TEMA · 2015-03-08 · Capitulo 1 —MARCO TEORICO 1.1BASES TEÓRICAS ... izado por ondas de presión de gran magnitud al momento de interrumpir o iniciar el ﬂujo dentro de una

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA(Creada por Ley N 25265)

FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE CIVIL (HUANCAVELICA)

TEMA:

FENOMENO DEL GOLPE DE ARIETE

CURSO:

APROVECHAMIENTOS HIDROELECTRICOS

CATEDRATICO:

ING. IVAN AYALA BIZARRO

PRESENTADO POR:

JOSE ANTONIO QUINTO DE LA CRUZ

HUANCAVELICA, ENERO DEL 2014

Dedicado a mi familia

a mi madre y padre

a mis hermanos por el

apoyo que me dan siempre

I

Índice general

Lista de figuras IV

Lista de tablas VI

Introduccion VI

1. MARCO TEORICO 1

1.1. BASES TEÓRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. FENOMENO TRANSITORIO EN TUBERIAS: GOLPE DE ARIETE 1

1.1.2. DESCRIPCIÓN DEL FENÓMENO DE CIERRE INSTANTÁNEO

DE VÁLVULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2.1. EVENTOS CAUSADOS POR EL GOLPE DE ARIETE . . 5

1.1.3. CASOS EN LOS QUE SE PUEDE PRODUCIR EL FENÓMENO . . 7

1.1.4. LAS CAUSAS DEL GOLPE DE ARIETE . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.5. ALGUNAS SOLUCIONES PARA EL GOLPE DE ARIETE . . . . . 9

1.1.6. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES HIPERBOLICAS . . 11

1.1.6.1. LA ECUACION DE ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EL CÁLCULO 12

2.1. METODO DE LAS CARACTERISTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1. Ecuaciones Caracteristicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2. Condiciones de Borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2.1. Condiciones de Borde en el Reservorio . . . . . . . . . . 15

2.1.2.2. Condiciones de Borde en el Empalme . . . . . . . . . . . 16

2.1.2.3. Condiciones de Borde en La Valvula . . . . . . . . . . . . 16

2.2. THE LAX-WENDROFF ONE-STEP METHOD . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL (HUANCAVELICA)

2.2.1. Planteo de las Ecuaciones para el Golpe De Ariete Por el Metodo

de LAX-WENDROFF ONE-STEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2. Ecuaciones Generales para las Presiones . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3. Ecuaciones Generales para los Caudales . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.4. Ecuaciones para el Calculo del Golpe de Ariete . . . . . . . . . . . 19

2.2.4.1. Ecuaciones para los Puntos Intermedios . . . . . . . . . 19

2.2.5. Condiciones de Borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.6. Condiciones Aguas Arriba (Reservorio) . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.7. Condiciones Aguas Abajo (Valvula) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.8. Condiciones en Empalmes de Tuberia . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. PROGRAMACION EN MATLAB 21

3.1. METODOLOGIA SEGUIDA PARA LA PROGRAMACION METODO DE

LAS CARACTERISTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1. DIAGRAMA DE FLUJO EN TUBERIAS EN SERIE . . . . . . . . 27

3.2. DESCRIPCION DEL PROGRAMA POR EL METODO DE LAS CARAC-

TERISTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1. VALIDACIÓN DEL SOFTWARE DISEÑADO CON EL AFT

IMPULSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. CODIGO FUENTE PROGRAMACION MATLAB METODO DE LAS CAR-

ACTERISTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4. CODIGO FUENTE PROGRAMACION MATLAB THE LAX-WENDROFF

ONE-STEP METHOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

José Antonio Quinto De La Cruz III

Índice de figuras

1.1. Cierre instantaneo de valvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Comportamiento de la presion a un lado de la valvula: cierre instantaneo . 4

1.3. Eventos causados por el golpe de ariete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Golpe de ariete en una conducción por gravedad. . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Golpe de ariete en una conducción por bombeo. . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1. Notacion para la ecuacion dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Esquema de Tuberia de diferentes secciones . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. Esquema para puntos Intermedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Condiciones de Borde en el Reservorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5. Condiciones de Borde en el Empalme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6. Condiciones de Borde en La Valvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7. grafico para las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1. Esquema para la Programacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Carga hidarulica en condiciones permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3. Condisiones aguas arriba (Reservorio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. Condisiones Intermedias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5. Condisiones en Empalmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6. Condisiones Aguas Abajo (Valvula) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.7. diagrama de flujo de tuberia en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.8. Datos de Entrada y Calculo De Algunas Contantes . . . . . . . . . . . . . 28

3.9. cuadro de resultados de las presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.10.cuadro de resultados de los caudales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.11.cuadro de resultados de los caudales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.12.Grafico de del fenomeno del golpe de ariete . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

IV


3.13.Componentes en el AFT Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.14.Reservorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.15.Tuberia N 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.16.Tuberia N 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.17.Empalme de tuberias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.18.Valvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

José Antonio Quinto De La Cruz V

INTRODUCCION

El trabajo realizado trata de una programacion del fenomeno transitorio: por distintos

metodos para el golpe de ariete en la cual mencionamos toda la parte teorica ,

realizacion de los calculos y las ecuaciones usadas para la programacion.

La programacion de los distintos metodos se realizo en el programa MATLAB

(abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es un software matemático

que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación

propio (lenguaje M).

Para la realización del programa se tuvo que analizar el fenómeno del golpe de

ariete. Se podría definir al fenómeno de Golpe de Ariete como la oscilación de presión

por encima o debajo de la normal a raíz de las rápidas fluctuaciones de la velocidad del

escurrimiento.

En realidad, el fenómeno conocido como "Golpe de Ariete.es un caso particular del

estudio de los movimientos transitorios en las conducciones a presión. La diferencia se

encuentra en que los transitorios implican variaciones de velocidad - y su correlación

con la transformación en variaciones de presión - de pequeña magnitud, mientras que

el "Golpe de Arieteïmplica las grandes variaciones, de velocidad y presión.

Se se resolvio el ejercio planteando en el libro Applied Hydraulic Transients se

modelo y convalido el trabajo con el programa AFT Impulse la cual mostro resultados

cercanos

ya que en una central hidroeléctrica en la fase de funcionamiento de ciertas

estructuras y máquinas hidráulicas es necesario el tomar en cuenta el estudio de golpe

de ariete, que originan sobrepresiones o depresiones excesivas y que pueden conducir

a averías, llegando hasta la destrucción de la de la estructura o de la máquina, por ello

es fundamental estudiar el fenómeno para luego diseñar adecuadamente las estructuras

hidráulicas.

VI


En el trabajo se realiza el diseño de una aplicación en MatLab para el análisis

del fenómeno de golpe de ariete que acurre en la tubería a presión en una Central

Hidroeléctrica.

José Antonio Quinto De La Cruz VII

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Analizar y crear un software para el calculo de Golpe de Ariete por distintos

metodos

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Comprender mejor el fenómeno de Golpe de Ariete.

Describir las características y propiedades del Golpe de Ariete.

Describir nuevos métodos para el cálculo del golpe de ariete

Presentar y describir el software elaborado para insertar los datos correctamente.

