario.

Un ingrediente esencial para el éxito es la elección de UN SISTEMA DE REFERENCIA ÓPTIMO.


35

3.3.1 Relaciones entre propiedades

Son relaciones no-lineales entre variables termodinámicas.

= f(P,T,x) Densidad

h = g(P,T,x) Entalpía

(T = Temperatura, P=Presión, x = fracción molar)

La entalpía se puede aproximar:

00( ) ( ) ( )

T

pTh T h T c T dT= +ò


36

iI = i

II

3.3.2. Descripción del equilibrio

Equilibrio de fases

Liquido-Vapor

En el equilibrio se produce la igualdad de los potenciales químicos.

O con las fugacidades:fi

I=fiII

EJEMPLOEJEMPLO

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

p

p

pi i i i

T T T

P P P

G G G

= =· · · =

= =· · · =

= =· · · = "

i ii i= Pp yx gi

iii

B= -logp AT +C


37

3.3.3. Ecuaciones de Estado.

Relacionan Presión, Volumen y Temperatura para sistemas de un componente y para mezclas multicomponente.

Ecuación de los gases ideales:

PV nRT=


38

Las propiedades involucradas en los diferentes modelos de unidades de operación se pueden resumir:

Propiedades termodinámicas:

-Coeficiente de fugacidad (o equivalente: potencial químico, K-value,...)

-Entalpía

-Entropía

-Energía de Gibbs

-Volumen (y magnitudes relacionadas)

Propiedades de transporte:

-Viscosidad

-Conductividad térmica

-Coeficiente de difusión

-Tensión superficial

Es fundamental elegir una opción correcta para que los resultados de la simulación puedan ser válidos.

Propiedades involucradas


39

Existen muchos métodos desarrollados para diferentes aplicaciones, se elige en función:

de los componentes que participan,

de la interacción entre estos componentes (qué tipo de mezclas forman: polar, no polar, ideal, con asociacion,...),

de las condiciones en que se desarrolla el proceso (rangos de temperatura, presión,...),

de la presencia de electrolitos,

de la presencia de sólidos,...

de la disponibilidad de parámetros


40

Cálculo de Ecuaciones de estado:

Ideal Gas

Peng-Robinson

Redlich-Kwong

Hayden-O´Conell

Lee-Kessler

Cálculo de coeficientes de actividad:

NRTL (Non Random Two Liquids)

Redlich-Kister

Wilson

Van Laar

UNIFAC

UNIQUAC

Ideal Liquid

Algunos métodos que existen para el cáculo de las propiedades termodinámicas:

Volumen molar y densidad:

API Liquid Volume

Costal Liquid volume

Brelvi-O’Conell

Solids Volume Polynomial

Algunos métodos que existen para el cáculo de las propiedades de transporte:

Cálculo de la viscosidad:

Andrade

Chung-Lee-Starling

Letsou-Stiel

Lucas

Cálculo de la conductividad térmica:

IAPS

Sato-Riedel

Stiel-Thodos

TRAPP

Cálculo de la difusividad:

Chapman-Enskog-Wilke-Lee Binaary

Nernst-Hartley Electrolytes

Dawson-Khoury-Kobayashi Mixture

...


41

A continuación se muestra el método de NRTL, este método calcula los coeficientes de actividad de líquidos y está recomendado para sistemas químicos altamente no ideales con aplicaciones para el equilibrio líquido-vapor y líquido-líquido.

Este método fue desarrollado por Renon y Prausnitz en 1968 y tiene

un fundamento teórico y una parte ajustada experimentalmente.

Donde:

Ejemplo

lnj ji ji m mj mj

j j ij mij

kk kkjki kjjkk k

x G x Gx G

= + [ - ]Sx Gx G x G

t tg

å åå åå å

exp ij ijij

ijij ij ij ij

ij ij ij

= (- )G

b= + + lnT + Tfa e

T= + (T - 273.15K)c d

a t

t

a


42

3.4 Relaciones entre volúmenes de control y restricciones

Las relaciones entre volúmenes de control se dan cuando existen varias fases que están confinadas en un recipiente.Los sistemas de proceso siempre están sometidos a un control para garantizar que cumplen las especificaciones, esto implica que muchas veces es necesario modelar los elementos que componen el sistema de control: sensores, transmisores, controladores, actuadores,...Ciertas restricciones debidas a los equipos o modos de operación pueden tener que ser incluidas igualmente en los modelos.


