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Alonso Fernández Galián
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TEMA 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA I: LA ECUACIÓN DE LA RECTA
La geometría analítica es el estudio de objetos geométricos (rectas, circunferencias,…) por me-
dio de ecuaciones. Tiene su origen en el siglo XV, cuando Fermat y Descartes introducen los
ejes de coordenadas.
3.1 VECTORES FIJOS Y VECTORES LIBRES
La mejor manera de abordar el estudio de la geometría analítica es empleando vectores, cuyo
uso se generalizó a finales del siglo XIX gracias al físico escocés James Clerk Maxwell.
Vectores fijos. Un vector fijo (o vector ligado) es un segmento orientado.
El punto de partida se denomina origen, y el punto de llegada extremo. El
vector fijo de origen A y extremo B se representa por AB .
Características de un vector fijo. Los elementos característicos de un vector fijo son:
-Su módulo: la longitud del vector.
-Su dirección: la recta en la que está contenido el vector, o cualquier paralela a ella.
-Su sentido: la orientación que toma el vector en la recta en la que está contenido.
Equipolencia de vectores. Se dice que dos vectores fijos son
equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el
mismo sentido. Geométricamente, dos vectores fijos son equi-
polentes si al unir sus orígenes y sus extremos se obtiene un
paralelogramo.
Vectores libres. Se denomina vector libre al conjunto de todos los vectores fijos equipolentes a
uno dado. Los vectores libres se denotan mediante letras minúsculas: u
, v
,…
Si no hay riesgo de confusión, un vec-
tor libre se identifica con cualquiera
de sus representantes:
ABu
Coordenadas de un vector libre. Un vector libre u
queda determinado por sus proyecciones
orientadas sobre los ejes, denominadas coordenadas de u
:
21 ,uuu
-La coordenada 1u indica cuánto avanza u
de izquierda a derecha.
-La coordenada 2u indica cuánto avanza u
de abajo a arriba.
Cálculo de las coordenadas de un vector libre. Las coordenadas de un vector libre se pueden
calcular a partir de uno cualquiera de sus representantes.
El vector con origen en 21 , aaA y extremo en 21 ,bbB tiene
coordenadas:
2211 , ababAB
Matemáticas I
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Nota: Si el origen del vector coincide con el origen de
coordenadas, las coordenadas del vector coinciden con las
coordenadas de su extremo:
21 ,uuu
Cálculo del módulo de un vector libre. El módulo del vector 21 ,uuu
es, de acuerdo con
teorema de Pitágoras, igual a:
22
21 uuu
Nota: La distancia entre dos puntos, 21 , aaA y 21 ,bbB , es
igual al módulo del vector que los une, AB .
222
2
11, ababBAd
•Ejemplo: Calcula las coordenadas de los siguientes vectores:
(a) El vector AB :
2,5
2,3
B
A 4,222,35 AB
(b) El vector CD :
3,1
1,1
D
C 2,213,11 CD
(c) El vector EF :
2,3
1,5
F
E 1,212,53 EF
•Ejemplo: Calcula el módulo de los siguientes vectores:
(a) 1,3u
1013 22 u
u.l.
(b) 3,4 v
525)3(4 22 v
u.l.
Tema 3: Geometría analítica I: la ecuación de la recta
- 3 -
3.2 OPERACIONES CON VECTORES LIBRES
Hay dos operaciones básicas con vectores: la suma y el producto por escalares.
Suma de vectores libres. La suma de dos vectores 21 , uuu
y 21 , vvv
es el vector que se
obtiene sumando coordenada a coordenada:
22112121 ,,, vuvuvvuuvu
Geométricamente, la suma de los vectores u
y v
es el vector que tiene por origen el origen
común a los vectores y por extremo el vértice opuesto del paralelogramo determinado por ellos.
Producto de un escalar por un vector libre. El producto de un escalar ℝ por el vector
21 , uuu
es el vector que se obtiene multiplicando por las coordenadas de u
.
21 , uuu
Geométricamente, al multiplicar por u
obtenemos un nuevo vector que tiene:
-Por módulo, el módulo de u
multiplicado por .
-Por dirección, la misma que u
.
-Por sentido, el mismo que u
si es positivo y el con-
trario si es negativo.
•Ejemplo: Calcula la suma de los siguientes pares de vectores:
(a) 0,3u
y 2,1v
2,42,10,3 vu
(b) 2,2u
y 3,1 v
1,33,12,2 vu
(c) 1,3 u
y 3,3v
2,03,31,3 vu
Matemáticas I
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Combinaciones lineales. Se denomina combinación lineal de los vectores u
y v
a cualquier
expresión de la forma vu
, con , ℝ.
