Tema 2. Vibraciones Libres de Sistemas de 1 GDL

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Tema 2. Vibraciones libres de sistemas de 1 GDL

1. Introducción

2. Vibración libre no amortiguada

3. Vibración libre amortiguadag

4. Excitación sísmica

5. Tipos de amortiguamiento. pos de o gu e o

6. Medida y valores del amortiguamiento en las estructuras

7. Energía en vibración libre7. Energía en vibración libre

8. Vibración libre con amortiguamiento de Coulomb

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T2. Vibración libre 1 GDL 2.1 Introducción

��

Se concentran las propiedades dinámicas en un único punto, obteniéndose una EDO que caracterizael comportamiento dinámico del sistema

�

��

��

�

� �( ) ( ) ( ) ( )mu t cu t ku t F t

1 GDL

��

�� ( )u t

��

La ecuación de equilibrio dinámico puede obtenerse aplicando distintos métodos:S d l d N • Segunda ley de Newton

• Principio de D’Alambert

• Principio de Hamilton

( ) ( ) F t mu t( ) 0 ( ) IF t incluyendo F mu t

Para cada una de las masas consideradas se obtiene la ecuación de equilibrio dinámico mediante elel diagrama de sólido libre

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T2. Vibración libre 1 GDL 2.1 Introducción

Sistema de parámetros concentrados masa, muelle, amortiguador.

El t ll ( ) [ ( ) ( )]F t k u t u t

��

Elemento muelle:

Elemento amortiguador:

1 2( ) [ ( ) ( )] F t k u t u t

1 2( ) [ ( ) ( )] F t c u t u t�

� �c = constante de amortiguamiento viscoso

( ) ( ) ( ) ( )mu t cu t ku t F t ( ) ( ) ( ) o pu t u t u t

Resolver la estructura en vibración libre es obtener la solución homogénea que junto a la solución Resolver la estructura en vibración libre es obtener la solución homogénea, que junto a la soluciónparticular (dependiente de la carga externa aplicada) nos permite obtener la solución en vibración forzada.

Para obtener la solución en vibración libre se perturba el sistema, apartándolo de la posición de equilibrio y se libera.

Se supone que el sistema es linealp q

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T2. Vibración libre 1 GDL 2.2 Vibración libre no amortiguada

( 0) (0) u t u(c = 0)

Se define la frecuencia natural del sistema (rad/s) como:

( 0) (0)0

( 0) (0)

u t umu ku con

u t u

k Se define la frecuencia natural del sistema (rad/s) como: n m

20 0

: ( )

n

stst

mu ku u u

u seS l ió t

2

2 2 2

: ( )

0

stst

n n

Solución u t eu s e

Ecuación característica s s

i

1 211 2 1 2

2

: ( )

n nn i t i ts t s t

n

s iDos raices complejas u t Ae A e Ae A e

s i

cos sen

ni t

n ni e t i t

Exponencial compleja: cos sencos sen

n

n nii t

n n

e ie t i t

Una solución compleja conjugada contiene siempre dos soluciones reales, luego: i t i t

1 2( ) cos sen n ni t i tn nu t Ae A e A t B t

Condiciones iniciales:

( 0) (0) u t u A (0)u( ) ( )

(0)( 0) (0)

n

n

uu t u B B

(0)( ) (0)cos sen n nn

uu t u t t

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k ( / )

(0) 2( ) (0)cos sen ( )

n

n n nn n

k frecuencia natural rad sm

uu t u t t con T periodo natural s

1 ( )

nn

f frecuencia natural HzT

, , f ( , )n n nT f m K

T1EM = 0.29 s, T1ELL = 0.31 s

T1E = 0.15 s, T1E-S = 0.5 s T1EM = 0.26 s, T1ELL = 0.30 s

Excitador armónico

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4. Vibración libre

T1L = 0.63 s, T1C = 0.74 s, T1T = 0.46 s

T = 18 2 s T = 10 9 s T = 3 81 s T = 4 4 sTT = 18.2 s, TV = 10.9 s, TL = 3.81 s, TT = 4.4 s

