TEMA 2.- NÚMEROS ENTEROS

Matemáticas 1º ESO

1.- Números enterosLos números enteros comprenden:

Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4,… (se corresponden con los números naturales: +4 = 4)

Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4,…

El cero (no es positivo ni negativo).

El conjunto de todos los números enteros se representa con la letra ℤ.

ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,…}

Representación de números enteros:

Los positivos se sitúan a la derecha del 0, y los negativos, a su izquierda.

Valor absoluto de un número entero:

el valor absoluto de un número entero a, se representa ⎮a⎮.

nos indica la distancia desde a hasta el 0.

es igual al número natural que resulta al eliminar el signo.

Ejemplo: ⎮+3⎮ = 3, ⎮-5⎮ = 5

Opuesto de un número entero:

el opuesto de un número entero a, se representa op(a).

es igual a otro número entero con el mismo valor absoluto y signo contrario.

Ejemplo: op(9) = -9, op(-4) = +4

Ordenación de números enteros:

> : “mayor que”

< : “menor que”

cualquier número entero positivo > cualquier número entero negativo. Ej: +4 > -3

0 > cualquier número entero negativo. Ej: 0 > -2

0 < cualquier número entero positivo. Ej: 0 < +5

Entre dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Ej: +8 > +2

Entre dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ej: -1 > -3

Actividades 1, 2, 3, 4, 6 y 7.

Actividades 5, 8, 9, 10, 11, 12 y 13.

Actividades 58, 59 y 60.

2.- Sumas y restas de números enteros

Suma de números enteros:

si tienen igual signo:

se suman sus valores absolutos y ponemos el signo que lleven. Ej: (+2) + (+4) = +6; (-3) + (-2) = -5

si tienen distinto signo:

se restan sus valores absolutos y ponemos el signo del que tenga mayor valor absoluto. Ej: (-8) + (+2) = -6; (+5) + (-3) = +2

Resta de dos números enteros:

transformamos en suma (convertimos el signo - en signo +) y el 2º número en su opuesto. Resolvemos como una suma (según hemos indicado antes). Ej:

(-8) - (-2)

(-8) + op(-2)

(-8) + (+2) = -6

Sumas y restas combinadas:

un signo menos delante de un paréntesis cambia el número que está dentro por su opuesto.

Ej: -(+2) = +(-2)

un signo más delante de un paréntesis no cambia nada.

Ej: +(-2) = -2

si no hay signo delante del paréntesis es como si hubiera un signo +.

Ej: (-2) = -2; (+2) = +2

Para eliminar el paréntesis, debemos tener en cuenta:

si delante del paréntesis tenemos un signo + o no hay signo, los sumandos se quedan con el mismo signo. Ej:

+(-8) = -8

(-3) = -3

+(-5+3) = -5+3 = -2

(+4-1) = 4-1 = 3

si delante del paréntesis hay un signo -, lo transformamos en signo + y lo que está dentro del paréntesis se convierte en su opuesto. Ej:

-(+8) = +(-8) = -8

-(-3) = +(+3) = 3

-(-2+5) = +(+2-5) = 2-5 = -3

-(+1-7) = +(-1+7) = -1+7 = 6

Actividades 14, 15, 16, 17 y 18.

Resolver sumas y restas de números enteros gráficamente:

transformamos las restas en sumas.

empezamos en el 0.

nos desplazamos a la derecha si el número que sumamos es positivo.

nos desplazamos a la izquierda si el número que sumamos es negativo.

Ej:

(-5) - (+4) - (-3)

(-5) + (-4) + (+3)

Actividades 73, 74, 75, 76, 77, 78 y 79.

