Tema 2. Modelització de sistemes dinàmics · F S e st ds c j c j f f 1 ³ 2S • En general, no s’utilitza l’expressió matemàtica anterior. • La forma més convenient es

Tema 2. Modelització

de sistemes dinàmics

Fatiha Nejjari i Joseba Quevedo

1



2.1- Transformada de Laplace

2.2- Funció de transferència

2.3- Diagrama de blocs

2.4- Modelització de sistemes

dinàmics

2.5- Espai d’estat

2.6- Linealització

2



2.1. Transformada de Laplace

3

TRANSFORMADA DE LAPLACE

L

L

1 - L L

2.- L L L

-1

[ ( )] ( )

[ ( )] ( )

[ ( )] [ ( )]

[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]

f t F s f t e dt

F s f t

propiedades

Af t A f t

f t f t f t f t

st

0

1 2 1 2

transformada inversa de Laplace

transformada de Laplace

• s = una variable complexa

• f(t) una funció del temps t, tal que f(t) = 0 per t<0

• F(s) transformada de Laplace de f(t)

A = cte

s j

4

Transformada de Laplace: EXEMPLE

Funció exponencial:

f(t) = 0 per t < 0

f(t) = Ae-at per t <= 0

L Ae AL e A e e dt A eA

s

t t t st s t[ ] [ ]

a a a a

a0 0

Altres exemples:

• Funció graó

• Funció rampa

5

Transformada de Laplace: DERIVADA

Ld

dtf t sF s f

Ld

dtf t L

d

dtg t sG s g sL g t g

sLd

dtf t df dt s F s sf df dt

( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ] ( )

( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) /

0

0 0

0 0 0

2

2

2

primera derivada

derivada n-èsima

Segona derivada

6

Transformada de Laplace: INTEGRAL

L f t dtF s

s

t

( )( )

0

La integració en el domini del temps es converteix en divisió

en el domini de s.

motor 1/s v(s) qm(s) m(s)

(volts)

(velocitat

angular)

(desplaçament

angular )

q

m m

t

mL t dts

s

( )

( )

0

7

TEOREMA DEL VALOR FINAL

f f t sF st slim lim

( ) ( )0

f sF sslim0

( )

El teorema del valor inicial i del valor final permeten predir el

comportament del sistema en el domini del temps, sense haver

de transformar les funcions en s a funcions del temps.

TEOREMA DEL VALOR INICIAL

8

Transformada inversa de Laplace

L

L

-1

-1

[ ( )] ( )

[ ( )] ( ) ( )

F s f t

F s f tj

F S e dsst

c j

c j

1

2

• En general, no s’utilitza l’expressió matemàtica anterior.

• La forma més convenient es l’ús de les taules de Laplace.

• Si no es troba en la taula la transformada inversa de

F(s), es pot desenvolupar en fraccions simples, i escriure

F(s) en termes de funcions simples de s, per les quals

es coneixen les transformades inverses de Laplace.

9

Transformanda inversa de Laplace

F sB s

A s( )

( )

( ) A(s) i B(s) són polinomis en s. El grau de

B(s) és menor que el de A(s).

Si F(s) es descomposa en les seves components

F(s) = F1(s) + F2(s) + ....... + Fn(s)

aleshores

f(t) = L-1(F(s) )= L-1[F1(s)] + L-1[F2(s)] + ..... + L-1[Fn(s)] =

= f1(t) + f2(t) + .... + fn(t)

• zeros: arrels del polinomi del numerador B(s).

• pols: arrels del polinomi del denominador A(s).

10

POLS I ZEROS D’UNA FUNCIÓ

F ss

s s

s

s s s s( )

3

3 2

3

1 2

2

1

1

22

• Funció d’ordre 2 (grau del polinomi del denominador)

• zeros: arrels del polinomi del numerador -B(s)-.

• pols: arrels del polinomi del denominador -A(s)-

Per aplicar el mètode d’expansió en fraccions simples i

trobar la transformada inversa de Laplace de F(s), s’han de

conèixer prèviament les arrels del polinomi del denominador:

cal factorizar el polinomi del denominador.

11

Expansió en fraccions simples: F(s) conté pols diferents

F sB s

A s

K s z s z s z

s p s p s pm

n

( )

( )

( )( )....( )

( )( )....( )1 2

1 2

on p1, p2,...., pn y z1, z2,...., zm són quantitats reals o complexes.