43

4. Ejercicios y aplicaciones.


44

Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. I

Tanque agitado

Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------M,h,T,Fout

Ecuaciones------------------------------3M V Ahr r= =

Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------M,h,T,Fout

Ecuaciones------------------------------4

in out

in in out out

dMF F

dtdM

Q Qdt

r r

= -

= -

( )pin in out out in pin in out pout out

d V c TdHF h F h F c T F c T

dt dt

r= - ® = -

2outF A ghr=


45

Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. II Evaporador (un componente)

Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------VL,V,Qout,T,PEcuaciones------------------------------4Falta una ecuación de salida para Qout

Datos Fin,Q, L

ln

( , )

( , )

L Lin out L in V out

L LL in V out

V

d VF F Q Q

dtd V h

Q h Q H QdtMP

RTA

P BT

h f P T

H f P T

rr r

rr r

r

= - = -

= - +

=

= +

=

=


46

Datos Fout ,Q, L

Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------VL,V,Fin,T,PEcuaciones------------------------------5

ln

( , )

( , )

( )

L Lin out L in V out

L LL in V out

V

in L

d VF F Q Q

dtd V h

Q h Q H QdtMP

RTA

P BT

h f P T

H f P T

F f V controlador

rr r

rr r

r

= - = -

= - +

=

= +

=

=

=


47

Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. III CSTR en serie

Grados de libertad:Incógnitas-------F2, F3 , F4 , x2A, x3A , x4A, x2B, x3B , x4B , V1,V2 ,V3 , r1,r2 ,r3 , c2A, c3A , c4A, Ecuaciones------------------------------15

Balance de materia

11 2

1,1 1, 2 2, 1 1

1,1 1, 2 2, 1 1

22 3

2,2 2, 3 3, 2 2

2,2 2, 3 3, 2 2

33 4

3,3 3, 4 4, 3 3

3,

R

R AA A R R

R BB B R R

R

R AA A R R

R BB B R R

R

R AA A R R

R B

d VF F

dtdNx

n x n x V rdt

dNxn x n x V r

dtd V

F Fdt

dNxn x n x V r

dtdNx

n x n x V rdt

d VF F

dtdNx

n x n x V rdt

dNxn

dt

r

r

r

= -

= - -

= - +

= -

= - -

= - +

= -

= - -

= 3 3, 4 4, 3 3B B R Rx n x V r- +

0 ,

a

Ri

E

RTRi Ri Ar k e c

-

=,

,Ri A

Ri ARi

nc

V=

¿Faltan ecu

aciones /

sobran

incógnita

s?


48

Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. IV Depósitos comunicados

Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------V1, V2, F2, F4

Ecuaciones------------------------------4

11 2

23 2 4

1 2

2 1 1 2

2 1 2 1

4 2 2

2 ( )

2 ( )

2

d VF F

dtd V

F F Fdtif h h

F A g h h

else

F A g h h

F A gh

r

r

r

r

r

= -

= + -

>

= -

=- -

=


49

Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. V Reactor batch 1

1

22

0

0

t a FF

t a

t bF

t b F

£ì=í

>î<ì

=í³î

0

aE

RTAr k e c

-

=

1 2

1 1, 2 2,

1 1, 2 2,

AA A

BB B

d VF F

dtdVc

Q c Q c VrdtdVc

Q c Q c Vrdt

r= -

= - -

= - +

1 1 1 1 2 2 2 2 3

( )

( )

