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Introducción a la Informática Tema 2

Licenciatura en Sistemas de Información –FACENA-UNNE Pág. 1

TEMA 2: Representación de la Información en las computadoras Introducción Una computadora es una máquina que procesa información y ejecuta programas. Para que la computadora ejecute un programa, es necesario darle dos tipos de información: las instrucciones que forman el programa y los datos con los que debe operar ese programa. Dos de los aspectos más importantes que se presentan en Informática, relacionados con la información, es cómo representarla y cómo materializarla o registrarla físicamente. El primer aspecto lo trataremos en este tema y el segundo en el tema 5, referido al almacenamiento de la información. Entonces, en este tema se estudiarán los aspectos relacionados con la representación de la información en el interior de las computadoras. Se consideran cuatro tipos de información: textos,datos numéricos, sonidos e imágenes, dado que cada uno de ellos presenta características diferentes. El objetivo es hacer comprender los procesos que transforman la información externa a la computadora en patrones de bits fácilmente almacenables y procesables por los elementos internos de la misma. Relacionado con la representación de la información, mencionaremos algunas técnicas de compresión de datos, para entender como reducir el tamaño de los archivos y el tiempo de transmisión de los mismos. El notable incremento de los campos de aplicación de la Informática, genera la necesidad de almacenar y transmitir cada vez mayor cantidad de información en el menor tiempo posible, de aquí la importancia de estas técnicas de compresión de la información. Sistemas Numéricos

El estudio de las computadoras y del procesamiento de datos requiere algún conocimiento de los sistemas numéricos, ya que éstos constituyen la base de todas las transformaciones de información que ocurren en el interior de la computadora.

El sistema binario, compuesto por los símbolos 1 y 0, es el que utiliza la computadora en su funcionamiento interno. La computadora opera en binario debido a que sus componentes físicos,pueden representar solamente dos estados de condición: apagado/prendido, abierto/cerrado, magnetizado/no magnetizado, etc. Estados de condición a los que se les asigna el valor 1 ó 0.

El sistema decimal, compuesto por los símbolos 0 al 9, es el sistema numérico que utilizamos a diario.

El sistema hexadecimal, con 16 símbolos, ofrece la posibilidad de comprimir los números binarios para hacerlos más sencillos de tratar.

Los sistemas numéricos difieren en cuanto a la disposición y al tipo de los símbolos que utilizan. En este tema se analizaran los sistemas decimal, binario y hexadecimal.

Para entender los procesos de representación de las cifras numéricas utilizando los sistemas de numeración, veremos los conceptos de valor relativo y posicional de los números. Posiciones de valor relativo. Los árabes inventaron los símbolos numéricos y el sistema de posición relativa sobre el cual se basa nuestro sistema decimal actual y otros sistemas numéricos. Cada uno de los símbolos tiene un valor fijo superior en uno al valor del símbolo que lo precede en la progresión ascendente: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Cuando se combinan varios símbolos (o dígitos), el valor del número depende de la "posición relativa" de cada uno de los dígitos y del "valor de los dígitos", el primero es el "valor posicional" y el segundo es el "valor absoluto".



En cualquier sistema de posiciones de valor relativo, la posición del dígito de la extrema derecha es la de menor valor, o posición de orden inferior, y el dígito que la ocupa se denomina "dígito menos significativo". El incremento de valor de cada posición de dígito depende de la base o raíz del sistema numérico. De este modo, en el sistema decimal, que utiliza la base 10, el valor de las posiciones de dígito a la izquierda del dígito menos significativo (o posición de unidades), aumenta en una potencia de 10 por cada posición. El sistema decimal tiene base (raíz) 10, porque dispone de 10 símbolos (0-9) numéricos discretos para contar. Entonces, la "base" de un sistema numérico es la cantidad de símbolos que lo componen y el valor que define al sistema. Como ejemplo de valor relativo de los dígitos, consideremos el número decimal 6.954. Aunque su valor es evidente a simple vista, la notación 6.954 significa en realidad: 6000 + 900 + 50 + 4 = 6.954 El valor relativo de cada dígito es aun más claro si el número se expresa en potencias de diez. Cualquier entero positivo n que se representa en el sistema decimal como una cadena de dígitos decimales, puede expresarse también como una suma de potencias de diez ponderada por un dígito. Ejemplo:

6.954 = 6 x 103 + 9 x 102 + 5 x 101 + 4 x 100 = 6 x 1000 + 9 x 100 + 5 x 10 + 4 x 1 A esto se llama notación expandida para el entero. Las potencias de diez: 100 = 1; 101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000corresponden respectivamente a los dígitos en un entero decimal cuando se leen de derecha a izquierda. Cualquier valor fraccionario m, representado en el sistema decimal por una cadena de dígitos decimales junto con un punto decimal intercalado, puede expresarse también en notación expandida usando potencias negativas de 10. Específicamente, el valor posicional de los dígitos a la derecha del punto decimal es, respectivamente:

El sistema de posiciones de valor relativo no es posible sin el cero. Su presencia en un número significa simplemente que la potencia de la base representada por la posición del dígito 0 no se utiliza. Por lo tanto, el número decimal 8.003 significa:

8 x 10 3 + 0 x 102 + 0 x 101 + 3 x 100 =8 x 1000 + 0 x 100 + 0 x 10 + 3 x 1 =

8.000 + 0 + 0 + 3 = 8.003 Estas reglas del valor relativo se aplican en general a todos los sistemas numéricos, sea cual fuere la base o raíz que se use. Sistema decimal El más importante factor en el desarrollo de la ciencia y la matemática fue la invención del sistema decimal de numeración. Este sistema utiliza diez símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, denominados generalmente "cifras decimales". La costumbre de contar por decenas se originó probablemente en el hecho de tener el hombre diez dedos.

10110 1 =−

100110 2 =−

1000110 3 =−



Sistema binario El sistema numérico binario (de base 2) usa solamente dos símbolos diferentes, 0 y 1, que significan "ninguna unidad" y "una unidad" respectivamente. A diferencia del sistema decimal, el valor relativo de los dígitos binarios a la izquierda del dígito menos significativo aumenta en una potencia de dos cada vez, en lugar de hacerlo en potencias de diez. Específicamente, los valores de posición de la parte entera de un número binario son las potencias positivas de dos:

24 23 22 21 20 (de derecha a izquierda) Y los valores de posición de la parte fraccionaria de un número binario son las potencias negativas de dos: 2-1 2-2 2-3 2-4 (de izquierda a derecha).

Potencia de dos

Valor decimal

Potencia de dos

Valor decimal

2 10 1024 2 2 42 9 512 2 1 2

2 8 256 2 0 1

2 7 128 2 -1 0,5 2 6 64 2 -2 0,25 2 5 32 2 -3 0,125 2 4 16 2 -4 0,0625 2 3 8 2 -5 0,03125

Por ejemplo, el número binario 101101,11 significa:

101101,11 = 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 == 1 x 32 + 0 + 1 x 8 + 1 x 4 + 0 +1 x 1 + 1 x 0,5 + 1 x 0,25 =

= 45,75 (En el sistema decimal) Para evitar confusiones, cuando se emplean varios sistemas de notación, se acostumbra encerrar cada número entre paréntesis y escribir la base como subíndice, en notación decimal. Utilizando el ejemplo precedente, tenemos que: (101101,11)2 = (45,75)10

Sistema hexadecimal Los números binarios de gran magnitud consisten en largas series de ceros y unos, que son difíciles de interpretar y manejar. Como un medio conveniente para representar esos números binarios de gran magnitud se utiliza el sistema numérico hexadecimal (de base 16). Cada dígito hexadecimal representa cuatro dígitos binarios. La notación hexadecimal requiere el uso de 16 símbolos para representar 16 valores numéricos. Dado que el sistema decimal proporciona solamente diez símbolos numéricos (de 0 a 9), se necesitan seis símbolos adicionales para representar los valores restantes. Se han adoptado para este fin las letras A, B, C, D, E, y F aunque podrían haberse utilizado cualesquiera otros símbolos. La lista completa de símbolos hexadecimales consta, por lo tanto, del 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F, en orden ascendente de valor. La tabla 1 muestra los números decimales, hexadecimales y binarios equivalentes (hasta el número 31). Nótese que al alcanzarse el número decimal 16, se terminan los símbolos hexadecimales y se coloca un "1 de acarreo" delante de cada símbolo hexadecimal en el segundo ciclo, que abarca los números decimales de 16 a 31. El significado de los números hexadecimales se hace evidente con el desarrollo en potencias de 16.



