Tema 2_Matematicas Financieras

7/25/2019 Tema 2_Matematicas Financieras

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Tema 2-

MATEMTICASFINANCIERAS

David Moreno y Mara Gutirrez

Universidad Carlos IIIAsignatura: Economa Financiera


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David Moreno y Mara Gutirrez - Uc3m2

Tema 2- MATEMTICAS FINANCIERASEsquema del Tema

1. EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTO DE

INTERS

Concepto de Inters Capitalizacin simple Capitalizacin compuesta Valor actual y valor futuro

2. VALOR ACTUAL DE FLUJOS DE TESORERA MULTIPLES Valor actual de una anualidad

Valor actual de una perpetuidad

3. OPERACIONES DE PRSTAMOS


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Tema 2- MATEMTICAS FINANCIERAS- Objetivos del tema

Entender como cambia el valor del dinero con eltiempo.

Distinguir entre y utilizar el tipo de inters simple ycompuesto.

Calcular valores actuales y valores futuros de unadeterminada cuanta monetaria en un momentotemporal.

Calcular rpidamente el valor actual de unaanualidad y de una renta perpetua.


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1- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y ELCONCEPTO DE INTERS

Para empezar debemos pensar si valen lo mismo1.000.000 hoy o dentro de 10 aos.

O tambin podemos preguntarnos a cuantos eurosestamos dispuestos a renunciar por disponer del dinerohoy en vez de dentro de 10 aos.

Todos preferimos recibir esa cantidad monetaria hoy adentro de 10 aos. Por qu?

Por tanto, seguramente estamos dispuestos a recibirsolo 900.000 o 850.000 por cobrar esa cantidadhoy en vez de dentro de 10 aos.


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EL DINERO TIENE UN VALOR TEMPORAL: .El valordel dinero depende del momento del tiempo en el cual el

flujo de dinero (ingreso o pago) se produzca.

El valor de un flujo futuro es menor que el valor de unflujo corriente.

Por qu?

Renuncia a consumo e inversin en el presente.

Riesgo de impago y de inflacin.


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Cuando depositamos dinero en el banco o lo prestamosa alguien por un periodo de tiempo estamosintercambiando un flujo monetario corriente por un flujo

futuro. La compensacin que exigimos es el tipo deinters.

INTERS: Es el precio por unidad monetaria y periodo

que hay que pagar a quin presta dinero.

El inters que se negociar entre cada prestamista yprestatario depender de:

La propensin al consumo. La rentabilidad de inversiones alternativas.

Inflacin esperada.

Riesgo de impago.


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Supongamos que ponemos un dinero en un depsito enel banco con las siguientes condiciones: Fecha inicio t=0

Fecha finalizacin t=N N unidades de tiempo (das, meses, trimestres, aos)

Ccapital invertido en t=0

Iinters total

itipo de inters acordado (suponemos que no camia en el tiempo)!

El inters que se negociar entre cada prestamista yprestatario depender de:

Capitalizacin simple: los intereses se pagan al final de cadaperiodo y se mantiene fija la inversin. Capitalizacin compuesta: los intereses de cada periodo se

suman a la inversin inicial, de manera que el total invertidosobre el que se generan intereses aumenta cada periodo.


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1. CAPITALIZACIN SIMPLE:

Al inicio de cada periodohemos invertido siempreC.

El pago de interesescada periodo es C.i

La cantidad total deintereses pagadadurante una inversin deN aos ser

La cantidad de dineroobtenida en N periodos

es:

NCiiCiCiC =+++ ... ...

)1( NiCNCiCIC +=+=+

t Capital

invertido alinicio del

periodo t

Intereses

generados ypagados

durante el

periodo t

1 C iC

2 C iC

3 C iC

N C iC


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Ejemplo: Calcular la diferencia en la cantidad de dinero

total que obtendramos con un depsito de 1.000 euros ados aos a un tipo de inters de capitalizacin simple del7% anual frente al 5% anual.