VIII

Capitulo 1 — MARCO TEORICO

1.1 BASES TEÓRICAS

1.1.1 FENOMENO TRANSITORIO EN TUBERIAS: GOLPE DE ARIETE

El golpe de ariete o “waterhammer” puede definirse como el fenómeno hidráulico

ocasionado por rápidas fluctuaciones en el flujo debido a la interrupción o inicio súbitos

del flujo en una tubería, produciendo una variación de presión por encima o debajo de

la presión de operación y cambios bruscos en la velocidad del flujo.

El golpe de ariete es el resultado de una transformación repentina de energía cinética

a energía de presión.

También puede identificarse a este fenómeno como un proceso oscilatorio caracter-

izado por ondas de presión de gran magnitud al momento de interrumpir o iniciar el flujo

dentro de una tubería, las cuales decrecen en el tiempo hasta que la tubería en la que

se generó el golpe logra absorber la energía del impacto y se estabiliza la presión en el

conducto. Es un fenómeno transitorio.

En realidad, el fenómeno conocido como "Golpe de Ariete.es un caso particular del

estudio de los movimientos transitorios en las conducciones a presión. La diferencia

se encuentra en que los transitorios implican variaciones de velocidad y su correlación

con la transformación en variaciones de presión de pequeña magnitud, mientras que el

"Golpe de Arieteïmplica las grandes variaciones, de velocidad y presión.

1.1.2 DESCRIPCIÓN DEL FENÓMENO DE CIERRE INSTANTÁNEO

DE VÁLVULA

Para entender mejor este fenómeno se profundizará a continuación en los eventos

que se dan lugar aguas arriba suponiendo que una válvula se cierra instantáneamente,

1


fenómeno que, a pesar de ser físicamente imposible, sirve como un ejemplo didáctico

para introducir al estudio de ejemplos reales. Por conveniencia se inicia con una

tubería horizontal con flujo permanente (Fig. 1.1), considerando la fricción. La siguiente

simbología se aplica a este gráfico.

L.A.M. = Línea de altura motriz.

V = Velocidad del fluido.

a = Velocidad de la onda de presión.

hL = Pérdidas de altura por fricción.

Ec = Energía cinéticas del fluido.

P = Energía de presión del fluido en el punto B.

P0 = Energía total del fluido despreciando las pérdidas por fricción.

Pg = Presión de golpe de ariete.

Y = Peso específico del fluido.

REF = Referencia.

L = Longitud de la tubería.

Considérese que la válvula B se cierra instantáneamente, la lámina de líquido que

se encuentra aguas arriba junto a la válvula será comprimida por la columna de líquido

que le sigue. Debido a que el fluido lleva inicialmente una cantidad de energía cinética,

esta, al disminuir la velocidad, se transforma en energía de presión. El líquido en la

tubería no es un cuerpo rígido perfecto, por esto sufre cambios gracias a su coeficiente

de elasticidad y a la presión recién adquirida lámina a lámina, las láminas que se van

juntando son representadas por la columna BC. Las paredes de la tubería que rodean el

fluido son sometidas a este pulso de presión producido por la cesación del flujo, razón

por la cual se dilatan. El flujo se detiene en la columna BC, la cesación de movimiento

y el aumento consecuente de presión se propagan en la tubería como una onda de

José Antonio Quinto De La Cruz 2


Figura 1.1: Cierre instantaneo de valvula

velocidad a que se mueve aguas arriba de la válvula, esta velocidad de propagación es

una propiedad dependiente de las características del fluido y de la tubería. Mientras la

columna BC entra en reposo, el fluido de la columna AC sigue moviéndose con su estado

inicial. La onda de sobrepresión recorre toda la tubería hasta llegar a la entrada A, en

ese momento toda la columna de agua en la tubería se encuentra en reposo, pero con

un exceso de presión. La línea de altura motriz (L.A.M.) normal, con flujo permanente,

está representada por la línea DD’. A medida que la onda de sobrepresión viaja en

sentido contrario al flujo, se puede ir trazando una L.A.M. transiente que viaja también

con velocidad a. La diferencia existente entre las dos líneas es la sobrepresión que es

llamada Pg, por lo tanto tendrán una diferencia de altura de Pg/Y, siendo Pg la presión

causada por el golpe de ariete (presión de golpe de ariete) y Y el peso específico.

En el reservorio la presión hidrostática en A se mantiene constante. Por efectos de

esta, cuando la onda de presión llega a A, en t=L/a, salta inmediatamente a cero. Sin

embargo ahora toda la columna L está ahora bajo los efectos de la sobrepresión, y las

paredes de la tubería se encuentran dilatadas, razón por la cual el líquido comienza

a evacuar hacia el reservorio. Este movimiento crea una onda de presión de alivio

que viaja en esta ocasión en la dirección AB. Una vez que alcanza la válvula, en

t=2L/a, todo el fluido se encuentra bajo la presión estática indicada por la línea DE,



sin embargo, el fluido tiene una inercia que impide que se detenga en este punto,

por esta razón el fluido sigue moviéndose hacia el reservorio y se crea una onda de

presión negativa que esta vez produce una contracción en la tubería. Cuando esta

propagación llega al reservorio, en t=3L/a, las paredes de la tubería se encuentran

con una contracción a lo largo de toda su longitud. La onda de alivio se refleja en

otra onda que nuevamente vuelve a la tubería a su posición original, con la presión

estática correspondiente al fluido en reposo. Cuando esta última onda llega a la válvula,

en t=4L/a, se reproduce todo el fenómeno explicado hasta ahora. De esta forma el

fenómeno se traduce en la creación y reproducción de ondas de presión que viajan

de ida y vuelta en la tubería y que alternan entre valores altos y bajos, con todo el

ciclo repitiéndose cada 4L/a segundos. La sucesión de eventos del golpe de ariete en la

tubería pueden apreciarse mejor. Considérese ahora la Figura 1.2, el instante en el que

la válvula se cierra instantáneamente, la presión en la tubería sufre un aumento que,

para objetivos didácticos, se considera instantáneo. Este salto tiene un valor de Pg /Y.

Figura 1.2: Comportamiento de la presion a un lado de la valvula: cierre instantaneo



1.1.2.1 EVENTOS CAUSADOS POR EL GOLPE DE ARIETE

1. Flujo permanente, antes del movimiento de válvula, t=0.

2. La válvula se cierra instantáneamente, produciendo una onda que se propaga con

velocidad a hacia el reservorio, las paredes de la tubería se ensanchan.

3. La onda ha llegado al reservorio, todo el fluido se encuentra el reposo, toda la

tubería está dilatada, t=L/a.

4. Se crea una onda de alivio que viaja hacia la válvula, existe un flujo hacia el

reservorio, las paredes de la tubería vuelven a su estado original.

5. La onda llega a la válvula, el fluido se encuentra en reposo con la presión estática

y las paredes de la tubería se encuentran en su estado original, t=2L/a.

6. Se ha reflejado la onda, creando una onda de presión negativa que se propaga

hacia el reservorio, contrayendo las paredes de la tubería.

7. La onda de presión negativa ha llegado al reservorio, el fluido se halla en reposo,

toda la tubería se encuentra con las paredes contraídas, t=3L/a.

8. Se produce una onda de presión positiva que viaja nuevamente hacia la válvula,

existe flujo hacia la válvula, las paredes de la tubería vuelven a su estado original.