Por ejemplo el número hexadecimal 2CA significa (reemplazando los símbolos hexadecimales con símbolos decimales):

2 x 162 + 12 x 161 + 10 x 160

= 2 x 256 + 12 x 16 + 10 x 1= 512 + 192 + 10 = 714

Al resolver un ejemplo de este tipo, es más conveniente disponer los productos en columna, para facilitar la suma.

Decimal Hexadecimal Binario 0 0 00001 1 00012 2 00103 3 00114 4 01005 5 01016 6 01107 7 01118 8 10009 9 1001

10 A 1010 11 B 1011 12 C 1100 13 D 1101 14 E 1110 15 F 1111 16 10 10000 17 11 10001 18 12 10010 19 13 10011 20 14 10100 21 15 10101 22 16 10110 23 17 10111 24 18 11000 25 19 11001 26 1A 11010 27 1B 11011 28 1C 11100 29 1D 11101 30 1E 11110 31 1F 11111

Tabla 1. Tabla de equivalencias.

Teorema fundamental de la Numeración

Una determinada cantidad, que denominaremos número decimal (N en este caso), se puede expresar de la siguiente manera:

nN = ∑∑∑∑ (dígito)i *(Base) i

i = -d Donde:



• Base = 10• i = posición respecto de la coma • d = nro. de dígitos a la derecha de la coma • n = nro. de dígitos a la izquierda de la coma, menos 1 • dígito = cada uno de los que componen el número ..........+ X4 * 104 + X3 * 103 +X2 * 102 +X1 * 101 +X0 * 100

+X-1 * 10-1 +X-2 * 10-2 +X-3 * 10-3 +X-4 * 10-4 + .......

Supongamos una cantidad expresada en un sistema cuya base es B y representamos por Xi, cada uno de los dígitos que contiene dicha cantidad, donde el subíndice indica la posición del dígito con respecto a la coma decimal, posición que hacia la izquierda de la coma se numera desde 0 en adelante y de 1 en 1, y hacia la derecha se enumera desde -1 y con incremento -1. El Teorema Fundamental de la Numeración relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración, con la misma cantidad expresada en el sistema decimal: ..........+ X4 * B4 + X3* B3 + X2* B2 + X1* B1 + X0* B0

+ X-1* B-1 + X-2* B-2 + X-3* B-3 + X-4* B-4 + ....... Ejemplo: 201.13 es una cantidad expresada en un sistema de numeración en base 3. ¿Cuál será la representación de la misma cantidad en el sistema decimal?. 201.1 = 2 * 3 2+ 0 * 3 1 + 1 * 3 0 + 1 * 3 -1

Conversiones entre los distintos sistemas

1. Binario a decimal: Se suman los productos de todos los valores posicionales por el número que ocupa la posición.

Ej. Número binario: 1 1 0 1, 0 1

Multiplicado por: x x x x x x Valor posicional: 8 4 2 1 0,5 0,25 (23 22 21 20 2-1 2-2

respectivamente) _________________________ 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25 = 13,25 (decimal) Recuerde, el valor posicional es la base del sistema elevada al número de la posición que ocupa el número. 2. Hexadecimal a decimal: Se multiplica el número representado por el valor posicional que le

corresponde, y se suman los resultados:

Ej. AE1B = A x 163 + E x 162 + 1 x 161 + B x 160

= 10 x 4096 + 14 x 256 + 1 x 16 + 11 x 1 = 40960 + 3584 + 16 + 11 = (44571)10

3. Decimal a binario: Para cambiar de base decimal a cualquier otra base se divide el número que

se quiere convertir por la base del sistema al que se quiere cambiar, los resultados que se obtengan en el cociente deben seguir dividiéndose hasta que este resultado sea menor que la base. Los residuos que resulten de todas las divisiones en orden progresivo se irán apuntando de derecha a izquierda.



Ejemplo: convertir el número decimal 39 a binario.

39 : 2 = 19 Resto = 1 19 : 2 = 9 " = 1

9 : 2 = 4 " = 14 : 2 = 2 " = 02 : 2 = 1 " = 0

(1 0 0 1 1 1)2

Algoritmo Parte Entera: para convertir N = (0.5821)10 en su equivalente binario multiplique N y cada parte fraccionaria sucesiva por la base (2 en este caso), observando la parte entera del producto, como sigue: Multiplicaciones Partes enteras

0.5821x2 = 1.1642 1 0.1642x2 = 0.3284 0 0.3284x2 = 0.6568 0 0.6568x2 = 1.3136 1 0.3136x2 = 0.6272 0

Observe que la parte entera de cualquier producto puede ser solo cero o uno; ya que se están doblando números que son menores que uno. La sucesión de dígitos partes enteras de arriba hacia abajo, da el equivalente binario requerido. Es decir N = 0.5821 es equivalente a (10010)2 (aproximadamente) 4. Decimal a hexadecimal: El mecanismo de conversión es el mismo que el descripto en el punto

3, pero dividiendo el número por 16, que es la base del sistema hexadecimal. Para convertir una fracción decimal a su equivalente hexadecimal, aplicamos el algoritmo parte entera, con base 16.

5. Binario a hexadecimal: Sse divide el número binario en grupos de cuatro dígitos binarios,

comenzando desde la derecha y se reemplaza cada grupo por el correspondiente símbolo hexadecimal. Si el grupo de la extrema izquierda no tiene cuatro dígitos, se deben agregar ceros hasta completar 4 dígitos.

Ejemplo: (111110011011010011)2 = 0011 / 1110 / 0110 / 1101 / 0011 = 3 E 6 D 3 = (3E6D3)16 6. Hexadecimal a binario: De la misma manera, para convertir números hexadecimales en binarios

reemplace cada símbolo hexadecimal por el correspondiente grupo de cuatro dígitos binarios, y descarte los ceros innecesarios.

Ejemplo: (6 C 4 F 2 E)16 = 0110 / 1100 / 0100 / 1111 / 0010 / 1110 = (11011000100111100101110)2

Operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas con números que no sean de base 10 siempre se pueden realizar convirtiendo los operandos al sistema decimal, realizando las operaciones aritméticas deseadas, y reconvirtiendo los resultados a números de la base original. Este procedimiento no se recomienda para operaciones aritméticas binarias, que son sumamente simples, pero puede ser conveniente para operaciones hexadecimales complicadas, especialmente cuando se dispone de una buena tabla de conversión de hexadecimal a decimal, y viceversa. Las reglas de la aritmética son las mismas en todos los sistemas numéricos de posiciones de valor relativo. Por ello, basta solo recordar las reglas correspondientes de la aritmética decimal para poder efectuar operaciones aritméticas con números de cualquier otra base.



Suma binaria. En esencia, la suma abrevia la operación de contar. Sumamos dos dígitos contando los valores de ambos dígitos en orden correlativo, o bien, lo que es más simple memorizando la suma de los dígitos mediante una tabla de sumar. Cuando la suma de los dos dígitos excede los símbolos numéricos disponibles de la notación (es decir, el límite de cualquier posición de dígito), se lleva un 1 a la posición de dígito inmediatamente superior. Por lo tanto, en el sistema decimal, 3+5 = 8, pero 9+1 =0 con acarreo de un 1 (es decir 10). En el sistema binario hay solamente dos símbolos, 0 y 1. Por lo tanto, al sumar 1+1 en la notación binaria se excede el límite de la cuenta (ya que no hay otro símbolo disponible) y, en consecuencia, el resultado es 0 con acarreo de un 1 a la posición de dígito inmediatamente superior. Las reglas completas de la suma binaria son las siguientes: Reglas de suma binaria: 0 + 0 = 0

0 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 (0 con acarreo de un 1)

(Esto último puede escribirse como diez, pero se lee "uno, cero"). La tabla de sumar binaria que se incluye a continuación brinda una manera conveniente de resumir estos resultados:

+ 0 10 0 11 1 10

Más abajo se dan tres ejemplos de suma binaria. El ejemplo de la izquierda es de por sí explicativo. El del centro origina un acarreo, que se indica encima de la posición de dígito correspondiente. El ejemplo de la derecha muestra la adición de dos números de ocho bits e implica varios acarreos, que se indican. Como prueba de la operación, los operandos binarios han sido convertidos a decimales, y la suma se ha efectuado en ambos sistemas. Los resultados coinciden, como se puede probar por conversión. Acarreos 1 acarreos 1 11 1010 101010 00111001 = 57 + 101 + 001001 + 00100011 = + 35 1111 110011 01011100 = 92 Frecuentemente es necesario sumar 1 + 1, además de un 1 de acarreo, proveniente de una posición de orden inferior. El resultado es 1, con acarreo de un 1 a la posición inmediatamente superior. En resumen, 1 + 1 + 1 = 1 con acarreo de un 1 (lo cual puede escribirse 11). Los dos ejemplos siguientes ilustran este proceso: Acarreos 111 111

