TEMA 3 Integraci on de funciones reales de variable … · 2010-12-08 · Integraci on de funciones reales de variable real. ... di eren forzosamente en una constante. Ejemplos:

TEMA 3 F. MATEMATICOS.

TEMA 3

Integracion de funciones reales de variable real.

Las integrales formalizan un concepto bastante sencillo e intuitivo, el de area. Los orıgenesdel calculo de areas los podemos encontrar en el “metodo de exhaucion”desarrollado por losgriegos hace mas de 2000 anos: consiste en ir inscribiendo en la region cuya area se quierecalcular, regiones poligonales que la aproximan y cuya area seamos capaces de calcular. Estemetodo fue usado por Arquımedes de Siracusa para calcular el area encerrada por funciones“sencillas”, el eje de abscisas y las rectas verticales x = a y x = b. Por ejemplo, la del areaencerrada bajo un segmento de parabola.

Primero, debemos proceder al calculo de primitivas de una funcion, para luego poder resolverlas integrales definidas y como aplicacion, calcular areas de figuras planas y volumenes.

1. Integral indefinida. Metodos de integracion.

Definicion 1 Dada una funcion f definida en [a, b], llamaremos primitiva de f a cualquierfuncion F derivable en [a, b] verificando que F ′ = f .

Conociendo las reglas de derivacion, es facil calcular primitivas de algunas funciones elementales.

Veamos unos ejemplos sencillos de calculo de primitivas, que ilustran la siguiente propiedad:dos funciones primitivas F y E de una funcion f , difieren forzosamente en una constante.

Ejemplos:

Una primitiva de la funcion f(x) = x2 es F (x) = x3

3 +C, con C cualquier constante. Efec-tivamente, F es derivable en cualquier intervalo [a, b] y F ′ = f , sea cual sea la constanteC.

Una primitiva de la funcion f(x) = 1x en [1, +∞] es la funcion E(x) = ln x + C, con C

cualquier constante.

Llamaremos integral indefinida de f , y la denotamos por

∫

f(x) dx, a toda funcion

primitiva de f . Por tanto, si F es un primitiva de f , se tendra que

∫

f(x) dx = F (x) + C, con

C una constante arbitraria.

INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES: Se obtienen directamente a partir delas derivadas de las funciones elementales

I.T.I. MECANICA Curso 2006/07 1 FUNDAMENTOS MATEMATICOS


∫

xn dx =xn+1

n + 1+ C, n 6= 1

∫1

xdx = ln x + C, x > 0

∫

ax dx =ax

ln a+ C, 1 6= a > 0

∫

ex dx = ex + C

∫

senx dx = − cos x + C

∫

cos x dx = senx + C

∫1

cos2 xdx = tan x + C

∫1

sen2xdx = −cotgx + C

∫1

1 + x2dx = arctan x + C

∫ −1

1 + x2dx = arccotgx + C

∫1√

1− x2dx = arcsenx + C, x ∈ (−1, 1)

∫ −1√1− x2

dx = arccosx + C, x ∈ (−1, 1).

INTEGRALES INMEDIATAS: Teniendo en cuenta la regla de la cadena y sabiendo estasreglas directas de integracion podemos calcular, “completando” constantes, otras integrales:

Tipo potencial:

∫

x2(3x3 + 25)3 dx =1

9

∫

9x2(3x3 + 25)3dx =1

9

(3x3 + 25)4

4+ C.

Tipo exponencial:

∫

x24x3+5 dx =1

3 ln 4

∫

3(ln 4)x24x3+5dx =4x3+5

3 ln 4+ C.

Tipo logaritmo:

∫senx− cos x

senx + cos xdx = −

∫ −senx + cos x

senx + cos xdx = − ln(senx + cos x) + C.

Tipo arcotangente:

∫dx

2x2 + x + 1=

∫8

16x2 + 8x + 8dx = 8

∫dx

(4x + 1)2 + 7= 8

∫(1/7)dx

(4x+1)2

7 + 1=

8

7

∫dx

(4x+1√

7

)2+ 1

(Terminar esta integral como ejercicio).

Nos interesa transformar productos en sumas de funciones cuyas integrales conozcamos,ya que, por linealidad, sus integrales son mas sencillas. Con esta idea, podremos calcular lassiguientes integrales:

Tipo

∫

sen(px) cos(qx) dx,

∫

sen(px) sen(qx) dx,

∫

cos(px) cos(qx).



Se transforman los productos en sumas mediante las formulas trigonometricas

sen2 a + cos2 a = 1

sen a cos b =1

2[sen(a + b) + sen(a− b)]

sen a sen b =1

2[cos(a− b)− cos(a + b)]

cos a cos b =1

2[cos(a + b) + cos(a− b)].

De la primera formula se obtiene que tan2 x =1

cos2 x− 1, con lo que sera facil calcular una

primitiva de tan2 x (calcularla como ejercicio).

CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCION: Una integral puede transformarse en otrainmediata mediante un cambio de variable.

Teorema 2 Sea f continua en un intervalo I. Sea φ una funcion biyectiva en I con derivadacontinua. Se tiene:

∫

f(x) dx =

[∫

f(φ(t))φ′(t)dt

]

◦ φ−1(x)

Ejemplo:

∫√

9− x2 dx =

[x = 3sent

dx = 3 cos tdt

]

=

∫√

9− (3sent)23 cos tdt = ... (Terminar

esta integral usando primero las formulas trigonometricas).

INTEGRACION POR PARTES:

Teorema 3 Sean u y v funciones derivables en un intervalo I. Se tiene:

∫

u(x) dv(x) = u(x)v(x)−∫

v(x) du(x)

Efectivamente, de la formula de la derivada de un producto d(uv) = vdu + udv, integrando enlos dos miembros y despejando, se obtiene el resultado.

Ejemplos:

1.

∫

arctan xdx =

[u(x) = arctan x du(x) = 1

1+x2 dx

dv(x) = dx v = x

]

= ... (Terminar la integral aplican-

do directamente el teorema anterior)



2. I =∫

ex cos xdx =

[u(x) = cos x du(x) = −sen xdxdv(x) = exdx v = ex

]

= ex cos x +∫

exsen xdx

=

[u(x) = sen x du(x) = cos xdxdv(x) = exdx v = ex

]

= ex cos x + exsen x−∫

ex cos xdx

︸︷︷︸

I

Esto es lo que se denomina una integral cıclica. En este caso, I = ex cos x+ exsen x− I, estoes, 2I = ex cos x + exsen x, luego

I =1

2(ex cos x + exsen x) + C.

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES

Supongamos que queremos calcular

∫P (x)

Q(x)dx, con P y Q polinomios tales que gr(P )<gr(Q),

esto es, la fraccion es irreducible (si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del

denominador, se hace la division). El metodo que exponemos consiste en descomponerP (x)

Q(x)en fracciones cuyas integrales conocemos, fracciones simples cuyas integrales son tipo potencial,logaritmo y/o tipo arcotangente.