9. La onda llega a la válvula, las paredes de la tubería se encuentran en su estado

original. El ciclo se repite nuevamente, t=4L/a.

En el instante en que la válvula se cierra se produce una presión instantánea que

se ha propuesto como Pg/Y, sin embargo la máxima presión en la válvula no llega sino

hasta que todo el tiempo Tr ha transcurrido. Esto se debe a que inicialmente existía una

pérdida por rozamiento en la altura de presión, la cual disminuye la presión instantánea

de golpe de ariete, sin embargo, a medida que la onda viaja aguas arriba, el fluido

entra en reposo y las pérdidas por rozamiento se van sumando a la presión instantánea,

hasta que todo el fluido se encuentra en reposo, esto es, en el tiempo Tr. Este aumento



1

9

8

7

6

5

4

3

2

Figura 1.3: Eventos causados por el golpe de ariete.

es descrito por la diferencia de alturas en la línea Lo mismo sucede para el momento

en que la onda de presión negativa alcanza la válvula, solo que con valores inversos.

Para este caso el pequeño aumento está representado por la línea. El amortiguamiento

y la fricción en la tubería poco a poco hacen decrecer a las ondas hasta que se llegue

al estado final de equilibrio, al estado de reposo total del fluido. Esta introducción ha

servido para comprender el fenómeno del golpe de ariete y como varía la presión en la

tubería, que es el principal objeto de esta investigación. El fenómeno en estudio tiene ya

su historia, se han desarrollado algunos modelos que describen este evento, unos con

más o menos cercanía a la realidad. Uno de los primeros análisis que se realizó fue el

de la columna rígida de agua, que es de la cual se va a ocupar el proyecto ahora.



1.1.3 CASOS EN LOS QUE SE PUEDE PRODUCIR EL FENÓMENO

Además del caso ejemplificado anteriormente, existen diversas maniobras donde se

induce el fenómeno:

Cierre y Apertura de Válvulas.

Arranque de Bombas.

Detención de Bombas.

Funcionamiento inestable de bombas.

Llenado inicial de tuberías.

Sistemas de Protección contra Incendios.

En general, el fenómeno aparecerá cuando, por cualquier causa, en una tubería se

produzcan variaciones de velocidad y, por consiguiente, en la presión. Como puede

observarse del listado anterior todos estos fenómenos se producen en maniobras

necesarias para el adecuado manejo y operación del recurso, por lo que debemos tener

presente que su frecuencia es importante y no un fenómeno eventual.

En un sistema con conducción por gravedad el golpe de ariete es debido a abrir o

cerrar una válvula (véase figura 1.4) y cuando la conducción es por bombeo se debe al

arranque o parada de una bomba (véase figura 1.5).

1.1.4 LAS CAUSAS DEL GOLPE DE ARIETE

Las causas son muy variadas sin embargo existen cuatro eventos comunes que

típicamente inducen grandes cambios de presión:

1. El arranque de la bomba puede inducir un colapso rápido del espacio vacío que

existe aguas abajo de la bomba.



Figura 1.4: Golpe de ariete en una conducción por gravedad.

Figura 1.5: Golpe de ariete en una conducción por bombeo.

2. Un fallo de potencia en la bomba puede crear un cambio rápido en la energía

de suministro del flujo, lo que causa un aumento de la presión en el lado de

succión y una disminución de presión en el lado de la descarga. La disminución

es usualmente el mayor problema. La presión en el lado de descarga de la bomba

alcanza la presión de vapor, resultando en la separación de la columna de vapor.

3. La abertura y cierre de la válvula es fundamental para una operación segura de

la tubería. Al cerrarse una válvula, la parte final aguas debajo de una tubería crea

una onda de presión que se mueve hacia el tanque de almacenamiento. El cerrar



una válvula en menos tiempo del que toma las oscilaciones de presión en viajar

hasta el final de la tubería y en regresar se llama “cierre repentino de la válvula”. El

cierre repentino de la válvula cambiará rápidamente la velocidad y puede resultar

en una oscilación de presión. La oscilación de presión resultante de una abertura

repentina de la válvula usualmente no es tan excesiva.

4. Las operaciones inapropiadas o la incorporación de dispositivos de protección de

las oscilaciones de presión pueden hacer más daño que beneficio. Un ejemplo

es el exceder el tamaño de la válvula de alivio por sobre-presión o la selección

inapropiada de la válvula liberadora de aire/vacío. Otro ejemplo es el tratar de

incorporar algunos medios de prevención del golpe de ariete cuando este no es

un problema.

1.1.5 ALGUNAS SOLUCIONES PARA EL GOLPE DE ARIETE

1. Válvulas

El golpe de ariete usualmente daña a las bombas centrífugas cuando la energía

eléctrica falla. En esta situación, la mejor forma de prevención es tener válvulas

controladas automáticamente, las cuáles cierran lentamente. (Estas válvulas

hacen el trabajo sin electricidad o baterías. La dirección del flujo los controla). Al

cerrarse la válvula lentamente se puede moderar el aumento en la presión cuando

las ondas de sobre-presión del agua de abajo resultando del cierre de la válvula

regresan del tanque de almacenamiento.

El aire arrastrado o los cambios de temperatura del agua pueden ser controlados

por la válvula de descarga de la presión, los cuales están fijados para abrir con

presión excesiva en la línea y luego se cierran cuando la presión cae. Las válvulas

de descarga son comúnmente usadas en estaciones de bombeo para controlar

la oleada de presión y proteger la estación de bombeo. Estas válvulas pueden

ser un método efectivo de control transitorio. Sin embargo, deben ser propiamente

clasificadas y seleccionadas para realizar la tarea para la que están previstas sin

producir efectos secundarios.

Si la presión pudiera bajar en los puntos elevados, una válvula liberadora de



aire y de vacío debe ser usada. Todos los descensos donde las presiones

pudieran bajar mucho deben ser protegidas con válvulas liberadoras están

apropiadamente clasificadas y dimensionadas, pueden ser el medio menos

costoso para proteger el sistema de tuberías. Una válvula liberadora de aire deberá

ser lo suficientemente larga para admitir suficientes cantidades de aire durante

las oscilaciones de presión aguas abajo y para que la presión en las tuberías

no baje mucho. Sin embargo, no deberá ser tan larga que contenga un gran

volumen de aire innecesario, porque este aire tendrá que ser ventilado lentamente,

incrementando el tiempo muerto del sistema. El tamaño de la válvula de descarga

de aire es, como se ha mencionado, crítico.

2. Bomba

Los problemas de operación en el arranque de la bomba pueden usualmente

ser evitados incrementando el flujo en la tubería lentamente hasta colapsar o

desalojar los espacios de aire suavemente. Incluso, un simple medio para reducir

las oscilaciones hidráulicas de presión es el mantener bajas velocidades en la

tubería. Esto no solo resultará en oscilaciones bajas de presión, sino también

resultará en bajos niveles de caballos de fuerza durante la operación, y así,

conseguir una máxima economía de operación.