1111 10111000 = 184 + 111 + 00111011 = + 59 10110 11110011 = 243 Resta binaria. Las cuatro reglas básicas para la resta de números binarios son:

0 - 0 = 01 - 1 = 01 - 0 = 10 – 1 = 1 (con acarreo negativo de 1), es decir 10 - 1 = 1

Tabla de suma binaria:



Por ejemplo, restemos 101 – 011:

• En la columna derecha se realiza la resta de 1 – 1 = 0 • En la columna central hay que tomar prestado un 1 de la siguiente columna más significativa,

la cual queda en 0 y da lugar a 10 en la columna central, luego 10 -1 = 1 • En la columna izquierda, se resta 0 – 0 = 0

Resta binaria por complemento. Este es el método más eficiente para realizar sustracciones, y consiste en sumar al minuendo el complemento del sustraendo. Luego, la unidad que excede la longitud del minuendo, se elimina de la izquierda y se suma a la cifra de las unidades. (Prestar atención siempre a las posiciones decimales). Ejemplo, realizar la siguiente resta:

1 0 0 0 1 1,1 0 1 (Minuendo) - 1 0 1 0 1 (Sustraendo) Los pasos a seguir son: a- Si la cantidad de dígitos del sustraendo es menor que la del minuendo se completa el sustraendocon ceros a la izquierda de la parte entera, y a la derecha de la parte decimal (encolumnar por la coma). b- Se halla el complemento del sustraendo, restando este valor del máximo valor binario con la misma longitud que el minuendo. 1 1 1 1 1 1, 1 1 1

- 0 1 0 1 0 1, 0 0 01 0 1 0 1 0, 1 1 1 (Complemento)

En el sistema binario el complemento también puede hallarse cambiando cada dígito del sustraendo por su opuesto, es decir, el 1 se convierte en 0, y viceversa. c- Se suma al minuendo el complemento del sustraendo. 1 0 0 0 1 1, 1 0 1

+ 1 0 1 0 1 0, 1 1 1

1 0 0 1 1 1 0, 1 0 0

d- Se elimina el 1 de la izquierda y se suma encolumnado con el último dígito de la cifra, sin importar la coma decimal.

1 0 0 0 1 1,1 0 1 + 1 0 1 0 1 0,1 1 1

0 0 1 1 1 0, 1 0 0+ 1

1 1 1 0, 1 0 1 (Resultado) Las comprobaciones pueden realizarse convirtiendo a decimal las cifras del minuendo y del sustraendo y realizando la resta. Ejemplo: 1 0 0 0 1 1, 1 0 1 = 35,625 - 1 0 1 0 1 = 21

1 1 1 0, 1 0 1 14,625

1 0 1– 0 1 1

0 1 0

0 1



Otro modo de controlar el resultado es sumar el mismo al sustraendo, debiendo obtenerse el minuendo. 1 0 0 0 1 1, 1 0 1

- 1 0 1 0 1

1 1 1 0, 1 0 1

Suma hexadecimal. La suma en el sistema hexadecimal sigue las mismas reglas que la suma decimal y la binaria. Trabajar con símbolos alfanuméricos - números y letras - parece extraño al principio, dado que resultados que nos son familiares desde hace mucho tiempo en la suma decimal tienen un significado diferente en notación hexadecimal. Por ejemplo, mientras 4+5 = 9 tanto en el sistema decimal como en el hexadecimal, 7+8 = F (no 15) en la notación Hexadecimal. Cada vez que la suma de dos dígitos sobrepasa F (el símbolo hexadecimal de mayor valor), se genera el acarreo de un 1 hacia la posición de dígito inmediatamente superior. De este modo, 7+9 = 10 (es decir, 0 con acarreo de un 1), 9+9 = 12 (es decir, 2 con acarreo de un 1), C+9 = 15, y así sucesivamente. Una manera sencilla de realizar la suma hexadecimal es utilizando un método conocido como “método del reloj”. Consiste en ordenar todos los símbolos en un círculo, de menor a mayor, obteniéndose una disposición similar a la de los números de un reloj (de ahí su nombre). Para realizar una suma se debe proceder de la siguiente manera:

1. Posicionarse en el lugar correspondiente al primer sumando. 2. Desplazarse en el sentido de las agujas del reloj, avanzando tantas posiciones como lo

indique el segundo sumando. 3. El resultado de la suma será la última posición a la que se llegue.

Ej: 7 + 4 = B

Cuando al sumar se supere el valor de F, se produce un “acarreo”, y debe añadirse una unidad a la posición inmediata superior. Ej: B + 9 = 14

A continuación se incluyen tres ejemplos de suma hexadecimal: 11 1 1 1

9654 = 38.484 6AE 8F97 ,F + 4528 = 17.704 + 1FA + D44C,F9E

DB7C = (56.188)10 8A8 163E4,E9E

0 123

54

67

FED

C

AB

9 8

0 123

54

67

FED

C

AB

9 8

1

+



El ejemplo de la izquierda es sencillo y no implica ningún acarreo. Para verificar el resultado, cada uno de los operandos fue convertido al sistema decimal, se efectuó la suma, y se corroboró el resultado. El ejemplo del centro, que implica acarreo, puede ser descrito de la siguiente manera: A + E = 8 con acarreo de un 1 a la posición de dígito inmediatamente superior. Al sumar los dígitos de la posición inmediata superior, F + A = 9 con acarreo de un 1, pero a este resultado falta sumar el acarreo proveniente de la posición de orden inferior, es decir 9 + 1 = A. Otra manera de hacerlo es sumar primero el acarreo al dígito menor: A + 1 = B, y luego sumar B + F = A con acarreo de un 1 a la posición de dígito inmediato superior. Al sumar los dos últimos dígitos, 1 + 6 = 7, y más el 1 deacarreo equivale a 8. Con esto queda terminada la suma. Del mismo modo se procede con la suma de la derecha, teniendo en cuenta que se deben encolumnar los sumandos de acuerdo a la coma decimal. Resta hexadecimal. La resta hexadecimal sigue las mismas reglas que la resta decimal y que la resta binaria, con la salvedad que un acarreo o un pedido de 1 en la notación hexadecimal representa el número decimal 16. También en este caso es muy útil el “método del reloj”. Se procede de manera similar a la suma :

1. Posicionarse en el símbolo correspondiente al minuendo. 2. Desplazarse en el sentido contrario a las agujas del reloj, retrocediendo tantas posiciones

como lo indique el sustraendo. 3. El resultado de la resta será la última posición a la que se llegue.

Ej: A – 4 = 6

Cuando al restar se llega a un valor inferior a 0, se realiza un “pedido”, y se debe restar una unidad a la posición inmediata superior. Ej: 24 - 7 = 1D

Además del método tradicional de la resta, también puede utilizarse el método del complemento, como en el caso de la resta binaria. Método tradicional:

Pedidos 19 7 9 18

8 A 8 minuendo - 1 F A sustraendo 6 A E

0 123

54

67

FED

C

AB

9 8

0 123

54

67

FED

C

AB

9 8

2 1



Este ejemplo ilustra el "método de pedir 1". Para efectuar la resta se utilizará el método del reloj. Posiciónese en el 8 y retroceda A veces, llegando a la posición E, que es el resultado. Como debió pasar sobre el 0, se pide 1 al dígito de la posición de orden inmediato superior, que es A, y que queda reducido a 9 (ya que A - 1 = 9). Por lo tanto 8 - A = E, con pedido de 1. Anote "E". En la siguiente columna se procede de igual manera: posiciónese en el 9, retroceda F posiciones, llegando a la A, ypasando nuevamente sobre el 0, por lo que se pide un 1 al 8 de la izquierda, que queda reducido a 7.Por lo tanto 9 - F = A, con pedido de 1. Escriba "A". Finalmente la diferencia entre los dígitos de la última columna (7 – 1), equivale a 6. Escriba “6”. Con esto queda terminada la resta. Método del complemento:

Se siguen los mismos pasos que los descriptos para la resta binaria. Ejemplo: 8 E A D, 0 1 (minuendo) 3 B E 5 (sustraendo) a- Determinación del complemento: se resta el sustraendo del máximo valor hexadecimal que es

FFFF, FF. No olvidar completar con ceros el sustraendo, para obtener la misma cantidad de dígitos que el minuendo, encolumnando por la coma decimal.

F F F F, F F

- 3 B E 5, 0 0

C 4 1 A, F F b- Suma del complemento al minuendo:

8 E A D, 0 1 + C 4 1 A, F F

1 5 2 C 8, 0 0

c- Se elimina el 1 de la izquierda y se suma al último dígito, sin importar la coma decimal.

