Tema 3 La Regla de Tres

Máster Hugo Calderón Mestas 45 AÑOS EDUCANDO A LA JUVENTUD

TEMA 3: LA REGLA DE TRES

1. A MANERA DE INTRODUCCIÓN.Proporción es la igualdad de dos o más razonesAnalicemos el problema un problema resuelto.

Por cada 4 horas que trabaja Catherine, Sandra trabaja 7; si por la hora se les paga S/ 6. ¿Cuánto gana Sandra, si Catherine recibió S/ 180?

CS

=47

⇒180S

=47

⇒S=180×74

=315

Analicemos la proporción planteada

Lo que gana Catherine = Horas que trabaja CatherineLo que gana Sandra Horas que trabaja Sandra

En la primera razón hemos colocado una razón de la magnitud soles, en la segunda razón hemos colocado la magnitud horas.Recordemos: Magnitud Propiedad física que es susceptible de aumentar o disminuir y puede ser medida.Podemos afirmar que la proporción es la igualdad de dos o más razones cada una de las cuales corresponde a una magnitud.

¿Cómo se relacionan las magnitudes?

Las magnitudes se relacionan en forma directa (directamente proporcionales) y en forma inversa (inversamente proporcionales)

Dos magnitudes serán directamente proporcionales, si en la relación, al aumentar o disminuir la primera “n” veces, aumenta o disminuye, respectivamente la segunda “n” veces.

Ejemplo:

Magnitudes 1ª variación 2ª variación 3ª variación 4ª variación 5ª variación

Masa 2 kg 4 kg 6 kg 8 kg 10 kg

Soles 4 8 12 16 20

Índice de variación

_ 2 3 4 5

Dos magnitudes serán inversamente proporcionales, si en la relación, al aumentar o disminuir la primera “n” veces, disminuye o aumenta, respectivamente la segunda “n” veces.

Ejemplo:

Magnitudes 1ª variación 2ª variación 3ª variación 4ª variación 5ª variación

Tiempo empleado

2 horas 4 horas 8 horas 16 horas 32 horas


_ 2 4 8 16

Velocidad 720 km/h 360 km/h 180 km/h 90 km/h 45 km/h


_ 1/2 1/4 1/8 1/16

Volvamos a analizar el problema

magnitudesLo que ganan Horas que trabajan

APUNTES DE MATEMÁTICA BÁSICA DERECHO


Situación Catherine 180 4

Situación Sandrax 7

Variación+ +

Observamos que de cuatro elementos que conforman una proporción conocemos tres y necesitamos hallas un cuarto. A esta situación le llamamos Regla de Tres

2. CONCEPTO

Se llama así al proceso que se utiliza para encontrar, en una relación proporcional de dos o más magnitudes, un término no conocido

3. CLASIIFICACIÓN DE LA REGLA DE TRES

La regla de tres, según el número de magnitudes que se relacionan, puede ser

SIMPLE, si se relacionan sólo dos magnitudes.

COMPUESTA, si se relacionan tres o más magnitudes.

Según el tipo de relación de las magnitudes:

La regla de tres simple puede ser directa e inversa.

La regla de tres compuesta puede ser

DIRECTA, si todas las magnitudes que intervienen se relacionan en forma directa,

INVERSA, si todas las magnitudes que intervienen se relacionan en forma inversa

MIXTA, si unas magnitudes se relacionan en forma directa y otras en forma inversa, con la magnitud cuyo elemento faltante deseamos encontrar.

Directa

Simple (relación de dos magnitudes)

Inversa

Regla de tres

Directa

Compuesta (relación de más de dos magnitudes) Mixta

Inversa

4. ¿CÓMO SE RESUELVE LA REGLA DE TRES?



En el caso de la regla de tres directa: Por cada 4 horas que trabaja Catherine, Sandra trabaja 7; si por la hora se les paga S/ 6. ¿Cuánto gana Sandra, si Catherine recibió S/ 180?

magnitudesLo que ganan Horas que trabajan

Situación Catherine 180 4

Situación Sandrax 7

Variación+ +

Multiplicaremos extremos por medios, pues se trata de una proporción, entonces: 180S

=47⇒ S=180×7

4=315

En el caso de la regla de tres inversa: En nueve días 20 carpinteros pueden construir un galpón. ¿Cuántos días se demorarán 15 carpinteros?

magnitudesCarpinteros días

Situación 120 9

Situación 215 x

Variación

_ +

Deberíamos multiplicar extremos por medios, pero como la relación es inversa entonces invertimos la segunda razón y entonces procedemos como indican las flechas:

magnitudesCarpinteros días

Situación 120 9

Situación 215 x

Variación

_ +

2015

= x9⇒S=20×9

15=12

En al caso de la regla de tres compuesta:Doce carpinteros trabajando 15 días de 8 horas diarias pueden fabricar 160 sillas. ¿Cuántos días se demorarán 10 carpinteros trabajando 11 horas diarias para fabricar 200 sillas iguales?Para resolver una regla de tres compuesta relaciono cada magnitud con aquella que tiene el elemento desconocido

carpinteros días h/d sillasn=15⋅12⋅8⋅200

10⋅11⋅160=16 . 412 15 8 160

10 n 11 200- +

+ -+ +



Nota: Observa que si bien todas las magnitudes se relacionan con la magnitud en la que se encuentra la incógnita, el 15 se multiplica una sola vez.

PROBLEMAS SOBRE REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

1. Veintisiete náufragos tenían agua para 30 días y comida para 20 días. Después de pasar seis días, mueren nueve náufragos. ¿Para cuántos días habrá agua pero no comida para los que quedan?