Para ello, se calculan las raıces del denominador Q(x) (puntos z donde Q(z) = 0. Supong-amos, que Q tiene h raıces reales x1, ..., xh con multiplicidades respectivas r1, ..., rh, y k paresde raıces complejas a1 ± b1, ..., ak ± bk simples (nos reducimos a este caso, aunque el metodotambien sirve para raıces complejas multiples).

Q(x) = a(x− x1)r1 . . . (x− xh)rh

((x− a1)

2 + b21

). . .((x− ak)

2 + b2k

).

Entonces, existen unos unicos numeros reales Ai,j (i = 1, ..., h, j = 1, ..., ri), Mp, Np, con p =1, ..., k,, y un polinomio C(x) tales que

P (x)

Q(x)= C(x) +

h∑

i=1

ri∑

j=1

Ai,j

(x− xi)j+

k∑

p=1

Mpx + Np

(x− ap)2 + b2p

.

Sabemos integrar cualesquiera de las fracciones que aparecen en la descomposicion: los di-versos tipos que aparecen son

A

(x− x0)p

︸︷︷︸

T ipo potencial

Mpx + Np

(x− ap)2 + b2p

=Mpx

(x− ap)2 + b2p

︸︷︷︸

T ipo logaritmo

+Np

(x− ap)2 + b2p

︸︷︷︸

T ipo arcotangente

.

INTEGRACION DE FUNCIONES QUE SE TRANSFORMAN EN RACIONALES



∫

R(sen x cos x) dx. Con el cambio t = tan(

x2

), se tiene que

sen x =2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2y dx =

2

1 + t2dt,

y nuestra integral se transforma en una racional. En los casos particulares R(sen x cos x) =senm x cosn x, con m, n ∈ Z, tambien se pueden hacer los siguientes cambios de variables(mas sencillos que los cambios anteriores)

• Si m es impar, se hace el cambio t = cos x.

• Si n es impar, se hace el cambio t = senx.

• Si m y n son pares, se pueden disminuir los exponentes aplicando las formulastrigonometricas:

sen2 x =1

2(1− cos 2x), cos2 x =

1

2(1 + cos 2x), sen x cos x =

1

2sen 2x

∫

R(ax) dx. Cambio t = ax.

∫

R

(

x, q1

√

(ax + b)p1 , . . . qk

√

(ax + b)pk

)

dx, pi, qi ∈ N.

Se calcula M =mcm (q1, ..., qk), y se realiza el cambio ax + b = tM .

∫

R

(

x, q1

√(

ax + b

cx + d

)p1

, . . . qk

√(

ax + b

cx + d

)pk

)

dx, pi, qi ∈ N.

Se calcula M =mcm (q1, ..., qk), y se realiza el cambioax + b

cx + d= tM .

∫

R

(

x,√

k2 − x2)

dx. Cambio x = ksen t.

∫

R

(

x,√

x2 − k2)

dx. Cambio x =k

cos t.

∫

R

(

x,√

k2 + x2)

dx. Cambio x = k tan t.

2. Integral definida: definicion, condicion de integrabilidad y

propiedades

La idea que subyace en la definicion de integral definida es, como dijimos en la introduc-cion, la que utiliza Arquımedes para el calculo de areas encerradas entre los ejes coordenadosy la grafica de una funcion f(x). Supongamos que queremos calcular el area A encerrada poruna funcion f bajo un segmento [a, b] (por ahora supondremos que la funcion esta definida yacotada en [a, b]).



Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos [t0, t1], [t1, t2], . . . , [tn−1, tn] como en la graficaanterior, por medio de numeros t0, t1, . . . , tn, que verifican

a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b.

Al conjunto P = {t0, t1, . . . , tn} se le denomina particion del intervalo [a, b].

Para cada particion P , consideramos n puntos “representativos” ξ1, . . . , ξn, tales que ξi ∈[ti−1, ti], y consideramos las n bandas rectangulares con base en cada subintervalo y altura f(ξi).

Si sumamos las areas de las n bandas, obtendremos (en la medida en que n sea grande y lasbandas tengan bases pequenas) una aproximacion del area A buscada.

El area de cada banda rectangular es

area banda = base · altura = (ti − ti−1) · f(ξi).

La suma de las areas de las bandas (que depende de la particion P elegida y de la imagen porf de los puntos ξi, i = 1, ..., n) se denomina suma de Riemann, y se denota por S(f, P ).Resumiendo,

S(f, P ) =n∑

i=1

(ti − ti−1)f(ξi) ∼ A.

Parece logico pensar que mientras mas pequeno elijamos el diametro de la particion,δ(P ) ≡ max

1≤k≤n{tk − tk−1 }, obtendremos una mejor aproximacion del area.



Con esta idea, se define la integral definida de f entre a y b como el lımite de las sumasde Riemann S(f, P ) cuando el diametro de la particion P tiende a cero, siempre que este lımiteexista. Decimos entonces que la funcion es integrable Riemann y, simbolicamente, escribimos

∫ b

af(x) dx = lım

δ(P )→0S(f, P ) .

Denotaremos por R([a, b]) al conjunto formado por las funciones integrables Riemann en[a, b].

Se tienen las siguientes propiedades (intuitivas, teniendo en cuenta la interpretacion ge-ometrica de la integral):

Teorema 4 Sean f, g ∈ R([a, b]). Se verifica

1. (Linealidad) Si α, β ∈ K, entonces αf(x) + βg(x) ∈ R([a, b]) y ademas

∫ b

a[αf(x) + βg(x)] dx = α

∫ b

af(x) dx + β

∫ b

ag(x) dx.

2. Si f ∈ R([a, b]) , entonces f ∈ R([c, d]) para cualquier [c, d] ⊆ [a, b].

3. Sea c ∈ (a, b). Se tiene que

∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx +

∫ b

cf(x) dx.

4. (Monotonıa) Si f es una funcion positiva, esto es, f(x) ≥ 0 para cualquier x ∈ [a, b], setiene que

∫ b

af(x) dx ≥ 0.

En general, si f ≤ g (g(x)− f(x) ≥ 0 para cualquier x ∈ [a, b]), entonces

∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx.

5. La funcion valor absoluto |f | ∈ R([a, b]), y se verifica

∣∣∣∣

∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣≤∫ b

a|f(x)| dx.

6. La funcion producto fg ∈ R([a, b]). En general,

∫ b

af(x)g(x) dx 6=

∫ b

af(x) dx

∫ b

ag(x) dx.

Como consecuencia de estas propiedades se obtienen los conocidos teoremas del valor mediopara integrales:



Teorema 5 Sean f, g ∈ R([a, b]).

