Tema 3. Circuitos Resistivos - Departamento de Teoría de ... 3/slides/Tema3.pdf · punto donde se conectan tres o más elementos Rama esencial: une dos nodos esenciales ... • Obtener

Sistemas y Circuitos 1© Francisco J. González, UC3M 2010

Tema 3. Circuitos Resistivos


3.1 Elementos en Circuitos

Elementos de circuitos• Dos terminales

• Potencia (instantánea)

+

−

( )v t

( )i t

Dispositivo(R, L,C)

(Generador)

Si p(t)>0, el dispositivo consume

Si p(t)<0, el dispositivo genera

3 A+

−

5 V ( ) 15 Wp t =

+

−

3 A

5 V ( ) 15 Wp t = −

+

−3 A−

-5 V ( ) 15 Wp t = −

Consume Genera Genera

Tanto la tensión como la corriente son variables que tienen signo.

( ) ( ) ( )p t v t i t=+

−

( )v t

( )i t

Dispositivo(R, L,C)

(Generador)


Signo en voltajes

¿Por qué un voltaje puede ser negativo?• Los voltímetros miden la diferencia de voltaje entre dos terminales.

− Si conectamos la pinza roja a un terminal y la negra a otra tendremos un determinado valor de voltaje.

− Si cambiamos de terminal las pinzas, observaremos que el voltaje ha cambiado de signo.


Activos• Generadores ideales: mantienen su valor nominal

independientemente de lo que haya conectado a sus terminales− Tensión

− Corriente


( )v t +

−

( )i t

+

−

5 V

2 A

5 A

2 A

Permitido No Permitido

+

−SV


constante


Activos• Generadores dependientes:

− su valor nominal depende de otra magnitud en el circuito• Generadores de tensión dependientes de

• Generadores de corriente dependientes de


( ) [V]xv tα +

−

( ) [A]si tβ

Tensión

( ) [V]yi tρ +

−

( ) [A]rv tμTensión

Corriente

Corriente



Pasivos• Relaciones tensión-corriente en

− Resistencias (ley de Ohm)


R

+

−

( )v t( )i t

( ) ( )v t Ri t=

R

+

−

R

+

−

5 V0.5 A10 Ω 10 Ω

0.5 A−5 V

+

−

5 V−0.5 A

10 Ω

10 Ω+

−

5 V0.5 A

( )( ) v ti tR

=

Sistemas y Circuitos 7© Francisco J. González, UC3M 20100 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000( )p t

Pasivos• Resistencias (ley de Ohm)

− Potencia

p(t)>0, » resistencias siempre consumen


R

+

−

( )v t( )i t

( ) ( )v t Ri t=

( ) 220 2 sin(2 50 ) Vv t tπ= 10R = Ω

( )( ) 22 2 sin(2 50 ) Av ti t tR

π= =

22( )( ) ( ) ( ) ( ) [W]v tp t v t i t i t R

R= = =

Consume

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

( )v t

( )i t



Pasivos• Relaciones tensión-corriente en

− Bobinas

− Condensadores

( )( ) dv ti t Cdt

=

+

−

( )v t( )i t

C

+

−

( )v t( )i t ( )( ) di tv t L

dt=

L



Circuitos• Nodos (nudos), ramas, lazos y mallas

L2

L1

R2

R1

C4

C3

C2

C1

L3

+

−( )v t

Rama

Nodo

Malla

Lazo

Nodo esencial: punto donde se conectan tres o más elementos

Rama esencial:une dos nodos esenciales


3.2 Resolución mediante Lemas Kirchhoff

Resolución de circuitos• Obtener los valores de la corriente en cada rama y/o del voltaje en

cada nodoLey de Corrientes de Kirchhoff (LCK)• “La suma algebraica de todas las corrientes en un nodo es 0 A”

ai bidici

0a b c di i i i− − − = Corrientes entrantes (+)Corrientes de salida (-)

0a b c di i i i− + + + = Corrientes entrantes (-)Corrientes de salida (+)

a b c di i i i= + +Suma Corrientes entrantes = Suma Corrientes de salida


3.2 Resolución mediante Lemas KirchhoffResolución de circuitos• Obtener los valores de la corriente en cada rama y/o del voltaje en

cada nodoLey de Corrientes de Kirchhoff (LCK)• “La suma algebraica de todas las corrientes en un nodo es 0 A”

bI 12A16A−1A

12 16 1 0bI − + − = Corrientes entrantes (+)Corrientes de salida (-)

12 16 1 0bI− + − + = Corrientes entrantes (-)Corrientes de salida (+)

1 12 16bI = + −Suma Corrientes entrantes = Suma Corrientes de salida

¿ ?bI


3.2 Resolución mediante Lemas Kirchhoff

Resolución de circuitos• Obtener los valores de la corriente en cada rama y/o del voltaje en

cada nodoLey de Voltajes (Tensiones) de Kirchhoff (LVK)• “La suma algebraica de todas las tensiones en un lazo es 0 V”

− El sentido en el que se recorre el lazo es arbitrario.

3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0L C L Cv t v t v t v t+ + − = Subidas tensión (+)Bajadas tensión (-)

Suma caídas tensión = Suma subidas de tensión

L2

L1

R2

C4

C2

C1

L3

+

−2 ( )Cv t

+

−

3( )Lv t

−

2 ( )Lv t+

+

−1( )Cv t

Subidas tensión (+)Bajadas tensión (-)3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0L C L Cv t v t v t v t− − − + =

1 3 2 2( ) ( ) ( ) ( )C L C Lv t v t v t v t= + +


3.3 Circuitos resistivos

Resistencia equivalente• Serie:

− Ley de Tensiones de KirchhoffReq

1 21

N

eq N kk

R R R R R=

= + + + =∑

+ −

R2 RNR1 R3I

I

+ −+ + −−− +1 1V IR= 2 2V IR= 3V NV

( )1 21

N

k N eqk

V I R R R IR=

= + + + =∑



Resistencia equivalente• Paralelo: Ley de Corrientes de Kirchhoff

− Paralelo de dos resistencias

Req

1 2 1

1 11 1 1 1eq N

N k k

R

R R R R=

= =+ + + ∑

R2R1 Req 1 2

1 2

1 2

11 1eq

R RRR R

R R

= =++

+

−

+

−V V

1 2

1 1 1

N eq

VVR R R R

⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

R2R1 R3 RN

I I



Circuito divisor de tensión

R2

R1

+

−

V

+

−

2V

2

1 2

1RR R

⎛ ⎞≤⎜ ⎟+⎝ ⎠

22 2

1 2 1 2

RVV R VR R R R

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠


R2R1


Circuito divisor de corriente

I1 2I I I+ =

2

1 2

1RR R

⎛ ⎞≤⎜ ⎟+⎝ ⎠

1I 2I1 1 2 2I R I R=

11 1

2

RI I IR

+ =

21

1 2

RI IR R

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

1

1 2

1RR R

⎛ ⎞≤⎜ ⎟+⎝ ⎠

12

1 2

RI IR R

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠


3.4 Resolución de circuitos

Método de las tensiones en nodos

R2 R4

R1 R3

+

−

( )v t( )i t

2. Elegir nodo de referencia (su voltaje relativo es 0 V)Generalmente, se elige aquel al que se conectan más ramas

1. Marcar y etiquetar los nodos esencialesa b

c

3. Definir voltajes en nodos respecto al nodo de referencia

av bv

+

4. Aplicar Ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo

+

−−Datos: ( ), ( ), 1, 2, 3, 4v t i t R R R R




R2 R4

R1 R3

+

−

VI

a b

c


av bv

++

−−

R2

R1 R3a

av

+

−

bv

+

−

V

+

−

3i

2i1i

1 2 3 0i i i− + =Nodo a:

11

aV viR−

= 22

aviR

= 33

b av viR−

=

1 2 3 3 1

1 1 1 1a b

Vv vR R R R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 ecuación, 2 incógnitas




R2 R4

R1 R3

+

−

VI

a b

c


av bv

++

−−

R4

R3 b

bv

+

−

av

+

−

I

4i3i

3 4 0I i i− − =Nodo b:

33

b av viR−

= 44

bviR

=

3 3 4

1 1 1a bv v I

R R R⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 ecuación, 2 incógnitas




R2 R4

R1 R3

+

−

VI

a b

c

5. Resolver ecuacionesNº Ecuaciones = Nº nodos esenciales -1

av bv

++

−−

3 3 4

1 1 1a bv v I

R R R⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 3 3 1

1 1 1 1a b

Vv vR R R R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Si conocemos va y vbconoceremos todas las tensiones y corrientes en el circuito



Método de las corrientes en mallas

R2 R4

R1 R3

+

−

( )v t( )i t

Datos: ( ), ( ), 1, 2, 3, 4v t i t R R R R

1. Marcar y etiquetar las mallas

Malla a Malla b Malla c

2. Definir corrientes de mallaSe elige arbitrariamente el sentido en el que circulan

3. Aplicar Ley de tensiones de Kirchhoff en cada malla

4. Resolver ecuaciones

Nº Ecuaciones = Nº Mallas

aI bI cI



Método de las corrientes en mallas

R2 R4

R1 R3

+

−

VI

3. Aplicar Ley de tensiones de Kirchhoff en cada malla

Datos: ( ), ( ), 1, 2, 3, 4v t i t R R R R

Malla a Malla b Malla c

aI bI cI

Malla a: ( )1 2 0a a bV I R I I R− + + − =

Malla b: ( ) ( )2 3 4 0b a b b cI I R I R I I R− + + − =

cMalla c: I I= −

1 2 2( )a bI R R I R V+ − =

( )2 2 3 4 4a bI R I R R R IR− + + + = −

2 ecuaciones, 2 incógnitas

4. Resolver ecuaciones

3 ecuaciones, 3 incógnitas


Transformación de generadores :• Procedimiento por el cual una fuente de tensión en serie con una

resistencia se transforma en un generador de corriente en paralelo con un resistencia.

• El comportamiento de ambos circuitos respecto de los terminales a y b es idéntico.

3.5 Transformación de generadores

+

Pendiente -RS

a

b

a

b

SR

SV

SV

SIPR

abv

i

abv

i

S S PV I R=

abv

i

Característica v-i

S PR R=

S

S

VR

Cortocircuito (vab=0)Circuito abierto (i=0)Pendiente -RP

Característica v-iabv

iS PI R

SI

Cortocircuito (vab=0)


3.6 Superposición

Linealidad en circuitos resisitivos

1 1 1i i i′ ′′= +

Anulamos el generador de corriente→ 0 A.⇔ circuito abierto Anulamos el generador de tensión→ 0 V ⇔ cortocircuito


3.7 Equivalente de Thèvenin

Un circuito lineal conteniendo resistencias y generadores dependientes y/o independientes puede reemplazarse por un generador independiente de tensión en serie con una resistencia• Tensión y resistencia de Thèvenin

a

bLR

Circuito ATHR

THVi a

bLR+

−


3.7 Equivalente de Thèvenin

Un circuito conteniendo resistencias y generadores independientes y/o dependientes puede reemplazarse por un generador independiente de tensión en serie con una resistencia.

Procedimiento1.Calcular la tensión en circuito abierto: Vab = VTH2.Calcular la corriente en cortocircuito: Iab = ISC3.La resistencia deThèvenin es

a

bLR

Circuito ATHR

THV

a

b

+−

OCTH

SC

VRI

=

i

LRSCI


3.7 Equivalente de Norton

Un circuito lineal conteniendo resistencias y generadores dependientes y/o independientes puede reemplazarse por un generador independiente de corriente en paralelo con una resistencia• Corriente y resistencia de Norton

a

bLR

Circuito A

NINR

ia

bLR


3.7 Equivalente de Norton

Un circuito conteniendo resistencias y generadores independientes y/o dependientes puede reemplazarse por un generador independiente de corriente en paralelo con una resistencia.

Procedimiento1.Calcular la corriente en cortocircuito: ISC = IN2.Calcular la tensión en circuito abierto: VAB = IN RN3.La resistencia de Norton es OC

NN

VRI

=

a

bLR

Circuito A

NINR

ia

bLR


3.7 Equivalente Thèvenin

Máxima transferencia de potencia:• ¿Cuánto ha de valer RL para que la potencia que disipe sea

máxima?THR

THVi a

bLR+

−

2

L

THR L

TH L

VP RR R

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

LR

LRP

LR MAXP

,L MAXR0



Máxima transferencia de potencia:• ¿Cuánto ha de valer RL para que la potencia que disipe sea

máxima?THR

THVi a

bLR+

−

2

L

THR L

TH L

VP RR R

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

LR

LRP

THR

( ) ( )( )

22

4

2LR TH L L TH L

THL TH L

dP R R R R RV

dR R R

⎛ ⎞+ − += ⎜ ⎟

⎜ ⎟+⎝ ⎠

i

0LR

L

dPdR

=

( ) ( )20 2 0LRTH L L TH L

L

dPR R R R R

dR= → + − + =i

0LRTH L

L

dPR R

dR= → =

0




Ejercicios de Repaso





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