2. Un bastón de 34 cm proyecta una sombra de 25,2 cm de sombra. Halla el ancho de una acequia si a la misma hora se coloca una estaca de 50 cm en una de las orillas y genera una sombra de 28 cm en tierra de la otra orilla.

3. La cantidad de gasolina que tiene un auto al partir es igual a 5/8 de la capacidad del tanque. Si después de recorrer 15 km le quedan 7/12 del tanque ¿Cuántos km puede recorrer con tanque lleno?

4. Paolo es el doble de rápido que Mario y éste es el triple de rápido que Iván. Si entre los tres pueden terminar una tarea de matemática en 18 horas ¿en cuántas horas Mario e Iván harán la misma tarea

5. De 200 litros de agua de mar se pueden extraer 8 kg de sal. ¿Cuántos litros de agua se deben traer si se quiere 30 kg de sal?

6. Sabiendo que de 250 quintales de remolacha (betarraga) pueden extraerse 30 quintales de azúcar, ¿Cuántos quintales de azúcar podrían proporcionar 100 quintales de remolacha?

7. Si 250 kilos de uvas producen cierta cantidad de vino, y 300 kilos producen 4 litros más de vino. ¿Cuántos litros de vino producen los 250 kilos?

8. 20 obreros pueden construir un muro en 9 días. ¿Cuántos días demorarán 15 obreros?

9. Un grupo de 24 excursionistas lleva víveres para 18 días, pero al iniciar la excursión se suman 3 personas más. ¿Cuántos días antes se acabarán los víveres?

10. Un barco tiene provisiones para 24 días y las distribuye equitativamente a todos los tripulantes. Si se desea que las provisiones duren 6 días más, ¿en qué fracción se debe reducir la ración de cada tripulante?

11. Doce obreros trabajando 15 días de 8 horas diarias pueden construir 160m de un muro. ¿Cuántos días se demorarán 10 obreros trabajando 10 horas diarias para construir 200 m del mismo muro?

12. 10 obreros pueden cavar una zanja en 8 días a razón de 5 h/d. Calcular en cuántos días otros 24 obreros de doble rendimiento a razón de 10 h/d podrán cavar otra zanja de doble longitud que la anterior, pero 2 veces más difícil.

13. Se contratan a 5 costureras que hacen 12 vestidos en 15 días, se pretende tener 60 vestidos en 25 días. ¿Cuántas costureras al igual de rápidas se deberán contratar además de las ya contratadas?

14. Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días. Después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de atraso entregarán la obra?

15. Colón y sus 239 hombres al salir del Puerto de Palos tenían víveres para 6 meses. Si al llegar al nuevo continente ya habían transcurrido 4 meses. ¿Cuántos hombres se quedarían en América sabiendo que el tiempo de regreso sería también de 4 meses y la cantidad de ración sería la misma?

16. Cinco metros de tela cuestan S/ 96,50. ¿Cuánto cuestan 9 metros de la misma tela?

17. Veinte caballos tienen una ración para 39 días; si se aumentaran 6 caballos más siendo la ración la misma ¿Para cuántos días alcanzaría la existencia anterior?

18. ¿Cuánto cuestan 54kg de harina si un Qm cuestan S/ 272?



19. Doce obreros pueden terminar una obra en 18 días. ¿Cuántos obreros la podrán terminar en 9 días?

20. Un obrero ha necesitado cuatro días y medio para hacer los 5/6 de una obra. ¿Cuántos días necesitará para hacer la obra completa?

21. Al vender cierto número de ovejas por S/ 3 400, se pierde S/ 15 por cada S/ 100 de compra. ¿Cuánto costaron las ovejas?

22. Para tapizar una pared se han comprado 25 m de tela de 0,80 m de ancho. ¿Qué longitud es necesario comprar para tapizar la misma pared si el ancho de la tela fuese de 1,10 m?

23. Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de atraso entregarán la obra?

24. Una guarnición de 400 soldados sitiados en un fuerte, tienen víveres para 180 días, si consumen 900 gramos por hombre y por día. Si se recibe un refuerzo de 100 soldados, pero no recibirán víveres antes de 240.¿Cuál deberá ser la ración de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles?

25. Dos secretarias copian 350 problemas en una semana. ¿Cuántas secretarias serían necesarias para copiar 600 problemas en cuatro días?

26. Nueve obreros se comprometen a realizar una obra en 24 días. Si después de cuarto día llegan 6 obreros más. ¿Cuántos días antes del plazo terminaron?

27. Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo en días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan?

28. 30 albañiles debían terminar una obra en 20 días; habían trabajado 5 días cuando 5 de ellos se retiraron. ¿Cuánto duró la construcción de la obra?

29. Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes. Di cuánto puede durar un viaje de 33 tripulantes con la misma ración por tripulante.

30. 40 kg de miel contienen 24 kg de azúcar. ¿Cuántos kg de agua hay que agregar a esta miel para que 5 kg de mezcla contengan 2 kg de azúcar?

31. 35 obreros pueden terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo se le junta cierto número de obreros de otro grupo, de modo que en 15 días terminan la obra. ¿Cuántos obreros eran del segundo grupo?

32. Para hacer una zanja de 48x2x0,8 m, se contrató 15 obreros que lo harían en 18 días; luego de tres días 3 obreros se enferman. Se decide no variar el tiempo ni contratar más obreros, sólo se disminuiría la longitud de la zanja. ¿Cuánto se disminuyó?

33. Ochenta litros de agua de mar contienen 2 kg de sal. ¿Cuántos litros de agua se deberán agregar, si se quiere que cada 10 litros de la nueva mezcla contenga 1/6 de kg de sal?

34. En una caja hay 200 bolas de las cuales 60 son rojas y el resto blancas. ¿Cuántas bolas blancas se deberán agregar, si se quiere que por cada tres bolas rojas haya 20 blancas?