Si F(s) conté només pols diferents, pot expandir-se en:

F sB s

A s

a

s p

a

s p

a

s p

n

n

( )

( ) ( ) ( )....

( )

1

1

2

2

on els diferents coeficients ak (k=1,2,...,n) són constants.

ak s’anomena residu en el pol de s = -pk.

a s p

B s

A sk k

s pk

( )( )

12

Expansió en fraccions simples

Altres casos:

• F(s) té pols complexes conjugats

• F(s) té pols múltiples

13

Resolució d’equacions diferencials lineals invariants

en el temps

Exemple: b)0(X

14



2.2. Funció de transferència

15

Funció de Transferència

La funció de transferència d’un sistema, en el qual

entrada i sortida estiguin relacionades mitjançant una

equació diferencial lineal invariant en el temps, es

defineix com la relació entre la transformada de Laplace

de la sortida i la transformada de Laplace de l’entrada,

suposant condicions inicials nul·les.

)()( 011

1

1011

1

1 tubdt

dub

dt

udb

dt

udbtya

dt

dya

dt

yda

dt

yda

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n

01

1

1

01

1

1

)(

)(

asasasa

bsbsbsb

sU

sYn

n

n

n

m

m

m

m

16

Funció de Transferència - comentaris

La fdt és un model matemàtic que relaciona la variable de sortida amb la variable d’entrada.

La sortida, en el domini s, es troba multiplicant la fdt per l’entrada.

La fdt és una propietat intrínseca del sistema, i independent de la magnitud o naturalesa de l’entrada.

La fdt inclou les unitats necessàries per relacionar l’entrada amb la sortida; tot i això, no dóna informació sobre l’estructura física del sistema.

Si es coneix la fdt d’un sistema, es pot estudiar la sortida o resposta per diverses formes d’entrada amb l’objectiu de conèixer millor el sistema.

Si no es coneix la fdt d’un sistema es pot determinar experimentalment introduint entrades conegudes i estudiant la resposta.

17

M

K

B

f(t)

x(t)

EXEMPLE : SISTEMA MECÁNIC

DADA: f(t)

INCÒGNITA: x(t)

f t Mx t Bx t Kx t( ) ( ) ( ) ( )

Equació Diferencial

MODELS MATEMÀTICS

18

Transformada de Laplace- Exemple

(condicions

inicials = 0) 1

02

1

1 t

dsx t L A e t

Ms Bs K( ) cos( )

2F s MX s s BX s s KX s( ) ( ) ( ) ( )

1si f t t F s

s( ) ( ) ( ) 1

2 2

1F s sX s

Ms Bs K Ms Bs K

( )( )

f t Mx t Bx t Kx t( ) ( ) ( ) ( )

19

Funció de Transferència: exemple

SortidaF T

Entrada.

12Ms Bs K

f(t) x(t)

f(t)

t

f(t)

t

x(t)

t

2

1X sT s

F s Ms Bs K

( )( )

( )

x(t)

20



2.3. Diagrama de blocs

21

Transferència – Àlgebra de Blocs

Capturen la essència

del sistema en un

formalisme gràfic i

abstracte de

manipulació simple.

Representen el flux i

processament dels

senyals dins del

sistema.

22

Funcions de transferència a partir

de blocs elementals

Descomposició del sistema en blocs

elementals

Substituir cada bloc elemental per una F.T

equivalent.

Reducció del esquema bloc

Obtenció de la F.T del sistema

23

DIAGRAMA DE BLOCS

G(s)

Funció de

transferència

E(s) S(s) S(s) = E(s)G(s)

G(s) = S(s) / E(s)

Diagrama de blocs

d’un sistema en

llaç tancat i

amb realimentació

unitària.

24

Diagrama de blocs: fdt en llaç tancat

G(s) E(s) C(s) R(s)

H(s) B(s)

+

-

C(s) G(s)

R(s) 1 + G(s) H(s) =

fdt directa: C(s)/E(s)= G(s)

fdt en llaç obert: B(s)/E(s)=G(s)H(s)

25

Diagrama de blocs: sistema

sotmès a una pertorbació

26

Diagrama de blocs: construcció

ie e

R

eidt

C

i o

o

27

Diagrama de blocs: reducció

Per simplificar un diagrama s’utilitzen les regles de l’àlgebra de blocs:

1. Connexió de blocs en sèrie (en cascada): multiplicació

2. Connexió de blocs en paral·lel: suma

3. Eliminar bucles de realimentació (negativa o positiva)

4. Eliminació del bloc de realimentació H(s): retorn unitari

5. Commutativitat d’elements

6. Etc. (veure taula)

28

Diagrama de blocs: reducció

Funció de

Transferència

Sumador Bifurcació

Elements bàsics:

Àlgebra de blocs:

29

30

31

Diagrama de blocs: exemple de reducció

32


33


34


35

Gràfics de flux de senyal

Procediment alternatiu per representar un

diagrama de blocs

36

Gràfics de flux de senyal:

equivalències

37


equivalències

38


definicions

Node: és un punt que representa una variable o senyal

Transmitància: és el guany entre dos nodes (fdt)

Branca: és un segment entre dos nodes, amb una direcció i sentit indicat per una fletxa. Cada branca tindrà la seva transmitància o guany.

Node d’entrada o font: node on només surten branques.

Node de sortida: node on només entren branques.

Node mixt: té branques d’entrada i de sortida.

Camí o trajecte: és un recorregut de branques connectades en el sentit de les fletxes.

Camí obert: camí que no creua cap node més d’una vegada.

Camí tancat: camí que acaba en el mateix node on ha començat, i no creua cap node més d’una vegada.

Llaç: camí tancat.

Guany de llaç: producte de les transmitàncies de les branques d’un llaç.

Llaços disjunts: no tenen cap node en comú.

Camí directe: és el camí d’un node d’entrada a un node de sortida, sense creuar cap node més d’una vegada.

Guany de camí directe: és el producte de les transmitàncies d’un camí directe.

39

Gràfics de flux de senyal: fórmula

de Mason

40


exemple 1

41


exemple 2

42



2.4. Modelització

43

Modelització de sistemes

elèctrics

Llei de Kirchhoff

44

SISTEMES ELÈCTRICS

iL

vL

L

vR

iR R

iC

vC

C

RESISTÈNCIA

INDUCTÀNCIA

CAPACITAT

i tR

v t I sR

V sR R

L

R R( ) ( ) ( ) ( ) 1 1

i tL

v t dt I ssL

V sL L

L

L L( ) ( ) ( ) ( ) 1 1

i t Cdv t

dtI s sCV sC

C L

C C( )( )

( ) ( )

EXEMPLE: Trobar la F:T V s

I s

2

1

( )

( )

R3

L2 R2 L1 R1

C2 C1 i(t)

v1(t) v2(t)

45

R3 v1(t) v2(t)

)(1

)(111

)(

)()(

1)()()()(

2

3

1

131

11

3

21

13

1

1

1111

sVR

sVsLRR

sCsI

R

tvdttv

LR

tv

R

tv

dt

tdvCti

)(111

)(1

0

)(1)()()()(

0

2

232

21

3

2

23

2

2

222

3

1

sVsLRR

sCsVR

dttvLR

tv

R

tv

dt

tdvC

R

tv

V s

I s

2

1

( )

( )

L2 R2 L1 R1

C2 C1 i(t)

Node 1

Node 2

VR

hhRVR

VhI

VshRV

sss2

3

2132

3

111

1)()(

1)(

2231 )(

46

SISTEMES ELÈCTRICS

Ldi

dtRi

Cidt e

Cidt e

E s

E s LCs RCs

i

o

o

i

1

1

1

12

( )

( )

E s

E s R C s R C s R C s

o

i

( )

( ) ( )( )

1

1 11 1 2 2 1 2

47

eo = K (e2 - e1)

eR

Reo i 2

1

eR

Reo i

1 2

1

Modelització de sistemes

elèctrics

48

SISTEMES MECÀNICS DE TRANSLACIÓ

x1

fB B

x2

fK

x1

K

x2

M

x

fM

FRICCIÓ

ELASTÀNCIA

MASSA

f t Bdx t

dt

dx t

dtF s sB X s X sB

L

B( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2

f t K x t x t F s K X s X sK

L

K( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) 1 2 1 2

f t Md x t

dtF s s MX sM

L

M( )( )

( ) ( ) 2

2

2

EXEMPLE: Trobar la F.T X s

F sa ( )

( )

B1

B3 f(t)

B2

K2

K1

M2

xb(t)

M1

xa(t)

49

Sistemes Mecànics de Translació - Exemple

2

1 1 3 1 3a bF s M s B s B s K X s B sX s( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2 2 3 20 a bB sX s M s B s B s K X s( ) ( ) ( )

