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onio

Gon

zále

z Fe

rnán

dez

Tema 3: Electrostática enpresencia de conductores

Antonio González FernándezDepartamento de Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Parte 4/7 Condensadores y circuitos

equivalentes

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dez

Las cargas de las superficiesson de la misma magnitudy signo opuesto

Definición de condensador: dos superficies en influencia total

2

Dos superficies están en influencia total (la 1 con la 2 y la 2 con la 1) cuando todas las líneas de campo que salen de una van a parar a la otra

La carga en cada una es proporcional a la diferencia de potencial entre ellas

Se dice entonces que las dos superficies forman un condensador

Q1 = −Q2

Q1 = C11V1 + C12V2Q1 = C11V1 − C11V2Q1 = C11(V1 − V2)La carga neta de un condensador es 0. La “carga” de un condensador es la de su placa positiva

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dez

Capacidad de un condensador: definición y propiedades

Se define la capacidad de un condensador como

1

1 2

QCV V

1

1 2

QCV V

1 2

1 2 1 2

Q QCV V V V

1 2 2

1 2 1 2 2 1

Q Q QCV V V V V V

3

Sólo es aplicable a dos superficies en influencia total

Es indiferente qué superficie llamamos 1 y cuál 2

En el denominador aparece la diferencia de potencial, V1–V2 (para un condensador NO es cierto que Q = CV)

Se mide en faradios (F)

Es siempre positiva

No hay que confundirla con la capacidad de un conductor

El elemento de circuito asociadoa la capacidad Cse representa por

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Procedimiento de cálculo de la capacidad de un condensador

4

2

11 2

2 0 10S

V

20

S

E

10 1·d

SQ E S1

1 2 0

Q QCV V V

1) Se plantea la ecuación de Laplace

2) Se resuelve3) Se halla el campo eléctrico

4) Se calcula la carga en la placa a potencial V0

5) El cociente da la capacidad

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Capacidad de un condensador esférico

011 12

4 abC C Cb a

1 1 2Q C V V

0450mFT TR R h

Ch

5

Para dos superficies esféricas concéntricas

Esta capacidad no nos dice nada de lo que ocurre en el exterior del conductor 2, sólo informa de las superficies enfrentadas

En el caso de la Tierra y la ionosfera

a = RT = 6400km b = RT+h = 6500km

Si las dos superficies están muy próximas,b = a + d, d << a

0

20 0

4

4

a a dC

da S

d d

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Capacidad de un condensador coaxial: planteamiento

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Un condensador coaxial está formado por dos cilindros circulares concéntricos, de longitud h, mucho mayor que sus radios, a y b.

Ejemplo: cable coaxial

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a b Z

Capacidad de un condensador coaxial: solución del problema del potencial

1 d d 0d d

7

Hay que resolver 2 = 0 (ρ = a) = V0 (ρ = b) = 0

Si h >> a,b, E ≈ Euρ = (ρ)

Se desprecian los efectos de borde

La ecuación de Laplace se reduce a

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Capacidad de un condensador coaxial: cálculo de la capacidad

lnA B

0 ln

0 ln

V A B a

A B b

0 ln /ln /

V bb a

0

ln /Vb a

E u

1

0 01 0

2·dln /S

hVQb a

E S

02

ln /hC

b a

8

La solución es de la forma

Imponiendo las c.c.

Potencial en a < ρ < b:

Campo en a < ρ < b:

Carga en el cilindro interior:

Capacidad:

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Capacidad de un condensador plano

00 0z V z a

zEE u

0 1 zVa

1

0 01 0 1·d

S

SVQa

E S

0SCa

z

2

2

d 0dz

9

Lo forman dos placas conductoras de sección S y separadas una distancia a.

Entre ellas se cumple la ec. de Laplace con las c.c.