35. A una reunión asistieron 511 personas. Se sabe que por cada 6 hombres, había 8 mujeres. ¿Cuántos hombres asistieron a la reunión?

36. 500 obreros del ferrocarril, trabajando 10 horas diarias, han colocado ya 2 300 m de vía en 28 días. 425 obreros trabajando 8 horas diarias ¿Cuántos metros de vía colocarán en 42 días?

37. Ocho obreros hacen la apertura de una zanja de 20 m de longitud; 5 m de ancho y 2m de profundidad, en 5 días trabajando 10 horas diarias, con un esfuerzo representado por 4, una actividad representada por 2 y un terreno cuya resistencia a la cava está representada por 1. Calcula la longitud que tendrá otra zanja de 4 m de anchura y 1,5 m de profundidad habiendo sido abierta por 6 operarios que han trabajado durante 40 días a 8 horas por día con un esfuerzo como 5, una actividad como 3 y en un terreno de resistencia 2.

38. Un muro de 50 m de largo, 8,80 m de alto y 0,30 m de espesor, ha sido construido en 18 días por 6 obreros que trabajan 8 horas diarias. Se pregunta qué altura tendrá otra pared que debe ser construida en 30 días por 3



hombres que trabajan 10 horas por día si va a tener 70 m de largo y 0,45 m de espesor.

39. Una cuadrilla de 40 obreros ha hecho 400 m de carretera durante cierto número de días a razón de 8 horas diarias. Otra cuadrilla de 60 hombres ha hecho 675 m de la misma obra trabajando 6 horas diarias. Si el tiempo que han demorado las dos cuadrillas en hacer sus obras suman 25 días, halla el tiempo que emplea cada cuadrilla en hacer su obra.

40. Se contrató una obra para ser terminada en 20 días por 15 obreros que trabajan 8 horas diarias. Habían trabajado ya dos días cuando se acordó que la obra debía ser terminada tres días antes del plazo estipulado, para lo que se contrató 5 obreros más. Di si la jornada debe aumentar o disminuir y en cuánto.

41. Un contratista se compromete a construir dos secciones de un ferrocarril que son igualmente difíciles para el trabajo. En cada sección emplea 80 obreros y al cabo de 50 días observa que mientras los primeros han hecho 3/8 de su trabajo, los otros han construido los 5/7 del suyo y deseando terminar la primera sección en 120 días se pregunta cuántos obreros deberán pasar de la segunda a la primera sección.

42. Dos hombres y 4 niños pueden hacer una obra en 6 días, pero con dos hombres más pueden hacer el mismo trabajo en 4 días ¿En cuántos días haría dicha obra un hombre solo?

43. Las máquinas M1 y M2 tienen la misma cuota de producción semanal operando 30h y 35h respectivamente. Si M1 se malogra, luego de trabajar 18h debiendo hacer M2 el resto de la cuota. ¿Cuántas horas adicionales de trabajar M2?

44. Un albañil pensó hacer un muro en 15 días, pero taró 6 más por trabajar dos horas menos cada día ¿Cuántas horas trabajó diariamente?

45. César, al comprar una docena de lapiceros recibe de regalo 3 y al vender una docena da dos de regalo. Si en total César compró 1 944 lapiceros ¿Cuántos lapiceros vendió César?

46. Se hacen disolver 240 g de azúcar en 5 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua habrá que aumentar a esta mezcla para que un litro de la nueva mezcla no tenga sino 8 g de azúcar

47. La hierba crece en el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 60 vacas se la comerían en 25 días y 40 en 45 días. ¿Cuántas vacas se comerán la hierba en 75 días?

48. Una rueda da 3475 vueltas en 25 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 1h17’?

49. Una cuadrilla de obreros ha hecho una obra en 20 días trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días habría hecho la obra, si hubiera trabajado 8 horas diarias?

50. Para ejecutar una obra se cuenta con dos cuadrillas: la primera tiene 50 obreros y puede concluir la obra en 30 días y la segunda cuenta con 70 obreros y puede culminar la obra en 40 días. Si sólo se toman los 3/4 de la primera y los 5/6 de la segunda ¿en cuánto tiempo se terminará la obra?

51. Juan es el triple de rápido de Pascual. Si juntos pueden hacer un trabajo en 81 días, ¿cuánto tiempo se demora Juan en hacer solo el trabajo?

52. 44 obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 12 días para hacer una zanja de 440m de largo, 2m de ancho y 1,25m de profundidad. ¿Cuántos días más emplearon 24 obreros trabajando 8 horas diarias para abrir otra zanja de 200m de largo, 3m de largo y 1m de profundidad?

53. Se emplearon m obreros para ejecutar una obra y al cabo de a días hicieron 1/n de aquélla. ¿Cuántos obreros hubo que aumentar para terminar la obra en b días?

54. Una fábrica tienen petróleo suficiente para 20 días, consumiendo dos barriles diarios. ¿Cuántos barriles menos debe consumir diariamente para que el petróleo alcance para 30 días?

A. 1 B. 2/3 C. 1/3 D. 4/3 E. N.A.

55. Para pintar un cubo de 10cm de lado se gastó 240 soles. ¿Cuánto se gastará para pintar un cubo de 15cm de lado?

A. 540 B. 340 C. 500 D. 300 E. 550



56. Una guarnición de 2250 hombres tiene provisiones para 70 días. Al terminar el día 29 salen 200 hombres, ¿cuánto tiempo podrán durar las provisiones que quedan al resto de la guarnición?

