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2.1 Potencial eléctrico. (23.1)
2.1.1 Potencial eléctrico
debido a un sistema de cargas
puntuales. (23.2)
2.1.2 Potencial eléctrico
debido a distribuciones
continuas de carga. (23.4)
2.1.3 Determinación del
campo eléctrico a partir del
potencial. (23.3)
2.2 Superficies
equipotenciales. (23.5)
2.3 Energía potencial
electroestática. (23.6)
Bibliografía
- Tipler. "Física". Cap. 23. Reverté.
Tema 2.- POTENCIAL ELÉCTRICO 3.1 Trabajo y Potencial
eléctrico.
3.2 Potencial eléctrico
debido a cargas puntuales.
3.3 Potencial eléctrico
debido a distribuciones de
carga.
3.4 Campo Eléctrico y
potencial
3.2.4 Energía Potencial
Electrostática
Bibliografía
Fundamentos Físicos de la
Ingeniería. Tema 3 Mc Graw Hill
2.1 DIFERENCIA DE POTENCIAL
q dl
E
Una carga testigo positiva
situada en un campo eléctrico
experimenta una fuerza que la
acelerará en la dirección de E
(igual que una masa experimenta
una fuerza dentro un campo
gravitatorio).
Energía Potencial Electrostática alta
Energía Potencial Electrostática baja
ldEqldFdU
Variación de Energía Potencial
= Trabajo necesario para desplazarla (negativo)
Una carga inmersa en un campo
eléctrico tiene una Energía
Potencial que de dejarla libre
haría que la carga se desplazara.
trabajo
2.1 DIFERENCIA DE POTENCIAL
DIFERENCIA DE POTENCIAL: variación de la energía
potencial por unidad de carga
ldEq
dUdV
DIFERENCIA DE POTENCIAL FINITA
b
a
b
a
ab ldEdVq
UVVV
(1 V=1 J/C)
Unidad escalar más
fácil de medir (por
un voltímetro) que
el campo eléctrico.
UNIDADES DE MEDIDA DE LA ENERGÍA POTENCIAL
JVCeV
VCmN
1919 106,1106,11
J1dVqldFdU
2.1 DIFERENCIA DE POTENCIAL
B
A
q d
E
Las líneas del campo
eléctrico señalan en la
dirección en que el
potencial disminuye más
rápidamente (es decir, en
el sentido en el que la
energía potencial
disminuye más
rápidamente)
V alto
V bajo
Ejercicio 2 1ª semana enero 2011
(grado en tic)
2.1.1 POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL
Se puede calcular el potencial de una carga puntual a
partir del campo eléctrico que produce.
I.- Calculemos como varía el
potencial eléctrico de un punto
A al punto B
A
BrdEBVAV
)()(
Tomando como origen de potenciales el infinito, podemos
identificar el punto B= y A= r
rkqdr
r
qkrV
r 1)(
2 r
qkrV )(
q
qo
A
B
2.1.1 POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES (23.2)
Para una distribución discreta de cargas
i i i
ii
r
qkVV
Para una distribución continua de cargas
r
dqkdVV
2.1.1 POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO ELÉCTRICO (ejemplo 23.6) potencial de una distribución discreta de cargas
Vamos a calcular el potencial eléctrico que produce un
dipolo eléctrico en un punto P del espacio situado en el
eje del dipolo.
+q
-q
lxr2
11
x
l2
1
P )4/()2/(
)(
)2/(
)(22
21 lx
kql
lx
q
lx
qk
r
q
r
qkVVV qq
Para puntos muy alejados del dipolo,
tales que x>>l, se pueden hacer las
siguientes aproximaciones l
2
1
l
222 )4/( x
kql
lx
kqlVVV qq
lxr
2
12
Ejercicio 12 2ª semana 2011 (grado en
tic) potencial de una distribución discreta de cargas
VCC
kr
qk
r
qkVVV 2700
4
102
5
101109
04
2
34
1 669
22222
2
1
121
-1uC
2uC p
2.1.2 CÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO (23.4)
Existen dos métodos para calcular el potencial eléctrico
asociado a una distribución continua de cargas:
I Conocido el campo eléctrico creado por la
distribución B
ArdE)A(V)B(V
En este caso debemos tomar como origen de potenciales un punto de
referencia arbitrario.