3. Tanque de Oscilación

En tuberías muy largas, las oscilaciones pueden ser liberadas con un tanque de

agua directamente conectado a la tubería llamado “tanque de oscilación”. Cuando

la oscilación es encontrada, el tanque actuará para liberar la presión, y poder

almacenar el líquido excesivo, dando al flujo un almacenamiento alternativo mejor

que el proporcionado por la expansión de la pared de la tubería y compresión

del fluido. Los tanques de oscilación pueden servir para ambos, fluctuaciones

positivas y negativas. Estos tanques de oscilación también pueden ser diseñados

para proporcionar flujo al sistema durante una oscilación agua abajo, de esta

manera previene o minimiza la separación de la columna de vapor. Sin embargo,

los tanques de oscilación pueden ser un dispositivo de control costoso.

4. Cámara de Aire



Las cámaras de aire son instaladas en áreas donde se puede encontrar el golpe

de ariete frecuentemente, y típicamente pueden ser vistos detrás de accesorios

de los lavabos y la tina de baño. De forma fina como botellas volteadas al revés

y con un pequeño orificio conectado a la tubería, están llenos de aire. El aire se

comprime para absorber el choque, protegiendo a los accesorios y a la tubería.

1.1.6 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES HIPERBOLICAS

1.1.6.1 LA ECUACION DE ONDA

Considerar la unidimensional ecuación de onda para el variable dependiente

genérico f(x,t)

ftt = c2fxx (1.1)

Donde c es la velocidad propagación onda. Como muestra es equivalente a la

siguiente conjunto de dos uniones de ecuaciones de convección de primer orden:

ft + cgx = 0 (1.2)

gt + cfx = 0 (1.3)

El análisis de dos variables independientes, que es la caso considerado aquí (Es

decir, físico espacio x y tiempo t), para el análisis del golpe de ariete se realizara con

estas dos ecuaciones.


Capitulo 2 — MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EL CÁLCU-

LO

2.1 METODO DE LAS CARACTERISTICAS

La resolución y simulación numérica del golpe de ariete, es abordada mediante el

método de las características Este método, considera un flujo no estacionario teniendo

en cuenta la compresibilidad del fluido. El mismo consiste en la resolución mediante un

esquema de diferencias finitas, en el que se discretizan cada uno de los tramos de la red,

y se avanza en cada paso temporal, calculando los valores de velocidad y presión para

cada nodo. Se aplican dos ecuaciones básicas de la mecánica a un elemento de fluido

en una tubería para obtener las ecuaciones diferenciales del flujo transitorio: la ecuación

de conservación de momento lineal y la ecuación de conservación de la masa.

Figura 2.1: Notacion para la ecuacion dinamica

12


2.1.1 Ecuaciones Caracteristicas

Ecuación de Conservación de Momento Lineal

1 =∂Q

∂t+g.A.∂H

∂x+

f

2.D.A.Q|Q| = 0 (2.1)

Ecuación de Conservación de la Masa.

2 =a2∂Q

∂x+gA∂H

∂t= 0 (2.2)

La constante a en la ecuación 2.2 , es la velocidad de la onda de presion y depende

de la compresibilidad del fluido,la rigidez de la cañería y las propiedades mecánicas del

material.La misma puede calcularse como.

a2 =K/ρ

1 + K.DE.e

(2.3)

Las dos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 2.1 y 2.2 poseen ambas

dos variables desconocidas Q y H ,las cuales se combinan mediante un parametro λ

transformándolas en dos ecuaciones características mediante la aplicación del Método

de las Características (MOC).

Donde considerando la combinación lineal obtenemos :

L = L1 + λ ∗ L2 (2.4)

La ecuación de onda característica queda expresada como

L = (∂Q

∂t+ λa2

∂Q

∂x) + λgA(

∂H

∂t+

1

λ

∂H

∂x) +

fQ | Q |2DA

= 0 (2.5)

Típicamente, la ecuación característica, puede ser expresada en un esquema de

diferencias finitas como la fig. (2.2)

(QP −QA) +g.A

a∗ (HP −HA) +

f ∗ 4t2 ∗D ∗ A

∗QA∗ | QA |= 0 (2.6)



Figura 2.2: Esquema de Tuberia de diferentes secciones

Figura 2.3: Esquema para puntos Intermedios

(QP −QB) +g.A

a∗ (HP −HB) +

f ∗ 4t2 ∗D ∗ A

∗QB∗ | QB |= 0 (2.7)

La ecuación puede ser expresada de la siguiente forma :

QP = CP − Ca ∗HP (2.8)

QP = Cn + Ca ∗HP (2.9)

Donde



CP = QA +g ∗ Aa∗HA −

f ∗ 4t2 ∗D ∗ A

∗QA∗ | QA | (2.10)

Cn = QB −g ∗ Aa∗HB −

f ∗ 4t2 ∗D ∗ A

∗QB∗ | QB | (2.11)

donde Ca toma el valor de:

Ca =g ∗ Aa

(2.12)

Estas expresiones dan la solución de altura piezométrica (m) y caudal (m3/s) en el

nodo i al tiempo t, si los valores de altura piezométrica y caudal en los puntos i − 1 e

i+1 en un tiempo previo t−∆t son conocidos. De este modo los valoresHi yQi,pueden

ser obtenidos mediante las siguientes expresiones

QP =1

2∗ (Cp + Cn) (2.13)

HP =Cp + CnCa

(2.14)

2.1.2 Condiciones de Borde

2.1.2.1 Condiciones de Borde en el Reservorio

Cn = QB −g ∗ Aa∗HB −

f ∗ 4t2 ∗D ∗ A

∗QB∗ | QB | (2.15)

HPi,1 = Hres (2.16)

QPi,1 = Cni+ Cai ∗HPi,1 (2.17)



Figura 2.4: Condiciones de Borde en el Reservorio

2.1.2.2 Condiciones de Borde en el Empalme

CPi= QA +

g ∗ Aa∗HA −

f ∗ 4t2 ∗D ∗ A

∗QA∗ | QA | (2.18)

Cni+1= QB −

g ∗ Aa∗HB −

f ∗ 4t2 ∗D ∗ A

∗QB∗ | QB | (2.19)

HPi,n+1 =CPi− Cni+1

Cai + Cai+1

(2.20)

QPi,n+1 = CPi− Cai ∗HPi,n+1 (2.21)

2.1.2.3 Condiciones de Borde en La Valvula

CP = QA +g ∗ Aa∗HA −

f ∗ 4t2 ∗D ∗ A

∗QA∗ | QA | (2.22)

Cv =(Qo ∗ τ)2

Hs ∗ Cai+1

(2.23)

QPi,n+1 =1

2∗ (−Cv +

√Cv2 + CPi

∗ Cv) (2.24)



Figura 2.5: Condiciones de Borde en el Empalme

HPi,n+1 =CP −QPi,n+1

Cai+1

(2.25)

Figura 2.6: Condiciones de Borde en La Valvula

2.2 THE LAX-WENDROFF ONE-STEP METHOD

El método One Step con Lax y Wendroff es muy popular 0(∆t2)+(∆x2) es un método

para la solución de ecuaciones diferenciales parciales Hiperbólicas. Para resolver

ecuaciones diferenciales parciales de primer orden correspondiente a la ecuación lineal

de onda ft + cgx = 0 y gt + cfx = 0, las funciones a ser determinadas son f(x, t)



y g(x, t) . Expandiendo f(x, t) en la serie de Taylor se tiene las ecuaciones C+ y C−

corespondiente a las ecuaciones de Presiones y Caudales hallados mas adelante:

2.2.1 Planteo de las Ecuaciones para el Golpe De Ariete Por el

Metodo de LAX-WENDROFF ONE-STEP

Partiendo de las ecuaciones de momentum ec.(2.1) y continuidad ec.(2.2) y llevando

a la forma de las ec.(1.2) y ec.(1.3) tenemos:

Figura 2.7: grafico para las ecuaciones

2.2.2 Ecuaciones Generales para las Presiones

C+ :Hn+1i −Hn

i

∆t+

a2

g ∗ A∗ (Qni −Qn

i−1

∆x) = 0 (2.26)

C− :Hn+1i −Hn

i

∆t+

a2

g ∗ A∗ (Qni −Qn

i−1

∆x) = 0 (2.27)

Despejando las ecuaciones en funcion de la Presion

C+ : Hn+1i = Hn

i −a2 ∗∆t

g ∗ A ∗∆x∗ (Qn

i −Qni−1) (2.28)

y

C− : Hn+1i = Hn

i −a2 ∗∆t

g ∗ A ∗∆x∗ (Qn

i+1 −Qni ) (2.29)



2.2.3 Ecuaciones Generales para los Caudales

C+ :Qn+1i −Qn

i

∆t+ g ∗ A(

Hni −Hn

i−1

∆x) +R ∗Qn

i−1∗ | Qni−1 |= 0 (2.30)

C− :Qn+1i −Qn

i

∆t+ g ∗ A(

Hni+1 −Hn

i

∆x) +R ∗Qn

i+1∗ | Qni+1 |= 0 (2.31)

Despejando las ecuaciones en funcion del Caudal

C+ : Qn+1i = Qn

i −g ∗ A ∗∆t

∆t∗ (Hn

i −Hni−1)−R ∗Qn

i−1∗ | Qni−1 | ∗∆t (2.32)

C− : Qn+1i = Qn

i −g ∗ A ∗∆t

∆t∗ (Hn

i+1 −Hni )−R ∗Qn

i+1∗ | Qni+1 | ∗∆t (2.33)

donde

R =f

2 ∗D ∗ A(2.34)

2.2.4 Ecuaciones para el Calculo del Golpe de Ariete

2.2.4.1 Ecuaciones para los Puntos Intermedios

Hn+1i = Hn

i −a2 ∗∆t

2 ∗ g ∗ A ∗∆x∗ (Qn

i+1 −Qni−1) (2.35)

Qn+1i = Qn

i −g ∗ A ∗∆t

2 ∗∆x∗ (Hn

i+1 −Hni−1)−

R

2∗ (Qi+1∗ | Qi+1 | +Qi−1∗ | Qi−1 |) ∗∆t

(2.36)

2.2.5 Condiciones de Borde

2.2.6 Condiciones Aguas Arriba (Reservorio)

Hn+1i = Hres (2.37)

Qn+1i = Qn

i −g ∗ A ∗∆t

∆x∗ (Hn

i+1 −Hni )−R ∗Qn

i+1∗ | Qni+1 | ∗∆t (2.38)



2.2.7 Condiciones Aguas Abajo (Valvula)

Qo = (CdAv)o ∗√

2 ∗ g ∗Ho (2.39)

Qn+1i = (CdAv) ∗

√2 ∗ g ∗Hn+1

i (2.40)

Qn+1i =

Qo ∗ τ√Ho

∗√Hni −

a2 ∗∆t

g ∗ A ∗∆x∗ (Qn

i −Qni−1) (2.41)

Hn+1i = Hn

i −a2 ∗∆t

g ∗ A ∗∆x∗ (Qn

i −Qni−1) (2.42)

2.2.8 Condiciones en Empalmes de Tuberia

Hn+1i = Hn

i −a21 ∗∆t

g ∗ A1 ∗∆x1∗ (Qn

i −Qni−1)−

a22 ∗∆t

g ∗ A2 ∗∆x2∗ (Qn

i+1 −Qni ) (2.43)

Qn+1i = Qn

i −g ∗ A1 ∗∆t

2 ∗∆t1∗ (Hn

1 −Hni−1)−

R ∗Qni−1∗ | Qn

i−1 | ∗∆t2

(2.44)

−g ∗ A2 ∗∆t

2 ∗∆x2∗ (Hn

i+1 −Hni )−

R ∗Qni+1∗ | Qn

i+1 | ∗∆t2

(2.45)


Capitulo 3 — PROGRAMACION EN MATLAB

3.1 METODOLOGIA SEGUIDA PARA LA PROGRAMA-

CION METODO DE LAS CARACTERISTICAS

La programación se realizara en el lenguaje de Matlab, para el cual se tiene el

sistema a analizar.

La programación será para i tuberías y n secciones

Figura 3.1: Esquema para la Programacion

1. Declaramos las variables

Hr= (m) altura de carga del reservorio

Qo=(m3/seg) caudal de salida

Tc= (seg) tiempo de cierre de la valvula

Tmax= (seg) tiempo de analisis del fenomeno

21


L=(m) Es la longitud de la tuberia i

D=(m) Es el diametro de la tuberia i

a=(m/seg) Es la celeridad en la tuberia i

f= Factor de friccion de Darcy.

nt= Es el numero de tramos de la tuberia

Tseg=Es el tiempo de trancurso

Tao = Es el tao determinado para un tiempo

A= (m2) Es el area de la seccion de la tuberia

2. Ingreso de Datos Generales

Hr= 67.70 m

Qo= 1.00 m3/s

Tc= 6 seg

Tmax= 10 seg

3. Ingreso de datos Especificos de cada Tuberia

En esta parte del programa se ingresaran los valores de las variables de la tubería

en matrices

4. Ingreso de los valores Tao de la valvula

En esta seccion se ingresaran el tau versus tiem, del cierre o apertura de la valvula.

tiem = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)

tau = (1, 0,9, 0,7, 0,5, 0,3, 0,1, 0)

5. Calculo de Algunas Cosntantes.

En esta parte se calculan las contantesde un grupo de datos, para mayor

simplificación de formulas en la programacion.

6. Calculo de Presiones en Estado Permanente

Se calcularan las cargas hidráulicas en estado permanente del sistema. se sabe

que la perdida de carga es:



Hf =f ∗ dL ∗ i ∗Qo2

2 ∗ g ∗D ∗ AY agrupando tenemos

Ki =f ∗Q2

2 ∗ g ∗D ∗ AEntonces se tiene

Hf = Ki ∗ dL ∗ i

Con esta ecuacion se calculara la perdida de carga en los nudos para la cantidad

de tramos seleccionadas.

Figura 3.2: Carga hidarulica en condiciones permanentes

CALCULO DE PRESIONES Y CAUDALES EN ESTADO TRANSITORIO

7. Aguas Arriba (Reservorio)

Primero se calculara la ecuacion caracteristica negativa

C−i = Qj

i;n+1 − Ca ∗Hji;n+1 −R ∗ dt ∗Qi;n+1∗ | Qi;n+1 |

luego se calcula.

Hj+1i;n = Hr

luego se calcula finalmente

Qj+1i;n = C−

n + Ca ∗Hpj+1i;n

8. Calculo de Puntos Intermedios

Primero se calculara la ecuacion caracteristica positivas y negativa del sistema.