X s

F sa ( )

( )

B1

B3 f(t)

B2

K2

K1

M2

xb(t)

M1

xa(t)

50

SISTEMES MECÀNICS DE ROTACIÓ

K

q1

K

q2

q1

B B

q2

J

q

(t)

FRICCIÓ

ELASTÀNCIA

MOMENT D’INERCIA

)()()()()(

)( 2121 ssBssdt

td

dt

tdBt B

L

B

qq

)()()())()(()( 2121 ssKsttKt K

L

K qq

q

M

L

Mt Jd t

dts s J s( )

( )( ) ( )

2

2

2

(t)

B3

B2

K2

K1

J2

q3(t)

J1

q2(t)

B1

q1(t)

EXEMPLE: Trobar la F.T q 2 ( )

( )

s

s

Dinámica de c/eje de satélites

51

Sistemes Mecànics de Rotació - Exemple

(t)

1 1 1 1 2s K s K sq q q ( ) ( ) ( )

2

2 1 1 1 1 3 1 2 3 30 K s J s B s B s K s B s sq q q q ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 3 2 2 2 3 2 30 B s s J s B s B s K sq q q ( ) ( ) ( )

2 ( )

( )

s

s

B3

B2

K2

K1

J2

q3(t)

J1

q2(t)

B1

q1(t)

52

ea

SISTEMES ELECTROMECÀNICS

Ra = resist. de l’armadura, ohms

La = inductància de l’armad., henrys

ia = corrent a l’armadura, ampers

if = corrent de camp, ampers

ea = tensió d’armadura, volts

eb = força contra-electromotriu, volts

q = desplaçament angular de l’eix del

motor, radians

T = parell del motor, N-m

J = moment d’inèrcia equivalent

del motor i càrrega en

referència

a l’eix del motor, kg-m2

b = coef. de fricció viscosa equiva-

lent del motor i càrrega amb

referència a l’eix del motor,

N-m/(rad/seg) 53

q

q q

K i

T K i K i

T Ki

e Kd

dt

Ldi

dtR i e e

Jd

dtb

d

dtT Ki

f f

f f a

a

b b

aa

a a b a

a

1

2

2

( )

( ) ( )

( )

( )

s

E s

K

s L Js L b R J s R b KK

L

s

E s

K

s T s

a a a a a b

a

m

m

2

0

1

SISTEMES ELECTROMECÀNICS

54

SISTEMES TÈRMICS

RESISTÈNCIA

CAPACITAT

q R

q2 q1

q C

q

1 2 1 2

1 1Lq t t t Q s s sR R

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q q

q t Cd t

dtQ s sC sL( )

( )( ) ( )

q

q0

qs

qm

Rg=R vidre-aire

Rm=R mercuri-vidre

CG=C vidre

CM=C mercuri

EXEMPLE: Termòmetre Clínic, Trobar:

M s

s

( )

( )0

0 1 10 M

G S

G M G M

s sS sC s

R R R R

( ) ( )( )

10 S

M M

M M

sM sC s

R R

( )( )

M s

s

( )

( )0

55

SIMULACIÓ DE MODELS

M

K B

kyyByMf

f

M

B

My

K

My

y y y

f

B

K

y y y

1/M

fKyyBM

y 1

56

SIMULACIÓ DE MODELS

(cas general no lineal)

uxgy

uxfx

)(

x

u

y g

fx

57



2.4. Models en variables d’estat

58

Models en variables d’estat

)t),t(u,x(g)t(y

)t),t(u),t(x(fdt

)t(xd

Variables

manipulades i

pertorbacions

Respostes

observables

u y x

x Estats

59

VARIABLES D’ESTAT

N equacions Lineals de primer ordre

( , ,.., , , ,.., )

( , ,.., , , ,.., )

( , ,.., , , ,.., )

x f x x x u u u

x f x x x u u u

x f x x x u u u

n m

n m

n n n m

1 1 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

x

x

xn

1

2

y1

y2

yi

yp

u1

u2

ui

um

en forma Vectorial:

( , )x f x u

EQUACIÓ D’ESTAT

Si les fn son explícites

x Ax Bu

mnmnnnnnnnn

mmnn

mmnn

ubububxaxaxax

ubububxaxaxax

ubububxaxaxax

....

....

....