8 E A D, 0 1 + C 4 1 A, F F

5 2 C 8, 0 0+ 1

5 2 C 8, 0 1 (resultado) Para realizar la comprobación, se puede proceder de igual manera que en la resta binaria.



Representación de la Información

Los humanos recibimos información a través de nuestros cinco sentidos. Todos ellos son válidos para captar información, pero cuando pretendemos transmitir información, comunicar algo a alguien, los sentidos que mejor se prestan a establecer la comunicación son el oído y la vista. Cuando pretendemos plasmar la información de una forma transmisible y más o menos permanente, se debe disponer de un soporte físico, el cual contenga a la información. Existe una variedad de soportes físicos y algunos muy modernos, pero un medio que sigue en plena vigencia es la ESCRITURA. Han evolucionado los métodos (buril y losa de piedra, luego con punzón y tablilla encerada, y después con papel y tinta), pero el fundamento sigue siendo el mismo: poner en la secuencia conveniente una serie de símbolos escogidos dentro de un conjunto predefinido. La información se representa en base a cadenas de símbolos. En base a un alfabeto convencional cualquiera sobre el que establezcamos un acuerdo cultural de entendimiento entre el que escribe y el que lee podemos representar cualquier información compuesta de palabras y cantidades numéricas. Un alfabeto no es más que un conjunto fijado por acuerdo cultural, de símbolos elementales en base a los cuales se forma la información. Cualquier alfabeto se fija arbitrariamente, y esto es muy importante, porque si la Informática ha logrado el tratamiento automático de la información con máquinas, ha sido gracias a este concepto. No es necesario que el alfabeto que usa una máquina en su interior sea el mismo que utiliza el hombre que la ha construido y la maneja, basta con que la transformación de los símbolos internos a los externos o viceversa se efectúe de una manera sencilla, de ser posible automáticamente por la propia máquina. Necesidad de codificar la información Cuando una información que originalmente venía representada en un alfabeto A1 es transcrita a un segundo alfabeto A2, se dice que ha sido codificada.El caso más sencillo es cuando ambos alfabetos tienen la misma cantidad de símbolos y a cada símbolo del primer alfabeto le corresponde un símbolo del segundo alfabeto (correspondencia biunívoca o biyectiva). Otro caso es cuando el segundo alfabeto dispone de un número de símbolos menor que el alfabeto de partida. Es obvio que en este caso ya no podemos recurrir a una correspondencia de símbolos uno a uno y tendremos que transcribir (codificar) cada símbolo del conjunto A1 con una combinación de símbolos del conjunto A2. Un ejemplo es el sistema de codificación Morse empleado en los inicios de la telegrafía. Éste disponía tan solo de dos elementos: el punto y la raya. Esto se debió a razones técnicas: querer distinguir más de dos niveles de pulsación (corto = punto; largo = raya) hubiera sido totalmente inoperante, los mensajes hubieran estado sometidos a una enorme cantidad de subjetivismo y malas interpretaciones. Existen razones que determinan la necesidad de que la información sea codificada y ellas son: 1) Debido a la transmisión automática de la información. 2) Necesidad de abreviar la escritura. 3) Hacer secreta e ininteligible la información que se codifica. Se trata de hacer críptico un mensaje

plasmándolo en un sistema de codificación que el emisor y el receptor conocen pero que un posible interceptor desconocerá.

Codificar significa transformar unos datos de su representación actual a otra representación predefinida y preestablecida, que podrá ser tan arbitraria y convencional como se quiera, pero que deberá tener en cuenta el soporte físico sobre el cual se va a mantener los datos, así como los procesos a los cuales se los deberá someter y, también, si necesitamos o no transmitirlos a través de ciertos canales físicos de comunicación.



Sistemas de codificación binarios Cuando los símbolos de un alfabeto A1 son transcritos a un alfabeto que sólo tiene dos símbolos diremos que tenemos un sistema de codificación binario. El verdadero motivo para utilizar un alfabeto de codificación tan pobre es de tipo técnico. Existe una verdadera dificultad técnica en usar dispositivos físicos que puedan diferenciar con el debido grado de fiabilidad más de dos estados claramente separados en cualquier circunstancia y frente a cualquier posible perturbación. Se debe recurrir, por lo tanto a dispositivos físicos biestables (con dos estados físicos diferenciados en forma clara y estable). Por ejemplo: Corriente eléctrica: Distinguir entre diez o más niveles de voltaje o intensidad es altamente delicado y caro. Distinguir entre dos extremos de pasa / no pasa corriente es económico y concede un amplio margen de tolerancia. Intensidad de la luz: Sería prácticamente imposible discernir a simple vista entre varias intensidades de luz. Podemos separar claramente dos situaciones extremas luz apagada / luz encendida. Sentido de la magnetización: Diferenciar entre los valores que puede asumir un campo magnético es complicado, pero diferenciar entre una magnetización norte-sur y su contraria, es bastante fácil y fiable. Códigos de representación de la información en las computadoras Los datos e informaciones que se manejan internamente en un sistema informático se pueden representar, según sus características, de las siguientes formas:

Textos

� BCD de 6 bits � EBCDIC � ASCII � UNICODE

Dígitos decimales codificados en Binario (BCD)

� Empaquetado � Desempaquetado

Enteros Representación Binaria

- Coma Fija -

� Módulo y Signo � Complemento a 1 � Complemento a 2 � Exceso a 2 elevado a N-1

Datos Numéricos

Reales

Coma Flotante � Notación exponencial � Normalización IEEE754

Sonidos WAV, MIDI, MP3

Mapa de Bits BMP, TIFF, JPEG, GIF, PNG

Imágenes Mapa de Vectores

DXF, IGES, EPS, TrueType



1. Textos

1.1. Codificación BCD de 6 bits: Las primeras computadoras para la representación de sus datos tanto numéricos como alfanuméricos utilizaban códigos de 6 bits. Este sistema admitía 26

(64) caracteres únicos, lo cual era suficiente para 26 letras mayúsculas, 10 dígitos y hasta 28 caracteres especiales tales como / * .; , .( ) + -. La codificación BCD de 6 bits agrega dos bits, llamados bits de zona y rotulados posición B y posición A, a los cuatro bits numéricos 8-4-2-1 del BCD:

A B 8 4 2 1Sin embargo, pronto resultó obvio que un esquema de codificación de 6 bits seguía siendo inadecuado para la representación de todos los caracteres que se necesitan en los sistemas de computación modernos. Las causas fueron las siguientes: • Rápido crecimiento del procesamiento de texto, que requería códigos de caracteres únicos, tanto para letras mayúsculas como minúsculas. • Deseo de agregar alfabetos no ingleses al sistema de computación, y esto aumentaba el número de códigos requeridos. Se necesitaban símbolos tales como tilde, diéresis, acento grave y circunflejo, así como nuevos alfabetos, como el hebreo, griego y cirílico. • Deseo de añadir capacidades gráficas (de trazado de imágenes) a las computadoras. Debido a lo anterior, el tamaño de los sistemas de codificación necesito aumentarse.

1.2. EBCDIC: Código de Intercambio Decimal codificado en binario extendido.

Es un sistema de codificación de 8 bits, donde cada carácter se representa como una cadena de 8 dígitos binarios y hay un total de 28 (256) caracteres a disposición. Cada carácter codificado o byte, se divide normalmente en cuatro bits de zona (7, 6, 5 y 4), y cuatro bits numéricos (3, 2, 1 y 0), de pesos: 8-4-2-1 (Ver Tabla 2)

7 6 5 4 3 2 1 0

Ejemplos: Letra A mayúscula = 1111 0001

Letra j minúscula = 1001 0001 Letra k minúscula = 1001 0010 Número 5 = 1111 0101

Posición 5 y 4 00 - A-I 01 - J-R 10 - S-Z 11 - Números

Posición 7 y 6 11- Letras mayúsculas y números 10 - Letras minúsculas. 01 - Caracteres especiales 00 - Ningún carácter encontrado



Tabla 2: Código EBCDIC de 8 bits.

1.3. ASCII: Código Estándar Americano para el Intercambio de Información. El código ASCII básico utiliza 7 bits y es actualmente el más usado. Se usa especialmente para la transmisión de datos y corresponde a la normalización ANSI X3.4-1968 ò ISO 646. Existen otras versiones ampliadas de este código que utilizan 8 bits y respetan los códigos normalizados del ASCII básico, aprovechando las combinaciones no usadas para representar símbolos adicionales. Entre ellas se encuentran los códigos ISO 8859-n, donde n es el número que identifica el juego de los nuevos caracteres introducidos dependiendo de los lenguajes. Por ejemplo, la norma, ISO 8859-1, también denominada ISO-Latin1, se proyectó para América y Europa occidental e incluye vocales con acentos, tildes, diéresis y otras letras latinas no usadas en los países anglosajones. En la tabla 3 se incluye el código correspondiente a cada carácter. Sumando los valores de la primera fila y de la primera columna de cada carácter se obtiene el código hexadecimal de dicho carácter y sumando los valores de la segunda fila y segunda columna, el código en decimal.

