TEMA 3: Campo eléctrico.

Fenómenos eléctricos:

Certas substancias, despois de ser fregadas, posúen a propiedade de atraer obxectos lixeiros, debido a que se cargan electricamente, este fenómeno coñécese co nome de electrización e é debido a unha propiedade da materia, "a electricidade”, polo tanto debemos supoñer que as devanditas substancias ao ser fregadas adquiren unha propiedade denominada "carga eléctrica". Esta carga eléctrica pódese cuantificar, polo tanto, debemos considerar a carga eléctrica como unha magnitude física, que permite explicar as propiedades eléctricas dos corpos. As características que a definen son:

- Existen dous tipos de cargas eléctricas, chamadas positivas e negativas.- Obxectos cargados con carga do mesmo signo repélense, e obxectos con carga de signo contrario

atráense.- A carga consérvase. No proceso de electrización non se crea carga nin se destrúe, soamente se

transmite duns corpos a outros, este feito permítenos definir o Principio de conservación da carga eléctrica: "A carga eléctrica total dun sistema electricamente illado, permanece constante".

- A carga está cuantizada, é dicir preséntase como un múltiplo enteiro dunha carga elemental. Esta é a que posúe o electrón.

A maioría dos materiais pódense clasificar como conductores ou ben como illantes ou dieléctricos. Os conductores permiten doadamente o fluxo ou movemento de carga a través deles. Os metais son bos conductores, xa que posúen "electróns libres" que son os responsables da conductividade eléctrica dos metais. Pola contra os illantes ou dieléctricos non permiten que a carga eléctrica flúa a través deles porque non posúen electróns libres. Entre os átomos transfírense tan só electróns, nunca protóns. Un corpo con carga negativa ten un exceso de electróns, e un corpo con carga positiva fáltanlle electróns.

Lei de Coulomb: No sistema internacional a unidade de carga eléctrica é o coulomb (C) (1C = 1 A∙s). A carga elemental ou unidade natural de carga eléctrica, correspóndese con: , que é a carga do electrón ou do protón en valor absoluto.

A lei de Coulomb enúnciase: "O valor da forza con que se atraen ou se repelen dúas cargas puntuais en repouso, é directamente proporcional ao producto das devanditas cargas, e inversamente proporcional ao cadrado da distancia que as separa. A súa dirección é a da recta que pasa por elas. A interacción é repulsiva se as cargas son do mesmo signo e atractivas se son de signo oposto." Exprésase matematicamente como:

escalarmente expresase como:

Sendo unha constante coñecida co nome de "constante de Coulomb", e o valor da cal no sistema internacional é de 8, 9875 10 9 Nm 2 /C 2, pero para simplificar cálculos, empregaremos: = 9 ∙10 9 Nm 2 /C 2.

Este valor para aplícase cando as cargas se atopan no baleiro, e vén determinado por:

, onde, , correspondese coa "permitividade eléctrica do baleiro" , que ten un

valor de: = 8,85 10 12 C 2/Nm 2.

Aínda que nos problemas, empregaremos este valor para = 9 ∙10 9 Nm 2 /C 2, na práctica emprégase un valor diferente segundo sexa o medio en que se atopan as cargas eléctricas, de modo que o valor de K é variable e

está determinado por: Sendo unha constante especifica para cada medio, que se denomina

"constante dieléctrica” ou “permitividade eléctrica do medio", e correspondese co producto: onde representa a “permitividade relativa do medio” (Ver exemplos valores de permitividade relativa do medio, na pax. 178)

Principio de superposición:Se nunha rexión do espazo existen varios corpos cargados electricamente, cada un deles está sometido a unha forza que é o resultante das forzas de interacción electrostática que exercen os outros corpos sobre el.

Enerxía potencial eléctrica:

Ao ser unha forza conservativa, a forza eléctrica posúe unha enerxía potencial asociada. Unha partícula de carga “q” situada nun campo eléctrico está sometida á acción da forza eléctrica e polo tanto posúe enerxía potencial eléctrica.

O traballo da forza eléctrica para trasladar unha carga “q” de A a B baixo a acción doutra carga “Q” en repouso, so depende da posición e non do camiño seguido, isto indica que as forzas eléctricas son conservativas. Polo tanto se a carga móbil “q” describe unha traxectoria pechada, o traballo eléctrico que realiza a carga fixa “Q” é nulo. Este traballo eléctrico expresase como:

Como xa vimos polo tanto, cúmprese aquí tamén:

A enerxía potencial eléctrica dun sistema formado por unha carga “Q” e unha carga “q”, separadas unha certa

distancia “r” determinase mediante a ecuación:

- A enerxía potencial eléctrica é nula cardo as cargas están a distancia infinita.

- Cando aproximamos dúas cargas do mesmo signo, a enerxía potencia eléctrica aumenta e para calquera distancia é positiva. O sistema acumula a enerxía eléctrica útil para producir traballo (as cargas repélense).

- Cando aproximamos dúas cargas de signo oposto, a enerxía potencia eléctrica diminúe e para calquera distancia é negativa. O sistema ten menos enerxía potencial que cando as cargas estaban alonxadas, polo tanto a capacidade de producir traballo redúcese.

- A enerxía potencial nunha determinada posición coincide co traballo eléctrico desenrolado para separar as cargas infinitamente.

- O traballo exterior empregado o achegar as cargas dende o infinito ata unha determinada posición, coincide coa enerxía potencial:

Enerxía potencial e enerxía cinética:

Como a forza eléctrica é conservativa, se varias partículas están sometidas unicamente a esta interacción, a enerxía total do sistema de partículas permanece constante.

É dicir se a enerxía potencial do sistema diminúe, entón a enerxía cinética aumenta na mesma cantidade e viceversa.

Campo eléctrico:

Dise que existe un campo eléctrico nunha rexión do espazo se unha carga eléctrica en repouso colocada nun punto desa rexión do espacio, experimenta unha forza eléctrica. Considérase que a dirección e o sentido do campo nun punto, coincide coa dirección e sentido da forza que este exerce sobre unha carga positiva colocada no devandito punto.

Intensidade do campo eléctrico: Defínese como vector , vector intensidade do campo eléctrico en calquera punto, como a relación que existe entre a forza eléctrica que o campo exerce sobre a unidade

de carga colocada no devandito punto. , mídese en N/C.

Da definición de intensidade de campo dedúcese: A forza e o campo teñen sempre a mesma dirección, se a carga “q” é positiva, entón teñen tamén o mesmo sentido.Para analizar a traxectoria dunha partícula dentro dun campo eléctrico recorremos a segunda lei da

dinámica:

Cando un campo ten a mesma intensidade, dirección e sentido en todos os puntos dise que é un campo uniforme, e a aceleración é constante.

Liñas de forza do campo eléctrico: Se en cada punto do espazo onde hai definido un campo eléctrico está definido un vector forza, este campo podemos representalo graficamente mediante as liñas de campo ou liñas de forza, que terán a mesma dirección que o vector intensidade de campo en cada punto.

As liñas do campo eléctrico teñen as seguintes propiedades:

Saen sempre das cargas positivas (fontes) e rematan nas cargas negativas (sumidoiros). Debúxanse de modo que o número de liñas que saen dunha carga positiva ou que entran nunha

negativa, sexa proporcional á devandita carga. Dúas liñas de forza nunca poden cortarse. Se o campo é uniforme, as liñas son paralelas entre si. En cada punto do campo o numero de liñas, por unidade de superficie perpendicular a elas, é

proporcional á intensidade do campo.

Principio de superposición:Indica que cando son varias cargas as que orixinan un campo eléctrico, o cálculo do campo total creado por todas elas resulta da suma vectorial do campo eléctrico creado por cada unha das cargas.

Potencial eléctrico:

O potencial nun punto dun campo eléctrico defínese como a enerxía potencial electrostática por unidade de carga positiva colocada nese punto. A súa unidade no sistema internacional é o Voltio (V). Un voltio é o potencial eléctrico dun punto cando ao colocar nel unha carga positiva dun culombio, esta adquire unha enerxía potencial dun Xulio.

de onde deducimos:

A unha distancia infinita das cargas que crean o campo, o potencial eléctrico é nulo. ( )O traballo realizado polo campo eléctrico ( ) para trasladar unha carga “q” dende un punto A que se atopa a un potencial ata un punto B que se atopa a un potencial é:

Desta última expresión deducimos que o potencial eléctrico nun punto coincide co traballo realizado polo campo eléctrico para trasladar a unidade de carga positiva dende ese punto ata o infinito, e tamén coincide co traballo exterior realizado para trasladar a unidade de carga positiva dende o infinito ata ese punto.

Superficies equipotenciais:

Os lugares xeométricos do campo eléctrico nos que o potencial eléctrico é constante, denomínanse "superficies equipotencial". Para unha carga puntual, as superficies equipotencial asociadas son esferas concéntricas a ela.Unha carga positiva movese espontaneamente cara potenciais mais baixos, e cara potenciais mais altos se é negativa; é dicir sempre de xeito que a súa enerxía potencial diminúa.

Potencial nun punto do campo eléctrico creado por unha carga puntual:

É unha función escalar que varía coa posición. O potencial que produce unha carga puntual Q a unha distancia r dela é:

O potencial creado por unha carga positiva é positivo, e o creado por unha carga negativa é negativo, xa que por convenio cando .

Potencial creado nun punto por varias cargas:Cando hai máis dunha carga, o potencial eléctrico total será a suma alxébrica dos potenciais eléctricos creados

por cada unha das cargas.

Relación entre campo e potencial eléctrico:

No apartado da , vimos que: tendo en conta as seguintes

relacións: e podemos expresar a ecuación matemática anterior

como:

Polo tanto a integral do campo eléctrico ao longo dunha liña entre dous puntos A e B ou tamén denominada “circulación do campo eléctrico entre A e B” e igual a diferencia de potencial entre eles.

Así en xeral: (entre A e B)

En consecuencia cúmprense as seguintes premisas:

- O campo eléctrico é perpendicular en cada punto á superficie equipotencial.- Se nunha rexión o campo é nulo, a circulación do campo é nula tamén, e o potencial é constante.- Nun campo uniforme o potencial diminúe uniformemente coa distancia na dirección do campo.

- Segundo a expresión anterior, o campo eléctrico mide a diferencia de potencial por unidade de lonxitude, no S.I. podemos expresar a intensidade do campo eléctrico en voltio/metro (V/m). (ademais de N/C)

Diferencia de potencial e movemento de cargas:

Cando dous puntos teñen distinto potencial, entre eles hai unha diferencia de potencial (ddp), e existe un campo eléctrico dirixido dende o punto de maior ao de menor potencial. Unha ddp entre dous puntos modifica o movemento de cargas libres entre ditos puntos. Como a forza eléctrica é conservativa, a permanece cte.

como: podemos expresar:

. Así unha diferencia de potencial orixina unha variación da E. cinética.Unha ddp adecuada pode acelerar unha partícula cargada, dende o repouso ata unha velocidade , ou o revés:

(valor absoluto, importante problemas)

Teorema de Gauss:

Vector superficie: A unha superficie plana de área S podemos asignarlle unha magnitude vectorial cuxo modulo coincida coa área da superficie e a dirección da cal sexa perpendicular a ela, sendo o seu sentido de dentro cara a fóra, se a superficie é curva, considérase un elemento da mesma, e dicir:

Fluxo: Cando unha superficie atópase inmersa nun campo eléctrico uniforme de intensidade defínese o fluxo do campo eléctrico como o producto escalar de ambas as dúas magnitudes: É unha magnitude escalar e representa o número de liñas de forza que atravesa a superficie.

Se o fluxo non é constante, ou a superficie non é plana, defínese o fluxo elemental, de xeito que:

E para unha superficie pechada e dicir que encerra un certo volume, expresase como: As unidades do fluxo eléctrico no S.I. son: Nm2C 1 ou o que é o mesmo Vm

Teorema de Gauss:

"Nun campo vectorial conservativo, o fluxo que atravesa unha superficie pechada é constante". A superficie elixida para aplicar o teorema de Gauss denomínase "superficie gaussiana".

O caso máis sinxelo é o correspondente a unha esfera, Xa que as liñas de campo teñen distribución radial, polo tanto e teñen igual dirección e sentido en todos os puntos da superficie esférica, polo tanto

(Debemos lembrar que: ).

Aplicando a definición de fluxo:

Polo tanto tamén podemos expresar o Teorema de Gauss como: “ O fluxo do campo eléctrico a través dunha superficie pechada é igual a carga neta do interior da superficie, entre a constante dieléctrica do medio (ε)”

O teorema de Gauss aplícase a campos vectoriais conservativos, polo tanto é aplicable tamén ao campo gravitatorio:

Aplicacións do teorema de Gauss no campo eléctrico:

- Campo eléctrico creado por unha esfera cargada:

Se construímos unha superficie gausiana esférica de radio r > R,concéntrica coa esfera. Aplicando o teorema de Gauss:(Debemos lembrar que: ).

igualando ámbalas dúas expresións:

O campo eléctrico creado por unha esfera conductora cargada, en puntos exteriores ou da súa superficie, é igual a que produciría unha carga puntual igual a carga da esfera, e situada no seu centro. No interior da esfera o campo é cero, xa que a esfera non encerra ningunha carga no seu interior (Q int. = 0), por que a carga está distribuída uniformemente pola superficie da esfera.

- Campo eléctrico creado por unha carga distribuída nunha placa ou lámina plana:

Sexa unha placa infinita cargada uniformemente, a densidade superficial de carga do cal designaremos por , para calcular o campo creado por esta superficie a unha distancia P dela, imos trazar unha

superficie gausiana consistente nun cilindro, de xeito que os seus laterais sexan perpendiculares á placa. Como o campo é perpendicular á placa, o fluxo só atravesa as dúas bases do cilindro, xa que o fluxo na superficie lateral do cilindro é nulo porque nela e son perpendiculares, tal como se observa no gráfico (pax. 195). Aplicando o teorema de Gauss:

(T. Gauss) ; igualando ambas as dúas expresións do fluxo:

- Campo eléctrico creado por un condensador plano:

Un condensador plano está formado por dúas placas paralelas, cargadas con igual carga pero de distinto signo, que se sitúan na cara interna de cada placa.Se e a carga de cada placa e representa a súa superficie, o campo eléctrico no seu interior será a suma do producido por cada unha das placas, e dicir:

- Campo eléctrico creado por unha carga distribuída nun fío:

Sexa un fío conductor infinitamente longo, a densidade lineal de carga do cal designaremos por . Para calcular o campo creado por este conductor a unha distancia “r” del, imos trazar unha superficie gausiana de forma cilíndrica, concéntrica co fío, de radio “r” e de altura “h”. Como o campo é perpendicular ao fío o fluxo só atravesa a superficie lateral do cilindro, xa que o fluxo nas bases do cilindro é nulo porque nelas e son perpendiculares, tal como se observa no gráfico (pax. 195). Aplicando a definición de fluxo eléctrico:

(T. Gauss) ; igualando ambas as dúas expresións do fluxo:

ANALOXÍAS E DIFERENZAS ENTRE CAMPO GRAVITATORIO E CAMPO ELÉCTRICO

A) Analoxías entre ámbolos dous campos

1- A forza gravitatoria e a forza electrostática de Coulomb son forzas dirixidas segundo a liña que une os corpos, proporcionais ao producto das súas magnitudes (masa e carga en cada caso) e que diminúen co cadrado da distancia de separación:

2- Son forzas de longo alcance, posto que a interacción entre dúas masas ou entre dúas cargas solo se anula a distancia infinita.

3- Ambas as dúas son forzas centrais. Polo tanto, son conservativas, e cada unha leva asociada a súa enerxía potencial característica. O traballo realizado por cada unha desas forzas non depende do camiño entre dúas posicións; é sempre igual á variación da súa enerxía potencial cambiada de signo.

4- Non son forzas por contacto, senón interaccións a distancia, que actúan no baleiro. Os seus mecanismos de acción explícanse mediante campos de forzas. O campo gravitatorio é o soporte da interacción gravitatoria, e o campo eléctrico, o da interacción eléctrica.

5- A intensidade do campo calcúlase como o cociente entre a respectiva forza e a magnitude característica que actúa como testemuña:

6- As liñas de forza con que representamos graficamente os campos creados por corpos puntuais son radiais e abertas.

7- Como son campos conservativos, levan asociados un potencial escalar característico: o potencial gravitatorio, Vg, e o potencial eléctrico, V:

8- En ámbolos dous casos, o fluxo do campo cumpre o teorema de Gauss. Para o campo eléctrico, utilizando a constante da lei de Coulomb, é:

onde q int é a carga neta no interior da superficie pechada S.

A expresión deste mesmo teorema para o campo gravitatorio é:

onde m int é a masa total no interior da superficie pechada S.

B) Diferencias entre ámbolos dous campos

1- A fonte do campo eléctrico é a carga, e a do campo gravitatorio, a masa. Solo existe un único tipo de masa, pero hai dous tipos de carga: positiva e negativa.

2- A forza gravitatoria é sempre atractiva; a eléctrica pode ser atractiva ou repulsiva, dependendo do signo das cargas.

3- A forza gravitatoria non depende do medio entre as masas: a constante da gravitación, G, é universal; pero a forza eléctrica varía segundo o medio que separa as cargas: a constante K non é universal.

4- A forza eléctrica é moito máis intensa que a forza gravitatoria. Así, a constante K no baleiro é unhas 1020 veces maior que a constante G.

5- A enerxía potencial gravitatoria sempre é negativa, pois diminúe ao achegarse as masas; pero a enerxía potencial eléctrica é positiva, cando as cargas teñen o mesmo signo, e negativa, cando o teñen oposto.

6- As liñas do campo gravitatorio morren ou entran nas masas; as do campo eléctrico saen ou entran nas cargas dependendo do seu signo.

7- A forza que actúa sobre unha masa colocada nun campo gravitatorio ten o mesmo sentido que este; nun campo eléctrico pode ter o mesmo sentido ou o oposto, dependendo do signo da carga colocada.

8- O fluxo do campo gravitatorio a través dunha superficie pechada sempre é negativo ou nulo, segundo haxa ou non masa no seu interior; mentres que o fluxo eléctrico pode ser positivo, negativo ou nulo.

9- O carácter atractivo da interacción gravitatoria fai que leven signo negativo as expresións do campo, a forza, o potencial e a enerxía potencial. As correspondentes expresións eléctricas escríbense con signo positivo, pero o resultado final dependerá do signo das cargas.