A. 50 B. 48 C. 45 D. 40 E. 41

57. Un buey atado a una cuerda de 7,5m puede comer la hierba que está a su alcance en 2 días. ¿Qué tiempo demoraría en comer la hierba a su alcance si la cuerda fuera de 15m?

A. 4 B. 15 C. 6 D. 7 E. 8

58. Un capataz paga a un obrero S/.50 por cada día de trabajo y S/.20 por cada día que no trabaja. Si al cabo de 23 días le paga S/.910 /cuántos días trabajó?

A. 16 B. 23 C. 8 D. 15 E. 14

59. Si Arturo aumenta su velocidad de marcha en 1/3 ¿cuántas horas diarias habrá de caminar para recorrer en cuatro días el camino hecho en 6 días de 8 horas de marcha cada día en su velocidad normal?

A. 15 B. 7 C. 6 D. 10 E. 9

60. A trabaja dos veces más rápido que B. Cierto día A y B trabajan juntos durante 4 horas. Luego B abandona el trabajo y A lo termina en 2 horas más. ¿Cuántas horas emplearía B en hacer el trabajo solo?

A. 20 B. 22 C. 24 D. 18 E. 14

61. Una bomba se demora 10 horas 25 minutos en llenar un reservorio. Cuando el tanque está lleno hasta 1/5 se malogra y su rendimiento disminuye en 1/3. ¿Cuánto tiempo tardará la bomba para llenar el reservorio?

62. Una guarnición de 500 hombres tiene víveres para 20 días a razón de 3 raciones diarias. ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si quiere que los víveres duren cinco días más?

A. 2 B. 2,5 C. 2,3 D. 2,8 E. N.A.

63. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente proporcional a la distancia de Lima. Si una casa ubicada a 75km cuesta $45000 ¿cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y está a 150km?

A. 45mil B. 22,5mil C.11,25mil D. 90mil E. 180mil

64. Para hacer 6 tortas se necesitan 72 huevos. Para hacer 10 tortas se requieren ......huevos.

65. Por tres horas de trabajo Alberto ha cobrado 60 soles ¿Cuánto cobrará por ocho horas?

66. Tres obreros descargan un camión en dos horas ¿Cuánto tardaran dos obreros?67. Diez trabajadores siembran un terreno de 10.000 m2 en 9 días. ¿En cuántos días

sembrarán 15.000 m2, 12 trabajadores?.68. Trescientos gramos de queso cuestan 6 soles. ¿Cuánto podre comprar con 4.5 soles?69. Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en recorrer un camino ¿Cuánto tardara un

vehículo a 120 km/h?70. Por cinco días de trabajo he ganado 390 soles ¿Cuánto ganaré por 18 días?71. Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos, ¿Cuántas botellas

llenará en hora y media?72. Un auto que va a 100Km/h necesita 20 minutos en recorrer la distancia entre dos

pueblos ¿Qué velocidad necesitará para poder realizar el recorrido en 16 minutos73. Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 Km en los 8 primeros minutos de su

recorrido, si mantiene la velocidad, ¿Cuánto tardará en completar los 42 km de recorrido?

74. Un camión que carga 3 toneladas necesitará 15 viajes para transportar cierta cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesitará para hacer transportar la misma arena un camión de 5 toneladas?

75. Un padre le da propina a sus tres hijas, de forma que a cada una le corresponde una cantidad proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 50 soles. ¿Cuánto dará a las otras 2 hijas de 15 y 8 años de edad?

76. Un ganadero tiene 20 vacas y heno para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto tiempo le dura el heno si se mueren 5 vacas?

77. En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días, ¿Para cuantos días habrá comida si se incorporan 5 niños al campamento?



78. En un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede entregar un pedido en 6 días. ¿Cuántas horas deberá trabajar para entregar el pedido en 3 días?

79. ¿Cuál será la altura de una columna que produce una sombra de 4,5 m sabiendo que a la misma hora una varilla vertical de 0,49 m arroja una sombra de 0,63 m?

80. Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pintura. ¿Cuántos kg se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 12 m de largo por 10 m de ancho?

81. Nueve obreros se comprometen a realizar una obra en 24 días. si después del cuarto día llegan 6 obreros más. ¿Cuántos días antes del plazo terminaron?

82. A un grupo de 50 hombres pueden terminar una obra en 4 semanas. al cabo de 4 días de trabajo se les junta un cierto número de obreros de otro grupo de modo que en 16 días terminaron lo que faltaba de la obra ¿cuántos obreros conformaban el 2do grupo?

83. Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días, después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros ¿con cuántos días de atraso se entregará la obra?

84. Un obrero debe recibir por 1 año 24000 dólares y un traje; al cabo de 5 meses es despedido dándole 9300 dólares y el traje. Calcular el valor del traje en dólares.

85. Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días. en ese momento abandonan el trabajo 5 obreros ¿cuantos días tardaran en terminar el trabajo los obreros que quedan?

86. Doce obreros pueden hacer una obra en 29 días. Después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros ¿Con cuántos días de retraso se entregó la obra?

87. En 12 días, 8 obreros hicieron 2/3 de una obra. ¿En cuántos días más harán el resto de la obra?

88. Si Paquito trabaja x + y veces más rápido que cualquiera de sus amigos albañiles y él puede realizar una obra en y días ¿cuántos días más demorarán z de sus compañeros en realizar el mismo trabajo?

89. Un ladrillo pesa 8 kg ¿Cuánto pesará un ladrillito cuyas dimensiones se han reducido a la octava parte?

90. A un grupo de 50 hombres pueden terminar una obra en 4 semanas. al cabo de 4 días de trabajo se les junta un cierto número de obreros de otro grupo de modo que en 16 días terminaron lo que faltaba de la obra ¿cuántos obreros conformaban el 2do grupo?

91. Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días, después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros ¿con cuántos días de atraso se entregará la obra?

92. Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días. en ese momento abandonan el trabajo 5 obreros ¿cuantos días tardaran en terminar el trabajo los obreros que quedan?

93. Una cuadrilla de 24 obreros se compromete a construir en 25 días cierta obra. Al cabo de 15 días sólo han hecho 4/9 de la obra. ¿Cuántos obreros tendrán que reforzar a la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo acordado?

94. Por enviar un paquete de 5 Kg de peso a una población que está a 60 Km de distancia, una empresa me ha cobrado 9 soles, ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 15 Kg a 200 km de distancia?

95. En 12 días, 8 obreros hicieron 2/3 de una obra. ¿En cuántos días más harán el resto de la obra?

96. 20 lámparas originan un gasto de $5000 al mes, estando encendidas 6 horas diarias. ¿Qué gasto originarían 5 lámparas en 45 días, encendidas durante 8 horas diarias?.

97. Para alimentar 8 cerdos durante 25 días se necesitan 140 kilos de alimento. ¿Cuántos kilos de alimento se necesitan para mantener 24 cerdos durante 50 días?

98. Una persona recorre 54 km. caminando 4 horas diarias durante 6 días. ¿Cuántas horas diarias tendría que andar para recorrer 140 km. en 14 días.

99. 35 gallinas consumen 96 kilos de alimento cada 4 días. ¿Cuántos kilos de alimento consumirán 60 gallinas en 2 días?

100.Una pieza de tela de 2,5 metros de largo y 80 cm de ancho cuesta 30 soles. ¿Cuánto101.costara otra pieza de la misma tela de 3m de largo y 120 de ancho?102.Cinco máquinas embotelladoras embasan 7200 litros de aceite en una hora. ¿Cuántos

litros envasarán tres máquinas en dos horas y media?103.Doce obreros, trabajando 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días. ¿Cuánto

tardarán en hacer ese mismo trabajo cinco obreros trabajando diez horas diarias?104.Cincuenta terneros consumen 4200 Kg de alfalfa a la semana. ¿Cuántos kilos de

alfalfa se necesitarán para alimentar a 20 terneros durante quince días?



105.Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 soles. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

106.5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

107.Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?

108.Se necesitan 3 bobinas de papel de 350 kg cada una para imprimir 5000 ejemplares del primer tomo de una obra. ¿cuántas bobinas de 504 kg de papel de igual calidad y ancho que el anterior se necesitarán para imprimir 8000 ejemplares del segundo tomo de esa obra, sabiendo que el número de páginas de éste es igual a los seis quintos del número de páginas del primer tomo?

109.Una pileta se llenó en 3 días dejando abiertas 2 canillas que arrojan 20 litros por hora, durante 6 horas diarias. ¿cuántos días se precisarán para llenar la misma pileta si se dejan abiertas, durante 5 horas diarias, 4 canillas que arrojan 18 l por hora?

110.Si 24 obreros pueden finalizar un trabajo en 46 días trabajando 7 horas diarias. ¿cuántos días emplearán si se aumenta en un 75% el número de obreros y trabajan 8 horas diarias?

111.Un ganadero tiene 420 ovejas que puede alimentar por 80días. Después de x días vende 70 ovejas y los alimentos duran 12 días más de lo calculado ¿Cuánto vale x?

112.Un socio que ha colocado $7000 durante 5 meses, ha ganado $1200. ¿cuál es el capital de un segundo socio que ganó $4200, si lo colocó durante 7 meses?

113.400 soldados tienen víveres para 180 días, si consumen 900 gr. por soldado y por día. si reciben un refuerzo de 100 soldados pero no recibirán víveres antes de 240 días, ¿cual deberá ser la ración de un hombre por día para que los víveres alcancen?

114.Pedrito maestro constructor, trabajando 8 horas diarias, puede embaldosar un piso de 90 metros cuadrados en 4 días. ¿Cuántos días necesitará para embaldosar un piso de 120 metros cuadrados trabajando 9 horas cada día?

115.Si 36 obreros para pavimentar; una pista de 400 m de largo por 6 m de ancho demoran 32 días. ¿Cuántos días tardarían si se aumentó 12 obreros más para pavimentar otra pista de 300 m de largo por 8 m de ancho?

116.14 hombres pavimentan 140 m. de un camino en 10 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias deben trabajar 20 hombres para pavimentar 180 m. en 15 días?

117.Si 30 electricistas en 12 días, trabajando 10 horas cada día, colocan 6 km de tendido eléctrico. ¿Cuántos días necesitarán 25 electricistas para colocar 15 km de tendido eléctrico, trabajando 8 horas diarias?

118.Seis caballos, cuya fuerza de cada uno puede considerarse en 180 kp, conducen un coche cuyo peso es de 5480 kg. Si la fuerza de cada caballo fuese 200 kg, ¿qué número de caballos se necesitaría para conducir otro coche que pesara 6200 kg?

119.Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800 m3 en 50 días ¿cuántos días necesitarán 100 hombres 50% más eficientes para cavar una zanja de 1200 m3 cuya dureza es tres veces la del terreno anterior?

120.El transporte de 150 toneladas de mineral de hierro a la distancia de 650 km, ha costado 2600. ¿Cuánto costará el transporte de 225 toneladas de la misma mercancía a la distancia de 200 km?

121.Un grupo de obreros debía entregar una obra en determinado plazo. Luego de algunos días de trabajo se accidentaron 12 obreros y no pudieron ser reemplazados hasta después de 8 días. Para ello se contrataron 28 obreros y se terminó la obra en la fecha prevista ¿Cuántos días trabajaron los últimos obreros?

