Tema 4 La elección óptima del consumidor. 2 Racionalidad económica Postulado básico: Un individuo elige siempre la cesta preferida de entre todo el conjunto

Tema 4

La elección óptima del consumidor

2

Racionalidad económica

• Postulado básico:

Un individuo elige siempre la cesta preferida de entre todo el conjunto de alternativas factibles

• El conjunto presupuestario constituye el conjunto de elección

3

Problema matemático

• Podemos formular matemáticamente nuestro problema como:

02

,01

& 2211

)2

,1

(

2,

1

xx

mxpxpasujeto

xxuxx

Max

4

Problema de elección

• ¿Cómo podemos hallar dicha cesta?

• Consideramos que ambos bienes son realmente “bienes”

• Resolvemos el problema primero gráficamente y después matemáticamente

5

Elección óptima restringida

x1

x2

6


Cestas alcanzables

x1

x2

x2*

x1* m/p1

m/p2

7


x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) proporciona la mayor utilidad (alcanza la C.I. más alta) entre todas lascestas alcanzables

m/p1

m/p2

8


x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) es, por tanto, la cestaóptima

m/p1

m/p2

9

La cesta óptima• Si (x1*,x2*) es interior y las preferencias

son convexas, satisface dos condiciones:

• (1) Está localizada en la RP: p1x1* + p2x2* = m

• (2) Tangencia: la pendiente de la RP, -p1/p2, y la pendiente de la C.I. en (x1*,x2*) coinciden:

|RMS (x1*,x2*) |= p1/p2

10

La cesta óptima

x1

x2

x1*

x2*

(1)(x1*,x2*) está localizada en la RP:

p1x1* + p2x2* = m

m/p1

m/p2

11

La cesta óptima

x1

x2

x1*

x2*

(2) Tangencia: La pendiente de la C.I. en (x1*,x2*) es igual a la pendiente de la RP

m/p1

m/p2

12

La cesta óptima

• ¿Cómo podemos utilizar esta información para resolver nuestro problema matemáticamente?

13

La cesta óptima: ejemplos

• Supongamos que el consumidor tiene preferencias Cobb-Douglas:

U x x x xa b( , )1 2 1 2

14

La cesta óptima: ejemplos

• Supón que el consumidor tiene preferencias Cobb-Douglas:

U x x x xa b( , )1 2 1 2

ba xaxx

UUM 2

11

11

121

22

ba xbxx

UUM

15

La cesta óptima

• Calculamos la RMS:

1

21

21

21

1

2

121 bx

ax

xbx

xax

x/U

x/U)x,x(RMS

ba

ba

16

La cesta óptima

• La RMS es:

• Condición de tangencia:

RMS (x1*,x2*) = -p1/p2

1

21

21

21

1

2

1

1

221 bx

ax

xbx

xax

x/U

x/U

dx

dx)x,x(RMS

ba

ba

17

La cesta óptima

• Condición de tangencia:

***

*

12

12

2

1

1

2 xap

bpx

p

p

bx

ax (1)

• (x1*,x2*) pertenece a la RP:

mxpxp **2211 (2)

18

La cesta óptima

• Despejamos

xbpap

x21

21

* * (1)

p x p x m1 1 2 2* * . (2)

p x pbpap

x m1 1 21

21

* * .

Sustituimos

obteniendo

Esto se puede simplificar a ….

19

La cesta óptima

22 p

m

ba

bx*

Sustituyendo en la condición de tangencia:1

1 p

m

ba

ax*

mxpa

ba *

11

Despejando:

20

La cesta óptima

• Con las preferencias Cobb-Douglas, el individuo gasta una proporción fija de la renta en cada bien

• Gasta la proporción a/(a+b) en el bien 1 y la proporción b/(a+b) en el bien 2

21

La cesta óptima

2p

m

ba

b

x1

x2

1p

m

ba

a

22

La cesta óptima

• Resumiendo, con preferencias regulares, la cesta óptima se halla resolviendo las dos condiciones: tangencia y pertenencia a la RP

23

Otra interpretación• La condición de tangencia se puede

rescribir como:

2

*2

1

*

p

UM

p

UM1

•En el óptimo, cada bien comprado debería proporcionar la misma utilidad marginal por euro gastado en el bien

24

Otra interpretación

• Si no se diese la igualdad, la renta disponible no estaría distribuida óptimamente entre el consumo de los bienes

• La utilidad podría incrementarse si gastáramos más renta en el bien cuya utilidad marginal por euro gastado es mayor

25

Otra interpretación

• Por ejemplo, supongamos que p1 = 20, p2 = 5, UM1 = 40 y UM2 = 15

• Vemos que UM1/p1 = 2 < UM2/p2 = 3

• Puedo reducir x1 en 1 unidad y aumentar x2 en 4 unidades gastando lo mismo

• La utilidad aumenta: baja en 40 por reducir x1 y sube en 60 por aumentar x2

26

Preferencias no convexas

x1

x2

Las cestas óptimas

Una de las cestas obtenidas con las 2 condiciones minimiza la satisfacciónentre todas las situadas en la RP

27

Preferencias no convexas

• Por lo tanto, la condición de tangencia es necesaria pero no suficiente para la optimalidad

• Es suficiente con preferencias convexas

28

La demanda del consumidor

• La elección óptima se denomina cesta demandada por el consumidor.

• La función de demanda es aquella que relaciona la cesta óptima con los precios y la renta. Se escribe:

• x1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m)

29

Soluciones esquina: sustitutivos perfectos

x1

x2

RMS = -a/b

U(x1,x2) = ax1 + bx2

30


x1

x2

RMS = -a/b

Pendiente RP= -p1/p2 con p1/p2 >a/b

m/p1

m/p2

31


x1

x2

RMS = -a/b


m/p1

m/p2

32


x1

x2

22 p

mx *

x1 0*

RMS = -a/b


m/p1

33


x1

x2

1

*1 p

mx

x2 0*

RMS = - a/b

Pendiente RP = -p1/p2 con p1/p2 < a/b

m/p2

34


x1

x2

RMS = -a/b

Pendiente RP= -p1/p2=-a/bm/p2

m/p1

35


x1

x2

Todas las cestas situadas en la RP proporcionan la mismasatisfacción

m/p2

m/p1

36


En resumen, dada la función de utilidad U(x1,x2) = a x1 + b x2, la cesta óptima es:

0

121 ,),( **

p

mxx

221 0

p

mxx ,),( **

si p1/p2 < a/b

si p1/p2 > a/b

si p1/p2 = a/b

2

11

11

0p

xpm

p

mx

**2

* x ,

37

Soluciones esquina:preferencias cóncavas

x1

x2M

ejor

38


x1

x2

m/p1

m/p2

39


x1

x2

¿Cuál es la cesta preferida?

m/p1

m/p2

40


x1

x2

La cesta óptima

m/p1

m/p2

0

41


x1

x2

La cesta óptima

La cesta obtenida con las 2 condiciones minimiza la satisfacciónentre todas las situadas en la RP

m/p1

m/p2

0

42


La cesta óptimam/p2

m/p1 x1

x2

0

43

Complementarios perfectos

x1

x2U(x1,x2) = min{ax1,bx2}

x2 = (a/b)x1

44


x1

x2

RMS = 0

U(x1,x2) = min{ax1,bx2}

x2 = (a/b)x1

45


x1

x2

RMS = -

RMS = 0


x2 = (a/b)x1

46


x1

x2

RMS = -

RMS = 0

RMS no definida


x2 = (a/b)x1

47


x1


x2 = (a/b)x1

48


x1


x2 = (a/b)x1

¿Cuál es la preferida?

49


x1


x2 = (a/b)x1

La cesta óptima

50


x1


x2 = (a/b)x1

x1*

x2*

51


x1


x2 = (a/b)x1

x1*

x2*

(1) p1x1* + p2x2* = m(2) x2* = (a/b)x1*

52


(1) p1x1* + p2x2* = m; (2) x2* = (a/b)x1*.

Sustitutimos x2* de (2) en (1): p1x1* + p2(a/b)x1* = m

53


(1) p1x1* + p2x2* = m; (2) x2* = (a/b)x1*

Sustituimos x2* de (2) en (1): p1x1* + p2(a/b)x1* = mcon lo que:

21

2

21

1

ppab

mx

pba

p

mx

** ;

54


x1


x2 = (a/b)x1

21 pba

p

m

21 ppabm

55


• Los dos bienes siempre se consumen juntos en una proporción de (a/b) unidades del bien 2 por unidad del bien 1. Esta combinación constituye una cesta completa

• Cada cesta “completa” cuesta p1+(a/b)p2 por lo que el individuo se podrá comprar un máximo de m/[p1+(a/b)p2] cestas completas

56

Bienes neutrales y males• En el caso de los bienes neutrales o

males, el consumidor gasta toda su renta únicamente en la mercancía que le reporta satisfacción (el que es realmente un “bien”)

57

La condición de la RMS

• En el caso de solución interior y preferencias convexas el cociente de precios nos da el valor de la RMS, es decir, cuánto está dispuesto a sacrificar de un bien el consumidor para obtener una mayor cantidad del otro

• El hecho de que los precios no son números arbitrarios, sino que reflejan cómo valoran los consumidores los bienes en el margen es una de las ideas fundamentales en Economía

58


• La observación de diferentes elecciones a diferentes precios nos da información sobre las preferencias del individuo, porque conocemos su RMS en diferentes puntos

59


• Como los precios son iguales para todo el mundo, todos los consumidores que consuman de los dos bienes tendrán la misma RMS

• Por lo tanto, todos los consumidores valorarán de la misma forma una variación marginal del consumo

60


• El precio de un litro de leche es 1€ y un cuarto de kilo de mantequilla cuesta 2€

• La RMS de todos los consumidores debe ser 2: hay que darles un cuarto de kilo de mantequilla para que les compense por renunciar a 2 litros de leche

61

La elección del impuesto

• El Gobierno desea recaudar Z euros• ¿Qué tipo de impuesto debe imponer, uno

sobre la renta o uno sobre la cantidad?• RP original: p1x1+p2x2=m• Impuesto sobre la cantidad: gravamos el

bien 1 al tipo t. RP con t:

(p1+ t)x1+p2x2=m• La pendiente es: –(p1+ t)/p2

62


• La elección óptima dependerá del valor de t y cumplirá las dos condiciones:

(1) (p1+ t)x1* + p2x2*=m

(2) |RMS (x1*, x2*)|= (p1+ t)/p2

• Recaudación: t es elegido de forma que

tx1* = Z

• Considera ahora un impuesto sobre la renta que recauda la misma cantidad

63


• La nueva RP es: p1x1+p2x2=m-Z

• La pendiente es: –p1/p2

• Cesta óptima: (x1**, x2**)

• La cesta óptima satisface las dos condiciones:

(1) p1x1** + p2x2**=m-Z

(2) |RMS(x1**, x2**)|= p1/p2

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• ¿Sigue siendo la cesta óptima con t asequible?

• Si lo fuese, entonces se cumpliría que p1x1* + p2x2*≤ m-Z

• Sabemos que (p1+ t)x1* + p2x2*= m y que tx1* = Z

• Lo podemos reescribir como: p1x1*+p2x2* = m-Z

• Como es asequible, pertenece a la RP

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• ¿Es óptima? No! La condición de tangencia no se cumple:

• La nueva RP no es tangente, sino que corta a una C.I. en (x1*, x2*)

• Es posible mejorar el bienestar del individuo consumiendo una mayor cantidad del bien 1: (x1**, x2**)

|RMS (x1*, x2*)|= (p1+ t)/p2 > p1/p2

66

La elección del impuestox2

x1m/p1

m

x1´

x2´

Suponemos p2 = 1

67


x1

x2*

x1* m/(p1+ t) m/p1

m

68


x1x1* m/(p1+ t) m/p1

mm-p1x1*

m-(p1+t)x1*

Ingresos gobierno:tx1*=Z

69


x1

x2*

x1*

Nueva RP:p1x1+p2x2=m-ZParalela a la original

m/(p1+ t) (m-Z)/p1 m/p1

m

m - Z

70


x1

x2*

x2**

x1* x1**

La cesta (x1*, x2*) no es óptima con el impuestosobre la renta

71


x1

x2*

x2**

x1* x1**

Mismos ingresos: ZCon el impuesto sobre la renta se alcanza un mayor bienestar

m - Z

m

72


• Conclusión: Un impuesto sobre la renta es superior a un impuesto sobre la cantidad que recaude los mismos ingresos para el Gobierno ya que el consumidor disfrutará de un mayor bienestar

73

Limitaciones

• Muchos individuos con diferente renta• Un impuesto sobre la renta uniforme para

todos los consumidores no es necesariamente mejor que un impuesto sobre la cantidad uniforme (piénsese en el consumidor que no consume de bien 1)

• Si la renta proviene del trabajo, al gravarla se desincentivará el conseguirla

• Análisis parcial: no hemos considerado la respuesta de la oferta al impuesto

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