1. (Primer teorema del valor medio) Si existen m, M ∈ R tales que m ≤ f(x) ≤ M ,para cualquier x ∈ [a, b]. Entonces, existe c ∈ R, m ≤ c ≤ M tal que

∫ b

af(x) dx = c(b− a).

2. (Segundo teorema del valor medio). Si f ≥ 0, y g es una funcion continua en [a, b],entonces ∫ b

ag(x)f(x) dx = g(ξ)

∫ b

af(x) dx, para algun ξ ∈ [a, b].

Para definir rigurosamente el concepto de area (y el de volumen) de forma acorde con laintuicion, necesitamos definir:

∫ a

bf(x) dx = −

∫ b

af(x) dx,

∫ a

af(x) dx = 0.

La definicion de integrabilidad implica evaluar f en los numeros “representativos” ξi, tareaque resulta ardua. Es por ello que conviene tener una condicion equivalente de integrabilidaden la que no aparecen estos numeros.

Para dar la idea de esta condicion equivalente, volvemos al problema de calcular el area Aencerrada por una funcion f bajo un segmento [a, b]. Fijamos una particion P = {t0, t1, . . . , tn}del intervalo [a, b]. Consideramos ahora dos tipos de bandas rectangulares con base en cadasubintervalo: los inscritos en la figura (cuya altura son los mınimos de la funcion en cada subin-tervalo (Fig. I)) y los circunscritos, esto es, los que encierran la figura (con alturas los maximosde la funcion en cada subintervalo(Fig. II)):

El area de cada banda inscrita (Fig I) es

base · altura = (ti − ti−1) · inf {f(x) : x ∈ [ti−1, ti]} = (ti − ti−1)mi,

y el area de cada banda circunscrita (Fig. II) es

(ti − ti−1)Mi, con Mi = sup {f(x) : x ∈ [ti−1, ti]} .



La suma de las areas de las bandas inscritas y circunscritas se denominan, respectivamente,suma inferior y suma superior de Riemann, y se denotan por L(f, P ) y U(f, P ) (del ingles“lower” y “upper”). Logicamente, la suma inferior de Riemann nos dara una aproximacion pordefecto del area buscada, y la suma superior, una aproximacion por exceso. Por tanto,

L(f, P ) =

n∑

i=1

(ti − ti−1)mi ≤ A ≤n∑

i=1

(ti − ti−1)Mi = U(f, P ).

Para cualquier particion P se cumple la siguiente relacion entre las tres sumas definidas:

L(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ U(f, P ). (1)

Para obtener mejores aproximaciones del area tendremos que tomar el lımite de las sumassuperiores e inferiores cuando el diametro de la particion tiende a cero. Esto nos conduce adefinir la integral inferior y superior de f en [a, b] como

I(f) =

∫ b

af(x) dx = lım

δ(P )→0L(f, P ), I(f) =

∫ b

af(x) dx = lım

δ(P )→0U(f, P ).

Con estas definiciones podemos dar la siguiente condicion de integrabilidad, cuya demostracionse intuye de la desigualdad (1):

Teorema 6 Una funcion f es integrable Riemann en [a, b] si y solo si las integrales superior einferior de f existen y coinciden, y en este caso, su valor es igual al de la integral de f en [a, b].

f ∈ R([a, b]),

∫ b

af(x) dx = I ⇐⇒ I(f) = I(f) = I.

En el siguiente teorema daremos condiciones suficientes de integrabilidad, que nos daranejemplos de funciones integrables.

Teorema 7 Sea f : [a, b] −→ R. Se verifica

1. Si f es continua, entonces f ∈ R([a, b]).

2. Si f es acotada y continua salvo en un numero finito de puntos, entonces f ∈ R([a, b]).

3. Si f es acotada y monotona, entonces f ∈ R([a, b]).

Calculo integral y calculo diferencial

El calculo integral y el calculo diferencial son en realidad el mismo, uno el inverso delotro. Para comprender esta relacion, dada f ∈ R([a, b]), definimos la funcion F : [a, b] → R dadapor

F (x) =

∫ x

af(t)d(t).



Es facil comprobar que la funcion F ası definida es continua en [a, b], utilizando la caracterizacionde funciones integrables.

Veamos como surge la relacion derivar-integrar.

Teorema 8 Primer Teorema Fundamental del Calculo Integral (1er TFCI).

Dada f ∈ R([a, b]), definimos la funcion F : [a, b] → R dada por

F (x) =

∫ x

af(t)d(t).

En particular, si f es continua en [a, b], entonces F es derivable en [a, b] y

F ′ = f.

Nota: Cuando escribimos∫ ba f(x)dx, la parte dx nos indica cual es la variable independiente

de la funcion integrando, de manera que podemos escribir∫ ba f(x)dx =

∫ ba f(t)dt =

∫ ba f(u)du.

Una de las principales aplicaciones del 1er TFCI es el calculo de integrales definidas a partirde las funciones primitivas (recordemos que, por definicion, para el calculo de una integraldefinida era necesario calcular las sumas de Riemann en una particion y tomar lımite cuando eldiametro de la particion tiende a cero).

Teorema 9 (Segundo Teorema Fundamental del Calculo Integral: Regla de Barrow). Sea fcontinua en [a, b],y F una primitiva de f (esto es, F derivable en [a, b], F ′ = f). Entonces,

∫ b

af(x) dx = F (x)

∣∣∣

b

a= F (b)− F (a).

La importancia de este resultado radica, como dijimos anteriormente, en que podemos cal-cular integrales definidas a partir de primitivas de la funcion integrando.

3. Aplicaciones de la integral: Calculo de areas y volumenes.

La aproximacion de las integrales mediante sumas de Riemann nos permite definir los con-ceptos de areas, volumenes y longitudes de arco.

Calculo de areas de figuras planas

Abordaremos en esta parte el calculo de areas de regiones acotadas. El calculo de areas deregiones ilimitadas o no acotadas lo estudiaremos en la siguiente seccion (integrales impropias).

Caso 1: Sea f una funcion acotada en [a, b] y positiva. Ya vimos que el area encerrada por

ella, el eje X y las rectas verticales x = a, x = b, es A =∫ ba f(x)dx.



Caso 2: Sea f negativa y acotada en [a, b], el area encerrada por ella, el eje X y las rectas

verticales x = a, x = b, es A = −∫ ba f(x) dx.

Observacion: En cualquiera de los dos casos anteriores: A =

∫ b

a|f(x)| dx. Ademas,

∣∣∣

∫ ba f(x) dx

∣∣∣ =

∫ ba |f(x)| dx.