Despreciando los efectos de borde (suponiendo campo perpendicular a las placas)

Potencial en 0 < z < a:

Carga en el plano a V0:

Capacidad:

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dez

Circuitos equivalentes: modelan los sistemas reales

10

En un sistema de conductoresdiferentes porciones de la superficie de cada uno se encuentran en influencia total con las de otros conductores

Podemos modelar el sistema como un conjunto de condensadores correspondientes a estas porciones conectadas por líneas de campo

Para ello, hay que seguir una serie de pasos.

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Construcción de circuitos equivalentes: nodos del circuito

11

Analizaremos el sistema de cuatro conductores de la figura

En primer lugar, cada conductor se representa por un nodo

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dez

Construcción de circuitos equivalentes: condensadores entre nodos del circuito

ik ikC C

12

Cuando dos conductores i y k están apantallados por un tercero, la capacidad es nula.

A continuación se coloca un condensador Cik conectando cada par de nodos, i y k

En ese caso, puede suprimirse el condensador correspondiente en el esquema (C13 y C14 en este caso)La capacidad Cik es

siempre positiva o nula

La capacidad Cik viene dada por el coeficiente Cikcambiado de signo

¡OJO!

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dez

Estos condensadores representan las líneas de campo que van de cada conductor al infinito

Construcción de circuitos equivalentes: condensadores entre los nodos y tierra

ii ikk

C C

Hay que añadir un condensador Cii entre cada nodo y tierra

El valor de la autocapacidadCii es la suma de una fila de la matriz de los Cik

El valor de la autocapacidadCii es la suma de una fila de la matriz de los Cik

13

Esta cantidad es siempre positiva o nula

Cuando un conductor está apantallado y no puede haber líneas entre él y el infinito, Cii=0 y puede suprimirse el condensador correspondiente (C11 en este ejemplo)

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dez

¿Por qué se definen de esa forma las capacidades y autocapacidades?

14

11 11 12 13C C C C

12 12C C

La razón es la expresión de la carga

Invirtiendo las relaciones

…12 12C C

11 11 12 13

11 12 13

C C C C

C C C

11 12 13 1 12 2 13 3C C C V C V C V 1 11 1 12 2 13 3Q C V C V C V

11 1 12 1 2 13 1 3C V C V V C V V

…

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dez

Relación entre las capacidades y los coeficientes de capacidad

La relación inversa es ella misma

La relación inversa es ella misma

ik ik

ii ikk

C C

C C

La carga usando los Cik es…La carga usando los Cik es…

1 11 1 12 2 13 3Q C V C V C V

…y usando los Cik

1 11 1 12 1 2

13 1 3

Q C V C V V

C V V

15

Se relacionan por

Se relacionan por

ik ik

ii ikk

C C

C C

Diagonales (i = k)

No diagonales

(i ≠ k)

Coeficientes

Capacidades

0iiC

0iiC

0ikC

0ikC

Es importante no confundir los coeficientes de capacidad e inducción, Cik, del sistema de conductores, con las capacidadesy autocapacidades, Cik, del circuito equivalente

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dez

Construcción de circuitos equivalentes: fuentes de tensión

16

Además de los condensadores hay que añadir fuentes de tensión para indicar aquellos conductores cuyo voltaje esté fijado

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dez Para representar la carga de

un conductor definimos un "generador de carga" conectado al nodo correspondiente

Construcción de circuitos equivalentes: fuentes de carga

17

En ocasiones los conductores no se encuentran conectados a un generador, sino que están aislados.

La carga de un conductor aislado permanece constante (no puede ir a ningún sitio)

En el caso de carga nula, puede omitirse (Q3=0 en el ejemplo)

Q

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dez

Construcción de circuitos equivalentes: resumen de todos los pasos

18

Resumiendo los pasos…

1) Un nodo por cada conductor

4) Una fuente de tensión conectada a cada nodo a tensión constante

5) Una "fuente de carga" conectada a cada nodo a carga constante (no, si está descargado)

2) Un condensador por cada par de conductores, de capacidad Cik. No, si Cik es nula.