T1NS = T1EO = 2.9 sT1NS T1EO 2.9 s

T1NS = 1.67 s, T1EO = 2.21 s T1T = 1.12 s T1NS = T1EO = 3.57 s

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(0)u(0)( ) (0)cos sen n nn

uu t u t t

Vibración libre de un sistema natural no amortiguado

Amplitud del movimiento: 0uAmplitud del movimiento:

22

0 2

(0)( ) 0 (0)

n

uu t u u

0u

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T2. Vibración libre 1 GDL 2.3 Vibración libre amortiguada Suponemos amortiguamiento viscoso: ,con c la constante de amortiguamiento viscoso (Ns/m) AF cu

que es una medida de la energía disipada en un ciclo de vibración

( 0) (0)0

( 0) (0)

u t umu cu ku con

u t u

A

( ) ( )

2 0 ncu u um

D fi i 2 C Km amortiguamiento críticoDefinimos: 2

/

c

c

C Km amortiguamiento críticoc C factor de amortiguamiento22 0 n nu u u

2: ( )

stst

st

u seSolución u t e

2

2 2 2

2

2 0 1

1

st

n n i n

u s e

Ecuación característica s s s

Tres casos en función del signo de

f g

Respuesta sobreamortiguada, críticamente amortiguada y subamortiguada

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0mu cu ku

T2. Vibración libre 1 GDL 2.3 Vibración libre amortiguada

0mu cu ku

Sistema sobreamortiguado dos raíces reales distintas2 1 0 cc C

2 2( 1) ( 1)( ) A A ( 1) ( 1)1 2( ) n nu t A e A e

El sistema no oscila y vuelve a la posición de equilibrio

Si t íti t ti d 1 í l d bl2 1 C Sistema críticamente amortiguado 1 raíz real doble2 1 cc C

1 2( ) ( ) ntu t e A A t11 2

( )

( )

st

n n st

u t es s

u t te

2 ( ) u t te

Sistema subamortiguado 2 raíces complejas2 1 0 cc C

21

22

( 1 )

( 1 )

n

n

s i

s i

1 2

2

( )

1 .

n A At i t i t

A n

u t e Ae A e

frec natural amortiguada

La respuesta es un armónico exponencialmente decreciente con una frecuencia natural amortiguada

2 1

AA A

conT periodo natural amortiguado

f

La respuesta es un armónico exponencialmente decreciente, con una frecuencia natural amortiguadaligeramente inferior a la natural ( 0.05 0.9987 ) A n

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Sistema subamortiguado


(0) (0)( ) (0)cos sen

nt nu uu t e u t t

Sistema subamortiguadoConsiderando las condiciones iniciales, se obtiene:

( ) (0)cos sen

A AA

u t e u t t

Efecto del amortiguamiento en la vibración libre

La amplitud en cada ciclo decrece de forma exponencial, las curvas envolventes son:2

2 (0) (0)(0)

nu uu

nte

En las estructuras 0.02 0.20

( ) A

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Sistema subamortiguadoEl efecto del factor de amortiguamiento , para valores inferiores al 20%, sobre la frecuencia y el periodo natural es despreciable.

2

A n

A nT T

2 21 1AA n

n

Efecto del amortiguamiento en la frecuencia natural de vibración

El efecto principal del factor de amortiguamiento es el ratio de decaimiento del movimiento

Vibración libre de un sistema de 1 GDL con 4 valores de amortiguamiento: = 2, 5, 10 y 20 %

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El valor de la constante de amortiguamiento viscoso c esta relacionado con el decaimiento del movimiento (disminución de su amplitud). Las propiedades de masa y rigidez se obtienen a partir de la definición y diseño de la estructura


Las propiedades de masa y rigidez se obtienen a partir de la definición y diseño de la estructura,mientras que c se puede obtener a partir de ensayos en vibración libre

2 1

3 2

2 2

cos( ( )) cos( 2 ) cos( )AA A A A

A

t t Tt T t t

t t T

Relación exacta y aproximada entre y

2 2

2 2

1 1( )

1

( )( )

2ln

nn A

n A

tT i

t TA i

i

u t e ue e eu t T e u

uDecremento logaritmico

2

1

2

ln1

0.2 1 1 2

i

Decremento logaritmicou

En estructuras

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Sistema subamortiguado: Decaimiento del movimiento


Es interesante no tener que medir entre dos ciclos consecutivos, ya que si el decaimiento es lento,la diferencia puede ser muy baja. Generalizando el planteamiento anterior:

Sistema subamortiguado: Decaimiento del movimiento

121 1 2 1

1 2 3 1 1

1 ln 2j j j

j j j

uu u u ue eu u u u j u

Se define j50% como el número de ciclos necesarios para que la amplitud en el desplazamiento sej50% p q p preduzca en un 50%

50%ln 2 0.112

j

Experimentalmente es mucho más fácil medir aceleraciones que desplazamientos

1 1ln lni iu uy

2 2i j i j

yj u j u

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M i i t b d l t i

T2. Vibración libre 1 GDL 2.4 Excitación sísmica

Movimientos bruscos del terreno: sismosSe trata de una excitación de los apoyos de una estructura. En los sistemas de 1 GDL es siempreuniforme, pero en estructuras de N GDL puede ser uniforme o múltiple.

��

� ��

��

( ) ( ) ( ) ( )

0 ( ) ( )t g t g

t g eff

u t u u u t u u

mu cu ku mu cu ku mu t F t

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El ti i t l i l l í d ib ió t f d l t

T2. Vibración libre 1 GDL 2.5 Tipos de amortiguamiento

El amortiguamiento es el mecanismo por el que la energía de vibración se transforma gradualmenteen calor o sonido, reduciendo la vibración

Modelos de amortiguamiento:

- VISCOSO: Cuando un sistema estructural o mecánico vibra en el seno de un fluido (aire, gas, agua…),la resistencia que ejerce el fluido al movimiento del sólido disipa energía. La cantidad de

í di i d i l d d d f l í d l ólid i id d

AF cu

energía disipada por ciclo depende de factores como la geometría del sólido, viscosidad del fluido, velocidad de vibración…Es el amortiguamiento más común

- SECO o de COULOMB:Se produce por fricción entre superficies rugosas secas o con lubricación insuficiente.Es constante en valor y opuesto siempre a la dirección del movimiento

RF N

- SÓLIDO, MATERIAL o HISTERÉTICO:Al deformarse un material se absorbe o se disipa energía debido a la fricción entre planosinternos de deslizamiento. A nivel global el diagrama - muestra un lazo de histéresis g g

��

��

��

��

��

�

��

��

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E l t bl i i t l l d d d l f t d ti i t

T2. Vibración libre 1 GDL 2.6 Valores del amortiguamiento en estructuras

En la tabla siguiente aparecen los valores recomendados del factor de amortiguamiento en distintos tipos de estructuras

E l í d l ti d difi ió i d l é i d l f t d En la mayoría de las normativas de edificación se recomienda un valor genérico del factor deamortiguamiento del 5 % para todo tipo de estructuras

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C id d i t ib ió lib ti d l í i i i l E l í

T2. Vibración libre 1 GDL 2.7 Energía en vibración libre

Considerando un sistema en vibración libre y no amortiguado la energía inicial Ei, y la energía enun instante t cualquiera Et se calculan como suma de la energía cinética (dinámica) y la energíapotencial de deformación (estática):

1 12 2

2 2

1 1(0) (0)2 21 1( ) ( )2 2

i

t

E mu ku

E mu t ku t

2 2

(0)

Sustituyendo la expresión del movimiento y la velocidad en la energía de un instante cualquierase obtiene

(0)( ) (0)cos senn n t in

uu t u t t E E

Es decir, la energía del sistema permanece constante, se transforma de cinética (máxima cuandoel desplazamiento es nulo) en potencial (máxima cuando la velocidad es nula)el desplazamiento es nulo) en potencial (máxima cuando la velocidad es nula)

En sistemas con amortiguamiento viscoso, la energía del sistema Et, va decreciendo en el tiempodebido a la disipación del amortiguador viscoso: Et < Ei

2

0 0 0

( )

t i Au u u

A A

E E E

E f t du cudu cu dt

0 0 0

, 0A i ten t E E E

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T2. Vibración libre 1 GDL 2.8 Amortiguamiento de Coulomb Se debe a la fricción entre dos superficies deslizantes secas: FR = N. La fuerza de rozamiento es p R

independiente de la velocidad una vez que se ha iniciado el movimiento, y se opone siempre a este En función de la dirección del movimiento se plantean dos ecuaciones diferenciales

C 1 0

0u

C 2 0

0u

� ��

�

Caso 1:

0,0

uconu Caso 2:

0,0

uconu

��

��

��

� ��

�

Ecuación 1: kconFtBtAtuFNukum nR

nnR sencos)( 11mk nnnR )( 11

Ecuación 2: kFtBtAtuFNukum R

nnR sencos)( 22

Suponiendo que en t = 0, las condiciones iniciales son: 0)0(,0)0( uu . Se inicia el proceso decálculo de la respuesta resolviendo la ecuación 2, para las condiciones iniciales dadas:

FFFuAu RR

R

)0()()0(0)0( 2

kFt

kFutu

Bk

uR

nR

cos)0()(

0

)(0)0(

)(

2

2

La respuesta es válida hasta que la velocidad cambie de sentido, lo que se produce cuando 0)( tu

nnn

R ttkFutu

0sen)0()(

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T2. Vibración libre 1 GDL 2.8 Amortiguamiento de Coulomb

RF

La solución calculada es válida en el intervalo 0 t /n, con:

0)(

2)0()(

n

R

n

u

kFuu

Para t /n, la solución se obtiene a partir de la ecuación 1 ( 0)0( u ) con las condiciones iniciales anteriores.

FtFutukFuAk

FuuRR

RR

n

cos3)0()(3)0(

2)0()(1

kt

kutu

Bk

u

Rn

R

n

cos3)0()(00)( 1

Calculando el instante en que se vuelve a anular la velocidad se comprueba que el rango de validezCalculando el instante en que se vuelve a anular la velocidad se comprueba que el rango de validezde la ecuación anterior es: /n t /n, en el instante final las nuevas condiciones de contornoson: 0)(,2)0()(

n

R

nu

kFuu

Con las nuevas condiciones iniciales se resuelve para el siguiente semiciclo la ecuación 2 y asísucesivamente.

El movimiento se detiene cuando u(t) < FR/k, en ese momento la fuerza actuante en el muelle esmenor que la de rozamiento: kx < F quedando el sistema en una posición deformada del muellemenor que la de rozamiento: kx < FR, quedando el sistema en una posición deformada del muelle

En las estructuras reales el amortiguamiento es en parte seco por rozamiento y en parte viscoso

En la modelización de las estructuras es habitual considerar un amortiguamiento viscosoequivalente global raramente se modela el amortiguamiento por fricción y sólo en el caso de queequivalente global, raramente se modela el amortiguamiento por fricción y sólo en el caso de quehaya dispositivos fricciónales específicos

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Vibración libre de un sistema con amortiguamiento de Coulomb

Esquema de un dispositivo SBC (Slotted Bolted Connection) de rozamiento seco, y ciclo de histéresis(C.E. Grigorian y E. Popov, 1994)

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Detalle de un SBC, y test en mesa de vibraciones de una estructura con 12 SBC(C.E. Grigorian y E. Popov, 1994, Berkeley)

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