Caso 3: Sea f es acotada, tal que cambia de signo en [a, b]. Para calcular el area encerrada porella, el eje X y las rectas verticales x = a, x = b, se divide el intervalo [a, b] en subintervalosdonde el signo de la funcion sea constante. En cada subintervalo el area se calcula como enlos dos casos anteriores. Luego tan solo tenemos que sumar las areas encerradas en cadasubintervalo. Por ejemplo, para la funcion de la siguiente figura, el area serıa:

A =

∫ c

af(x) dx−

∫ d

cf(x) dx +

∫ b

df(x) dx,

Observacion:

Teniendo en cuenta la definicion del valor absoluto de una funcion, tambien tenemos que

en este caso, A =

∫ b

a|f(x)| dx, donde la funcion valor absoluto de f tiene la siguiente

representacion



En este caso,

∣∣∣∣

∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣<

∫ b

a|f(x)| dx.

Ejemplo: Calcular el area encerrada por la curva y = sen x y el eje OX, cuando x varıaentre 0 y 2π.

Sabemos que y = sen x corta al eje X en el intervalo [0, 2π] en los puntos de abscisas0, π, 2π, tomando valores de distinto signo:

Se tiene por tanto que

A =

∫ π

0sen x dx−

∫ 2π

πsen x dx.

Calculamos las integrales anteriores teniendo en cuenta que F (x) = − cos x es una primi-tiva de la funcion f(x) = sen x, y aplicando la Regla de Barrow:

A =

∫ π

0sen x dx−

∫ 2π

πsen x dx = − cos x

∣∣∣

π

0+ cos x

∣∣∣

2π

π= 4 u2

(u: unidades en las que estemos midiendo).

Caso 4: Sean f y g dos funciones acotadas en [a, b]. El area encerrada entre ambas curvasy las rectas verticales x = a, x = b, es la que la que encierra la funcion f(x) − g(x)y las rectas verticales x = a, x = b. Para calcular el area, se procede como en el casoanterior (dividiendo el intervalo [a, b] en subintervalos donde el signo de la funcion f − gsea constante, calculando las areas en cada intervalo y sumando). Se tiene pues que A =∫ ba |f(x)− g(x)| dx .



Caso 4

Ejemplo:Calcular el area de la figura comprendida entre la parabola f(x) = 2x − x2, la rectag(x) = −x las rectas x = 0 y x = 4. Calculemos las abscisas de sus puntos de corte:

2x− x2 = −x ⇒ x2 − 3x = 0 ⇒ x = 0 y 3

En el intervalo [0, 3], la parabola esta por encima de la recta y en [0, 4] esta por debajo.

Se tendra por tanto que

A =

∫ 4

0|2x− x2 + x| dx =

∫ 3

0(2x− x2 + x) dx +

∫ 4

3(−2x + x2 − x) dx =

19

3u2.

Calculo de volumenes

La idea de utilizar las sumas de Rieman en dimension dos para calcular areas se puedeextrapolar a dimension tres para calcular volumenes. De esta manera, calcular el volumen deuna figura se reduce al calculo de una integral definida siempre que conozcamos las areas delas secciones transversales perpendiculares a una direccion. Para desarrollar esta idea, veamosprimero como se calcula al volumen de un cuerpo de revolucion:

Consideremos el arco de curva de la funcion y = f(x) con a ≤ x ≤ b y f acotada en [a, b].Al girar ese arco de curva alrededor del eje OX, se engendra una figura cuyo volumen es elque queremos calcular. Fijamos una particion P = {t0 = a, t1, ..., tn−1, tn = b}, consideramos npuntos ξ1, . . . , ξn, tales que ξi ∈ [ti−1, ti]:



En cada intervalo [ti−1, ti] consideramos los cilindros de base circular de radio f(ξi), y altura lalongitud del intervalo ti − ti−1. El volumen de cada cilindro es el area de la base por la altura,esto es, πf2(ξi)(ti − ti−1).

Si sumamos los volumenes de los n cilindros, obtendremos una aproximacion del volumenV buscado.

n∑

i=1

πf2(ξi)(ti − ti−1) ∼ V.

Observemos que en realidad, estamos construyendo las sumas de Riemann de la funcion πf 2(x)en la particion P del intervalo [a, b]. Por tanto, el volumen de un cuerpo de revolucion al gi-rar alrededor del eje OX se obtendra tomando lımite de las sumas de Riemann S(πf 2(x), P )cuando el tamano de las particiones tienden a creo. Esto es,

V =

∫ b

aπf2(x) dx.

Ejemplo:

Halla el volumen obtenido al rotar sobre el eje X la region delimitada por la curva y = x3 ylas rectas y = 1, x = 3 y el eje OX.

Hacemos un dibujo de las funciones y vemos que el arco que gira en torno al eje X esta com-puesto por dos arcos de funciones distintas, que se cortan en el punto de abscisa 1 ((y = x3)∩(y =1)). Por tanto, el volumen se puede calcular como la suma de los volumenes:



V = V1 + V2 = π

∫ 1

0x6dx + π

∫ 3

1dx =

15

7π u3.

Con la misma idea de antes, podemos definir el volumen de cualquier superficie si conocemosel area de las secciones transversales y perpendiculares al eje OX entre los planos x = a yx = b. Si A(k) representa el area las secciones por planos del tipo x = k, y como siempre,consideramos una particion P , el volumen buscado se aproxima mediante las sumas de Riemann

n∑

i=1

A(ξi)(ti − ti−1).

Tomando lımite, el volumen de un cuerpo conocidas las areas A(x) se secciones porplanos transversales, perpendiculares al eje OX viene dado por

V =

∫ b

aA(x) dx.

Ejemplo:Calcular el volumen de una esfera de radio R.

Si consideramos una esfera centrada en el origen y de radio R, las secciones transversalesperpendiculares al eje X, son cırculos de radio

√R2 − x2:



Las areas de esas secciones valen π(R2 − x2), y por tanto el volumen pedido sera:

V =

∫ R

−Rπ(R2 − x2)dx =

4

3πR3 u3.

Nota: Tambien podrıamos haber considerado la esfera como una superficie de revolucion, dondegira la funcion f(x) =

√R2 − x2.

Para finalizar con el calculo de volumenes, definimos el volumen de un cuerpo engendra-do al girar un arco de curva de una funcion alrededor del eje OY . Para una particionP con n + 1 puntos, t0, ..., tn, el volumen de un solido de este tipo se aproxima mediante sumas

de Riemannn∑

k=1

2πtkf(tk)(xk−1 − xk) = S(2πxf(x), P ). Tomando lımite cuando el tamano de

la particion tiende a cero obtenemos que

V =

∫ b

a2πxf(x) dx.

(Si el arco de curva de f corta al eje OY , el intervalo de integracion depende de la figura).