Tabla 3: Código ASCII de 8 bits (ISO 8859- Latin 1)

bits 3210

7654 0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

0000 NUL DEL DS SP & - { } \ 0

0001 SOH DC1 SOS a j ~ A J 1

0010 STX DC2 FS SYN b k s B K S 2

0011 ETX DC3 c l t C L T 3

0100 PF RES BYP PN d m u D M U 4

0101 HT NL LF RS e n v E N V 5

0110 LC BS EOB UC f o w F O W 6

0111 DEL IL ESC EOT g p x G P X 7

1000 CAN h q y H Q Y 8

1001 RLF EM \ i r z I R Z 9

1010 SMM CC SM ⊄ ! ¦ :

1011 VT . $ ' #

1100 FF IFS DC4 < * % @

1101 CR IGS ENQ NAK ( ) _ ´

1110 SO IRS ACK + ; >

1111 SI IUS BEL SUB | ¬ ? "



1.4. UNICODE Es propuesto por un consorcio de empresas y entidades con el objetivo de hacer posible escribir aplicaciones que sean capaces de procesar texto de muy diversas culturas. Los códigos de E/S anteriores presentan varios inconvenientes, tales como: • Los símbolos codificados son insuficientes para representar los caracteres especiales que requieren numerosas aplicaciones. • Los símbolos y códigos añadidos en las versiones ampliadas a 8 bits no están normalizados. • Están basados en los caracteres latinos, existiendo otras culturas que utilizan otros símbolos muy distintos. • Los lenguajes escritos de diversas culturas orientales, como la china, japonesa y coreana se basan en la utilización de ideogramas o símbolos que representan palabras, frases o ideas completas, siendo, por tanto, inoperantes los códigos que sólo codifican letras individuales.

Unicode está reconocido como estándar ISO/IEC 10646, y trata de ofrecer las siguientes propiedades:

• Universalidad, trata de cubrir la mayoría de lenguajes escritos: 16 bits � 65.356 símbolos.

• Unicidad, a cada carácter se le asigna exactamente un único código.

• Uniformidad, ya que todos los símbolos se representan con un número fijo de bits (16).

La tabla siguiente muestra un esquema de cómo se han asignado los códigos Unicode.

Zona Códigos Símbolos codificados Número de caracteres

0000 000FF

Latín-1 256

Otros alfabetos 7.936 A

0000

2000 Símbolos generales y caracteres fonéticos chinos, japoneses y coreanos

8.192

I 4000 Ideogramas 24.576 O A000 Pendiente de asignación 16.384

R E000 HF

Caracteres locales y propios de los usuarios Compatibilidad con otros códigos

8.192

Tabla 4: Esquema de asignación de códigos en Unicode. 2. Datos Numéricos

2.1.Enteros

2.1.1. Representación de dígitos Decimales Codificados en Binario (BCD)Hay muchas maneras de representar datos numéricos en forma binaria. Uno puede simplemente escribir el número en base 2. A esto se llama codificación binaria directa. Otra manera es codificar los números decimales dígito por dígito. A esta codificación que requiere por lo menos 4 bits por cada dígito decimal, se le llama codificación BCD (binary-coded decimal) Decimal Codificado en Binario. En esta representación se utiliza la codificación ponderada, en la cual se le dan a los bits de izquierda a derecha, los pesos 8, 4, 2 y 1, respectivamente. Como estos pesos son precisamente los valores de posición en el sistema binario, un dígito decimal esta codificado como su representación binaria. Ejemplo: La representación BCD 8-4-2-1 de N = 469 es: 0100 0110 1001 4 6 9Por otra parte, la representación binaria directa es: N = 111010101 2 que usa 3 bits menos.



2.1.1.1.Decimal desempaquetado:

En este sistema un número se almacena con un byte por cada una de sus cifras. Cada byte lleva en su cuarteto de la izquierda cuatro unos (F en hexadecimal) denominados bits de zona, y en el de la derecha la cifra en BCD (Decimal Codificado en Binario) denominados bits de dígitos. El cuarteto de la izquierda de la última cifra representa el signo, conteniendo 1100 para el +, 1101 para el - (C y D en hexadecimal). Ejemplo: 1992 1111 0001 1111 1001 1111 1001 1100 0010 F1 F9 F9 C2

-1992 1111 0001 1111 1001 1111 1001 1101 0010 F1 F9 F9 D2

2.1.1.2.Decimal empaquetado:

En este sistema se representa cada dígito en un cuarteto (sin bits de zona), salvo el primero por la derecha que lleva el signo con los mismos valores ( C y D). Ej.: 1992 0000 0001 1001 1001 0010 1100 01 99 2C 2.1.2. Representación Binaria (Coma Fija)

Al utilizar la computadora el sistema binario como método de representación interno de datos, es conveniente tener en cuenta que disponemos de un número finito de bits, que denominamos palabra. El tamaño de una palabra depende de la computadora que se utilice y representa la cantidad de bits que la computadora es capaz de transferir en una operación de E/S. El nombre “coma fija” viene de la posición en que se supone situado el punto decimal, que es en una posición fija. La coma fija es utilizada en la actualidad exclusivamente para la representación de números enteros, suponiendo que la coma decimal figure implícitamente a la derecha de los dígitos: Existen cuatro formas de representar números en coma fija: a) Módulo y signo (MS)

El bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será de 0 para el + y de 1 para el -. El resto de los bits (N-1) representan el módulo del número. Suponemos en principio que los números no poseen parte decimal, por lo que la coma se supone implícita a la derecha. Número 10: 0 0 0 0 1 0 1 0

Número -10: 1 0 0 0 1 0 1 0

El rango de representación es para N dígitos de: -2 N-1+ 1 <= X <= 2 N-1 -1 Para el caso de 8 bits el rango es: -127 <= X <= 127 (2 8-1 +/- 1 = 27+/- 1 = 128 +/- 1) Para 16 bits, el rango es: 32.767 <= X <= 32.767 Para el caso de 32 bits, el rango es: 2.147.483.647<= X <= 2.147.483.647

MóduloSigno



Este sistema posee la ventaja de tener un rango simétrico y la desventaja de tener dos representaciones del 0.

+0 = 0 0000000 –0 = 1 0000000

b) Complemento a 1 (C-1)

Este sistema de representación utiliza el bit de más a la izquierda para el signo, correspondiendo el 0 para el + y el 1 para el -. Para los números positivos el resto de los bits (N-1) representan el módulo del número. El negativo de un número positivo se obtiene complementando todos sus dígitos (cambiando ceros por unos y viceversa) incluido el bit de signo.

Número 10: 0 0 0 0 1 0 1 0

Número -10: 1 1 1 1 0 1 0 1

El rango de representación es de: -2 N-1+ 1 <= X <= 2 N-1 -1 Para el caso de 8 bits el rango es: -127 <= X <= 127 Para 16 bits, el rango es: 32.767 <= X <= 32.767 Para el caso de 32 bits, el rango es: -2.147.483.647 <= X <= 2.147.483.647 Este sistema posee la ventaja de tener un rango simétrico y la desventaja de tener dos representaciones del 0.

+ 0 = 0 0000000– 0 = 1 11111111

c) Complemento a 2 (C-2)

Este sistema de representación utiliza el bit de más a la izquierda para el signo, correspondiendo el 0 para el + y el 1 para el -. Para los números positivos el resto de los bits (N-1) representan el módulo del número. El negativo de un número positivo se obtiene en dos pasos: Primer paso: Se complementa el número positivo en todos sus bits (cambiando ceros por unos y

viceversa) incluido el bit de signo, es decir, se realiza el "complemento a 1". Segundo paso: Al resultado obtenido en el primer paso se le suma 1 (en binario) despreciando el

último acarreo si existe.