•Ejemplo: Sean los vectores 0,2u
y 2,1v
. Calcula las siguientes combinaciones
lineales:
(a) vu
23 .
4,44,20,62,120,2323 vu
(b) vu
2 .
2,52,10,42,10,222 vu
Geométricamente:
•Ejemplo: Calcula los siguientes productos del vector 1,3u
por distintos escalares:
(a) 2,61,322 u
(b) 3,91,333 u
(c) 4,121,344 u
(d) uu
1,31,311 , el opuesto de u
.
(e) 3,91,333 u
Geométricamente:
Tema 3: Geometría analítica I: la ecuación de la recta
- 5 -
3.3 PARALELISMO. LA BASE CANÓNICA DEL PLANO
Veamos cómo expresar en coordenadas la relación de paralelismo entre dos vectores.
Condición de paralelismo entre vectores. Dos vectores u
y v
son paralelos si sus coordenadas
son proporcionales. Veamos:
vu
vu
para algún escalar ℝ.
2121 ,, vvuu para algún escalar ℝ.
2
2
1
1
v
u
v
u
Si dos vectores son paralelos se dice también que son linealmente dependientes, y por tanto, si
no son paralelos se dice que son linealmente independientes.
Nota: Si u
y v
son linealmente independientes, cualquier otro vector w
se puede expresar co-
mo combinación lineal suya:
vuw
, para ciertos , ℝ
Se dice por ello que dos vectores linealmente independientes forman una base del plano.
La base canónica del plano. Se denomina base canónica del plano al
par de vectores, denotados por i
y j
, que son paralelos a los ejes, de
sentido positivo y de módulo 1. En coordenadas:
0,1i
y 1,0j
Cualquier vector se escribe como combinación lineal de i
y de j
tomando como coeficientes,
respectivamente, las coordenadas respectivas del vector:
juiuuuuu
2121 ),(
•Ejemplo: Determina si los siguientes pares de vectores son paralelos:
(a) 2,5 u
y 6,15 v
.
Las coordenadas son proporcionales; por tanto, los vectores son paralelos:
6
2
15
5
Son linealmente dependientes, uv
3 .
(b) 5,2u
y 7,4v
.
Las coordenadas no son proporcionales, por tanto los vectores no son paralelos:
7
5
4
2
Son linealmente independientes.
Matemáticas I
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3.4 DISTINTAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Una recta r queda determinada conociendo un punto de la misma, 21 , aaA , y un vector parale-
lo a ella, 21 ,uuu
, denominado vector director de r.
La ecuación vectorial de la recta. Sea r la recta que pasa por el punto 21 , aaA y tiene vector
director 21 ,uuu
. Si yxP , es un punto cualquiera de la recta, debe existir un número
ℝ tal que:
uOAOP
En coordenadas:
2121 ,,, uuaayx
Esta igualdad se denomina ecuación vectorial de la recta.
Las ecuaciones paramétricas de la recta. Comparando coordenada a coordenada obtenemos:
22
11
uay
uax
Estas igualdades se denominan ecuaciones paramétricas de la recta.
La ecuación continua de la recta. Despejando el parámetro e igualando se obtiene:
2
2
1
1
u
ay
u
ax
2
2
1
1
u
ay
u
ax
Esta igualdad se denomina ecuación continua de la recta.
La ecuación general (o implícita) de la recta. Si desarrollamos la ecuación continua y expresa-
mos todos sus términos en el lado izquierdo obtenemos:
0122112 auauyuxu
Sean:
2ua el coeficiente de x,
1ub el coeficiente de y,
1221 auauc el término independiente:
tenemos entonces:
0 cbyax , abuuu ,, 21
Esta igualdad se denomina ecuación general o implícita de la recta.
Tema 3: Geometría analítica I: la ecuación de la recta
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La ecuación explícita de la recta. Finalmente, despejando y obtenemos:
b
cx
b
ay
Sean m y n, respectivamente, el coeficiente de x y el término independiente:
tan1
2 u
u
b
am , se denomina pendiente,
b
cn , se denomina ordenada en el origen.
tenemos:
nmxy
Esta igualdad se denomina ecuación explícita de la recta.
La ecuación punto-pendiente de la recta. Alternativamente, una recta queda determinada co-
nociendo un punto de la misma, 21 , aaA , y su pendiente, m. Veamos:
Un punto cualquiera de la recta, yxP , , debe satisfacer:
max
ay
1
2tan
Despejando y se obtiene:
21 aaxmy
Esta igualdad se denomina ecuación punto-pendiente de la recta.