122.El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente proporcional a la distancia de Lima. Si una casa ubicada a 75km cuesta $45000 ¿cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y está a 150km?

123.Si Arturo aumenta su velocidad de marcha en 1/3 ¿cuántas horas diarias habrá de caminar para recorrer en cuatro días el camino hecho en 6 días de 8 horas de marcha cada día en su velocidad normal?

124.Trabajando 8 horas diarias durante 5 días, 3 panaderos pueden fabricar 600 panes o 200 bizcochos. ¿En cuántas horas 4 panaderos fabricarán 500 panes y 500 bizcochos?

125.Una guarnición de 500 hombres tiene víveres para 20 días a razón de 3 raciones diarias. ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si quiere que los víveres duren cinco días más?



El que no quiere trabajar no debe comer (2Tes. 3,10)



Nº PROPUESTA1 Veintisiete náufragos tenían agua para 30 días y comida para 20 días. Después

de pasar seis días, mueren nueve náufragos. ¿Para cuántos días habrá agua pero no comida para los que quedan?

Si ya pasaron 6 días el agua que quede estuvo programada para los 24 restantes con toda la tripulación completa. Lo mismo para los alimentos. Vale decir para 14 días.

Establecemos las reglas de tres:

tripulantes días tripulantes días

27 24 27 14

18 X 18 X

- + - +

Habrá 15 días con alimentos, pero sin agua.

2 Un bastón de 34 cm proyecta una sombra de 25,2 cm de sombra. Halla el ancho de una acequia si a la misma hora se coloca una estaca de 50 cm en una de las orillas y genera una sombra de 28 cm en tierra de la otra orilla.

Tengamos presente que no se nos da la dimensión de la sombra sobre el río.


magnitudesestaca sombra 50·25,2 = 34(x + 28)

x=50 ·25 ,234

−28=9 .05Situación 134 cm 25,2 cm

Situación 2 50 cm x + 28cm

Variación+ +

3 La cantidad de gasolina que tiene un auto al partir es igual a 5/8 de la capacidad del tanque. Si después de recorrer 15 km le quedan 7/12 del tanque ¿Cuántos km puede recorrer con tanque lleno?

Lo primero que debemos saber es qué cantidad de gasolina consumió en los 15 Km:


magnitudestanque kilómetros

Situación 11/24 15

Situación 2 24/24 X



Variación+ +

Recorrerá 360 km

4 Paolo es el doble de rápido que Mario y éste es el triple de rápido que Iván. Si entre los tres pueden terminar una tarea de matemática en 18 horas ¿en cuántas horas Mario e Iván harán la misma tarea

Leemos al revés la primera oración: Iván es tan rápido como 1; Mario es el triple de rápido que Iván (3·1=3); Paolo es el doble de rápido que Mario (2·3 = 6) Los tres tendrá una velocidad de 1 + 3 + 6 = 10

magnitudesrapidez Horas

x=10⋅184

=45

Situación 110 18

Situación 24 X

Variación- +

Ambos demorarán 45 horas

5De 200 litros de agua de mar se pueden extraer 8 kg de sal. ¿Cuántos litros de agua se deben traer si se quiere 30 kg de sal?

magnitudes Kg de sal Litros de

agua

200x

= 830

⇒ x=200⋅308

=750

Situación 1 8 200

Situación 2 30 ¿?

Variación aumenta aumenta

6Sabiendo que de 250 quintales de remolacha pueden extraerse 30 quintales de azúcar, ¿Cuántos quintales de azúcar podrían proporcionar 100 quintales de remolacha?

magnitudes remolacha azúcar250100

=30x

⇒ x=100⋅30250

=12

Situación 1 250 30

Situación 2 100 ¿?


7Si 250 kilos de uvas producen cierta cantidad de vino, y 300 kilos producen 4 litros más de vino. ¿Cuántos litros de vino producen los 250 kilos?

magnitudes uvas vino



Situación 1 250 x

Situación 2 300 x + 4


250300

= xx+4

⇒300 x=250 x+100⇒ x=100050

=20

820 obreros pueden construir un muro en 9 días. ¿Cuántos días demorarán 15 obreros?

magnitudes obreros días2015

= x9⇒ x=20⋅9

15=12

Situación 1 20 9

Situación 2 15 x

Variación disminuye aumenta

9Un grupo de 24 excursionistas lleva víveres para 18 días, pero al iniciar la excursión se suman 3 personas más. ¿Cuántos días antes se acabarán los víveres?

magnitudes excursión días2427

=x18

⇒ x=24⋅1827

=16⇒

18−16=2Situación 1 24 18

Situación 2 27 x

Variación aumenta disminuye

10Un barco tiene provisiones para 24 días y las distribuye equitativamente a todos los tripulantes. Si se desea que las provisiones duren 6 días más, ¿en qué fracción se debe reducir la ración de cada tripulante?

magnitudes ración días2430

=1−x1

⇒30−30 x=24⇒ x= 630

=15

Situación 1 1 24

Situación 2 1 - x 30

Variación dismin aument

11Doce obreros trabajando 15 días de 8 horas diarias pueden construir 160m de un muro. ¿Cuántos días se demorarán 10 obreros trabajando 10 horas diarias para construir 200 m del mismo muro?Para resolver una regla de tres compuesta relaciono cada magnitud con aquella que tiene el elemento desconocido



obreros días h/d metrosn=15⋅12⋅8⋅200

10⋅10⋅160=1812 15 8 160

10 n 10 200disminuye aum

aum disaum aumenta

12 10 obreros pueden cavar una zanja en 8 días a razón de 5 h/d. Calcular en cuántos días otros 24 obreros de doble rendimiento a razón de 10 h/d podrán cavar otra zanja de doble longitud que la anterior, pero 2 veces más difícil.

