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Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1
Aplicaciones de la Transformada de Fourier (Eléctricos)
Modulación
Modulación en Amplitud (AM)
Modulación en Amplitud DSB-SC
Multiplexación
Teorema de Muestreo
Modulación Amplitud de Pulso (PAM)
Dónde se aplica el análisis de Fourier
Indice:
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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1. Aplicaciones de la Transformada de Fourier a Sistemas Lineales (Eléctricos)
Ejemplo: Hallar la corriente i0(t) del circuito mostrado.
Aplicando Transformada de Fourier
Aplicando la ley de Kirchhoff, divisor de corriente hallamos la función de transferencia:
iG(t) = Ig cos(w0t),
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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1. Aplicaciones de la Transformada de Fourier a Sistemas Lineales (Eléctricos)
Ejemplo:
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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Transmisión de una señal a una frecuencia dada, variando alguna de sus
características de forma proporcional al mensaje o señal que queremos transmitir.
En la modulación intervienen los siguientes elementos:
Señal portadora: Señal periódica encargada de ”transportar” la información a
transmitir, y cuya frecuencia es la frecuencia de transmisión deseada.
Señal moduladora: Señal que representa el mensaje que deseamos
transmitir, y cuya frecuencia en general no sería la frecuencia de transmisión
deseada. Esta señal modificaría algún parámetro de la portadora.
Señal modulada: Señal resultante de la modulación de una señal portadora
por una señal moduladora.
2. Modulación
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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2. Modulación
Criterios para clasificar los tipos de modulación:
Tipo de portadora y moduladora: analógica o digital.
Parámetro de la señal portadora que puede modificar la moduladora:
amplitud, frecuencia y fase.
Ejemplo de Modulación
Portadora: Frecuencia Deseada Moduladora: Información
Modulada: Resultante
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3. Modulación en Amplitud (AM)
Esquemas de modulación de amplitud:
AM con portadora completa y dos bandas laterales o AM completa.
AM con dos bandas laterales y portadora suprimida (AM-DSB-SC5).
AM con dos bandas laterales y vestigio o piloto de portadora.
Banda lateral única (BLU o SSB6) sin portadora.
Banda lateral única con piloto de portadora.
AM con vestigio de banda lateral o AM con banda lateral vestigial (AMVSB7).
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3. Modulación en Amplitud (AM)
En este tipo de modulación, la amplitud de la portadora varía según la señal de
información, de modo que la información de amplitud y frecuencia de ésta se
“montan” sobre la portadora haciendo que su envolvente varíe de acuerdo a la
señal moduladora o de información.
Portadora
Moduladora
Modulada
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3. Modulación en Amplitud (AM)
B
A
B
B
A
A
m(t) = A sen (wct)
f(t) = B sen (wat)
y(t) = (A + B sen (wat)) sen (wct)
y(t) = A 1 + B sen (wat) sen (wct)
A
Análisis matemático
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3. Modulación en Amplitud (AM)
Factor de Modulación
B
A m =
El Factor de modulación, está dado por m = B/A, donde B es el voltaje
instantáneo pico de la señal moduladora. Cuando se expresa como
porcentaje se conoce como índice de modulación, M, y puede tomar valores
entre 0% y 100%. El primero corresponde a la ausencia de modulación,
M=100% corresponde al máximo nivel permisible de modulación sin
distorsión. B
A M = x 100%
La forma de onda se puede ver fácilmente en un osciloscopio, con lo que los
voltajes máximo y mínimo pueden medirse y determinar, así, el índice de
modulación como:
(A + B) – (A – B)
(A + B) + (A - B) M = x 100%
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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Un método comúnmente utilizado es el basado en el Teorema de Translación de
Frecuencia.
3. Modulación en Amplitud (AM)
Teorema de Translación en Frecuencia, establece que la multiplicación de una
señal f(t) por una señal sinusoidal de frecuencia c, traslada su espectro de
frecuencia en c radianes.
Sea F [f(t)] = F(), la transformada de Fourier de la función f(t). Si aplicamos
la transformada de Fourier a la entrada portadora considerando una función
seno o coseno, tenemos:
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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3. Modulación en Amplitud (AM)
De acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia, se tiene el siguiente
resultado:
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3. Modulación en Amplitud (AM)
wc -wc
F [cos wct] πδ(w+wc ) πδ(w-wc )
w
wc -wc w
F [f(t)cos wct]
w wM -wM
F(w)
cos wct
t
f(t)
t
f(t) coswct
t
Señal Portadora
Señal Moduladora
Señal Modulada
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Esta modulación analógica, tiene como característica que la amplitud (A) de la
portadora no modulada y denotada por la ecuación: A cos (ct + c), se varía en
proporción a la señal moduladora manteniendo constantes c y c. El espectro de
frecuencia de la señal modulante se desplaza hasta el valor de c.
La señal f(t) se denomina Modulante y contiene la información que se desea
transmitir.
La señal Cos(ct) es la Portadora, la cual determina la frecuencia a la cual va a ser
trasladado el espectro de frecuencia.