•Ejemplo: Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la recta que pasa por el
punto 1,3A y tiene vector director 2,3 u
.
1) Ecuación vectorial: 2,31,3, yx
2) Ecuaciones paramétricas:
21
33
y
x
3) Ecuación continua: 2
1
3
3
yx
4) Ecuación general: 0932 yx , vector director: 2,3 u
.
5) Ecuación explícita: 33
2 xy , pendiente:
3
2m
6) Ecuación punto-pendiente: 133
2 xy
Matemáticas I
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Nota: Para representar la recta basta calcular dos
puntos de la misma:
13
30
yx
Rectas paralelas a los ejes: Las rectas paralelas a los ejes tienen una coordenada constante:
-Una recta paralela al eje x tiene ecuación:
0yy
-Una recta paralela al eje y tiene ecuación:
0xx
•Ejemplo: Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la recta que por los puntos
2,1 A y 2,3B .
Un vector director de la recta es: 4,2 ABu
1) Ecuación vectorial: 4,22,1, yx
2) Ecuaciones paramétricas:
42
21
y
x
3) Ecuación continua: 4
2
2
1
yx
4) Ecuación general: 0824 yx , vector director: 4,2u
Simplificando: 042 yx 2,1u
5) Ecuación explícita: 42 xy , pendiente: 2m .
6) Ecuación punto-pendiente: 212 xy
•Ejemplo: Escribe en forma punto-pendiente, explícita y general la ecuación de la recta que
pasa por el punto 2,5A y tiene pendiente 4/1m .
1) Ecuación punto-pendiente: 354
1 xy
2) Ecuación explícita: 4
7
4
1 xy , 74 xy
3) Ecuación general: 074 yx , vector director: 1,4u
.
Tema 3: Geometría analítica I: la ecuación de la recta
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3.5 EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LA RECTA
Veamos más ejemplos de cómo manejar las distintas formas de la ecuación de una recta.
•Ejemplo: Escribe en las formas continua y explícita la ecuación de la recta que tiene ecua-
ción general:
01125 yx
(a) Un vector director de la recta es:
5,2, abu
Para determinar un punto de la recta, damos un valor a una de las variables y calculamos el
valor correspondiente de la otra. Por ejemplo, haciendo 1x :
30112151 yyx
La recta pasa por el punto 3,1A . Su ecuación continua es, por lo tanto:
5
3
2
1
yx
(b) Para expresar la ecuación en forma explícita despejamos y en la ecuación general:
2
11
2
5 xy
•Ejemplo: Escribe en las formas punto-pendiente, explícita y general la ecuación de la recta
que pasa por el punto 4,5A y forma un ángulo de 60º con el semieje positivo de absci-
sas:
La pendiente de la recta es:
3º60tan m
[…]
•Ejemplo: Escribe la ecuación general de la recta r que pasa por el punto 1,6 A y tiene
vector director 1,3u
.
El vector director de la recta es 1,3, abu
. Así, debe tener ecuación general:
03 cyx
Como el punto 1,6 A pertenece a la recta, sus coordenadas satisfacen la ecuación:
0)1(36 c
036 c
9c
Así, la recta r tiene ecuación general:
093 yx
Matemáticas I
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[…]
Por tanto, las ecuaciones buscadas de la recta son:
Ecuación punto-pendiente: 453 xy
Ecuación explícita: 4353 xy
Ecuación general: 04353 yx , vector director: 3,1u
.
•Ejemplo: Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto 1,3P y forma con los
ejes de coordenadas un triángulo de área 6 u2.
Como la recta buscada pasa por el punto 1,3P , debe tener ecuación punto-pendiente:
13 xmy , haz de rectas por el punto 1,3P
Debemos calcular el valor del parámetro m. Para ello, notemos que la base y la altura del
triángulo son, respectivamente, la abscisa del punto de corte con el eje x y la ordenada del
punto de corte con el eje y.
(a) Punto de corte con el eje x.
m
mxxm
y
xmy 13130
0
13
(b) Punto de corte con el eje y.
13130
0
13
mymy
x
xmy
Ahora:
alturabaseÁrea 2
1
3
1...13
13
2
16
mm
m
m
La recta buscada es:
133
1 xy
063 yx
Tema 3: Geometría analítica I: la ecuación de la recta
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3.6 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
Dos rectas del plano pueden ser coincidentes, paralelas o secantes. Veamos cómo decidirlo:
Rectas escritas en forma general. Sean r y s dos rectas de ecuación general, respectivamente:
0: cbyaxr , abur ,
0: cybxas , abus ,
La posición relativa de r y s dependerá de la proporcionalidad de los coeficientes. Veamos:
1. Si las dos rectas son coincidentes, sus ecuaciones deben ser equivalentes. Por tanto, los
coeficientes deben ser proporcionales.