Ejemplo: Número 10 0 0001010Número -10.........1 1110101

+1 1 11110110

El rango de representación es asimétrico, lo que constituye su mayor inconveniente y viene dado por: -2 N-1 <= x <= 2 N-1 -1

MóduloSigno



Para el caso de 8 bits el rango es: -128 <= X <= 127 Para 16 bits, el rango es: -32.768 <= X <= 32.767 Para 32 bits, el rango es: -2.147.483.647 <= X <= 2.147.483.647 La principal ventaja es la de tener una única representación del cero: En el caso de palabras de 8 bits tendríamos: Número 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Número -0 Primer paso 1 1 1 1 1 1 1 1

Segundo paso 1 1 1 1 1 1 1 1+ 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0El último acarreo se desprecia por lo tanto, el 0 y el -0 tienen una sola representación. d) Exceso a 2 elevado a N-1Este método no utiliza ningún bit para el signo, con lo cual todos los bits representan un modulo o valor que corresponde al número representado mas el exceso, que para N bits viene dado por 2 elevado a N-1. Por ejemplo, para 8 bits el exceso es de 27 = 128, con lo que el número 10 vendrá representado por 10 + 128 = 138; para el caso de -10 tendremos -10 + 128 = 118. Veamos cuales son sus representaciones:

Número 10 10001010 Número -10.....01110110

en este caso, el 0 tiene una única representación, que para 8 bits corresponde a: Número 0 ( 0 + 128) 10000000 El rango de representación es asimétrico (inconveniente) y viene dado por: -2 N-1 <= X <= 2 N-1 -1 Para el caso de 8 bits el rango es: -128 <= X <= 127 Para 16 bits, el rango es: -32.768 <= X <= 32.767 Para 32 bits, el rango es: -2.147.483.648 <= X <= 2.147.483.647 2.1.3. Conclusiones sobre los sistemas de representación de coma fija: El método más utilizado en la actualidad para la representación de enteros es el Complemento a 2,ello se debe a la facilidad de efectuar las sumas y restas con esta representación, porque en todos los casos, las operaciones se resuelven con sumas. Este método reduce la complejidad de los circuitos de la unidad aritmética lógica, dado que no es necesario circuitos específicos para restar.



Límites aproximados de valores enteros representables con distintas longitudes de palabras

Límite inferior N (min) Longitud de palabra Límite superior N (max) Complemento a 1 Complemento a 2

8 127 -127 -12816 32.767 -32.767 -32.76832 2.147.483.649 -2.147.483.649 -2.147.483.65064 9,223372 * 1018 -9,223372 * 1018 -9,223372 * 1018

Si como resultado de las operaciones, se debiese obtener un número fuera de los límites, se dice que se ha producido un desbordamiento. Ver figura siguiente:

2.2. Reales (Coma Flotante)

2.2.1. Notación ExponencialCuando se opera con números muy grandes o muy pequeños se suele utilizar la notación exponencial. Según esta notación el número 13.257,3285, puede representarse, entre otras, de las siguientes maneras:

13.257,3285 = 13.257,3285 * 100 = 1,32573285 * 104

= 0, 132573285 * 105 = 132.573.285 * 10-4 = 13.257.328.500 * 10-6

Donde todo número se puede representar como:

Número = mantisa * base exponente

La notación exponencial también se conoce como notación científica o notación en coma flotante, dado que parece como si la coma decimal flotase de derecha a izquierda y al revés al cambiar el valor del exponente. En notación científica estándar, los números se expresan de la forma:

donde 1 <= m < 10, y p es un número entero, cuyo signo indica si la coma se desplaza a la derecha (+) o a izquierda (-)

Ejemplo: -246,36 = -2,4636 E +2 = -2,4636 * 10 2

82000000000 = 8,2 E +10 = 8,2 * 10 10 0,00003 = 3,0 E -5 = 3 * 10 -5

Normalización: en notación exponencial un número tiene infinitas representaciones, ya que siempre es posible correr k lugares la coma a la izquierda (o derecha) si simultáneamente se incrementa (o

DesbordamientoDesbordamiento

N (Max) N (Min)

0

+∞∞-

Datos enteros representables

N= +- m E +-p = +- m * 10 +- p



decrementa), el exponente en un valor k, sin que cambie el valor del número representado. Se toma como standard la representación denominada normalizada, que consiste en que la mantisa no tiene parte entera y el primer dígito a la derecha del punto decimal es significativo (distinto de cero), salvo en la representación del número 0. Ejemplo: Representación del número decimal 728,3 con base de exponenciación 10.

728,3 = 7283 * 10-1 = 728,3 * 100 = 72,83 * 101 == 7,283 * 102 = 0,7283 * 103 notación normalizada

2.2.2. Procesamiento de la coma flotante

La representación y manejo de los datos puede ser responsabilidad del hardware de la computadora o de los traductores de lenguajes. Los microprocesadores actuales disponen internamente un procesador de coma flotante (FPU ó Float Point Unit)que contiene circuitos aritméticos para operar con este tipo de datos. Los primeros microprocesadores no incluían la FPU y esa función cumplían los coprocesadores matemáticos. Si el hardware no dispone de circuiteria para coma flotante y el lenguaje de programación incluye este tipo de datos, el traductor debe descomponer las instrucciones en formatos operables por los circuitos de la máquina, disminuyendo el rendimiento del procesamiento. Hasta la década de los 80, puede decirse que cada fabricante de computadoras utilizaba un sistema propio para la representación de los números reales, pero enseguida surgió la necesidad de un sistema normalizado en el que trabajó la asociación IEEE. 2.2.3. Normalización IEEE 754

Existen muchas formas de representación en coma flotante, según la longitud de la palabra de la computadora, la base de exponenciación, el número de dígitos reservados para la mantisa y el exponente (MS, C-1 ó C-2), etc. La coma flotante puede definirse particularmente en cada caso (lo determina el fabricante). El IEEE (Instituto de Ingeniería Eléctrica y Electrónica) ha creado un estándar sobre la presentación de números en coma flotante. Este estándar especifica como deben representarse los números en coma flotante con simple precisión (32 bits) o doble precisión (64 bits), y también cómo deben realizarse las operaciones aritméticas con ellos. Para representar un número en la forma N=M*BE, siendo E entero. La notación establece las normas que se indican a continuación:

1) Elementos almacenados y orden de almacenamiento

La base del exponente es B=2, es decir está predeterminada:

N = +/- M * 2E

de esta forma sólo es necesario almacenar, de alguna forma, M y E con sus signos respectivos.

No se almacenan directamente el signo (+ o -), el exponente y la mantisa, sino que estos elementos sufren una transformación: realmente se memoriza:

• un campo del signo (s) que ocupa 1 bit,• un campo del exponente (o característica, e), que ocupa ne bits y • un campo de la mantisa (m), que ocupa nm bits.

Siendo n el número total de bits utilizados para representar el número real se verifica: n = 1 +ne+ nm



El orden de almacenamiento es: campo de signo (s), campo de exponente (e) y campo de mantisa (m). Este orden se sigue para que los elementos y bits más significativos queden ordenados de izquierda a derecha, de manera tal que los algoritmos de comparación de enteros sean también válidos para la representación de números reales.

2) Campo del signo

El bit de signo es cero para los números positivos y uno para los números negativos.

3) Campo del exponente.

El exponente se almacena en la forma de "entero sesgado“, es decir, el exponente almacenado e se obtiene sumando al exponente del número, E, un sesgo S, dado por:

S = 2ne-1-1 ; e = S + E = 2 ne-1+E-1

de esta forma en los ne bits reservados para el exponente se pueden incluir exponentes positivos o negativos sin utilizar un bit explicito de signo.

Ejemplos: Exponente (E) Exponente sesgado Exponente Almacenado 0 127 + 0 = 127 0111 1111

+2 127 + 2 = 129 1000 0001 -126 127 – 126= 1 0000 0001

4) Campo de la mantisa

Por lo general, el exponente se ajusta de forma tal que el 1 más significativo de la mantisa se encuentre en la posición 0 (posición de las unidades); es decir, 2 > M ≥ 1. Cuando el número se encuentra ajustado de esta forma, se dice que está normalizado, en caso contrario, se dice que esta denormalizado.

Tener en cuenta que como la base del exponente es 2, si aumentamos una unidad el exponente hay que desplazar la coma decimal una posición a la izquierda y viceversa.

El campo de la mantisa se obtiene almacenando sólo la parte fraccionaria del número normalizado; es decir, no se almacena la información "1”, porque todas las mantisas normalizadas comienzan con 1. El uno queda implícito pero cuando la ALu debe operar el número, debe restituir el 1, haciendolo explícito o desempaquetado. Analíticamente la condición de normalización puede expresarse así:

Reajustar mantisa y exponente de forma tal que se verifique: M = [1.m], con 1 ≤M < 2.