obreros días h/d rendimiento obra dificultad10 8 5 1 L 124 n 10 2 2L 3

n=10⋅8⋅5⋅1⋅2 L⋅324⋅10⋅2⋅L⋅1

=5

13 Se contratan a 5 costureras que hacen 12 vestidos en 15 días, se pretende tener 60 vestidos en 25 días. ¿Cuántas costureras al igual de rápidas se deberán contratar además de las ya contratadas?

costureras días vestidos5 15 12

5 + x 25 60

x=5⋅15⋅6025⋅12

−5=10

14 Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días. Después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de atraso entregarán la obra?85= x

15⇒ x=8⋅15

5=24⇒24−15=9días

15 Colón y sus 239 hombres al salir del Puerto de Palos tenían víveres para 6 meses. Si al llegar al nuevo continente ya habían transcurrido 4 meses. ¿Cuántos hombres se quedarían en América sabiendo que el tiempo de regreso sería también de 4 meses y la cantidad de ración sería la misma?240240−x

=42

⇒ x=240⋅24

−240=120

16 Cinco metros de tela cuestan S/ 96,50. ¿Cuánto cuestan 9 metros de la misma tela?

59=96 ,50

x →x=9×96 ,50

5=173 ,70

17 Veinte caballos tienen una ración para 39 días; si se aumentaran 6 caballos más siendo la ración la misma ¿Para cuántos días alcanzaría la existencia anterior?

2026

= x39

⇒ x=20×3926

=30

18 ¿Cuánto cuestan 54kg de harina si un Qm cuestan S/ 272?10054

=272x

⇒ x=54×272100

=146 ,68

19 Doce obreros pueden terminar una obra en 18 días.¿Cuántos obreros la podrán terminar en 9 días?

12x

= 918

⇒ x=12×189

=24

20 Un obrero ha necesitado cuatro días y medio para hacer los 5/6 de una obra. ¿Cuántos días necesitará para hacer la obra completa?

4 12

x=

56

1⇒

92

56

=5,4



21 Al vender cierto número de ovejas por S/ 3 400, se pierde S/ 15 por cada S/ 100 de compra. ¿Cuánto costaron las ovejas?

100x

=853400

⇒ x=100×340085

=4000

22 Para tapizar una pared se han comprado 25 m de tela de 0,80 m de ancho. ¿Qué longitud es necesario comprar para tapizar la misma pared si el ancho de la tela fuese de 1,10 m?

25x

=11080

⇒ x=25×80110

=18 ,18 .. .

23 Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de atraso entregarán la obra?

obreros días8 155 x

x=15×85

=24

Retraso: 24 – 15 = 9 días.24 Una guarnición de 400 soldados sitiados en un fuerte, tienen víveres para 180

días, si consumen 900 gramos por hombre y por día. Si se recibe un refuerzo de 100 soldados, pero no recibirán víveres antes de 240.¿Cuál deberá ser la ración de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles?

soldados días gramosx=900 ·400 ·180

500 ·240=540400 180 900

500 240 x25 Dos secretarias copian 350 problemas en una semana. ¿Cuántas secretarias

serían necesarias para copiar 600 problemasen cuatro días??

días problemas secretariasx=2·600 ·7

350 ·4=67 350 2

4 600 x26 Nueve obreros se comprometen a realizar una obra en 24 días. Si después de

cuarto día llegan 6 obreros más. ¿Cuántos días antes del plazo terminaron?obreros días

x=20−9·2015

=89 2015 20 - x

27 Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo en días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan?

obreros trabajo díasx=15 ·20·0,5

10 ·0,5=3015 0,5 20

10 0,5 x28 30 albañiles debían terminar una obra en 20 días; habían trabajado 5 días

cuando 5 de ellos se retiraron. ¿Cuánto duró la construcción de la obra?

Lo que falta: 20 días – 5días = 15días.25obr30obr

=15díasxdías

⇒ xdías=15×3025

=18

continúa tu con la solución, aún el proceso no ha terminado29 Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes. Di cuánto puede

durar un viaje de 33 tripulantes con la misma ración por tripulante.3933

=22x

⇒ x=39×2233

=26

30 40 kg de miel contienen 24 kg de azúcar. ¿Cuántos kg de agua hay que agregar a esta miel para que 5 kg de mezcla contengan 2 kg de azúcar?



5kgMx

= 2kgA24kgA

⇒ x=24 kgA×5kgM2kgA

=60kgM

continúa tu con la solución, aún el proceso no ha terminado40 35 obreros pueden terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo

se le junta cierto número de obreros de otro grupo, de modo que en 15 días terminan la obra.¿Cuántos obreros eran del segundo grupo?Lo que falta : 27 días – 6días = 21días

35+x35

=2115

⇒ x=35×2115

−35=14

41 Para hacer una zanja de 48x2x0,8 m, se contrató 15 obreros que lo harían en 18 días; luego de tres días 3 obreros se enferman. Se decide no variar el tiempo ni contratar más obreros, sólo se disminuiría la longitud de la zanja. ¿Cuánto se disminuyó?En tres días de obra avanzaron 3/18 de la obra que equivale a 1/6 de la obra.1/6 de la longitud es 8 m, lo que falta es 40 m de longitud

15ob12ob

=40mxm

⇒ xm=12ob×40m15 ob

=32m

continúa tu con la solución, aún el proceso no ha terminado42 Ochenta litros de agua de mar contienen 2 kg de sal. ¿Cuántos litros de agua

se deberán agregar, si se quiere que cada 10 litros de la nueva mezcla contenga 1/6 de kg de sal?