22112211

222212122221212

121211112121111

60

VARIABLES D’ESTAT

x Ax Bu

A n n

B n m

Matriu del Sistema/dinàmica

Matriu d’Entrada

EQUACIÓ DE SORTIDA:

y Cx Du

C p n

D p m

Matriu de Sortida/d’Observació

Matriu de Distribució

EQUACIÓ D’ESTAT:

61

De EE a FT

x Ax Bu

y Cx Du

1( )( )

( )

Y sC sI A B D

U s

62

DE FT a EE

Forma canònica:

1 1

2 2

1 1

0 1 2 2 1

0 1 2

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0

1

0

( )

n n

n n n n

m n m

x x

x x

u t

x x

x a a a a a x

y b b b b x

Si n=m

0 0 1 1 2 2 2 2 1 1n n n n n n n n n ny b b a b b a b b a b b a b b a x b u

1

1 1 0

1

1 1 0

( )

( )

m m

m m

n n

n

Y s b s b s b s b

U s s a s a s a

63

DE FT a EE demostració

1

1 1 0

1

1 1 0

( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( )

m m

m m

n n

n

Y s b s b s b s b X s Y s

U s s a s a s a U s X s

64

DE FT a EE demostració

1

1 1 0

1

1 1 0

( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( )

m m

m m

n n

n

Y s b s b s b s b X s Y s

U s s a s a s a U s X s

bmxm+1

m

65

F.T – MODEL D’ESTAT

B1

B3 f(t)

B2

K2

K1

M2

xb(t)

M1

xa(t) Obtenció de la F.T:

2

1 1 3 1 3

2

3 2 2 3 2

2 22 3

1 1 3 1 2

2 2 3 2

2

2 2 3 2

2 2 2

1 1 3 1 2 2 3 2 3

0

a b

a b

aa

a

transformant

F s M s B B s K X s B sX s

B sX s M s B B s K X s

reemplaçant

B s X sF s M s B B s K X s

M s B B s K

M s B B s KX s

F s M s B B s K M s B B s K s B

:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

:

( )( ) ( )

( )

( ) 2

M s B B s K

M M s B B B s M K M K B B B B B s B B K B B K s K K

2

2

2 3 2

1 2

4

1 2 3

3

1 2 2 1 1 3 2 3 3

2 2

1 3 2 2 3 1 1 2

f(t) x(t)

1 1 3 1 3

3 2 2 3 10

a a a b

a b b b

f t M x B B x K x B x

B x M x B B x K x

( )

66

MODEL D’ESTAT: Forma canònica – Exemple 1

0 1 2 3

0 1 2

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

1

0

x x u

a a a a

y b b b x

M s B B s K

M M s B B B s M K M K B B B B B s B B K B B K s K K

2

2

2 3 2

1 2

4

1 2 3

3

1 2 2 1 1 3 2 3 3

2 2

1 3 2 2 3 1 1 2

f(t) x(t)

1 3 2 2 3 11 2 33 1

1 2 1 2

2

1 2 2 1 1 3 2 3 31 2

0 2

1 2 1 2

2 2 30 1 2

1 2 1 2 1

,

,

1, ,

B B K B B KB B Ba a

M M M M

M K M K B B B B BK Ka a

M M M M

K B Bb b b

M M M M M

67

MODEL D’ESTAT: Variables físiques

bbba

baaa

xKxBBxMxB

xBxKxBBxMtf

13223

31311

0

)(

1 2 3 4

1 3 1 3 3 1 1 3 4

3 3 2 4 2 3 4 1 20

a b a b

Assignació

x x x x x x x x u f

u t M x B B x K x B x

B x M x B B x K x

:

; ; ; ;

( )

68

MODEL D’ESTAT

4

2

323

2

32

2

214

1

4

1

33

1

3121

1

13

42

31

0

10

xM

BBx

M

Bx

M

Kxx

uM

xM

Bx

M

BBxx

M

Kx

xx

xx

xy

u

M

x

M

BB

M

B

M

KM

B

M

BB

M

Kx

0001

0

10

0

0

0

1000

0100

1

2

32

2

3

2

2

1

3

1

31

1

1

69

1 1 1 1 1

2 2 2

1 2

1

e R i t L i t v t

e L i v t

v i iC

( ) ( ) ( )

( )

( )

R

e1(t)

L1 L2

v(t) C

e2(t) i1(t) i2(t)

Equacions Diferencials

Assignació de Variables d’Estat per Acumuladors de Energia:

L1 i1(t)

L2 i2(t)