Observaciones:
4. Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB-SC)
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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El espectro de f(t).cos(ct) no contiene portadora.
El espectro de la moduladora es simétrico respecto al eje “y.
El espectro de f(t).cos(c t) contiene dos bandas laterales para c. La banda a la
derecha de +c se denomina banda lateral superior (B.L.S.) y la de la izquierda
banda lateral inferior (B.L.I.). Para la frecuencia -c, la banda a la derecha de -c
se denomina banda lateral inferior (B.L.I.) y la de la izquierda banda lateral
superior (B.L.S.).
El ancho de banda de la señal modulada es el doble del ancho de banda de la
señal moduladora.
Observaciones:
4. Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB-SC)
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4. Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB-SC)
Demodulación: Es el proceso de separar la señal moduladora de la señal
modulada.
El espectro de la señal modulada puede ser trasladado a su posición original
multiplicando la señal modulada por coswct en el extremo receptor luego de la
transmisión, es decir, la señal original puede recuperarse con un filtro para bajas
frecuencias.
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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4. Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB-SC)
Sea AM(t) = f(t)cos(wct). (Señal modulada)
Si AM(t) se multiplica por cos(wct) tenemos:
Utilizando la identidad de cos2 wct tenemos:
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5. Multiplexación
Multiplexación por división de Frecuencia: Consiste en asignar a cada señal
una parte de la banda final de frecuencia que se vaya a utilizar para que sea
transmitida, este proceso es similar a AM. Si se desea transmitir varias señales
simultáneamente, solo hace falta desplazar los espectros de cada una de las
señales hasta valores de frecuencia tales que, no se traslapen unos con otros,
evitando así la posible interferencia entre ellos.
Es el proceso que permite la transmisión simultánea de varias señales de información
por un mismo canal. Pueden ser:
Multiplexación por División de Frecuencia.
Multiplexación por División de Tiempo.
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5. Multiplexación
Procedimiento: Consideremos tres señales de banda limitadas f1(t), f2(t), y f3(t)
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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5. Multiplexación
Procedimiento:
Se escoger una frecuencia portadora para cada una de las señales que permita
ubicarlas dentro del espectro de frecuencia del canal, de manera tal, que no se
traslapen unas con otras; donde se han escogido frecuencias wc1 , wc2 y wc3 para
ubicar cada uno de los espectros sin que exista interferencia de unos a otros.
Si tenemos un canal de ancho de banda B, podemos dividir este canal en n canales de
ancho de banda B/n, y enviar simultáneamente n señales, cada una por un subcanal.
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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Sea x(t) una señal limitada en banda, (X(f) = 0 si |f| > B). Entonces, es posible
recuperar x(t) a partir de sus muestras si estas se toman a una frecuencia fm > 2B.
Este teorema nos indica que podemos reconstruir completamente una señal a partir
de sus muestras si se cumple el Teorema de Muestreo.
6. Teorema de Muestreo
Ancho de banda (B) de la señal: expresa el rango de frecuencias en el cual se
encuentra concentrado un alto porcentaje del espectro de la señal. Por ejemplo, si
una señal continua tiene el 95% de su espectro concentrado en el rango f1 ≤ f ≤ f2,
entonces se dice que el ancho de banda del 95% de la señal es f2 – f1 .
Una señal se dice de banda estrecha si su ancho de banda (f2 – f1) es mucho
menor que su frecuencia media (f2 + f1 )/2, de lo contrario se dice que es una
señal de banda ancha.
Una señal continua se dice de banda limitada si su espectro es cero para
frecuencias f fuera del rango │f│≤ B.
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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La modulación de amplitud de pulso se denota como PAM (Pulse Amplitude
Modulation) y se produce al multiplicar una señal f(t) que contiene la
información por un tren de pulsos periódicos pT(t).
Al realizar el producto, la amplitud de los pulsos será escalada en magnitud por la
amplitud de la señal f(t).
De esta manera el resultado final es un tren de pulsos cuyas amplitudes son
función del valor de la señal f(t) en cada uno de ellos.
7. Modulación Amplitud de Pulso (PAM)
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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7. Modulación Amplitud de Pulso (PAM)
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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8. Dónde se aplica el análisis de Fourier
Se utiliza en muchas áreas de ingeniería donde se analizan y diseñan sistemas
dinámicos.
En comunicaciones
Para analizar contenido de frecuencia de las señales.
Diseñar los sistemas de transmisión de señales para transmitir
información.
Analizar los cambios que ocurren cuando las señales viajan a través de un
medio de transmisión.
Diseñar sistemas para compensar la distorsión de las señales en los
sistemas de transmisión.
Para diseñar supresores y canceladores de eco en líneas telefónicas.
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.
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En ingeniería de control
Para estudiar la estabilidad de los sistemas de control utilizados en
diversos equipos.
Para análisis y diseño de sistemas de control que satisfagan los
requerimientos establecidos.
Para compensar sistemas de control que tienen problemas de estabilidad.
8. Dónde se aplica el análisis de Fourier
Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.