10x

=1

6

2⇒ x=2×10

16

=120

continúa tu con la solución, aún el proceso no ha terminado43 En una caja hay 200 bolas de las cuales 60 son rojas y el resto blancas.

¿Cuántas bolas blancas se deberán agregar, si se quiere que por cada tres bolas rojas haya 20 blancas?

320

=20x

⇒ x=60×203

=400

continúa tu con la solución, aún el proceso no ha terminado44 A una reunión asistieron 511 personas. Se sabe que por cada 6 hombres, había

8 mujeres. ¿Cuántos hombres asistieron a la reunión?14511

=6x⇒ x=511×6

14=219

45 500 obreros del ferrocarril, trabajando 10 horas diarias, han colocado ya 2 300 m de vía en 28 días. 425 obreros trabajando 8 horas diarias ¿Cuántos metros de vía colocarán en 42 días?

x=425×8×42500×10×282300

=2346

46 Ocho obreros hacen la apertura de una zanja de 20 m de longitud; 5 m de ancho y 2m de profundidad, en 5 días trabajando 10 horas diarias, con un esfuerzo representado por 4, una actividad representada por 2 y un terreno cuya resistencia a la cava está representada por 1. Calcula la longitud que tendrá otra zanja de 4 m de anchura y 1,5 m de profundidad habiendo sido abierta por 6 operarios que han trabajado durante 40 días a 8 horas por día con un esfuerzo como 5, una actividad como 3 y en un terreno de resistencia 2.

x=20×6×5×2×40×8×5×38×4×1,5×5×10×4×2×2

=150

47 Un muro de 50 m de largo, 8,80 m de alto y 0,30 m de espesor, ha sido construido en 18 días por 6 obreros que trabajan 8 horas diarias. Se pregunta qué altura tendrá otra pared que debe ser construida en 30 días por 3 hombres



que trabajan 10 horas por día si va a tener 70 m de largo y 0,45 m de espesor.

x=8 .8×3×10×30×50×0 ,306×8×18×70×0 ,45

=4 ,73

48 Una cuadrilla de 40 obreros ha hecho 400 m de carretera durante cierto número de días a razón de 8 horas diarias. Otra cuadrilla de 60 hombres ha hecho 675 m de la misma obra trabajando 6 horas diarias. Si el tiempo que han demorado las dos cuadrillas en hacer sus obras suman 25 días, halla el tiempo que emplea cada cuadrilla en hacer su obra.

25−T=T×40×8×67560×6×400

=3T2

continúa tu con la solución, aún el proceso no ha terminado49 Se contrató una obra para ser terminada en 20 días por 15 obreros que

trabajan 8 horas diarias. Habían trabajado ya dos días cuando se acordó que la obra debía ser terminada tres días antes del plazo estipulado, para lo que se contrató 5 obreros más. Di si la jornada debe aumentar o disminuir y en cuánto.

x=

15×20×8×910

20×15×1=7,2

continúa tu con la solución, aún el proceso no ha terminado50 Un contratista se compromete a construir dos secciones de un ferrocarril que

son igualmente difíciles para el trabajo. En cada sección emplea 80 obreros y al cabo de 50 días observa que mientras los primeros han hecho 3/8 de su trabajo, los otros han construido los 5/7 del suyo y deseando terminar la primera sección en 120 días se pregunta cuántos obreros deberán pasar de la segunda a la primera sección.

x=80×50×1

10

70×5

7

=8

51 Dos hombres y 4 niños pueden hacer una obra en 6 días, pero con dos hombres más pueden hacer el mismo trabajo en 4 días ¿En cuántos días haría dicha obra un hombre solo?Halla la relación entre hombres y niñosNº de obreros

Nº de días

2H + 4n 6 4H + 4n 4

3(4H + 4n) = (2H + 4n)6 → 2H = 4n

Reemplazando a los niños:

4HH

= x6

⇒ x=6⋅4=24

52 Las máquinas M1 y M2 tienen la misma cuota de producción semanal operando 30h y 35h respectivamente. Si M1 se malogra, luego de trabajar 18h debiendo hacer M2 el resto de la cuota. ¿Cuántas horas adicionales de trabajar M2?M1 y M2 hacen la misma cuota de producción.M1 = 30 h → cuota hecha en 18h = 18/30M2 = 35 h deberá adicionar 12/3035hx

= 11230

⇒ x=35⋅1230

=14

53 Un albañil pensó hacer un muro en 15 días, pero tardó 6 más por trabajar dos horas menos cada día ¿Cuántas horas trabajó diariamente?1521

= x−2x

⇒15 x=21( x−2 )⇒ x=7

54 César, al comprar una docena de lapiceros recibe de regalo 3 y al vender una docena da dos de regalo. Si en total César compró 1 944 lapiceros ¿Cuántos



lapiceros vendió César?En la compra En la venta

121944

=15x

⇒ x=15⋅194412

=243010y

=122430

⇒ y=10⋅243012

(2025 )

55 Se hacen disolver 240 g de azúcar en 5 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua habrá que aumentar a esta mezcla para que un litro de la nueva mezcla no tenga sino 8 g de azúcar5+x

1=240

8⇒ x=240

8−5=25

56 La hierba crece en el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 60 vacas se la comerían en 25 días y 40 en 45 días. ¿Cuántas vacas se comerán la hierba en 75 días?60 vacas → crecimiento del pasto n 40 vacas → crecimiento del pasto n25 días cantidad inicial 60 – n 45 días cantidad inicial 40 – n

x vacas → crecimiento del pasto n75 días cantidad inicial ( x – n )

60−n40−n

=2545

⇒45 (40−n)=25(60−n)⇒n=15

60−15=45x−15

=7525

⇒ x=45⋅2575

+15=30


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Tema 3 La Regla de Tres