Tema 4 - Cinemática Directa · 4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1. 5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del

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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Modelo CinemáticoFECHA:Profesor: M. Hernando & C. García

Titulación: Grado en Ingeniería Electrónica y Automática

Área: Ingeniería de Sistemas y AutomáticaDepartamento de Electrónica Automática e Informática IndustrialEscuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRIDE.U.I.T. Industrial

RobóticaTema 4. Modelo Cinemático Directo

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Resumen

Se pretende obtener la descripción matemática de la localización espacial del robot conociendo las posiciones articulares del mismomismo. Para ello se empleará una metodología cerrada conocida como Método de Denavit-Hartenberg.

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Objetivos

1. Conocer los métodos matemáticos para la obtención del modelo cinemático directo de un robot seria.

2 Adquirir destreza en la obtención de dicho modelo2. Adquirir destreza en la obtención de dicho modelo.

3


Contenido4.1. Justificación

4.2. El problema cinemático directo4 2 1 Método Geométrico4.2.1 Método Geométrico

4.2.2 Matrices de Transformación homogénea

4.3. Método de Denavit – Hartenberg (DH)

Bibliografía recomendada:

4.3. 1 Ejemplos

4

[1] Robótica: Control, Visión, Detección e Inteligencia. Fu, Gonzales y Lee.Mc-Grow Hill.[2] Fundamentos de Robótica. Barrientos, Peñín, Balaguer, Aracil.[3] Robótica: Manipuladores y Robots Móviles. A. Olleros. Ed. Macombo

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En este tema se aplicarán las herramientas matemáticas anteriores al área de la robótica. Tenemos dos objetivos:

4.1. Justificación

Obtener un modelo geométrico de la estructura que permita relacionar los grados de libertad (las variables/coordenadas generalizadas) con las coordenadas cartesianas de todos y cada uno de los puntos que constituyen el robot.

Objetivo 1

Cinemática directa Solución única para la mayor parte de los robots seriales

Posicionar al robot. Esto es dadas las posiciones cartesianas como valores de entrada hallar los valores de las coordenadas generalizadas.

Objetivo 2

Cinemática inversa Puede haber 0, 1, 2…o infinitas soluciones.


La cinemática del robot estudia el movimiento del mismo con respecto

Definición

4.1. Justificación

a un sistema de referencia.

La cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y orientación del extremo final del robot y los valores que toman sus coordenadas articulares.

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4


Contenido4.1. Justificación





4.3. 1 Ejemplos

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La cinemática directa consiste en obtener la posición en el espacio de la estructura a partir de los valores de las coordenadas generalizadas (q).

4.2. El Problema Cinemático Directo

Éstas están asociadas a las articulaciones y definen sus “propiedades” de movimiento, por lo que para las articulaciones de revolución la variable generalizada será un ángulo, y para las prismáticas un desplazamiento.

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4.2.1 Método Geométrico


Obtenemos la posición y orientación del extremo del robot apoyándonos en las relaciones geométricas:

• No es un método sistemático.• Es usado cuando tenemos pocos grados de libertad.

( ) ( )cos cosx l q l q q= + +( ) ( )( ) ( )

1 1 2 1 2

1 1 2 1 2

cos cos

sin sin

x l q l q q

y l q l q q

= + +

= + +



• A cada eslabón se le asocia un sistema de referencia solidario.


• Es posible representar las traslaciones y rotaciones relativas entre los distintos eslabones.

• La matriz i-1Ai representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot.

• Representación total o parcial de la cadena cinemática del robot:0A3 = 0A1

1A2 2A3

T = 0A6 = 0A11A2

2A33A4

4A55A66 1 2 3 4 5 6

• Existen métodos sistemáticos para situar los sistemas de coordenadas asociados a cada eslabón y obtener la cadena cinemática del robot. Método de Denavit-Hartenberg (D-H)

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Contenido

4.1. Justificación





4.3. 1 Ejemplos

11



4.3. Método de Denavit - Hartenberg

• Permite el paso de un eslabón al siguiente mediante 4 transformacionesbásicas, que dependen exclusivamente de las características constructivasdel robotdel robot.

• Las transformaciones básicas que relacionan el sistema de referencia delelemento i con el sistema del elemento son:

1. Rotación θi alrededor del eje zi-1

2. Traslación di a lo largo del eje zi-1

3. Traslación ai a lo largo del eje xi

4. Rotación αi alrededor del eje xi

( ) ( ) ( ) ( )1 , 0,0, ,0,0 ,ii i i i iz d a xθ α− =A T T T T

1

00 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i iii

i i i

c c s s s a c

s c c s c a s

s c d

θ α θ α θ θθ α θ α θ θ

α α−

− − =

A

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1) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.


2) Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.

3) Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.

4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.

5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0.

6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1.


7) Para i de 1 a n-1, situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.

8) Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.


9) Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.

10) Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xiqueden paralelos.

11) Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.

12) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidiría con xi-1, que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.

13) Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi, que ahora coincidiría con xi-1, para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.