Calculo de la longitud de un arco de curva

Consideremos el arco de curva de la funcion f(x) en [a, b], con f derivable y con derivadacontinua en dicho intervalo. Queremos calcular la longitud de ese arco de curva entre (a, f(a))y (b, f(b)). Llamemosle L.



Sea P = {a = t0 < t1 < ... < tn = b} una particion del intervalo [a, b]. Consideremos lospuntos de la curva de abscisas ti−1 y ti, Ai−1 = (ti−1, f(ti−1)) y Ai = (ti, f(ti)) con i = 1, 2, ...,n. Tenemos entonces una poligonal A0, A1...An, donde la longitud de cada uno de sus lados esLi =

√

(f(ti)− f(ti−1))2 + (ti − ti−1)2 con i = 1, 2, ..., n.

Como hemos supuesto que f es derivable, podemos usar el teorema de Lagrange (Tema 2),

que nos indica que existe ci ∈ (ti−1, ti) tal que f ′(ci) = f(ti)−f(ti−1)ti−ti−1

, por lo que Li nos queda:

Li =√

(f(ti)− f(ti−1))2 + (ti − ti−1)2 = (ti − ti−1)

√(

f(ti)− f(ti−1)

ti − ti−1

)2

+ 1 =

= (ti − ti−1)√

1 + (f ′(ci))2.

Considerando todos los intervalos de la particion P, y xi en [ti−1, ti], para i = 1, 2, ..., n,usando la suma de Riemman para esa particion y la funcion longitud, tenemos que:

S(L, P ; x1, ..., xn) =n∑

i=1

(ti − ti−1)√

1 + (f ′(xi))2.

Por lo tanto, tomando lımite cuando el tamano de la longitud de P tiende a cero, tenemosque la longitud del arco de curva es

L =

∫ b

a

√

1 + (f ′(x))2 dx.

Ejemplo:Hallar la longitud del arco de curva y2 = x3 entre los puntos x = 1 y x = 4/3.

y = x3

2 es derivable con derivada continua en [1, 43 ], y′ = 3

2x1

2 . La longitud del arco vienedada por :

L =

∫ 4

3

1

√

1 +9

4x dx =

64− 13√

13

27u

4. Integrales impropias. Funciones especiales.

En la integral que se definio en la primera seccion, los lımites de integracion eran los extremosde un intervalo acotado, y el integrando era una funcion acotada en dicho intervalo.

Sin embargo, en muchas aplicaciones aparecen integrales de funciones no definidas en algunpunto del intervalo de integracion o bien dicho intervalo no esta acotado. Este tipo de inte-grales reciben el nombre de impropias. Veremos como podremos asociar integrales impropiasal calculo de ares de regiones ilimitadas.



Integrales impropias de primera especie

Se llaman ası aquellas integrales en las que el intervalo de integracion es no acotado.

Definicion 10 Sea f una funcion acotada e integrable en [a, x] para todo numero real x ≥ a.Se define

∫ +∞

af(x) dx = lım

M→∞

∫ M

af(x) dx.

Analogamente, si f es una funcion acotada e integrable en [x, b] para todo numero real x ≤ b,se define

∫ b

−∞f(t) dt = lım

m→−∞

∫ b

mf(t) dt.

Si en las definiciones anteriores el lımite existe y es finito, se dice que la integral es con-vergente, y se escribe f ∈ R([a, +∞]) o f ∈ R([−∞, b]). Si el lımite es infinito, se dice que laintegral impropia es divergente; en otro caso, se dira que la integral no existe.

Con estas definiciones, podremos asociar areas que encierran funciones en intervalos noacotados.

Ejemplos:

1.- Calculemos el area limitada por la funcion f(x) = 1x , el eje de abscisas y el semiplano

x ≥ 1. Graficamente

Por definicion se tiene que

∫ +∞

1

1

xdx = lım

M→∞

∫ M

af(t) dt.

Una primitiva de la funcion integrando es logaritmo neperiano; utilizando la regla de Barrow

I = lımM→∞

∫ M

1f(x) dx = lım

M→∞[ln M − ln 1] = ∞.



Por lo que I es divergente, y el area encerrada es “infinita”.

2.- Calcular el area de la region no acotada limitada por la funcion f(x) = 1x2 y el eje de

abscisas en el semiplano x ≥ 1.

Tendremos que calcular el valor la integral impropia

∫ +∞

1

1

x2dx. Por definicion, teniendo en

cuenta que una primitiva de 1/x es 1/x2, y usando la regla de Barrow tenemos que

∫ +∞

1

1

x2dx = lım

M→+∞

∫ M

1

1

x2dx = lım

M→+∞

[

−1

x

]M

1

= lımM→+∞

[

− 1

M+ 1

]

= 1.

Por tanto, el area pedida es A = 1 u2.

Integrales impropias de segunda especie

Se llaman ası aquellas integrales en las que la funcion integrando no esta definida enalgun punto del intervalo de integracion [a, b].

Definicion 11 Sea f una funcion que no esta definida en b y tal que es integrable en [a, x] paratodo numero real x ≥ a. Se define

∫ b

af(x) dx = lım

M→b−

∫ M

af(x)dx.

Analogamente, si f no esta definida en a y es integrable en [x, b] para todo numero realx ≤ b. Se define

∫ b

af(x) dx = lım

m→a+

∫ b

mf(x)dx.

Las integrales anteriores se dicen convergentes o divergentes con el mismo criterio quepara las integrales impropias de primera especie.

Con estas definiciones, podremos calcular areas de regiones ilimitadas en intervalos acotadosde funciones no acotadas.



Ejemplo: Calcular el area encerrada entre la funcion f(x) =1√

1− x, el eje de coordenadas

y las rectas x = 0 y x = 1.

Por definicion, dicho area vendra dada por la integral

∫ 1

0

1√1− x

dx. Ahora bien, la funcion

no esta acotada en x = 1, por lo que se trata de calcular una integral de segunda especie. Pordefinicion,

∫ 1

0

1√1− x

dx = lımM→1−

∫ M

0

1√1− x

dx = lımM→1−

[

−(1− x)1/2

1/2

]M

0

= lımM→1−

[

−2(1−M)1/2 + 2]

= 2.

Por tanto, la integral es convergente, y el area pedida es A = 2 u2.

En el caso de que el intervalo de integracion no este acotado, y que la funcion no este definidaen uno o varios puntos del interior del intervalo de integracion, usando la linealidad de la integral,descomponemos la integral en sumandos que sean integrales impropias como las estudiadasanteriormente.

Funciones especiales: Funciones Ganma y Beta de Euler.

La funcion Ganma de Euler.

Definicion 12 La funcion Ganma de Euler Γ : (0, +∞) −→ R esta definida por

Γ(x) =

∫ +∞

0tx−1e−t dt, x ∈ (0, +∞)

Proposicion 13 La integral

∫ +∞

0tx−1e−t dt es convergente para x > 0, por lo que la definicion

anterior es valida.