( )

pp p R st ref

st H c

ref H c

d V c TQ c T Q c T H Vr Q Q

dtQ UA T T

Q UA T T

rr r= - - - D + -

= -

= -0

0

0

stst

ref ref

t a QQ

t a

t a

Q a t b Q

t b

£ì=í

>î£ì

ï= < £í

ï >î

, ,

, , , , ,

( )tan

( )( )c

c cc c in c out

c c p c

c in c in c out pc out c out H c

d VV F W calen do

dtd V c T

F H W c T UA T Tdt

r

r

= -

= - + -

, ,

, , , , , ,

( )

( )( )c

c c cc in c out

c c p c

c in pc in c in c out pc out c out H c

d V cF F enfriando

dtd V c T

F c T F c T UA T Tdt

r

r

= -

= - + -


50

Grados de libertad:Incógnitas-------V, cA, cB , F2 , r,T,Qst ,Qref ,Vc,st, Tc,st , Vc,ref, Tc,ref Ecuaciones------------------------------11

y.................12

2 2 22F A ghr=


51

Fin tema 2


52

Ejemplo de balance de materia

Tanque. Tanque con camisa.

Tanque de mezcla perfecta sin reacción.

VOLVERVOLVER

in out

in in out out

dMF F

dtdM

Q Qdt

r r

= -

= -, ,

in out

cc in c out

dMF F

dtdM

F Fdt

= -

= -

1 2 3

1 1, 2 2, 3 3,

1 1, 2 2, 3 3,

AA A A

BB B B

dMF F F

dtdMx

F x F x F xdtdMx

F x F x F xdt

= + -

= + -

= + -

3, 1ix =å

Incógnitas: BA xxMF ,3,33 ;;;

, ,0 0cc in c out

Mc V

dMF F

dt

r=

= Þ = -

c

c

Supongo cte

DadoV cte

r =

=


53

Tanque de mezcla perfecta sin reacción y con camisa.

Ejemplo de balance de energía.

Flash

VOLVERVOLVER

( )H cUA T T- -

( )H cUA T T+ -

in in L L V V h

cin in out out h

dHF h F h F h Q

dtdH

F h F h Qdt

= - - +

= - -

, , , , , ,

( )

( )c

pin in out out in pin in out pout out

c c p c

c in pc in c in c out pc out c out

d V c TdHF h F h F c T F c T

dt dtd V c T

F c T F c Tdt

r

r

= - ® = -

= -


54

Ejemplo de balance de momento.

Válvula de control

VOLVERVOLVER

f. fricciónf. presión

2

2

2

2

dvM PA kx cvdt

dx d x dxv M PA kx cdt dt dt

M d x c dx PAx

k dt k dt k

= - -

= Þ = - -

æ ö æ ö æ ö+ + =ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

diafragma muelle vastago

d dMvF F F

dt dt

M= = - -


55

Ejemplo de sistema con reacción.

Reactor continuo de tanque agitado.

VOLVERVOLVER

A B C+ ®

1 2 3

1 1, 2 2, 3 3,

1 1, 2 2, 3 3,

1 1, 2 2, 3 3,

, ,0

AA A A

BB B B

cC C C

c in c out

reactor

dMF F F

dtdVc

Q c Q c Q c VrdtdVc

Q c Q c Q c VrdtdVc

Q c Q c Q c Vrdtcamisa

F F

= + -

= + - -

= + - +

= + - +

= -

0

aE

RTAr k e c

-

=

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

, , , , , ,

( )( )

( )( )c

pp p p R H c

c c p c

c in pc in c in c out pc out c out H c

d V c TQ c T Q c T Q c T H Vr UA T T

dtd V c T

F c T F c T UA T Tdt

rr r r

r

= + - - D - -

= - + -


56

Ejemplo de sistema con equilibrio.

VOLVERVOLVER

Flash

1 ( 1)

A A A

B B B

ii

i

y k x

y k x ó

xy

x

aa

=

=

=+ -

, ,

, ,

in l out v out

Ain A l out A v out A

dMF F F

dtdMx

F z F x F ydt

= - -

= - -

in in L L V V

dHF h F h F h

dt= - -

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Tema 2: Modelado de sistemas físicos