Electrotecnia General Tema 35

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TEMA 35

TRANSFORMADORES MONOFÁSICOS II

35.1. TRANSFORMADOR MONOFÁSICO. CIRCUITO DE KAPP REFERIDO ALPRIMARIO.

Según la hipótesis de Kapp, la intensidad del transformador en vacío Iv se consideradespreciable, cuando el transformador trabaja en carga.

De acuerdo con esta hipótesis la ecuación (34.36) se simplifica, ya que:

(35.1)

Sustituyendo (35.1) en (34.35) se obtiene:

(35.2)

Haciendo:

C (35.3)

A Req1 y Xeq1 se les denominares i s tencia y reactancia deltransformador referidas al primario,respectivamente.

De esta forma, la ecuación (35.2) sepuede expresar según (35.4).

(35.4)

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La Fig.35.2 representa el diagramavectorial de la ecuación (35.4). Ahorabien, dado que la ecuación (35.4) es la quecorresponde al circuito de la Fig. 35.1,dicho diagrama representa las tensiones endicho circuito.

35.2. TRANSFORMADOR MONOFÁSICO. CIRCUITO DE KAPP REFERIDO ALSECUNDARIO.

Aplicando la hipótesis de Kapp (intensidad del transformador en vacío Iv, despreciable)la ecuación (34.41) se simplifica según (34.42).

(35.5)

Haciendo:

(35.6)

A Req2 y Xeq2 se les denominares i s tencia y reactancia de ltransformador referidas al secundario,respectivamente.

De esta forma la ecuación (35.6) seexpresa según (35.7).

(35.7)

El circuito correspondiente a la ecuación (35.7) se representa en la Fig.35.3.

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El diagrama correspondiente quedareflejado en la Fig.35.4

35.3. RESISTENCIA, REACTANCIA E IMPEDANCIA POR UNIDAD DE UNTRANSFORMADOR MONOFÁSICO.

Si en el diagrama de Kapp referido alprimario, Fig.35,4 le aplicamos unasemejanza de razón 1/U1, obtenemos elque se refleja en la Fig.35.5.

De forma análoga, si en el diagramade Kapp, referido al secundario, lasemejanza es de razón 1/U1/m, obtenemosla Fig. 35.6.

Teniendo en cuenta que se verifica:

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Se comprueba que ambos diagramas coinciden. En efecto:

C (35.8)

Rpu y Xpu se denominan resistencia y reactancia por unidad, respectivamente. Se trata demagnitudes adimensionales y tienen el mismo valor, tanto si el transformador está referido alprimario como al secundario.

La hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son Rpu y Xpu, define la impedanciapor unidad. En efecto:

(35.9)

El triángulo rectángulo de catetos Rpu, Xpu e hipotenusa Zpu se denomina triángulo de

Kapp.

35.4. CAÍDA DE TENSIÓN. REGULACIÓN DE VOLTAJE.

Si el primario de un transformador monofásico en carga, se conecta a una fuente de tensiónU1, en el secundario aparece una tensión U2. Se ha definido la relación de transformación m,como la relación entre las fuerzas electromotrices de primario y secundario, E1 y E2,respectivamente. Ahora bien, E1 es siempre menor que U1, ya que existen caídas de tensión enla bobina del primario debido a la resistencia equivalente R1, y en la reactancia equivalente delflujo de dispersión X1. De forma análoga, E2 es mayor que U2, ya que lo mismo sucede en elsecundario debido a R2 y X2. Por tanto en el transformador se ha producido una diferencia detensiones U1/m - U2. Se define caída de tensión relativa o coeficiente de regulación de voltaje,

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a la expresión:

(35.10)

Como puede apreciarse en (35.10), el coeficiente de regulación de voltaje, es la diferenciade potencial relativa, correspondiente al diagrama de Kapp referido: al primario, al secundarioo al unificado. En consecuencia la expresión (35.10) viene dada en tanto por uno.

El cálculo de ρ se puede hacer a partir del diagrama unificado.

