Tema 2.1 Respuesta Transitoria en Sistemas de Diferentes Ordenes

7/25/2019 Tema 2.1 Respuesta Transitoria en Sistemas de Diferentes Ordenes

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UNIDAD 2.- Respuesta temporal de sistemas dinmicos

Objetivo especfico: Resolver las ecuaciones que representan a un sistema dinmico,para analizar e interpretar su comportamiento

Tema 2.1: Respuesta transitoria en Sistemas de diferentes rdenes

Materia: Control de Sistemas Lineales

M.C. Febe Barbosa Xochicale

2.1 Respuesta transitoria en sistemas de diferentes ordenes Primer Orden Segundo Orden Orden superior

Respuesta en tiempo

La respuesta de salida de un sistema es la suma de dos respuestas:

1) Respuesta forzada (estado estable al aplicar una entrada, solucin

particular)

2) Libre (solucin homognea)

Los polosde una funcin de transferencia son:

1) Los valores de la variable de la transformada de Laplace, s, que

ocasionan que la funcin de transferencia T(S)= N(s)/D(s) se vuelva

infinita

2) Cualquiera de las races del denominador de T(s) que sean comunes a

las races del numerador.

Los cerosde una funcin de transferencia son:

1) Los valores de la variable de la transformada de Laplace, s, que

ocasionan que la funcin de transferencia T(S)= N(s)/D(s) se vuelva

cero


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2

2) Cualquiera de las races del numerador de T(s) que sean comunes a las

races del denominador.

Sistemas de primer orden

Caso general:

Considere el sistema de primer orden como se muestra en la figura

a. Sistema de primer orden

b. Grfica de polos y ceros

La salida es:

Al expresar en fracciones parciales tenemos:

Realizando la fraccin queda:

Al agrupar trminos semejantes e igualar tenemos que:

Por lo que

Al aplicar la trasformada inversa de Laplace tenemos que es sistema responde de acuerdo a la

salida: Si consideramos el tiempo cuando:


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tenemos que

Al trmino

se le denomina constante de tiempo; al trmino

se le llama frecuencia exponencial.

Tiempo de Levantamiento, Tiempo necesario para alcanzar del 10% al 90% del valor final.

Para el 10% se tiene: Despejando:

Para el 90% se tiene: Despejando se tiene que

De tal forma que

Tiempo de asentamiento, Tiempo necesario para alcanzar el 98% del valor final.

Despejando se tiene que


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De tal forma que

Figura: Respuesta del sistema de primer orden al escaln unitario

Para el caso cuando

Figura

a. Sistema de primer orden

b. Grfica de polos y ceros

La salida es:





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5

Por lo que

[

]


salida:

Figura: Dado el resultado de un sistema de primer orden, hallar la ecuacin

de acuerdo a la grfica.

El valor final es aproximadamente El de es0.4536

Despejando


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Para hallar K se tiene que:

Despejando: El sistema queda como:

Simulando en Matlab con

Y superponiendo las grficas se tiene:


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Figura 9: Dado el resultado de un sistema de primer orden, hallar la ecuacin

de acuerdo a la grfica.

Sistemas de primer orden

Ejemplo 1:Considere el sistema:

Figura 1: Sistema de primer orden

La salida es:




Por lo que

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Step Response

Time (sec)

Amplitude


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salida:

Figura.2: (a) Sistema; (b) Grfica de polos y ceros del sistema; (c) Respuesta


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Figura 3: Respuesta del sistema

Simulacinen Matlab:num=[1 2];

den=[1 5];

T=tf(num, den)

Transfer function:

s + 2

-----

s + 5

step(T)

Figura 4: Efecto de un polo real en la respuesta transitoria

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Respuesta al escalon unitario

Tiempo (sec)

Amplitud


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Sistemas de segundo orden

Frecuencia natural

Factor de amortiguamiento Caso general:

Para buscar los polos tenemos que igualar el denominador a cero

Resolviendo la ecuacin de segundo grado con la formula general:

( )

Para sistemas subamortiguadosel factor de amortiguamiento est entre por lotanto, lo que est dentro de la raz cuadrada es negativo, lo que genera complejos

conjugados quedando as los polos

Para sistemas sobreamortiguadosel factor de amortiguamiento est es

por lo tanto

lo que est dentro de la raz cuadrada es positivo, lo que genera polos reales y distintosquedando as:


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Para sistemas no amortiguadosel factor de amortiguamiento est por lo tanto loque est dentro de la raz cuadrada es , lo que genera los polos:

Para sistemas crticamente amortiguadosel factor de amortiguamiento es por lotanto lo que est dentro de la raz cuadrada es cero, lo que genera nmeros reales iguales

quedando as los polos:

Figura 9: Respuesta de los sistemas de segundo orden de acuerdo al factor de

amortiguamiento


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Figura 10: Sistemas de segundo orden: polos, grficas y respuestas al escaln

unitario


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Figura 11: Porcentaje de sobretiro (overshoot) vs factor de

amortiguamiento

Figura 12: Respuesta del sistema de segundo orden al escaln unitario con

polos complejos conjugados

Ejemplos:

1. Considere el sistema de la figura:

Hallar: factor de amortiguamiento , frecuencia natural y tipo de sistema.


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Figura 13: Respuesta del sistema de segundo orden en relacin al factor de

amortiguamiento


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Figura 14: Sistema de segundo orden subamortiguado

Figura 15: Sistema de segundo orden: especificaciones de subamortiguado


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Figura 16: Patrn de polos para un sistema subamortiguado de segundo

orden

Tarea:

Considere los sistemas de las figuras a, b y c.

Hallar

factor de amortiguamiento frecuencia natural polos

tipo de sistema


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Figura: Efecto de un polo real en la respuesta transitoria

2. Hallar grfica de polos y ceros


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Orden superior

CASO 1. Las races del denominador de son reales y distintas.

Si el grado es de menor grado que

Cuando

CASO 2. Las races del denominador de son reales y repetidas.

Si el grado es de menor grado que

Cuando

con


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Para , tenemos:

CASO 3. Las races del denominador de son complejas o imaginarios.

Con

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