Qu pasara si un banco nos ofrece capitalizacin

simple del 5% anual y otro capitalizacin simple del0,5% mensual?


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Inters simple fraccionado en m pagos al ao im: Esel inters que se ofrece cuando los pagos de interesesse realizan peridicamente durante el ao, siendo mesnmero de veces que se pagan intereses al ao.

(m=2, semestre; m=4, trimestre; etc)

El tipo de inters simple fraccionado en m periodosequivalente a un tipo de inters simple anual se calculacomo: im =i/m.

Demostrar esto y calcular el inters mensual simpleequivalente al 5% simple anual.


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1. CAPITALIZACINCOMPUESTA:

La inversin crece al

aadirse los intereses decada periodo.

Los intereses se pagansobre el capital

acumulado. La cantidad total de

intereses pagada duranteuna inversin de N aosser

La cantidad de dinero

obtenida en N periodoses:

t Capital

invertido alinicio del

periodo t

Inters generado

durante el periodot

1 C iC

2 C(1+i) iC(1+i)

3 C(1+i)2 iC(1+i)2

N

C(1+i)

N-1

iC(1+i)

N-1

CiCI N

+= )1(.

NiC )1(. +


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As, la frmula para calcular el VALOR FUTURO de unainversin a inters compuesto durante N aos es

(1+i)N Se le denomina como factor de capitalizacin.Y es la cantidad final que recibimos al prestar 1 euro hoy

hasta dentro de N aos.Ejemplo: Supongamos que el factor de capitalizacin a 5aos en la actualidad para una empresa es 1,27 (es decir

un tipo de inters compuesto del 5%) Qu significaesto?

N

N iCC )1(0 +=


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A partir de la frmula anterior se puede calcular elVALOR ACTUAL de una inversin a interscompuesto a n aos:

Se le denomina factor de descuento a 1/(1+i)N. Yse corresponde con el valor actual de 1 recibidodentro de N aos. Si multiplicamos el factor de descuento por la una cantidad

monetaria obtenemos el valor actual de esa cuanta.

(1+i)-N debe ser siempre una cantidad menor que la unidad paraque se cumpla la ley del valor del dinero.

N

N

i

CC

)1(0

+

=


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Ejemplo: Supongamos que el DF de una empresa debe decidirentre dos proyectos de inversin con el mismo coste inicialpero con diferentes flujos de caja futuros. El proyecto ASIRIS

le reportar un beneficio de 10.000 dentro de 5 aos y elproyecto GARCA un beneficio de 11.900 dentro de 7 aos.Si el tipo de inters compuesto de referencia para estaempresa es del 6,5% determine qu proyecto debe elegir.


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1- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTODE INTERS

Tipo de inters compuesto fraccionado(semestral, trimestral, mensual,) :

Tipo de inters de capitalizacin compuesta generadoen m periodos cada ao.

Para comparar tipos de inters de capitalizacincompuesta buscamos que la cantidad final obtenida en

el mismo periodo de tiempo sea la misma. As:

Son equivalentes un 3% de capitalizacin compuestaanual a un 1,5% compuesto semestral?Cul es mejor?

mN

m

NiCiC

.

)1()1( +=+


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1- EL VALOR TEMPORAL DEL DINERO Y EL CONCEPTODE INTERS

Ejemplo: Determine el tipo de inters equivalentemensual de un tipo de inters en capitalizacin

compuesta anual del 8%.


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Podemos suponer que el nmero de sub-periodos en los quese divide el ao muy elevado, y por tanto, que se devenganintereses de forma continua en el tiempo. En este caso el

factor de capitalizacin es igual a:

Donde i es el tipo de inters nominal anual concapitalizacin continua, im es el tipo de inters equivalentecuando se capitaliza m veces al ao y n es el nmero deaos que se mantiene la inversin.