Demostracion:∫ +∞

0tx−1e−t dt =

∫ 1

0tx−1e−t dt +

∫ +∞

1tx−1e−t dt = I1 + I2



Veamos que I1 e I2 son convergentes.

Si x ≥ 1, I1 es convergente porque el integrando es una funcion continua, y por tantointegrable en [0,1]. Si 0 ≤ x ≤ 1 ocurre que para todo t > 0, 0 < tx−1e−t < tx−1 y la integral∫ 1

0tx−1 dt es convergente para 0 < x < 1. Por otra parte

lımt→+∞

tx−1e−t

t−2= lım

t→+∞

tx+1

et= 0

y como

∫ +∞

1t−2 dt es convergente, entonces I2 es convergente.�

Proposicion 14 Para todo x > 0, se tiene que Γ(x + 1) = xΓ(x).

Demostracion: Sean α y β dos numeros reales tales que 0 < α < β, integrando por partes(u = tx; dv = e−t dt) en la siguiente integral

∫ β

αtxe−t dt = αxe−α − βxe−β + x

∫ β

αtx−1e−t dt

tomando lımite cuando α → 0+ y β → +∞ en ambos lados de la igualdad, obtenemos laigualdad deseada.�

Corolario 15 Si n ∈ N, entonces Γ(n + 1) = n!.

Demostracion: Por induccion en n:

Si n = 0 : Γ(1) =

∫ +∞

0e−t dt = lım

b→+∞−e−t

∣∣∣

b

0= 1− lım

b→+∞e−b = 1 = 0!

Suponer cierto para n− 1 : Γ(n) = (n− 1)! (Hipotesis de induccion H.I.)

Ver para n : Γ(n + 1) = nΓ(n) =(cierto para n por la H.I.)= n(n− 1)! = n!.�

La funcion Beta de Euler.

Definicion 16 La funcion Beta de Euler β : (0, +∞)× (0, +∞) −→ R esta definida por

β(x, y) =

∫ 1

0tx−1(1− t)y−1 dt, x > 0, y > 0

Proposicion 17 La integral

∫ 1

0tx−1(1− t)y−1 dt es convergente para x > 0, y > 0, por lo que

la definicion anterior es valida.

Demostracion:

lımt→0+

tx−1(1− t)y−1

tx−1= 1 = lım

t→1−

tx−1(1− t)y−1

(1− t)y−1



∫ 1

0tx−1(1− t)y−1 dt =

∫ 1

2

0tx−1(1− t)y−1 dt +

∫ 1

1

2

tx−1(1− t)y−1 dt

∫ 1

2

0

dt

t1−x< ∞ si 1− x < 1 (x > 0)

∫ 1

1

2

dt

(i− t)1−y< ∞ si 1− y < 1 (y > 0)�

Proposicion 18 Para todo x, y > 0, se tiene que β(x, y) = 2

∫ π2

0sen2x−1 z cos2y−1 z dz.

Demostracion: Sean α y β dos numeros reales tales que 0 < α < β < 1, haciendo el cambio

de variable t = sen2 x en la integral

∫ β

αtx−1(1− t)y−1 dt se tiene que

∫ β

αtx−1(1− t)y−1 dt = 2

∫ arc cos√

β

arc sen√

αsen2x−1 z cos2y−1 z dz

tomando lımites cuando α → 0+, β → 1− se obtiene el resultado deseado.�

Proposicion 19 Propiedades.

1) β(x, y) = β(y, x).

2) β(x, y) =Γ(x)Γ(y)

Γ(x + y).

3) Γ(12) =

√π.

4) β(m, n) =(m− 1)!(n− 1)!

(m + n− 1)!∀ m, n ∈ N

Demostracion:

1) Evidente por la definicion.

2) Γ(x)Γ(y) =(∫ +∞

0e−ttx−1 dt

)(∫ +∞

0e−ssy−1 ds

)

=

∫ +∞

0

∫ +∞

0e−(s+t)tx−1sy−1 dt ds =

(haciendo los cambios de variable: m = s+t, n = t)=

∫ +∞

0

∫ +∞

0e−mnx−1(m−n)y−1 dn dm =

=

∫ +∞

0e−m

(∫ +∞

0nx−1(m− n)y−1 dn

)

dm = (haciendo el cambio: n = mu)

=

∫ +∞

0e−m

(∫ +∞

0(mu)x−1my−1(1− u)y−1 du

)

m dm =

=(∫ +∞

0e−mmx+y−1 dm

)(∫ +∞

0ux−1(1− u)y−1 du

)

= Γ(x + y)β(x, y) ⇒

⇒ β(x, y) =Γ(x)Γ(y)

Γ(x + y)�



3) Basta tomar en 2) x = y =1

2

4) Usando la propiedad 2) y la Proposicion 15.

5. Integracion numerica: las reglas del trapecio y de Simpson

Con frecuencia el calculo del numero

∫ b

af(x)dx no puede efectuarse aplicando la regla

de Barrow, porque no siempre se dispone de funcion primitiva de f , o bien, porque la funcionprimitiva no es de facil manejo. En estos casos debemos recurrir a tecnicas de aproximacion:consisten en aproximar la funcion continua f(x) por otra suficientemente proxima g(x) que seafacil de integrar. Entre las funciones mas sencillas que hay se encuentran los polinomios.

La tecnica que explicamos consiste en lo siguiente: fijamos una particion P = {a = x0 < x1 <... < xn−1 < xn = b} tal que la amplitud de cada subintervalo [xk−1, xk] sea constante de valor h(esto es, h = b−a

n ). En cada subintervalo de la particion [xk−1, xk], se calcula un polinomio Pk(x)que interpole a la funcion f en ciertos puntos (denominados nodos). Finalmente, se aproximala integral de f en cada subintervalo por la integral del polinomio de interpolacion en dichosubintervalo.

Dependiendo del grado del polinomio de interpolacion (o lo que es lo mismo, del numero denodos en los que interpolemos), obtendremos distintas formulas de aproximacion. Recordemosque para n nodos, el polinomio de interpolacion es de grado menor o igual que n− 1. Veremosen esta seccion tres formulas de aproximacion llamadas formulas de Newton-Cotes:

Formula del punto medio

En cada subintervalo [xk−1, xk] se elije un solo nodo: el punto medioxk−1 + xk

2. En cada

subintervalo, el polinomio de interpolacion Pk(x) tendra grado cero, y como interpola a f en los

puntos medios, se tendra que p(xk) = f

(xk−1 + xk

2

)

(rectas paralelas al eje OX).



De esta manera, la aproximacion es la siguiente:

∫ b

af(x)dx =

n∑

k=1

∫ xk

xk−1

f(x)dx ≈n∑

k=1

f

(xk + xk−1

2

)

h =b− a

n

n∑

k=1

f

(xk + xk−1

2

)

.