Tomando mU2/U1 como origen de fases, resulta:

(35.11)

Si en la Fig 35.7, se traza un arco de circunferencia con centro en O y radio OA, severifica:

(35.12)

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Para calcular ρ, se empieza por determinar OA.

(35.13)

Pero se acuerdo con (35.12), el módulo de OE es igual al módulo de OA.

(35.14)

(35.15)

El módulo de OA vale:

(35.16)

En consecuencia, la regulación de voltaje valdrá:

(35.17)

En transformadores con potencias menores de 1.000 kVA, se puede utilizar la fórmulaaproximada:

(35.18)

Que se obtiene despreciando en (35.17) el sumando:

frente a

Otra forma de determinar la regulación de voltaje, es a partir de la impedancia por unidad.En efecto, en la Fig.35.7 se verifica:

(35.19)

Siendo:

(35.20)Según se desprende de la citada figura.

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(35.21)

Por tanto:

(35.22)

Cuyo módulo es:

(35.23)

La regulación de voltaje será:

(35.24)

Y despreciando el segundo sumando de la raíz frente al primero, cosa que puede hacerseen transformadores de menos de 1.000 kVA, resulta:

(35.25)

Operando (35.25), resulta:

(35.26)

35.5. DETERMINACIÓN DE LA REGULACIÓN DE UN TRANSFORMADORMONOFÁSICO.

En cualquier caso, si se tiene en cuenta que la resistencia y la reactancia por unidaddependen de la intensidad de carga, la regulación dependerá del estado de carga deltransformador.

La determinación de la regulación de un transformador monofásico, se hace a partir deldiagrama de Kapp. Para resolver el diagrama de Kapp es preciso conocer Rpu, Xpu y m.

A continuación se indican los procedimientos para estas determinaciones.

35.5.1 DETERMINACIÓN DE LA RELACIÓN DE TRANSFORMACIÓN.

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Se hace un ensayo del transformador en vacío, es decir, se deja abierto el secundario, yse alimenta el primario con la tensión nominal U1. Se coloca en el secundario un voltímetro,con el que se mide U2.

Teniendo en cuenta que en vacío los valores de tensiones y las fuerzas electromotrices sonprácticamente iguales; tanto en el primario como en el secundario, el valor de m será:

(35.27)

35.5.2 DETERMINACIÓN DE LA REGULACIÓN DE VOLTAJE.

Se comienza con un ensayo encortocircuito, para lo cual se conecta elsecundario a un amperímetro.

Se aplica al primario una tensión U1cc,hasta alcanzar en el secundario laintensidad que se desee, I2cc.

Como en cortocircuito U2 es nulo, eldiagrama de Kapp se convierte en eltriángulo de Kapp, Fig 35.8.

En general Req1 es conocida, a partir de las medidas directas que se pueden hacer paraconocer las resistencias equivalentes de bobinas de primario y secundario. Por otra parte,conocemos m del ensayo en vacío.

Del triángulo de Kapp, Fig.35.8, se obtiene el valor de Xeq1.

(35.28)

Si en vez de utilizar el diagrama del transformador referido al primario, hubiésemosutilizado el correspondiente al secundario, Fig.35.9, el valor de la reactancia equivalente de losflujos de dispersión en las bobinas de primario y secundario sería (35.29):

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(35.29)

Si la intensidad que se ha elegido para realizar este ensayo, coincide con la que toma eltransformador trabajando a plena carga, la hipotenusa del triángulo de Kapp para el ensayo encortocircuito coincide con la del diagrama de Kapp correspondiente al régimen de carga. Portanto:

(35.30)

Si no fuese así, habría que determinar la razón de semejanza entre ambas figuras.

A partir de los datos anteriores, obtenemos los valores de Rpu y Xpu para el régimen decarga dado (I1 o I2).

(35.31)

(35.32)

Con estos datos obtenemos la regulación, para un receptor determinado (cos n2), a partirde las ecuaciones (35.24) o (35.26), según se trate de un transformador de más o de menos de1.000 kVA.

Si ρn es el coeficiente de regulación del transformador que se ha obtenido a plena carga,I2n, el correspondiente a otra carga distinta, I2, se obtiene introduciendo el concepto de índicede carga, definido como la relación entre la intensidad que cede el transformador a una cargadeterminada y la suministrada a plena carga, es decir:

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(35.33)

En consecuencia, el coeficiente de regulación, para transformadores menor de 1.000 kVAserá:

(35.34)

35.6. PÉRDIDAS DE POTENCIA EN UN TRANSFORMADOR MONOFÁSICO.RENDIMIENTO.

Las pérdidas de un transformador en carga son las debidas al efecto Joule en las bobinas,y las producidas por histéresis y Foucault en el núcleo de hierro. Las primeras se denominanpérdidas en el cobre y las segundas pérdidas en el hierro.

Las pérdidas en el hierro son las mismas, tanto esté el transformador trabajando en vacíoo en carga.

En consecuencia, las pérdidas totales son:

(35.35)

Ahora bien:

(35.36)

Se define rendimiento de un transformador a la relación:

(35.37)

Siendo:

P1 = Potencia absorbida por el primario.P2 = Potencia cedida por el secundario.

(35.38)

Pero:

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(35.39)

Siendo PFe las pérdidas en el hierro.

Por tanto (35.37) se puede expresar como:

(35.40)

El rendimiento será máximo cuando:

sea mínimo, es decir:

sea mínimo.

Para U1 constante, y un receptor determinado (cos n1 = constante), tendrá que ser mínimala expresión:

(35.41)

Ahora bien, el producto de los dos sumandos de (35.41) es constante. En efecto:

(35.42)

Por tanto será mínimo (35.41) cuando los dos sumandos sean iguales, es decir cuando:

(35.43)

Operando (35.43), resulta:

(35.44)

En definitiva, el rendimiento de un transformador a una tensión U1 y factor de potenciadeterminado es máximo, cuando la potencia perdida en el hierro es igual a la potencia perdidaen el cobre.

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En la Fig.35.10 se representanlas curvas de rendimiento de untransformador, para distintosfactores de potencia. En todas ellas,el rendimiento máximo se obtienep a r a l a m i s m a a b s c i s a ,correspondiente a un valorcomprendido entre ½ y ¾ del valorPcarga/Pnominal.

35.7. BALANCE ENERGÉTICO DEL TRANSFORMADOR MONOFÁSICO.

El balance energético del transformador monofásico se puede obtener a partir de lasecuaciones (34.28).

La potencia que entra en el primario de un transformador se define por la expresión:

(35.45)Sustituyendo en la expresión anterior U1 por su valor según la primera ecuación de (34.28),

resulta:

(35.46)Ahora bien, sabemos que se verifica:

(35.47)

En consecuencia:

(35.48)

Por tanto, se cumple:

(35.49)

(35.50)

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(35.51)

Sustituyendo (35.51) en (35.50), resulta:

(35.52)

Si en (35.52) sustituimos Ē2 por la segunda expresión de (34.28), resulta:

(35.53)

También sabemos que se verifica:(35.54)

Por tanto:

En consecuencia:

(35.55)

Además, la potencia aparente que absorben los receptores conectados al secundario deltransformador es:

(35.56)

Sustituyendo (35.53) y (35.55) en (35.46), resulta:

(35.57)

Sustituyendo en (35.57) (35.56), resulta:

(35.58)

De acuerdo con (35.45) se verifica:

C (35.59)

En consecuencia,

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La potencia activa que absorbe el conjunto P1, se distribuye de la siguiente forma:

R1.I12 Potencia perdida por Joule en el primario.

R2.I22 Potencia perdida por Joule en el secundario.

E1.Ia Potencia perdida por histéresis y Foucault en el núcleo ferromagnético. P2 Potencia activa absorbida por el receptor conectado al secundario.

La potencia reactiva que absorbe el conjunto Q1, se distribuye de la siguiente forma:

X1.I12 Potencia reactiva equivalente al flujo de dispersión en las bobinas del primario.

X2.I22 Potencia reactiva equivalente al flujo de dispersión en las bobinas del

secundario.E1.Ir Potencia reactiva equivalente al flujo en el núcleo ferromagnético.Q2 Potencia reactiva que toma el receptor conectado al secundario.