Ejemplo: Supongamos que el tipo compuesto con capitalizacincontinua es del 8%. Calcular el valor actual de un pago de

1.500.000 que se dar dentro de 2 aos.

NimN

m

m

ei **

)1(lim =+


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2- VALOR ACTUAL DE FLUJOS DE TESORERAMLTIPLES

Generalmente en una inversin no existe un nico pago, sino queexisten ms.

Estos pagos o flujos de caja pueden ser: creciente, decrecientes,

constantes o aleatorios.Para encontrar el valor actual total de una serie de pagos endiferentes momentos temporales, tenemos que calcular el valoractual de cada uno de ellos y luego sumarlos.

Existen algunos casos especiales donde podemos calcular frmulasms sencillas para el clculo del valor actual de pagos mltiples.

N2

210

210

i(N))+(1

...

i(2))+(1i(1))+(1

)(...)()(

N

N

FCFCFCFC

FCVAFCVAFCVAFCVA

++++=

=++++=


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2.1 Valoracin de anualidades

Denominamos anualidad a una serie de pagos peridicos (A0, A1, A2,AN)crecientes hasta vencimiento segn una regla At=At-1(1+f).

Supongamos que:

i. A0=0ii. it=i para todo t

iii. i>f0

En este caso:

[ ])1(1221110

1

1

32

1

2

1

1

10

3

3

2

2

1

10

)1()1(...)1()1()1)(1(1)1(

)1()1(...)1()1()1)(1()1(

)1(...)1()1()1(

+++++++++++=

+++++++++++=

++++++++=

NN

NN

N

N

ifififiAV

ifAifAifAiAV

iAiAiAiAV

1321

10 ...1)1(

++++++=

N

qqqqiAVQu ocurre si q>1?

El trata de la suma de una serie geomtrica; Serie de N elementos talesque el elemento j es igual al elemento j-1 multiplicado por una constante orazn q


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Sumar una serie geomtrica de N elementos es muy sencillo: slo tenemosque multiplicar la suma original por la razn y sustraer de la suma originalesta suma modificada.

Ejemplo: Cunto vale la suma de la serie geomtrica de 15 elementos, de valor inicial

1 y razn !"# $ si la serie tuviese in%initos elementos#

q

qS

qqSS

qqqqqS

qqqqS

N

N

N

N

=

=

++++=

+++++=

1

1

1

...

...1

32

132


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La frmula general para calcular el valor actual de una anualidad si secumplen i,ii y iii es:

Ejemplo: Si el tipo de inters es del 5%, calcular el valor actual de unarenta anual que crece un 3% cada ao, si el primer pago de 1000 eurosse produce dentro de un ao y tiene una duracin total de 10 aos.

[ ]fi

ifAV

if

i

f

iAV

qqiAV

qqqqiAV

NN

N

N

N

++=

+

+

+

+

+=

+=

++++++=

)1()1(1

111

1

11

)1(

11)1(

...1)1(

10

1

10

110

1321

10


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Ejemplo: Si el tipo de inters es del 3%, calcular el valor actual de unarenta anual constante, si el primer pago de 500 euros se produce dentrode un ao y la duracin total de 20 aos.

Esta frmula se simplifica mucho paracasos particulares como por ejemplo:

Anualidad constante y perpetua:

Anualidad constante:

Tambin es fcil calcular el valor finalde una anualidad:

fi

fiAV

iVV

i

iAV

i

AV

NN

N

N

N

N

++=

+=

+=

=

)1()1(

)1(

)1(1

1

0

10

1

0


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3 Amortizacin de prstamos

Hasta ahora hemos hablado casi siempre de depsitos.

Podemos entender un depsito tambin como un prstamo que le

hacemos al banco.

En general un prstamo es un contrato por el cual: Un agente (prestatario o deudor) obtiene durante un determinado periodo de

tiempo la disposicin de un capital perteneciente a otro agente (prestamista oacreedor), quedando obligado el agente que dispondr del capital a devolver elcapital ms unos intereses.