El error que cometemos en la aproximacion de la integral vendra dado, como siempre, porE = |valor real − valor aproximado|. Por la linealidad de la integral, y aplicando la propiedad5 de las integrales (ver Teorema 4) obtenemos que

E =

∣∣∣∣∣

∫ xk

xk−1

f(x) dx−∫ xk

xk−1

Pk(x) dx

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣

∫ xk

xk−1

(f(x)− Pk(x)) dx

∣∣∣∣∣≤∫ xk

xk−1

|f(x)− Pk(x)| dx.

Cuando interpolamos una funcion en n + 1 puntos x0, ..., xn por un polinomio (que sera degrado n), se comete un error de aproximacion con la funcion dado por:

f(x)− P (x) =f (n+1)(ξ)

(n + 1)!

n∏

i=0

(x− xi), ξ ∈ R.

En nuestro caso, n = 0, por lo que f(x) − Pk(x) = f ′(ξ)(

x− xk+xk−1

2

)

, ξ ∈ R, de donde,

si f tiene derivada continua en [a, b], acotando e integrando en la expresion del error anterior seobtiene que

E ≤ (b− a)2

2nmaxx∈[a,b]

|f ′(x)|.

Formula del trapecio

En cada subintervalo [xk−1, xk] se consideran dos nodos: los extremos del subintervalo. Elpolinomio de interpolacion (de grado 1) es la recta que pasa por los puntos (xk−1, f(xk−1)) y(xk, f(xk)).

Con la formula de interpolacion de Lagrange, obtenemos la siguiente expresion de Pk

Pk(x) = f(xk−1)x− xk

xk−1 − xk+ f(xk)

x− xk−1

xk − xk−1.



Tomandolo como aproximacion de f tenemos la siguiente aproximacion de la integral (laintegral del polinomio de interpolacion es inmediata, logicamente, de tipo polinomica):

∫ b

af(x)dx =

n∑

k=1

∫ xk

xk−1

f(x) dx ≈n∑

k=1

∫ xk

xk−1

Pk(x) dx =h

2

n∑

k=1

[f(xk−1) + f(xk)] .

Desarrollando la suma anterior obtenemos la denominada formula de los trapecios

∫ b

af(x)dx ≈ h

2[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(xn−1) + f(xn)] .

Ademas cuando n −→∞, el miembro de la derecha se aproxima a∫ ba f(x)dx.

Si f tiene derivada segunda continua en [a, b], podemos acotar el error E cometido al aproxi-

mar∫ ba f(x)dx con la misma idea anterior, utilizando el error de la aproximacion por el polinomio

de interpolacion, acotando e integrando. De esta forma se tiene que

E ≤ (b− a)3

12n2maxx∈[a,b]

|f ′′(x)|.

Formula de Simpson

Se obtiene cuando interpolemos en los subintervalos en tres puntos por polinomios de grado2 (p(x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R).

Dividimos el intervalo [a, b] en un numero par de subintervalos y agrupamos los subintervalospor pares de forma que:

a = x0 < x1 < x2︸︷︷︸

[x0,x2]

, x2 < x3 < x4︸︷︷︸

[x2,x4]

, · · · , x2k−2 < x2k−1 < x2k︸︷︷︸

[x2k−2,x2k]

, · · · , x2n−2 < x2n−1 < x2n︸︷︷︸

[x2n−2,x2n]

= b

Entonces, en cada subintervalo doble [x2k−2, x2k] aproximamos f por el polinomio interpoladorPk(x) en los nodos (x2k−2, f(x2k−2)), (x2k−1, f(x2k−1)), y (x2k, f(x2k)). Pk(x) sera un polinomiode segundo grado. Tenemos la siguiente aproximacion de la integral:

∫ b

af(x)dx =

n∑

k=1

∫ x2k

x2k−2

f(x)dx ≈n∑

k=1

∫ x2k

x2k−2

Pk(x)dx.

Calculando las integrales de los polinomios de interpolacion (que podemos calcular por la formulade Lagrange o de los incrementos finitos), y sumando, se obtiene la denominada Regla de

Simpson para aproximar

∫ b

af(x) dx viene dada por

∫ b

af(x)dx ≈ b− a

6n[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(x2n−2) + 4f(x2n−1) + f(x2n)] .



Al igual que antes, cuando n −→∞, el miembro de la derecha tiende a∫ ba f(x)dx.

Si f tiene cuarta derivada continua en [a, b], el error E cometido al aproximar∫ ba f(x)dx por

la regla de Simpson es, para n ≥ 2:

E ≤ (b− a)5

2880n4maxx∈[a,b]

|f (4)(x)|.

Problemas.

1. Resolver las siguientes integrales:

a)

∫

(x3 − 2x2 + 3x− 7) dx b)

∫ (1

x2+

4

x√

x+ 2

)

dx c)

∫

cos(a + bx) dx

d)

∫1

cos2(7x)dx e)

∫

sen x cos 2x dx f)

∫5x2 − 3

x2 + 1dx

g)

∫

sen2 x cos x dx h)

∫

cos2 x dx i)

∫1

1 + 2x2dx

j)

∫ex

3 + 4exdx k)

∫ √1 + cos x dx

2. Resolver por sustitucion las siguientes integrales:

a)

∫ √ln x

xdx b)

∫1

√

4− (x + 2)2dx c)

∫

x√

x2 + 1 dx

d)

∫sen 2x

(1 + cos 2x)2dx e)

∫arc sen x√

1− x2dx f)

∫ √tan x + 1

cos2 xdx

g)

∫√

1− x2 dx

3. Resolver por partes las siguientes integrales:

a)

∫

(x2 + 1) sen x dx b)

∫

x cos2 x dx c)

∫

ln x dx

d)

∫

e2x sen x dx

4. Resolver las siguientes integrales racionales:

a)

∫x3 − 2x2 + 3x− 7

3x− 1dx b)

∫3x + 2

x(x + 1)3dx

c)

∫1

x2 + 2x + 5dx d)

∫1

2x2 − 2x + 1dx

e)

∫5x + 6

4x2 + 4x + 5dx f)

∫3x− 7

x3 + x2 + 4x + 4dx

g)

∫3x2 + 5x + 2

(x− 1)3dx



5. Resolver las siguientes integrales trigonometricas:

a)

∫

sen3 x dx b)

∫

sen5 x cos2 x dx c)

∫

sen3 x cos5 x dx

d)

∫

sen4 x cos2 x dx e)

∫

sen x. cos 2x. cos 3x dx f)

∫cos3 x

1 + sen2 xdx

g)

∫sen4 x

cos8 xdx h)

∫1

1− sen x + cosxdx i)

∫ √1− cos x dx

6. Resolver las siguientes integrales, de las cuales se indica el tipo:

a)

∫4x + 5,16x

1 + 16xdx (exponencial) b)

∫1√

x + 2 + 3√

x + 2dx (irracional)

c)

∫1

x.