C v(t)

1 1 3 1

1 1 1

2 3 2

2 2

3 1 2

1 1

1 1

1 1

Rx x x u

L L L

x x uL L

x x xC C

1 11 1

2 22 2

3

x iu e

x x i uu e

x v

VARIABLES D’ESTAT – Exemple 2

70

VARIABLES D’ESTAT – Exemple 1

31111)(: xRxuiLtvysi L

xR

Lx

Lx

Lu

xL

xL

u

xC

xC

x

1

1

1

1

3

1

1

2

2

3

2

2

3 1 2

1 1

1 1

1 1

Equació d’Estat

Equació de Sortida

R

e1(t)

L1 L2

v(t) C

e2(t) i1(t)

i2(t)

x

x

x

R

L LC

L

C C

x

x

x

L

L

u

u

1

2

3

1 1

2

1

2

3

1

2

1

2

01

0 01

1 10

10

01

0 0

2

1

3

2

1

0110u

u

x

x

x

Ry

71



2.5. Linealització

72

APROXIMACIONS LINEALS

73

Linealització

Desenvolupament en series de Taylor al voltant d’un

punt de funcionament u0, y0, z0, ….

...)zz(z

f)yy(

y

f)uu(

u

f)z,y,u(f)z,y,u(f

0)z,y,u(f 0)z,y,u(f

0

0

0

0

0

0

000

000

zzz yyy uuu 0zz

fy

y

fu

u

f000

000

Equació lineal en les noves variables u, y, z

74

Models linealitzats

t t

Y U U0

U

Y0

Y

las variables u e y son

canvis sobre un punt de

funcionament U0 , Y0

El rang de validesa esta limitat a un entorn del punt de

funcionament

Procés

)t(Y)t(Y)t(y

)t(U)t(U)t(u

0

0

75

Models linealitzats

Aproximacions lineals de les equacions no lineals

Més fàcils de manipular matemàticament però el

rang en el qual estan vàlids esta limitat

d hC q k h

d t

d hC q h

d t a

76

Model Linealitzat del Dipòsit

q

h

qs

Equació diferencial lineal

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 00

0

0

0 h ,h

0

12

02

( , , ) ,

( ) ( ) ( )

d hC q k h

d t

f h h q q

f f fh h h h q q

h qh

f f k fC

h qh h

d h kC h q

dt h

Variables desviació

h = h - h0

q = q - q0

77

Model Linealitzat del Dipòsit

q

h

qs

El valor dels coeficients depèn del punt de

linealització

0

0

2

2

d h kC q h

dt h

hR

k

d h q h

dt C RC

Variables desviació

h = h - h0

q = q - q0

R =

RCs+1

h

q

78

SISTEMES DE NIVELL DE LÍQUID

h h

Rq

Cdh

dtq q

1 2

1

1

11

1

h

Rq

Cdh

dtq q

2

2

2

22

1 2

79

Linealització d’un sistema

MIMO

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

( , , , , , )

( , , , , , )

( , , , , , )

( , , , , , )

n m

n n n m

n m

p p n m

x f x x u u

x f x x u u

y h x x u u

y h x x u u

0

0

0

x x x

y y y

u u u

1

1

1

1

( , ..., )

( , ..., )

( , ..., )

( , ..., )

T

n

T

n

T

m

T

p

x x x

x x x

u u u

y y y

Ho aproximem per:

x A x B u

y C x D u

80

Linealització d’un sistema

MIMO

0

0

1 1

1

1

n

n n

X XnU U

f f

x x

A

f f

x x

0

0

1 1

1

1

m

n n

X XmU U

f f

u u

B

f f

u u

0

0

1 1

1

1

n

p p

X XnU U

h h

x x

C

h h

x x

0

0

1 1

1

1

m

p p

X XmU U

h h

u u

D

h h

u u

81

Exemple:

Obtenir pel punt de funcionament u=2, x=5 i y= 3.1416 rad:

L’aproximació lineal per Taylor del model no lineal

El model en representació externa o funció de

transferència Y(s)/U(s).

Un sistema dinàmic es regeix per les següents

equacions dinàmiques no lineals:

4 4

2

4 cos( ) 10

12

dxx y u

dt

dyx y

dt

82

Documents

Tema 2. Modelització de sistemes dinàmics · F S e st ds c j c j f f 1 ³ 2S • En general, no s’utilitza l’expressió matemàtica anterior. • La forma més convenient es