2. Si las dos rectas son paralelas, sus vectores directores también lo son y, por tanto, tienen las
coordenadas proporcionales. Como las coordenadas del vector director determinan los coefi-
cientes de x e y tenemos:
3. Si las dos rectas son secantes, sus vectores directores deben ser no paralelos. Así, concluimos:
En caso de que las rectas r y s sean secantes, el punto de intersección es la solución del sistema
formado por sus ecuaciones.
• Ejemplo: Determina la posición relativa de las siguientes rectas:
013: yxr y 052: yxs
Como los coeficientes de x e y no son proporcionales, las rectas son secantes:
1
3
2
1
[...]
r y s son secantes b
b
a
a
r y s son paralelas c
c
b
b
a
a
r y s son coincidentes c
c
b
b
a
a
•Ejemplo: Determina la posición relativa de las siguientes rectas:
052: yxr y 0436: yxs
Los coeficientes de x e y son proporcionales, sin serlo las ecuaciones:
4
5
3
1
6
2
Por tanto, las rectas son paralelas.
Matemáticas I
- 12 -
Dos rectas paralelas pueden escribirse siempre con el mismo vector director.
Rectas escritas en forma explícita. Sean r y s dos rectas de ecuación explícita, respectivamente:
nmxyr :
nxmys :
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Así, deducimos:
Una forma alternativa de calcular la paralela a una recta por un punto dado es la siguiente:
r y s son secantes mm
r y s son paralelas nnymm
r y s son coincidentes nnymm
• Ejemplo: Encuentra la recta que pasa por el punto 3,2A y es paralela a 45: xyr .
La recta buscada tiene pendiente 5m . Su ecuación punto-pendiente será, por tanto:
325 xy
En forma general:
0135 yx
[…]
El punto de intersección de las rectas debe satisfacer ambas ecuaciones:
1
2...
052
013
y
x
yx
yx
El punto de intersección de r y s es 1,2P .
•Ejemplo: Escribe la ecuación de la recta s que es paralela a 0724: yxr y que pasa
por el punto 5,3P .
La recta r tiene vector director 4,2u
. Así, cualquier paralela suya tendrá ecuación:
024 cyx
Como el punto 5,3P pertenece a la recta s, sus coordenadas satisfacen la ecuación:
052)1(4 c
01012 c
2c
Así, s tiene ecuación 0224 yx . Simplificando:
012: yxs
Tema 3: Geometría analítica I: la ecuación de la recta
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Vectores en el plano
1. Representa los siguientes vectores y calcula sus coordenadas:
(a) El vector AB , siendo 1,1A y 4,3B .
(b) El vector CD , siendo 2,3 C y 0,6D .
(c) El vector EF , siendo 2,1E y 3,4 F .
(d) El vector OP , siendo 2,2 P .
2. En cada apartado, representa el vector y calcula las coordenadas de su extremo:
(a) El vector 2,5AB , con origen 0,2A .
(b) El vector 5,3CD , con origen 1,1C .
(c) El vector 0,5EF , con origen 1,2 E .
3. Representa tres vectores fijos con coordenadas 1,3 y escribe las coordenadas del origen y
del extremo de cada vector.
4. Determina el valor de k para que los vectores AB y CD sean equipolentes, siendo 2,kA ,
4,5B , 4,1C y 6,3D .
5. Calcula el módulo de los siguientes vectores:
(a) 8,6 u
(b) 2,2v
(c)
2
3,2w
(d) 0,3e
6. Calcula el módulo del vector AB , siendo 0,1A y 2,4B .
7. Dibuja el triángulo de vértices 4,2 A , 3,2 B y 1,1C y calcula las longitudes de sus
lados.
Operaciones con vectores
8. Calcula y representa la suma los siguientes pares de vectores:
(a) 0,3u
y 2,2v
(b) 1,2u
y 3,2 v
(c) 1,1u
y
2
7,3v
(d) 5,2 u
y 5,2v
9. Sean 2,3u
y 2,4 v
. Calcula el vector w
que satisface wuv
.
10. Dado 1,2u
calcula y representa:
(a) u
2 (b) u
4 (c) u
(d) u
4
EJERCICIOS DEL TEMA 3
Matemáticas I
- 14 -
11. Calcula y representa gráficamente las siguientes combinaciones lineales.
(a) vu
2 , siendo 2,1u
y 2,2 v
.
(b) vu
23 , siendo 0,1u
y 1,2 v
.
(c) vu
2 , siendo 1,1u
y 1,4 v
.
12. Sean los vectores 2,4a
, 3,1b
y 2,0 c
. Calcula y representa:
(a) ba
22 (b) ba
35,0 (c) cba
2 (d) cba
Dependencia e independencia lineal. Bases
13. Determina si los siguientes pares de vectores son paralelos:
(a) 6,2u
y 9,3v
(b) 4,1u
y 8,2 v
(c) 4,2u
y 4,2 v
14. Encuentra el valor de t para que los vectores tu ,2
y
2,
3
1v
sean paralelos.
15. Encuentra un vector paralelo a 3,4u
con módulo 1.
16. Sean 2,6 A , 3,13B y 6,15C . Encuentra el punto D que forma con los anteriores el
paralelogramo ABCD.
17. Se denomina base a cualquier par de vectores linealmente independientes.
(a) Comprueba que los vectores 1,11 e
y 2,32 e
forman una base.
(b) Escribe el vector 1,6u
como combinación lineal de 1e
y 2e
.
(c) Escribe el vector 4,1 u
como combinación lineal de 1e
y 2e
.
18. Considera la base formada por los vectores 3,11 e
y 1,22 e
, y sea u
el vector dado
por 21 42 eeu
. Calcula las coordenadas de u
en la base canónica.
La ecuación de la recta
19. Calcula tres puntos de la recta de ecuación vectorial: 3,25,1, yx .
20. Determina el valor de k para que el punto kP ,3 pertenezca a la recta de ecuación general
0325 yx .
21. Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la recta que pasa por 3,2A y tiene
dirección 4,1u
.
22. Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la recta que pasa por los puntos
2,3 A y 4,1B .
23. Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la bisectriz del primer cuadrante.
Tema 3: Geometría analítica I: la ecuación de la recta
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24. Calcula k para que la recta 034 ykx tenga pendiente 2/3 .
25. Escribe las ecuaciones punto-pendiente y general de la recta que tiene pendiente 5/4m
y pasa por el punto 3,2A .
26. Determina el valor de para que la recta de ecuación yx forme con los ejes de
coordenadas un triángulo de 5 unidades de superficie.
27. Escribe en el resto de formas la recta de ecuación general 023 yx .
28. Escribe el resto de ecuaciones de la recta que tiene ecuación continua:
7
1
5
3
yx
29. Sea r la recta determinada por los puntos 2,6A y 1,1 B . Encuentra el punto de la recta r
que tiene sus dos coordenadas iguales.
30. Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la recta que pasa por 7,1A y forma
un ángulo de 135º con el eje de abscisas.
31. Una bola de billar se lanza desde el punto 4,1P y golpea en el eje de abscisas en 0,7Q .
(a) Escribe la ecuación de la trayectoria seguida por la bola tras golpear en el eje de abscisas.
(b) ¿Pasará la bola por el punto 15,17 ?
32. Encuentra el punto del eje de abscisas en el que debe rebotar una bola de billar lanzada
desde el punto 4,0P para que, tras rebotar, pase por el punto 3,14Q .
33. Halla el punto de la recta r: x + 2y – 2 = 0 situado a igual distancia de 3,1A y 1,1A .
Posición relativa de dos rectas en el plano
34. Calcula los valores que puede tomar k para que las rectas 032 ykx y 012 kyx
sean paralelas.
35. Comprueba que las siguientes rectas son secantes y calcula su punto de corte.
(a) 01: yxr y 012: yxs .
(b) 3
1
1
2:
yxr y 01134: yxs .
36. Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas. Si son secantes, calcula el
punto de intersección.
(a) 0762 yx y 023 yx .
(b) 0134 yx y 0268 yx .
(c) 0546 yx y 0269 yx .
(d) 0643 yx y 0834 yx .
Matemáticas I
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37. Calcula la recta paralela a 0532 yx que pasa por el punto 4,2A .
38. Calcula la recta paralela a 016: yxr que pasa por el punto de intersección de las
rectas 0132: yxs y 02: yxt .
39. Calcula la recta paralela a 23
xy que pasa por el origen de coordenadas.
40. Calcula k para que la recta 012 kyx sea paralela a 53: xyr .
41. Un paralelogramo tiene uno de sus vértices en el punto 9,0P , y dos de sus lados están
sobre las rectas 0113 yx y 082 yx . Encuentra las coordenadas de los otros
vértices.