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14) Obtener las matrices de transformación i-1Ai.


14) Obtener las matrices de transformación Ai.

15) Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot:

T = 0A11A2 ... n-1An

16) La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatrizde traslación) del extremo referidas a la base en función de las n coordenadas articulares.


Contenido

4.1. Justificación



4.3. Método de Denvit – Hartenberg (DH)


4.3. 1 Ejemplos

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DH-1) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.

1

2 3

4

0


3d

DH-2) Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.

1

2 3

4

2d

4θ

0

1θ

El robot tiene 4 d.o.f. por lo tanto n=4

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3d

DH-3) Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento

4l

1

2 3

41θ

2d

4θ

0

2

1l


2 3

3d

DH-4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.

4l

1

2 3

41θ

2d

4θ

0

2z3z

01l

=

3210

i

0z

1z

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3d

DH-5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0

e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0.

4l

1

2 3

41θ

2d

4θ

4

2z 3z

01l

=

3210

i0z

1z

0x

0y


3d

DH-6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi

con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1.

4l

1

2 3

4

2d

3d

4θ2z

3z

0

1θ1l

=

321

i

0z

1z

0x

0y

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3d

DH-7) Para i de 1 a n-1, situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.

4l

x

1

2 3

41θ

2d

4θ2z

3z

2x3x

3z

3x

01l

=

321

i

0z

1z

0x

0y1x


3d

DH-8) Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.

4l

x2y

3y

1

2 3

41θ

2d

4θ2z

3z

2x3x

3z

3x3y

01l

=

321

i

0z

1z

0x

0y1x

1y

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3d

DH-9) Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.

4l2y

1

2 3

41θ

2d

4θ2z

3z

4z

2x3x

3z

3x

4x

3y

4y

0

2

1l

=

321

i

0z

1z

4z

0x

0y1x

1y

4y


3

3d

DH-10) Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xiqueden paralelos.

4l

2x2y

3y

1

2 3

41θ

2d

4θ2z

3z

4z

2x3x

3z

3x

4x

3y

4y

01l

0z

1z

0x

0y1x

1y

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3

3d

DH-11) Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.

4l

2x2y

3y

1

2 3

41θ

2d

4θ2z

3z

4z

2x3x

3z

3x

4x

3y

4y

01l

0z

1z

0x

0y1x

1y


3d

DH-12) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidiría con xi-1, que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.

4l

x2y

3y

1

2 3

41θ

2d

4θ2z

3z

4z

2x3x

3z

3x

4x

3y

4y

01l

0z

1z

0x

0y1x

1y

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3d

DH-13) Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi, que ahora coincidiría con xi-1, para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.

4l2y

1

2 3

41θ

2d

4θ2z

3z

4z

2x3x

3z

3x

4x

3y

4y

01l

0z

1z

4

0x

0y1x

1y


DH-14) Obtener las matrices de transformación i-1Ai.

−−

=−0

1 iiiiiii

iiiiiii

ii

dCS

SaCSCCS

CaSSSCC

Aθθαθαθθθαθαθ

=

1000010

00010100

22

1d

A

−

=

1000100

0000

1

11

11

10

l

CqSq

SqCq

A

10000 iii

i dCS αα

=

1000100

00100001

33

2d

A

−

=

1000100

0000

4

44

44

43

l

CqSq

SqCq

A

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DH-15) Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot: T = 0A1

1A2 ... n-1An

−−

=−0

1iii

iiiiiii

iiiiiii

ii

dCS

SaCSCCS

CaSSSCC

Aαα

θθαθαθθθαθαθ

=

1000010

00010100

22

1d

A

−

=

1000100

0000

1

11

11

10

l

CqSq

SqCq

A

1000

iii

=

1000100

00100001

33

2d

A

−

=

1000100

0000

4

44

44

43

l

CqSq

SqCq

A

43

32

21

10 AAAAT =

( )( )

+++−

=

10001 1244

43114141

43114141

ldCqSq

ldSqSqSqCqCqCq

ldCqCqSqSqCqSq

T


DH-1) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.

DH-2) Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.

DH-3) Localizar el eje de cada articulación Si ésta es rotativa el eje será su propio eje

3

2

2d

3θ

DH-3) Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento

1

0

1θ

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DH-4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.

DH-5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0

e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0.

DH-6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1.

2d3θ0z

1z 2z

l0x

p p { i}

1θ 0i 1

2

=


DH-7) Para i de 1 a n-1, situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.

DH-8) Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.

DH-9) Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.

2d3θ0z

1z 2z

1l0x

1x2x

0y

1y 2y

3x3y

1θ 3z

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DH-10) Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xiqueden paralelos.

DH-11) Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-

1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.

DH-12) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidiría con xi-1, que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.

2d3θ0z

1z 2z

1l0x1x

2x

q q p { i-1} p q g { i}

DH-13) Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi, que ahora coincidiría conxi-1, para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.

1θ

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Tema 4 - Cinemática Directa · 4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1. 5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del