Figura 3.3: Condisiones aguas arriba (Reservorio)

Figura 3.4: Condisiones Intermedias

CP+i = Qj

i;n + Ca ∗Hji;n −R ∗ dt ∗Qi;n∗ | Qi;n |

Cn−i = Qj

i;n+2 − Ca ∗Hji;n+2 −R ∗ dt ∗Qi;n+2∗ | Qi;n+2 |

Luego se calcula.

Qj+1i;n+1 = 1

2∗ (CP+

i + Cn−i )

Luego se calcula finalmente



Hj+1i;n+1 =

(CP+i +Qj+1

i;n+1)

Cai

9. Calculo de Puntos de Empalmes en las tuberias

Figura 3.5: Condisiones en Empalmes

Primero se calculara la ecuacion caracteristica positivas de la tuberia i y negativa

de la tuberia i+ 1

CP+i = Qj

i;n+2 + Cai ∗Hji;n+2 −Ri ∗ dt ∗Qi;n+2∗ | Qi;n+2 |

Cn−i+1 = Qj

i+1;n − Cai+1 ∗Hji+1;n −Ri+1 ∗ dt ∗Qi+1;n∗ | Qi+1;n |

luego se calcula.

Hj+1i;n+2 =

(CP+i −Cn−

i+1)

(Cai+Cai+1)


Qj+1i;n+2 = CP+

i − Cai ∗Hj+1i;n+2

El cual se debe cumplir

Qj+1i;n+2 = Qj+1

i+1;n

10. Aguas Abajo (Valvula)

Primero se calculara la ecuacion caracteristica positiva de la ultima tuberia

CP+i+1 = Qj

i+i;n+1 + Cai+1 ∗Hji+1;n+1 −Ri+1 ∗ dt ∗Qi+1;n+1∗ | Qi+1;n+1 |



Figura 3.6: Condisiones Aguas Abajo (Valvula)

Hallar el τ para cada tiempo (dt) de analisis por Lagrange

Hallado el τ se procede a reemplzar en la siguiente formula, para determinar el

coeficiente de la valvula Cv

Cv = (Qo∗τ)2Hr∗Cai+1

Despues se determina el caudal de salida en el dt

Qj+1i+1;n+2 = 1

2∗ (−Cv +

√Cv2 + CPi+1

∗ Cv)


Hj+1i+1;n+2 =

Cpi+1−Qj+1i+1;n+2

Cai+1

Este proceso se realizara asta que cumpla la condicion de que Tac = Tmax en el

proceso se realiza el enmallado.



3.1.1 DIAGRAMA DE FLUJO EN TUBERIAS EN SERIE

Figura 3.7: diagrama de flujo de tuberia en serie



3.2 DESCRIPCION DEL PROGRAMA POR EL METODO

DE LAS CARACTERISTICAS

1. Vemos los datos de entrada y el calculo de algunas constantes fig(3.8).

2. vemos el cuandro de resultados de las presiones a cada 0.25s de analisis fig(3.9).

3. vemos el cuandro de resultados de los caudales a cada 0.25s de analisis fig(3.10).

4. Vemos el cuandro de resultados de las presiones y los caudales maximos

encontados fig(3.11).

Figura 3.8: Datos de Entrada y Calculo De Algunas Contantes

3.2.1 VALIDACIÓN DEL SOFTWARE DISEÑADO CON EL AFT

IMPULSE

1. Realizar el esquema del sistema fig(3.13.

2. Ingreso de datos del Reservorio fig(3.14).

3. Ingreso de dimensiones de la tuberia 1 fig(3.15).

4. Ingreso de dimensiones de la tuberia 2 fig(3.16).



Figura 3.9: cuadro de resultados de las presiones

Figura 3.10: cuadro de resultados de los caudales



Figura 3.11: cuadro de resultados de los caudales

Figura 3.12: Grafico de del fenomeno del golpe de ariete

5. Condiciones del empalme fig(3.17)

6. Ingreso de datos de la valvula fig(3.18).



Figura 3.13: Componentes en el AFT Impulse

Figura 3.14: Reservorio



Figura 3.15: Tuberia N 1

Figura 3.16: Tuberia N 2



Figura 3.17: Empalme de tuberias

Figura 3.18: Valvula


CONCLUSION

El trabajo realizado sintetiza las principales teorías que rigen el fenómeno del golpe

de ariete, orientándose a la aplicación y notación del fenómeno en los reservorios por la

aplicación del cierre o apertura de las válvulas, y convirtiéndose en una valiosa fuente

de información.

Al correr el programa realizado con la información y datos obtenidos en clase y

algunas bibliografías, el programa realizado fue los resultados son prácticamente iguales

con los obtenidos en el ejercicio de aplicativo de chaudry.

Comparando datos:

1. Presion Maxima programa MatLab Hmax = 165.9801m

2. Presion Maxima libro Chaudry Hmax = 165.65m

3. Presion Minima programa MatLab Hmin = 8.3957m

4. Presion MInima libro Chaudry Hmin = 5.42m

34

Bibliografía

[1] Victor Streeter, Fluid Transients. 1978.

[2] M. Hanif Chaudhry, Ph.D. Applied Hydraulic Transients. USA. 1979

[3] Pavel Novak, Vincent Guinot, Alan Jeffrey, Dominic E. Reeve, Hydraulic

MOdelling - an Introduction. USA and Canada. 2010.

[4] Joe D. Hoffman, Numerical Methods for Engineers and Scientists. New

York. 1992.

[5] Water Hammer, KSB Know how Volume 1.

[6] Comision Nacional del Agua Fenomenos Transitorios En Lineas De

ConduccionMéxico, D.F. 2007

[7] Eduardo Adan Castillo Orozco Validación de un modelo CFD para

análisis de golpe de ariete en conductos cerrados. Ecuador. 2012

[8] Walter Mora F.,Alexánder Borbón A., Edicion de textos cientificos LaTex.

Costa Rica. 2013.

[9] Sixto Romero, Francisco J. Moreno, Isabel M. Rodriguez, Introduccion a

las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP’s). España. 2001.

[10] Juan Bahamonte Noriega, Diseño de un Software para el del Golpe de

Ariete en Tuberias de Presion de Centrals Hidroelectricas . Sangolquí.

2005.

[11] Freire Morales Edwin Geovanny Elaboracion e Implementacion de un

Software para el Diseño de Centrales Hidroelectricas Hasta 10MW .

Riobamba-Ecuador. 2010.

[12] Ing. Luis E. Perez Ferras, Ing. Adolfo guietelman Estudio de Transitorios:

Golpe de Ariete . 2005.

35


[13] Javier García de Jalón, José Ignacio Rodríguez, Jesús Vidal, Aprenda

MatLab Como si estuviera en primero . Madric. 2005.


ANEXO

3.3 CODIGO FUENTE PROGRAMACION MATLAB

METODO DE LAS CARACTERISTICAS

%--------------------------------------------------------------------------

clear all

clc

fprintf(’\n PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL HUANCAVELICA \n ’)

fprintf(’\n UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA \n ’)

fprintf(’\n APROVECHAMIENTOS HIDROELECTRICOS \n ’)

fprintf(’\n FENOMENO DE GOLPE DE ARIETE PARA VARIAS TUBERIA \n ’)

fprintf(’\n METODO DE LAS CARACTERISTICAS \n ’)

%fprintf(’\n ELABORADO POR: Jose Antonio Quinto De La Cruz \n \n’)

%-------------------------------------------------------------------------

%%---INSERTE DATOS DE LA TUBERIA

%---inserte en este orden [L D a f n]

%--- L=longitud en m

%--- D=diametro en m

%--- a=celeridad en m/s

%--- f=coef. friccion

%--- n=numero de tramos

fprintf(’\n==============================================================’)

fprintf(’\n1.DATOS DE LA TUBERIA \n’)

fprintf(’\n L(m) D(m) a(m/s) f n Tramos \n’)

DATO =[550 0.75 1100 0.010 2

450 0.60 900 0.012 2];

disp(DATO)

%%---INSERTE DATOS DE TAO

tiem=[0 1 2 3 4 5 6];

tau=[1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0];

nt=size(DATO);

nt=nt(1); %nt=número de tuberías

37


%%---INSERTE DATOS GENERALES

Hr=67.7; % altura del reservorio en m

Qo=1; % caudal en m3/s

Tc=6; % tiempo de cierre en s

tmax=10; % tiempo maximo de analisis en s

g=9.806; % tiempo maximo de analisis en s

%%---CALCULO DE ALGUNAS COSTANTES (CTEs)

fprintf(’\n==============================================================’)

fprintf(’\n2.CALCULO DE ALGUNAS CONSTANTES \n ’)

fprintf(’\n A Ca R dt dL \n\n’)

tn=0; %total de tramos del sistema

for i=1:nt

CTEs(i,1)=pi*DATO(i,2)^2*0.25 ; % calculo de las areas A

CTEs(i,2)=g*CTEs(i,1)/DATO(i,3) ; % calculo de Ca

CTEs(i,3)=DATO(i,4)/(2*DATO(i,2)*CTEs(i,1)); % calculo de las R

CTEs(i,4)=DATO(i,1)/(DATO(i,3)*DATO(i,5)); % calculo de variacion dt

tn=tn+DATO(i,5) ;

CTEs(i,5)=DATO(i,1)/DATO(i,5); % calculo de la dL

end

disp(CTEs)

Ka=(DATO(1,4)*Qo^2)/(2*g*DATO(1,2)*CTEs(1,1)^2);

dL =CTEs(1,5); %variación de longitud tubeiria

Tb=DATO(1,5); %número de tramos de tubería

Ht=Hr;

un=1;

l=0;

for i=1:tn+1

Q(i)=Qo;

H(i)=Ht-Ka*dL*(l);

if (i==(Tb+1)& i~=(tn+1));

un=un+1;

k=(DATO(un,4)*Qo^2)/(2*g*DATO(un,2)*CTEs(un,1)^2);

Ht=H(i);

dL=CTEs(un,5);

Tb=Tb+DATO(un,5);

l=0;

end

l=l+1;



end

%%---Calculo de los Valores Intermedios

ct=0; %contador de tiempo

un=1; %número de union

Tb=DATO(un,5); %número de tramos de tubería

Tac=0; %tiempo acumulado

%tn = total de tramos del sistema

dt=min(CTEs(1,4)); %variación de tiempo

while (Tac<tmax)

ct=ct+1;

Tac=ct*dt;

for i=1:tn-1;

if(i~=Tb)

CP=Q(ct,i)+CTEs(un,2)*H(ct,i)-...

CTEs(un,3)*dt*Q(ct,i)*abs(Q(ct,i));

CN=Q(ct,i+2)-CTEs(un,2)*H(ct,i+2)-...

CTEs(un,3)*dt*Q(ct,i+2)*abs(Q(ct,i+2));

Q(ct+1,i+1)=0.5*(CP+CN);

H(ct+1,i+1)=(CP-Q(ct+1,i+1))/CTEs(un,2);

%%---Calculo de los Empalmes

else

CP=Q(ct,i)+CTEs(un,2)*H(ct,i)-...

CTEs(un,3)*dt*Q(ct,i)*abs(Q(ct,i));

CN=Q(ct,i+2)-CTEs(un+1,2)*H(ct,i+2)-...

CTEs(un+1,3)*dt*Q(ct,i+2)*abs(Q(ct,i+2));

H(ct+1,i+1)=(CP-CN)/(CTEs(un,2)+CTEs(un+1,2));

%Q(ct+1,i+1)=CN+varg(un+1,2)*H(ct+1,i+1);

Q(ct+1,i+1)=CP-CTEs(un,2)*H(ct+1,i+1);

un=un+1;

Tb=Tb+DATO(un,5);

end

end

%%---Condiciones de Borde

%condiciones aguas arriba en el reservorio

H(ct+1,1)=Hr;

CN=Q(ct,2)-CTEs(1,2)*H(ct,2)-CTEs(1,3)*dt*Q(ct,2)*abs(Q(ct,2));

Q(ct+1,1)=CN+CTEs(1,2)*H(ct,1);

%condicion aguas abajo en la valvula

if (Tac<Tc);



Tao=interp1(tiem,tau,Tac,’spline’);

else Tao=0;

end

CP=Q(ct,tn+1)+CTEs(nt,2)*H(ct,tn)-CTEs(nt,3)...

*dt*Q(ct,tn+1)*abs(Q(ct,tn+1));

Cv=(Tao*Qo)^2/(CTEs(nt,2)*H(1,tn+1));

Q(ct+1,tn+1)=0.5*(-Cv+(Cv^2+4*CP*Cv)^0.5);

H(ct+1,tn+1)=(CP-Q(ct+1,tn+1))/CTEs(nt,2);

end

%%---MOSTRAMOS LOS RESULTADOS

fprintf(’\n CUADRO DE RESULTADOS \n ’)

fprintf(’\n==============================================================’)

fprintf(’\n CUADRO DE PRESIONES EN CADA TRAMO \n ’)

fprintf(’\nTRAMO:’)

fprintf(’\nRESERVORIO VALVULA’)

fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1 ’)

H

fprintf(’\n==============================================================’)

fprintf(’\n CUADRO DE VARIACION DE CAUDALES \n ’)



fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1’)

Q

fprintf(’\n==============================================================’)

fprintf(’\n CUADRO DE PRESIONES MAXIMAS \n ’)



fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1’)

Hmax = max(H)

fprintf(’\n==============================================================’)

fprintf(’\n CUADRO DE PRESIONES MINIMAS \n ’)



fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1’)



Hmin = min(H)

%%

%%====================GRAFICA DE LAS VARIACIONES===========================

for j=0:ct

x(j+1)=dt*j;

end

y=H(:,tn+1);

plot(x,y,’+ - b’)

title(’GRAFICA TIEMPO & PRESION’)

xlabel(’TIEMPO en (s)’)

ylabel(’ H (PRESION) en (m)’)

grid on

3.4 CODIGO FUENTE PROGRAMACION MATLAB

THE LAX-WENDROFF ONE-STEP METHOD

%--------------------------------------------------------------------------

clear all

clc

fprintf(’\n PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL HUANCAVELICA \n ’)

fprintf(’\n UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA \n ’)

fprintf(’\n APROVECHAMIENTOS HIDROELECTRICOS \n ’)

fprintf(’\n FENOMENO DE GOLPE DE ARIETE PARA VARIAS TUBERIA \n ’)

fprintf(’\n METODO DE LAS CARACTERISTICAS \n ’)

%fprintf(’\n ELABORADO POR: Jose Antonio Quinto De La Cruz \n \n \n ’)

%-------------------------------------------------------------------------

%%---INSERTE DATOS DE LA TUBERIA

%---inserte en este orden [L D a f n]

%--- L=longitud en m

%--- D=diametro en m

%--- a=celeridad en m/s

%--- f=coef. friccion

%--- n=numero de tramos

fprintf(’\n==============================================================’)

fprintf(’\n1.DATOS DE LA TUBERIA \n’)

fprintf(’\n L(m) D(m) a(m/s) f n Tramos \n’)

DATO =[550 0.75 1100 0.010 2

450 0.60 900 0.012 2];

disp(DATO)

%%---INSERTE DATOS DE TAO



tiem=[0 1 2 3 4 5 6];

tau=[1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0];

nt=size(DATO);

nt=nt(1); %nt=número de tuberías

nt=size(DATO);

nt=nt(1); %número de tuberías

%%---INSERTE DATOS GENERALES

Hr=67.7; % altura del reservorio en m

Qo=1; % caudal en m3/s

Tc=6; % tiempo de cierre en s

tmx=10; % tiempo maximo de analisis en s

g=9.806; % tiempo maximo de analisis en s

fprintf(’\n=============================================================’)

fprintf(’\n2.CALCULO DE ALGUNAS CONSTANTES \n ’)

fprintf(’\n A Ca R dt dL \n\n’)

tn=0; %total de tramos del sistema

for i=1:nt

CTEs(i,1)=pi*DATO(i,2)^2*0.25 ; % calculo de las areas A

CTEs(i,2)=g*CTEs(i,1)/DATO(i,3) ; % calculo de Ca

CTEs(i,3)=DATO(i,4)/(2*DATO(i,2)*CTEs(i,1)); % calculo de las R

CTEs(i,4)=DATO(i,1)/(DATO(i,3)*DATO(i,5)); % calculo de la variacion dt

tn=tn+DATO(i,5) ; % condicion de acumulacion

CTEs(i,5)=DATO(i,1)/DATO(i,5); % calculo de la posicicion

end

disp(CTEs)

k=(DATO(1,4)*Qo^2)/(2*g*DATO(1,2)*CTEs(1,1)^2);

dL =CTEs(1,5);%variación de longitud tubeiria i

Tb=DATO(1,5);%número de tramos te tubería

Ht=Hr;

un=1;

l=0;

for i=1:tn+1

Q(i)=Qo;

H(i)=Ht-k*dL *(l);

if (i==(Tb+1)& i~=(tn+1));

un=un+1;

k=(DATO(un,4)*Qo^2)/(2*g*DATO(un,2)*CTEs(un,1)^2);

Ht=H(i);

dL =CTEs(un,5);

Tb=Tb+DATO(un,5);

l=0;



end

l=l+1;

end

%%%%%%%%%condiciones para puntos intermedios

ct=0; %contador de iteraciones

un=1; %número de union label

Tb=DATO(un,5); %número de tuberia

Tac=0; %tiempo acumulado

%tn = total de tramos del sistema

dt=min(CTEs(1,4)); %variación de tiempo

while (Tac<tmx)

ct=ct+1;

Tac=ct*dt;

for i=1:tn-1;

if(i~=Tb)

H(ct+1,i+1)=H(ct,i+1)-0.5*DATO(un,3)^2*dt/(g*CTEs(un,1)*CTEs(un,5))*...

(Q(ct,i+2)-Q(ct,i));

Q(ct+1,i+1)=Q(ct,i+1)-0.5*g*CTEs(un,1)*dt/CTEs(un,5)*...

(H(ct,i+2)-H(ct,i))-0.5*CTEs(un,3)*...

(Q(ct,i+2)*abs(Q(ct,i+2))+Q(ct,i)*abs(Q(ct,i)))*dt;

%condiciòn de las uniones

else

H(ct+1,i+1)=H(ct,i+1)-DATO(un,3)^2*dt/(g*CTEs(un,1)*CTEs(un,5))*...

(Q(ct,i+1)-Q(ct,i))...

-DATO(un+1,3)^2*dt/(g*CTEs(un+1,1)*CTEs(un+1,5))*...

(Q(ct,i+2)-Q(ct,i+1));

Q(ct+1,i+1)=Q(ct,i+1)-0.5*g*CTEs(un,1)*dt/(CTEs(un,5))*...

(H(ct,i+1)-H(ct,i))-0.5*CTEs(un,3)*...

(Q(ct,i)*abs(Q(ct,i)))*dt-...

0.5*g*CTEs(un+1,1)*dt/(CTEs(un+1,5))*...

(H(ct,i+2)-H(ct,i+1))-0.5*CTEs(un+1,3)*...

(Q(ct,i+2)*abs(Q(ct,i+2)))*dt;

un=un+1;

Tb=Tb+DATO(un,5);

end

end

%condiciones de borde

%condiciones en el reservorio

H(ct+1,1)=Hr;



Q(ct+1,1)=Q(ct,2)-g*CTEs(1,1)*dt/(CTEs(1,5))*...

(H(ct,2)-H(ct,1))-CTEs(1,3)*...

(Q(ct,2)*abs(Q(ct,1)))*dt;

if (Tac<Tc);

Tao=interp1(tiem,tau,Tac,’spline’);

else Tao=0;

end

%fprintf(’tiempo %4.2f tao %4.3f \n’,Tac,Tao)

H(ct+1,tn+1)=H(ct,tn+1)-DATO(nt,3)^2*dt/(g*CTEs(nt,1)*CTEs(nt,5))*...

(Q(ct,tn+1)-Q(ct,tn));

Q(ct+1,tn+1)=(Qo*Tao/(H(1,tn+1))^.5)*(H(ct,tn+1)-DATO(nt,3)^2*dt/...

(g*CTEs(nt,1)*CTEs(nt,5))*...

(Q(ct,tn+1)-Q(ct,tn)))^.5;

end

%%---MOSTRAMOS LOS RESULTADOS

fprintf(’\n CUADRO DE RESULTADOS \n ’)

fprintf(’\n==============================================================’)

fprintf(’\n CUADRO DE PRESIONES EN CADA TRAMO \n ’)



fprintf(’\n 1 2 3 4 ...............tn+1 ’)

H

fprintf(’\n==============================================================’)

fprintf(’\n CUADRO DE VARIACION DE CAUDALES \n ’)



fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1’)

Q

fprintf(’\n==============================================================’)

fprintf(’\n CUADRO DE PRESIONES MAXIMAS \n ’)



fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1’)

Hmax = max(H)



fprintf(’\n==============================================================’)

fprintf(’\n CUADRO DE PRESIONES MINIMAS \n ’)



fprintf(’\n 1 2 3 4 ................tn+1’)

Hmin = min(H)

%%

%%====================GRAFICA DE LAS VARIACIONES===========================

for j=0:ct

x(j+1)=dt*j;

end

y=H(:,tn+1);

plot(x,y,’+ - b’)

title(’GRAFICA TIEMPO & PRESION’)

xlabel(’TIEMPO en (s)’)

ylabel(’ H (PRESION) en (m)’)

grid on


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TEMA · 2015-03-08 · Capitulo 1 —MARCO TEORICO 1.1BASES TEÓRICAS ... izado por ondas de presión de gran magnitud al momento de interrumpir o iniciar el ﬂujo dentro de una