Las normalizaciones son necesarias para no perder precisión (cifras significativas) en operaciones sucesivas. Esto se debe a que el número de cifras binarias de la mantisa, nm, es fijo y conviene, por lo tanto, normalizar la mantisa de forma que las cifras significativas ocupen las posiciones de mayor peso. 5) Situaciones especiales

a) Cuando el campo del exponente toma su valor mínimo; es decir, e=0, el 1 más significativo de la mantisa no se encuentra implícito, y entonces la mantisa se almacena denormalizada. En este



caso el sesgo es: S= 2ne-1-2. El valor del exponente correspondiente a los números denormales es E = e – S = 2ne-1+2

b) El número N=0 se representa con todos los bits del campo del exponente y del campo de la mantisa cero (e=0, m=0).

c) Si todos los bits del campo del exponente son 1 (tienen el máximo valor): • si m = 0, N representa más o menos infinito (el resultado de dividir por 0, p.e.). • si m ≠ 0, N representa un NaN (no representa a un número). Estos patrones de bits se

utilizan para almacenar valores no validos (resultados de operaciones tales como 0/∞,∞/∞, raiz cuadrada de un número negativo, etc.).

6) Redondeos

Un problema que se plantea al representar números reales, es que, por lo general un número decimal real, aunque tenga un número finito de cifras significativas, no es representable exactamente por un número finito de bits (n), lo que implica tener que utilizar técnicas de redondeo.

El estándar IEEE recomienda efectuar un redondeo al más próximo; y si el error es igual en ambos sentidos, se hace un redondeo al par, que consiste en redondear por exceso o por defecto, pero siempre de forma que el bit menos significativo del número resultante sea 0. Es lo mismo que decir que, si la cifra menos significativa que se retiene es 0: se trunca el número, y si es 1, se le suma 1.

EJEMPLO: Supóngase que nm = 5.Resultado de la ALU Acción Mantisa redondeada

1.01100 11 sumar 11.01101 1.01100 01 truncar 1.01100 1.01100 00 truncar 1.01100 1.01101 10 sumar 11.01110 1.01100 10 truncar 1.01100

7) Precisiones usuales en IEEE754

El estándar IEEE 754 considera dos tamaños o precisiones posibles de datos (cuanto mayor sea nm,mayor es el número de cifras significativas y, por tanto, mayor es la precisión): simple precisión (n = 32), y doble (n = 64).

a) Simple Precisión El estándar IEEE-754 para la representación en simple precisión de números en coma flotante exige una cadena de 32 bits. El primer bit es el bit de signo (S), los siguientes 8 son los bits del exponente (E) y los restantes 23 son la mantisa (M):

S EEEEEEEE MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM 0 1 8 9 31

El valor V representado por esta cadena puede ser determinado como sigue:

• Si E=255 y M es no nulo, entonces V=NaN ("Not a number")

• Si E=255 y M es cero y S es 1, entonces V=-Infinito

• Si E=255 y M es cero y S es 0, entonces V=Infinito

• Si 0<E<255 entonces V=(-1)**S * 2 ** (E-127) * (1.M) donde "1.M" se emplea para representar el número binario creado por la anteposición a M de un 1 y un punto binario.



• Si E=0 y M es no nulo, entonces V=(-1)**S * 2 ** (-126) * (0.M) Estos son valores "sin normalizar".

• Si E=0 y M es cero y S es 1, entonces V=-0

• Si E=0 y M es cero y S es 0, entonces V=0

b) Doble precisión El estándar IEEE-754 para la representación en doble precisión de números en coma flotante exige una cadena de 64 bits. El primer bit es el bit de signo (S), los siguientes 11 son los bits del exponente (E) y los restantes 52 son la mantisa (M): S EEEEEEEEEEE

MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM 0 1 11 12 63 El valor V representado por esta cadena puede ser determinado como sigue:

• Si E=2047 y M es no nulo, entonces V=NaN ("Not a number")

• Si E=2047 y M es cero y S es 1, entonces V=-Infinito

• Si E=2047 y M es cero y S es 0, entonces V=Infinito

• Si 0<E<2047 entonces V=(-1)**S * 2 ** (E-1023) * (1.M) donde "1.M" se emplea para representar el número binario creado por la anteposición a M de un 1 y un punto binario.

• Si E=0 y M es no nulo, entonces V=(-1)**S * 2 ** (-1022) * (0.M) Estos son valores "sin normalizar".

• Si E=0 y M es cero y S es 1, entonces V=-0

• Si E=0 y M es cero y S es 0, entonces V=0

La precisión más utilizada es la sencilla:

N = 32 bits; ne = 8 bits; nm = 23 bits

Número normalizado mayor:0 1111 1110 111 1111 1111 1111 1111 11111

E = 254 E = 254 -127 = 127 m = 1-2-23= 1-1.1921·10 -7= 0.99999988 M= 1 + 0.99999988 = 1.99999988 N(máximo) = 1.99999988 ·2127= 3.402823466·1038

8) Valores límites

Con toda representación se obtienen unos valores máximos y mínimos representables, que se obtienen aplicando el siguiente patrón:

Caso Signo Exponente Mantisa

Infinito 0 1111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0000

Número Mayor (N max) 0 1111 1111 111 1111 1111 1111 1111 1111



Número menor normalizado (N min, nor ) 0 0000 0001 000 0000 0000 0000 0000 0000

Número menor normalizado (N min, den ) 0 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0001

Cero 0 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0000

Calculando los valores tendremos, para precisión simple:

Número Mayor (N max) 3,402823466 . 1038

Número menor normalizado (N min, nor ) 1,2 . 10-38

Número menor normalizado (N min, den ) 1,1401. 10-45

Obsérvese que los números reales que cumplen las siguientes condiciones no pueden ser representados:

• Los números comprendidos entre –N(min,den) y N(Min,den) con N distinto de cero. Si como resultado de una operación el número N tiene que caer en esa zona, se dice que se produce un agotamiento (underflow).

• Los números menores que –N(max) y mayores que N(Max) con N distinto de infinito positivo o negativo. Si como resultado de una operación el número N tiene que caer en esa zona, se dice que se produce un desbordamiento (overflow).

2.2.4. Observaciones finales

Un buen programador debe tener en cuenta cómo se almacenan los números reales en la computadora, ya que se pueden presentar problemas inherentes a la forma en que se representan los números (con un número limitado de bits). Dificultades:

a) Por la obtención, en resultados intermedios, de números excesivamente pequeños. Esto puede ocurrir por restar dos números muy iguales o por la división entre números en los que el divisor es mucho mayor que el dividendo. En estos casos puede perderse la precisión de los cálculos o producirse un desbordamiento a cero o agotamiento.

b) Por la obtención de resultados numéricos excesivamente altos, es decir por desbordamiento.Esto ocurre, por ejemplo, al dividir un número por otro mucho menor que él o al efectuar sumas o productos sucesivos con números muy elevados.

c) En la comparación de dos números. Hay que tener en cuenta que cada dato real en la computadora representa a infinitos números reales (un intervalo de la recta real), por lo que en general una mantisa decimal no puede representarse exactamente con nm bits, con lo que genera un error "de representación".



d) Esto da lugar a problemas al comparar si un número es igual a otro (sobre todo si estos números se han obtenido por cálculos o procedimientos distintos), ya que el computador considera que dos números son iguales únicamente si son iguales todos sus bits. Las detecciones de igualdades deben hacerse con números enteros o considerando que dos números son iguales si la diferencia entre ellos es menor que un valor dado.

e) Una consecuencia de lo dicho anteriormente es que, la suma y multiplicación de datos de tipo real no siempre cumplen las propiedades asociativas y distributivas, se pueden obtener resultados distintos dependiendo del orden en que se realizan las operaciones.

3. Representación de Sonidos

3.1. Grabación de una señal de sonido Una señal de sonido se capta por medio de un micrófono que produce una señal analógica (señal que puede tomar cualquier valor dentro de un determinado intervalo continuo).

Posteriormente la señal analógica es amplificada para encajarla dentro de dos valores límites, por ejemplo entre -5 voltios y +5 voltios. Ejemplo: señal producida al pronunciar la palabra “casa” (0,9 segundos).

Figura 1: Señal analógica captada por un micrófono al pronunciar la palabra “casa”. En un intervalo de tiempo continuo (en la figura, entre 0 y 0,9 segundos) se tienen infinitos valores de la señal analógica, por lo que para poder almacenarla y procesarla utilizando técnicas digitales se realiza un proceso de muestreo. El muestreo selecciona muestras de la señal analógica a una frecuencia de muestreo Fs determinada; así cada Ts = 1/Fs segundos, se dispone de un valor de la señal. La señal original de la Fig. 1 se muestrea a una Frecuencia de muestreo Fs = 22,05 KHz. De esta forma en el intervalo de tiempo de 0 a 0,9 segundos, se obtiene aproximadamente 20.000 muestras.

Figura 2: Tramo de muestras comprendido entre 0,184 a 0,186 segundos.

Segundos

Tensión (v)

Número de muestra (F = 22.255 Hz)

Valor de la muestra



En la Fig. 2 se representan las muestras 4.050 a 4.100, que corresponden al intervalo de tiempo que va de 0,184 a 0,186 segundos. Simultáneamente al muestreo, las muestras se digitalizan (transforman a binario) con un conversor analógico/digital. En definitiva, la señal de sonido queda representada por una secuencia de valores, por ejemplo de 8 bits, correspondiendo cada uno de ellos a una muestra analógica. En el ejemplo considerado la palabra “casa” quedaría almacenada en un archivo o tabla de 20.000 elementos, conteniendo cada uno de ellos el valor binario de cada una de las muestras correspondientes. En la Fig. 3 se representan los valores decimales correspondientes al archivo de la señal considerada. A partir de las muestras digitales se puede recuperar la señal.

Figura 3: Valores de las muestras obtenidas por un conversor A/D y que representan a la señal de voz. En el muestreo intervienen fundamentalmente dos parámetros: 1. Frecuencia de muestreo Fs : debe ser igual o superiora un determinado valor, que depende de la

calidad del sonido a recuperar; en otras palabras, dentro de un intervalo de tiempo dado deben tomarse suficientes muestras para no perder la forma de la señal original.

2. Número de bits por muestra (precisión): con el que se representa cada muestra debe ser el

adecuado. Obviamente, cuanto mayor es la frecuencia de muestreo y el número de bits por muestra, mayor será el tamaño de los archivos que almacenan el sonido; por lo que ambos parámetros deben elegirse en función de la calidad requerida. Por ejemplo, 1 minuto de audio estéreo con calidad CD, necesita 10 MB (sin compresión de datos).

3.2. Formatos del sonido digitalizado � Audio digital en formato de onda o audio CD o .wav o .au (los wav del UNIX). Era el

formato por excelencia para almacenar el sonido digital. Su principal ventaja, su calidad, su principal inconveniente, el espacio que ocupa. Para tener una idea, en un CD caben "tan sólo" 74 minutos de audio a la máxima calidad: 44,1KHz, 16 bits y estéreo (2 canales).

� Con el formato MIDI se soluciona el problema del espacio. Es totalmente distinto al formato de onda, sólo se almacenan las notas que deberán ser tocadas en cada instante. Por tanto permite gran flexibilidad y es ideal para compositores. Sin embargo, para obtener una calidad aceptable, es necesario que la tarjeta de sonido disponga de tabla de ondas o, en su defecto, de un sintetizador virtual. Otra carencia importante es que no se puede añadir voces humanas, las voces no se pueden sintetizar tan fácilmente como el sonido de un instrumento.

� El formato MP3. El mp3 no es más que una especificación para la compresión de ficheros de onda (los .wav). Con él se consigue reducir el tamaño original de los ficheros en unas 10 veces, aunque podemos variar cuánta compresión deseamos. La compresión normalmente es con pérdida, perdiendo parte del sonido, bien por ser datos redundantes o por tratarse de zonas donde apenas llega el oído humano.



4. Representación de ImágenesLas imágenes se adquieren por medio de periféricos tales como escáneres, cámaras de video o

cámaras fotográficas. Como todo tipo de información, una imagen se representa por patrones de bits, generados por el periférico correspondiente.

Si bien hay sistemas de codificación de imágenes muy diversos, existen 2 formas básicas de representar las imágenes:

• Mapa de bits • Mapa de vectores

4.1. Mapa de bits

Una imagen esta compuesta por infinitos puntos y a cada uno de ellos se le asocia un atributo que puede ser su nivel de gris, blanco y negro o su color si la imagen es en color. Para codificar y almacenar la imagen hay que tener en cuenta dos factores: el número de puntos a considerar y el código de atributos asociado a cada uno de ellos.

Como no se puede almacenar y procesar los atributos de los infinitos puntos, los sistemas de captación consideran la imagen dividida en una fina retícula de celdas o elementos de imagen (pixeles) y a cada uno de ellos se le asigna como atributo el nivel de gris medio de la celda o el color medio de la celda correspondiente

La resolución de la imagen es el número de elementos horizontales x el número de elementos verticales y determina la calidad de imagen.

Figura 4: Estructura de una imagen con resolución de 640 x 580 elementos.

La imagen de una fotografía típica también se forma por puntos, y representándola con una resolución de 1280 x 1024 pixeles el ojo humano la considera como continua. El tamaño en que se capta o visualiza la imagen influye en su calidad, para una misma resolución cuanto mayor es el tamaño peor será la calidad. Además de la resolución, un factor determinante en la representación de un gráfico es el código del atributo del punto de imagen. En el caso de imágenes en blanco y negro, se asigna un valor al nivel de gris; así, si se requieren 256 niveles de grises, por cada punto de imagen se almacenara un byte (28

= 256). La imagen se representa sencillamente almacenando los atributos de los puntos de la imagen sucesivos en orden, de izquierda a derecha y de arriba abajo, tal como se muestra en la figura siguiente:



Figura 5: Código del atributo del punto de imagen.

En el caso de imágenes en color, éste se descompone en tres colores básicos: rojo (R), verde (G) yazul (B), y la intensidad media de cada uno de ellos en cada celda se codifica por separado. 4.2. Mapa de vectores

Se descompone la imagen en una colección de objetos tales como líneas, polígonos y textos con sus respectivos atributos o detalles (grosor, color, etc.) modelables por medio de vectores y ecuaciones matemáticas que determinan tanto su forma como su posición dentro de la imagen.

Para visualizar una imagen en una pantalla o impresora determinada, un programa evalúa las ecuaciones y escala los vectores generando la imagen concreta a ver.

Características de este tipo de representación:

• Sólo es adecuada para gráficos de tipo geométrico, no imágenes reales

• Generan archivos que ocupan mucho menos espacio que los mapas de bits, y las imágenes son más fáciles de escalar a cualquier tamaño y de procesar.

4.3. Formatos más usados en la codificación de imágenes



5. Compresión de datosDiversas aplicaciones (multimedia, etc.) requieren utilizar archivos de gran capacidad, cuyo volumen requerido para su almacenamiento en disco es muy elevado o, el tiempo de transmisión del archivo por una red resulta excesivo.

Solución: transformación denominada compresión de datos, para reducir el tamaño de un archivo.

El archivo, antes de ser almacenado o transmitido se comprime mediante un algoritmo de compresión, y cuando se recupera para procesarlo o visualizarlo se aplica la técnica inversa para descomprimirlo. 5.1. Técnicas de compresiónExisten varias técnicas para comprimir archivos. A continuación se explicará la que utilizan los programas zip y unzip para compresión y descompresión de datos. • Codificación Lempel-Ziv Al ir comprimiendo, se busca si los próximos símbolos coinciden con una secuencia anterior, y se sustituyen los caracteres o símbolos por una tripleta (m, n, s) donde: - m representa el lugar hacia atrás donde se inicia la secuencia previa encontrada - n es la longitud de la secuencia previa encontrada - s es el próximo carácter de la cadena comprimida Los programas zip y unzip para compresión y descompresión de datos, utilizan procedimientos de este tipo. 6. Unidades de medida de la información almacenadaLa computadora, debido a su construcción basada fundamentalmente en circuitos electrónicos digitales, trabaja con el sistema binario, por lo tanto la información que es ingresada proveniente de cualquiera de los puntos de vista antes enunciados, debe ser convertida a dicho sistema.

El sistema binario, se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Cada dígito de un número representado en este sistema se denomina BIT (contracción de binary digit). Se suelen utilizar con nombre propio determinados conjuntos de dígitos binarios: • Cuatro bits � se denominan cuarteto o nibble (Ejemplo: 1001). • Ocho bits � octeto o byte (Ejemplo: 10010110). A continuación se presenta la tabla de equivalencias de las Unidades de Medida de la Información:

MEDIDA EQUIVALENCIA

1 Byte 8 bits 1 Kilobyte (KB) 1024 bytes = 210 bytes 1 Megabyte (MB) 1024 KB = 220 bytes = 1.048.576 bytes 1 Gigabyte (GB) 1024 MB = 230 bytes = 1.073.741.824 bytes 1 Terabyte (TB) 1024 GB = 240 bytes 1 Petabyte (PB) 1024 TB = 250 bytes

Tabla 4: Tabla de equivalencia entre unidades de medida de la información. La razón por la que se utiliza el factor multiplicador 1024 en lugar de 1000, como se sucede en otras magnitudes físicas, es por ser la potencia de 2 más próxima a 1000, cuestión muy importante desde el punto de vista electrónico.

El BYTE es considerado como la unidad básica de medida de la información representada en este sistema.

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TEMA 2: Representación de la Información en las … · computadora en patrones de bits fácilmente almacenables y procesables por los elementos internos de la misma. ... etc. Estados