3) Un condensador Cii entre cada conductor y tierra. No, si Cii=0

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dez

Construcción de circuitos equivalentes: aplicación al caso de una esfera

11 11 04C C C R

19

En el caso de una sola esfera conductora a potencial V0, el circuito equivalente se reduce a:

Un nodo, que representa a la esfera

Un condensador situado entre la esfera y tierra (el infinito), de capacidad

Una fuente de tensión V0.

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dez

Dos esferas concéntricas de radios a y b (a<b), la interior a tensión V1y la exterior cargada con Q2, son equivalentes a:

Construcción de circuitos equivalentes: aplicación a un caso de dos esferas

012 12

4 abC Cb a

20 0

22 22 12 04 4 4b abC C C bb a b a

20

Dos nodos

Un condensador entre las dos esferas

Un condensador entre el nodo 2 y tierra

Una fuente de tensión V1

Una fuente de carga Q2. Si Q2=0, quedan dos condensadores en serie

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dez

0

9.092 9.093 0.000 0.0009.093 15.960 1.568 1.758

0.000 1.563 3.702 1.3300.000 1.759 1.337 4.069

C

C

Construcción de circuitos equivalentes: aplicación a un sistema de 4 conductores

11 12 0 13 14

22 0 23 0 24 0

33 0 34 0

44 0

0 9.09 0 03.54 1.55 1.75

0.80 1.330.98

C C C C CC C C C C C

C C C CC C

21

Conocida la matriz de coeficientes de capacidad:

obtenemos las capacidades y autocapacidades

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Circuitos equivalentes en un problema concreto (3.6): planteamiento

22

Tenemos un conductor esférico, de radio R, con dos huecos de radio R/2. En cada hueco hay una esfera de radio R/4. Una está a V0, la otra a tierra. La esfera exterior está aislada y descargada, ¿cuánto valen las cargas y potenciales de cada conductor?

El circuito equivalente contiene tres condensadores y una fuente de tensión V0

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Circuitos equivalentes en un problema concreto (3.6): solución

012 23 0

4 / 2 / 42

/ 2 / 4R R

C C RR R

22 04C R

1 11 1 12 1 2 13 1 3

2 22 2 12 2 1 23 2 3

3 33 3 13 3 1 23 3 2

Q C V C V V C V V

Q C V C V V C V V

Q C V C V V C V V

1 12 1 2

2 22 2 12 2 1 23 2 3

3 23 3 2

Q C V V

Q C V C V V C V V

Q C V V

1 0 1 2

2 0 2 1 3

3 0 3 2

2

2 4

2

Q R V V

Q R V V V

Q R V V

1 0 0 2

0 2 0

3 0 2

2

0 2 4

2

Q R V V

R V V

Q R V

0 0 0 0 02 1 3

34 2 2

V RV RVV Q Q

23

Las capacidades valen

La autocapacidad es la de una esfera

La relación entre cargas y potenciales queda

Sustituyendo los datos

Despejando

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Ejemplo de condensadores de placas planas (problema 3.9)

24

Cinco placas cuadradas de lado L, conductoras, se encuentran en la disposición indicada en la figura. La distancia entre cada par de placas paralelas es a (a << L). Las dos placas exteriores se encuentran permanentemente a tierra, de forma que funcionan como referencia de potencial.En todo momento, la segunda placa se encuentra puesta a potencial V0mientras que la cuarta almacena una carga Q0. La placa central se encuentra aislada y descargada.(a) Considerando el sistema de 3 conductores formado por las tres placas intermedias, halle la matriz de coeficientes de capacidad.(b) Halle la carga almacenada en cada una de las cinco placas cuadradas, así como la tensión de cada una.(c) Calcule la energía electrostática del sistema.(d) Calcule el valor del campo eléctrico en cada uno de los condensadores que se forman.(e) Si la placa central se conecta a tierra, ¿cómo cambian las cargas, los voltajes y la energía almacenada? Desprecie los efectos de borde.

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Problema 3.9: esquema

25

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Sevilla, diciembre de 2010

26