3.- Multiplicación y división de números

enteros.Multiplicación de dos números enteros:

se multiplican sus valores absolutos.

si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado es positivo. Ej:

(+3) · (+2) = +6

(-4) · (-3) = +12

si los factores tienen distinto signo, el resultado es negativo. Ej:

(+3) · (-2) = -6

(-4) · (+3) = -12

División de dos números enteros:

se dividen sus valores absolutos.

si los dos números tienen el mismo signo, el resultado es positivo. Ej:

(+8) : (+2) = +4

(-4) : (-2) = +2

si los números tienen distinto signo, el resultado es negativo. Ej:

(+6) : (-2) = -3

(-9) : (+3) = -3

Regla de los signos:

En la multiplicación: si los factores tienen igual signo, el resultado es positivo. Si tienen distinto signo, el resultado es negativo.

En la división: si los números tienen igual signo, el resultado es positivo. Si tienen distinto signo, el resultado es negativo.

Multiplicaciones y divisiones combinadas:

seguimos el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. Ej:

(-8) : (-2) · (-4)

resolvemos la primera operación que aparece:

(-8) : (-2) = (+4)

resolvemos la siguiente operación:

(+4) · (-4) = -16

Actividades 22, 24, 25, 27 y 31. (pág. 35)

Actividades interactivas: “Utiliza los números enteros y realiza operaciones con ellos”

“Multiplicación de números enteros”

4.- Propiedad distributiva. Factor común.

Propiedad distributiva:

En los números enteros, igual que en los números naturales, se cumple la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

Cuando en una operación aparecen unos paréntesis dentro de otros, se suelen usar también otros símbolos, como los corchetes (para sustituir los paréntesis exteriores) o llaves (más exteriores). Ej:

3 · [(-4) + 3 · (-5+2)]

El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada sumando.

a · (b + c) = a · b + a · c

a, b y c son números enteros.

Ej:

(-2) · [4 + (-1)] = (-2) · (+4) + (-2) · (-1)

(-2) · [4 - (-1)] = (-2) · (+4) - (-2) · (-1)

la propiedad distributiva también se cumple para las restas, convirtiéndolas en sumas y los siguientes números en sus opuestos.

Ej:

(+4) · [4 - (-3)] = 4 · [4 + (+3)] =

= 4 · 4 + 4 · 3 = 16 + 12 = 28

(-3) · [5 - (+2)] = -3 · [5 + (-2)] =

= -3 · 5 + (-3) · (-2) = -15 + 6 = -9

Extraer factor común:

consiste en expresar en forma de multiplicación una suma o resta en la que hay un factor que se repite en todos los sumandos.

Ej:

6 · (-3) - 6 · (-8) - 6

Tenemos 3 sumandos, separados por dos signos -:

6 · (-3)

6 · (-8)

6 · 1

El factor común es 6.

Extraemos el factor común y aplicamos la propiedad distributiva en sentido inverso:

6 · [(-3) - (-8) - 1] = 6 · (-3 + 8 - 1) = 6 · (+4) = 6 · 4 = 24

Actividades 35, 36, 40, 41, 43 y 47. (pág. 37)

Actividad interactiva “Propiedad distributiva”

5.- Operaciones combinadas con números enteros.

Jerarquía de las operaciones:

se resuelven primero las operaciones que aparecen dentro de paréntesis y corchetes (siempre desde dentro hacia fuera)

se realizan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

se realizan las sumas y restas.

Operaciones combinadas:

[-2 - (+4) · (-3)] - [+4 · (-2 + 5)] =

= [-2 - (-12)] - [+4 · (+3)] =

= [-2 + 12] - [+12] =

= 10 - 12 = -2

Actividades 49, 50, 52, 54, 55 y 56. (pág. 39)

Actividad interactiva: “Operaciones con números enteros”

Actividades 85, 90, 91, 97, 100 y 103. (págs. 42, 43 y 44)

Actividades 105, 107, 108, 109 y 115 (pág. 44 y 45)

Actividad interactiva: “Autoevaluación”

Actividades “Ponte a prueba” (pág. 46 y 47)

Actividad “Autoevaluación” (pág. 47)