Cuando se debe pagar o amortizar un prstamo es frecuente que el

capital prestado inicialmente se vaya pagando o amortizando

durante la vida del mismo, y no slo en la fecha final de vencimiento.

En general podemos distinguir entre dos tipos de prestamos: Con cuotas de amortizacin constantes

Con anualidades constantes Un ejemplo son las tpicas hipotecas (EURIBOR+spread)

David Moreno y Mara Gutirrez - Uc3m


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1. Prestamos con cuotas de amortizacinconstantes:

En cada periodo se amortiza la misma cantidad delcapital total.

Vamos a realizar el cuadro de amortizacin de unprstamos de 10.000 euros al 6% de inters compuestoanual y que se va a amortizar en 5 cuotas anuales.

Como la cuota de amortizacin es constante, esta serigual a: 10.000/5=2000.

Lo primero que rellenamos en el cuadro deamortizacin ser la cuota de amortizacin, despus el

total amortizado, luego el capital por amortizar.



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Ao Anualidad Intereses Cuota deamortizacin

TotalAmortizado

Capital poramortizar

0 0 0 0 0 10.000

1 2.600 600 2.000 2.000 8.000

2 2.480 480 2.000 4.000 6.000

3 2.360 360 2.000 6.000 4.000

4 2.240 240 2.000 8.000 2.000

5 2120 120 2.000 10.000 0

Paso 4:(Capital por amortizar)*i =

= 10.000 * 0.06 = 600

Paso 5:Cuota de Amortizacin +Cuota de intereses == 2.000 + 600 = 2.600

Paso 1 Paso 3Paso 2



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Prestamos con anualidades constantes: En este caso, cada ao la cuota total pagada debe ser constante.

Es decir, que la cuota de amortizacin del principal ms los

intereses deben ser constantes en el tiempo.

Lo primero que debemos calcular es la cuota constante que se vaa pagar cada ao. Para ello debemos igualar el valor actual detodos los pagos que realiza el prestatario a la cantidad

inicialmente prestada por el prestamista (recordar como hemoscalculado el valor de una anualidad constante):,

En el ejemplo, anterior sera:

+=

i

iAV

N)1(1

0

374.2A

06.0

)06.01(1000.10

5

=

+=

A



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A continuacin vamos a desarrollar el cuadro de

amortizacin de este prstamo con cuotas constantes.

Lo primero que rellenamos es la columna de lasanualidades constantes.

Luego los intereses (Capital por amortizar * i)

Despus la cuota de amortizacin (Cuota anual

Intereses)

Despus calculamos el capital por amortizar (Capital

inicial Capital total amortizado)

Este proceso se calcula para cada ao del prstamo.



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Ao Anualidad Intereses Cuota deamortizacin

TotalAmortizado

Capital poramortizar

0 0 0 0 0 10.000

12 2.374 493.6 1.884,4 3.654,4 6.345,6

3 2.374 380.7 1.993,3 5.647,7 4.352,3

4 2.374 261.1 2112.9 7.760,6 2.239,4

5 2.374 134 2.240 10.000 0

Paso 1

Paso 2:(Capital por amortizar)*i == 10.000 * 0.06 = 600 Paso 3:

Cuota anual - Intereses == 2.374 - 600 = 1.774

Paso 4:

Paso 5:

Capital por amortizar (t-1) Cuota deamortizacin



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Bibliografa

1. Grinblatt , M. y S.Titman, Mercados Financieros yEstrategia Empresarial, McGraw-Hill 2003.

TEMA 9

2. Brealey, R., S. Myers y Allen, Principios de

Finanzas Corporativas 8 edicin, Mcgraw-Hill 2006TEMA 3

3. Navarro, E. y Nave, J. , Fundamentos deMatemticas Financieras, Antoni Bosch Editor, SA.2001TEMAS 1 y 2.

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