II Para el caso de distribuciones finitas de carga,
para las cuales podemos suponer que V( )=0. En
este caso
r
dqdVV
o4
1
22
int
2
int
2
intintint KqKq
4
14
q
04
q
0
qE
0
qSE
rr
Kr
rS
Ejercicio 2 Examen Febrero 2011 2ª semana (formula 23.22)
calcular el potencial eléctrico asociado a una distribución
continua de cargas conocido el campo eléctrico
En el interior al no haber
campo eléctrico al no haber
carga encerrada, la variación
de potencial es 0. El
potencial en el interior es el
mismo que en la superficie
I
Campo en el exterior, por Gauss
drr
ldur
ldEdVur
E rr 222
KqKqKq
r R r
R
r
R
Kqdrdr
rEdrdVV 0
Kq2
La carga se distribuye en el exterior del
conductor. En el interior E=0
Ejemplo 3.- Potencial eléctrico en el interior y el exterior de una
corteza esférica de carga (corteza conductora). (ecuación ejemplo
23.22) DEDUCIDO EN EL EJERCICIO DE EXAMEN
exterior) el(en 4
1
interior) el(en 0
2r
QE
E
o
exterior) el(en
interior) el(en
r
KqV
R
KqV
Ejercicio 4 Examen Enero 2011 1ª semana (ejemplo 23.12)
calcular el potencial eléctrico asociado a una distribución
continua de cargas conocido el campo eléctrico
22
int
2
int
0
2
int
0
int
0
int KqKq
4
14
q
4
qqE
qSE
rr
Kr
rS
drr
ldur
ldEdVur
E rr 222
KqKqKq
rr
r
Kqdr
rdVV
2
Kq
I
En el exterior
Ejemplo 1.- Potencial eléctrico sobre el eje de un anillo
cargado. (ejemplo 23.8) Para el caso de distribuciones
finitas de carga
22 ax
kq
r
kqdq
r
k
r
dqkdVV
II
Ejemplo 2.- Potencial eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente
cargado. (ejemplo 23.9) Para el caso de distribuciones finitas de
carga
daadqax
dqkdV
2;
22
22 ax
kqV
potencial anillo
22
2
ax
daakdV
II
11222
2
2
2222
022
022
0
x
RxkxRxkaxk
daax
akdVV
R
RR
22
2
ax
daakdV
Ejemplo 2.- Potencial eléctrico sobre el eje de un disco
uniformemente cargado. (ejemplo 23.9) Para el caso de
distribuciones finitas de carga
II
2.2 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES(23.5)
Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un campo
eléctrico, representado por sus líneas de campo. El trabajo necesario
para desplazar una carga de prueba, q, una distancia infinitesimal a la
largo de una de estas líneas (que será igual a la variación de la energía
potencial) será
ldEqldFdU
En términos de incrementos y de potenciales eléctricos
lEV
E alar perpendicu
l 0VV constante
E a paralelo
l Variación máxima de
potencial
Ejemplos de superficies equipotenciales
Ejercicio 1 Examen Septiembre 2011 (grado tic)
kVr
Kqdr
rV
r
91010
10100109Kq2
99
1
21
1
kVr
Kqdr
rV
r
211015
10350109Kq2
99
2
22
2
El potencial en una
esfera debida a la otra
esfera es despreciable
al indicar que están
muy alejadas y tener
el valor del potencial
una relación inversa
con la distancia
Kq/d=0
Ejercicio 2 Examen Septiembre 2011 (grado tic)
Bueno ver ejemplo 23.15
nCnCnCQQQQQ iiff 2503501002121
La carga se ha de
conservar.
f
fff
ff Qr
Qr
r
KQ
r
KQVV 2
1
12
2
2
1
1
21
nCQnCQ
Qr
QrQ f
f
f
f
f 1002501010
101512
1
2
1
1
12
1
nCnCnCQ f 1501002502
Además las
esferas tendrán el
mismo potencial
(si no, existiría un
campo eléctrico y
habría movimiento
de cargas)
Ejercicio 3 Examen Septiembre 2011 (grado tic)
Bueno ver ejemplo 23.15
kVr
KQ
r
KQVV
ff
ff 91015
101501092
99
2
2
1
1
21
La energía potencial de una
carga q’, situada a una
distancia r de q, será r
qqk
r
qkqVqU
'''
2.1.1 POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL
La energía potencial de una carga q’ debida a un
sistema de cargas puntuales será
i i i
i
i i
ii
r
qkq
r
kqqVqU '''
Este valor coincide con el trabajo necesario para
poder traer a q’ desde el infinito a su posición final
Ejercicio 3 Examen 2ª semana 2012
J
r
qqk
r
kq
r
kqqVqU
i
i
1801010
1010010102109
2
2
669
21
13
3
12
21
q
2
q
3
q
1
Ejercicio 3 Examen 2ª semana 2013
El trabajo es positivo al mover
la carga de un potencial menor
(V1) a otro mayor (V2)
Ejercicio 2 septiembre 2011
JCVqVU i
1719 10602,110602,1100
if UKVV ;100
2.3 ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA (23.6)
La energía potencial electrostática de un sistema de
cargas puntuales es el trabajo necesario para
transportar las cargas desde una distancia infinita
hasta sus posiciones finales
i
iiVqU2
1
Ejercicio 8 Examen 2ª semana 2011
mJJ
r
r
r
qqk
r
kq
r
kqq
r
kq
r
kqq
r
kq
r
kqqVqU
i
ii
7,11107,116
10)3(1012
)3(4
10)3(1022
34
1011022109
2
1
222
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
366
22
66
22
669
23
32
13
31
12
21
23
2
13
13
23
3
12
12
13
3
12
21
Ejercicio 8 Examen 2ª semana 2011
mJJ
ii
Vi
qr
kq
r
kqq
r
kqqU
7,113107,116
61019109
2)3(24
61029109610)3(2324
610291096101
2
1
23
2
13
13
12
12
0
Mismo resultado que si calculamos el trabajo para traer
cada carga (una a una) desde el infinito. La primera
carga no realiza trabajo pues no hay potencial. El
potencial V va variando al ir trayendo las cargas
![Potencial EléCtrico[1]](https://img.pdfslide.es/doc/110x75/55b9e804bb61eb930d8b4765/potencial-electrico1-55bd2a1a424a6.jpg)