√

x + 1

xdx (irracional) d)

∫x3

√4− x2

dx (sust.trigonometricas)

e)

∫√

9 + x2 dx f)

∫√

x2 − 2 dx (sust.trigonometricas)

Integrales Definidas. Areas de recintos planos, longitudes de

curvas.

7. Calcular las siguientes integrales definidas:

a)

∫ 1

0

√

4− x2 dx b)

∫ 1

−1sen x dx c)

∫ e

1

sen(ln x)

xdx

d)

∫ 2

0x2√

4− x2 dx e)

∫ π/2

0

1

4− sen2 xdx f)

∫ π

0cos 3x sen 6x dx

8. Calcular el area de la figura comprendida entre la parabola y = 2x − x2 y la rectay = −x.

9. Calculese el area del recinto limitado por las curvas y = x , y = x2 , y =x2

4

10. Hallar el area determinada por las parabolas y = 6x− x2 e y = x2 − 2x.

11. Calcular el area encerrada por la curva y = sen x y el eje OX, cuando x varıe entre 0 y2π.

12. Hallar el area encerrada entre la grafica de la funcion y = sen x y las tangentes a dichagrafica en los puntos de abcisas x = 0, x = π.

13. Calcular el area comprendida entre las curvas y = 2 sen x, y = 4 cos x en el intervalo[0, 2π].

14. Calculese el area de una elipse de semiejes a y b

15. Considerese la region limitada por la grafica de f(x) = x2 − x y el eje X. Calculese elvolumen del cuerpo engendrado por un giro completo de dicha region en torno al eje X.



16. Hallar el volumen engendrado por rotacion sobre el eje OX de la region limitada por lacurva y = x3 y las rectas y = 1 , x = 3

17. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotacion de la elipsex2

a2+

y2

b2= 1 alrede-

dor del eje OX.

18. Hallar el volumen de la esfera de radio R

19. Calcular el volumen que el area plana comprendida entre y = −x2 − 3x + 6 y x + y = 3engendra al girar alrededor del eje OX.

20. Hallar el volumen engendrado al girar el cırculo interior a la circunferencia x2+(y−R)2 =r2, r < R respecto del eje OX. ( A dicho cuerpo se llama TORO, tiene la forma de unacamara de neumatico).

21. Una elipse de semiejes a y b realiza un giro completo en torno a una recta paralela a sueje mayor, situada de tal modo que la distancia del centro de la elipse a esa recta es d, yd > b. Calculese el volumen del cuerpo engendrado (toro de seccion elıptica)

22. Hallar la longitud del arco de curva y = x2 + 4 entre x = 0 y x = 3.

23. Calcular la longitud del arco de curva y =x2

8− ln x comprendido entre las rectas x = 1

y x = 2.

24. Calculese la longitud de la curva x2/3 + y2/3 = a2/3 (astroide)

25. La ecuacionx2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 determina un cuerpo llamado elipsoide. Calculese su

volumen.

Integrales impropias

Integrales en intervalos no acotados

26. Calcular las siguientes integrales:

a)

∫ ∞

1

1

xdx b)

∫ ∞

1

1

x3dx c)

∫ ∞

3

1√x

dx

27. Discutir la convergencia de

∫ ∞

1

dx

xppara los distintos valores de p.


a)

∫ ∞

0e−3x dx b)

∫ ∞

0e−x dx c)

∫ ∞

0e

1

2x dx

29. Discutir la convergencia de

∫ ∞

0e−px dx para los distintos valores de p.



30. Calcular el area de la figura comprendida entre la curva de Agnesi y =a3

x2 + a2y el eje

OX. (a > 0).


a)

∫ ∞

0x · cos x dx b)

∫ ∞

−∞

1

x2 + 2x + 2dx c)

∫ ∞

0λ · e−λx dx (λ > 0)

d)

∫ ∞

0x · λ · e−λx dx e)

∫ ∞

0e−x · sen x dx

Integrales de funciones no acotadas


a)

∫ 1

0ln x dx b)

∫ 1

0

1

xdx c)

∫ 3

0

1

x2dx

33. Estudiar la convergencia de

∫ b

a

1

(b− x)αdx para los distintos valores de α.

34. Calcular las integrales:

a)

∫ 1

0

1√1− x

dx b)

∫ 1

−1

1√1− x2

dx c)

∫ 0

−1

1

x4dx d)

∫ ∞

0

1

x2 − 3x + 2dx

Integracion numerica

35. Aproximar mediante la regla del trapecio y mediante la regla de Simpson el valor de lasintegrales siguientes para los valores de n dados. Redondear la respuesta a cuatro decimalesexactos, comparar los resultados obtenidos con los valores exactos.

a)

∫ 2

0x2 dx n = 4 b)

∫ 2

0x3 dx n = 8

c)

∫ 9

4

√x dx n = 8 d)

∫ 2

1

1

(1 + x)2dx n = 4

36. Calcular una cota del error cometido al calcular las siguientes integrales, con la regla deltrapecio y la de Simpson, para los valores de n dados.

a)

∫ 4

0

1

x + 1dx n = 4 b)

∫ 2

0

√

1 + x3 dx n = 2

c)

∫ 3

2

√x√

x− 1 dx n = 4 d)

∫ 7

1

√x− 1

xdx n = 6

37. Hallar n para que el error cometido al aproximar las siguientes integrales sea menor que0.00001 usando la regla del trapecio y la de Simpson.

a)

∫ 3

1

1

xdx b)

∫ 2

0

√1 + x dx



38. Aplicar la regla de Simpson, con n = 6 para aproximar π con cinco cifras decimales exactas

teniendo en cuenta que

∫1

1 + xdx (utilizar los lımites de integracion adecuados).

39. La tabla recoge una lista de medidas fısicas obtenidas en un experimento. Suponiendo

que f es una funcion continua aproximar

∫ 2

0f(x)dx usando la regla trapezoidal y la de

Simpson.

x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

y 4.32 4.36 4.58 5.79 6.14 7.25 7.64 8.08 8.14

40. Calcular las siguientes integrales definidas, con un error menor que una centesima.

a)

∫ 2

1ex2

dx b)

∫ 1

0sen x2 dx

41. Calcula aproximadamente la longitud del arco de la curva de ecuacion y = x3 comprendidoentre los puntos (0, 0) y (1, 1) usando la regla de Simpson con h = 0,025


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TEMA 3 Integraci on de funciones reales de variable … · 2010-12-08 · Integraci on de funciones reales de variable real. ... di eren forzosamente en una constante. Ejemplos: