Tema 4: Ondas electromagnéticasEcuaciones de MaxwellEcuación de ondasOndas electromagnéticas. Espectro electromagnéticoEnergía y momento de una onda electromagnética

Juan JiménezGdS OptronlabDto Física de la Materia CondensadaEIIUniversidad de Valladolid

Las ecuaciones de MaxwellHasta ahora hemos visto las leyes que rigen el campo eléctrico por un lado y el magnetismo por otro:Leyes de Gauss, Coulomb, Biot Savart, Ampère, y Faraday. El resumen de lo visto hasta ahora loconstituyen las siguientes ecuaciones:

0Qd i

S SE Ley de Gauss

Ley de Gauss del MagnetismoLey de Ampère

Ley de Faraday

0S

dSB

Id cc 0lB

SSm

Cdtddt

ddtdd SBSBlE

En 1830 Faraday revolucionó el electromagnetismo al establecer que el campoeléctrico y el magnético estaban relacionados. Un campo magnético variable en el tiempo genera un campo eléctrico. ¿ Sucede algo parecido al revés?

La corriente de desplazamientoId c

c 0lB

En la figura se muestra un condensador, con un conductor por elque circula una corriente I. Las dos superficies, S1 y S2, estánlimitadas por la misma curva, C. De forma que deberían cumplir laley de Ampère; sin embargo, a través de S2 la corriente es cero,pues no hay corriente libre a través de la placa del condensador,que lo que hace es almacenar carga.

Maxwell dijo que la ley de Ampère está incompleta y que hayque añadir un término de corriente, conocido como corriente de desplazamiento, .

e es el flujo del campo eléctrico a través de la superficie limitada por C. Teniendo en cuenta esta corriente, la ley de Ampère se reescribe como:

Con lo que queda resuelta la aparente discontinuidad de la ley de Ampère.Por la ley de Gauss:

La corriente generalizada, Ic+Id, es siempre contínua

dtdI ed 0

dtdIIId ecdc

c 0000 )(lB

Idtd

dtQdQ deiei 00

Ley de Ampère-Maxwell

Las ecuaciones de MAXWELL

0Qd i

S SE

0S

dSB

SSm

Cdtddt

ddtdd SBSBlE

SElB dtIdtdIIId

scecdc

c

0000000 )(

Esta notación es mucho más compacta que la que dio Maxwell, se debe a Heaviside y Gibbs.

La ecuación de las ondas electromagnéticas

x

t)ξ(x,vttx,ξ

222

22

El movimiento ondulatorio obedece a la ecuación de ondas

x(x,t) es la función de ondas, y v es la velocidad de propagación

x(x,t)=x0sen(kx-wt)x puede representar una magnitud escalar ó vectorial.Supongamos que estamos en el vacio, y que E y B son funciones del tiempo y su valor depende de una sola coordenada espacial, x en este caso, de modo que toman el mismo valoren los planos perpendiculares al eje x.

r x

u

r

x

t)(x,vttx,

222

22

EE

xt)(x,vt

tx,2

222

2

BB

El mecanismo por el que las ecuaciones de Maxwell describen campos electromagnéticos propagándoseestá resumido en el esquema:

Una corriente variable en el tiempo, J, genera un campo magnético circulante, B, y variable en el tiempo, a través de la ley de Faraday genera un campo eléctrico circulante, E, y variable en el tiempo, el cual por la ley de Ampère genera un campo magnético circulante,B, y variable en el tiempo, y así sucesivamente, como vemos los campos eléctrico y magnético así entrelazados se propagan más alláde la fuente original, que es la corriente J.

B E B E B E B E B

«El desarrollo del hombre depende fundamentalmente de la invención. Es

el producto más importante de su cerebro creativo. Su objetivo final es

el dominio completo de la mente sobre el mundo material y el

aprovechamiento de las fuerzas de la naturaleza a favor de las necesidades

humanas». Nikola Tesla

yxxEd

xxEExExEx

yxExEyxEyxEd

yC

yyyy

yyyyC

lE

lE

)()(

))()(()()(

12

1212

yxtBdSt

BdSt

Bdz

Sn

Sn

c

lE

y

tB

xE zy

z

tE

xB

dStEdlByz

Sn

C

00

00En ausencia de corrientes libres

Un método simple e intuitivo de plantear la ec. de onda

00 0cc s

d dI t EB l S

tB

xE zy

tE

xB yz

00 t

ExE

tE

txE

xB

txE

tB

xxE

xyyyy

zyzy

22

0022

0022

22

)(

)()()(

tE

xE yy

22

0022

tB

xB zz

22

0022

tx 22

0022

EE

tx 22

0022

BB

xt)ξ(x,vt

tx,ξ2

222

2

00

1v

z=zosen k(x-vt)= zosen 2p/l(x-vt)= zosen (kx-wt)w2pv/l=kv=2pn

sen(2π( ))ox t

T l Para un determinado punto x, el estado de perturbación se repite a intervalos detiempo T. Periodicidad temporal

Para un determinado instante, t, el estado de perturbación de los puntos separados entre sí una distancia l, es igual. Periodicidad espacial.y

xzo zo

l

y

tzo zo

T l=vTEl periodo es el tiempoque tarda la perturbación en recorrer la longitud de onda

Veamos que E y B estan en fase y que sus amplitudes están relacionadas,para ello suponemos una onda sinusoidal:

)()(1)()(1)()()()(

)()()cos(

)()()cos(

)(

00

0000

000

00000

0

0

0

tgtkxsenEcxftkxsenEcck

tgtkxsenEkxftkxsenEktgtkxsenEkdxx

BBtkxEt

ExB

xftkxsenEkdttBB

tkxEkxE

tB

tkxsenEE

zz

yz

zz

yzy

wwwwwww

wwww

ww

ww

Como se cumple para cualquier x y cualquier t, necesariamente f(x) y g(t) son constantes

cEB

tkxsenBCtkxsenEcBz

00

00 )()(1

ww

tB

xE zy

tE

xB yz

00

La onda electromagnética se propaga en dirección perpendicular a E y B, es una onda transversal.La onda se autopropaga, de acuerdo a las ec. de Maxwell un campo eléctrico variable, generaun campo magnético variable y viceversa.

En general podemos escribir para una onda electromagnética que se propaga en la dirección x:

La onda se propaga en la dirección de ux:Ux= Uyx Uz

La dirección de propagación viene dada por el producto: ExB

)()(

00

tkxsenBtkxsenE

zy

ww

uBuE

BEuuuBE

)()]([)]([ 20000 tkxsenBEtkxsenBtkxsenE xzy www

indica la dirección y sentido de propagación de la onda electromagnética

0Qd i

S SE 0

SdSB

C Sd dt

Bl SE00 0cc s

d dI t EB l S

Solo hemos usado tres ecuaciones de las cuatro, en concreto la ley de Gaussdel magnetismo no la hemos usado.

0 en el espacio libre

Algunos piensan que la ley de Gauss del magnetismo está incompleta,que tendrá que ser modificada el día que se encuentren monopolos magnéticos, de momento no los hay.

No obstante, el hecho de que se tenga que reescribir la ley de Gauss del magnetismo, no afecta al resultado que hemos obtenido

Energía y momento de una onda electromagnéticaLa densidad de energía de la onda electromagnética es la suma de las densidades de energíaasociadas con el campo eléctrico y el magnético:

La intensidad (potencia por unidad de área) de la onda es el producto de la densidad de energíapor la velocidad de propagación:

Como E y B son variables es mejor utilizar los valores eficaces en lugar de los campos instantáneos, E y B,

La intensidad vendrá dada por:

cEBBEc

EEBEuuu me 00

2202

0202

020 2

121

21

21

220

0

BB

EEmrs

mrs

BES

SBEBE

0

00000

01

112BEBEucI mrsmrs

0

EBucI

Vector de Poynting, su módulo es la intensidad de la onda y sudirección y sentido son los de propagación de la onda

20 0 ( )x kx tsenE B w E B u

Las ondas transportan energía y momento. La onda em se mueve a lo largo del eje x e incide sobre una carga q (+), ymasa m

tmEBqt tdtm

EBqt dtFpdtFpd

tmEBqBvqq

tmEq

mtEqmvmE

tmqEtav

xx

xx

xzyym

yk

yy

212

0

2

0

2

2122

22122

2

21

21

21

21

11

uuuBvF

Velocidad por la acción de E

Energía cinética al cabo de t1

Fuerza debida al campo magnéticoImpulsoMomento transferido en el tiempo t1 en la dirección de propagación

2 2 211 1( )2

kx

Uq E E pp tc m c c El momento transportado por la oem es la energía dividido por c

rIp c Momento transportado por unidad de

tiempo y de área, I/c tiene dimensiones de fuerzapor unidad de superficie Presión de radiación

I=U/tAhttp://infobservador.blogspot.com.es/2011/01/que-es-la-presion-de-radiacion.html

Molino de luz

El espectro electromagnético

Las ondas electromagnéticas tienen diversos orígenes:Aceleración de partículas cargadas

Transiciones internas de átomos ó moléculas (UV, visible, IR próximo)

Corrientes eléctricas macroscópicas oscilantes ( dipolos oscilantes, antenas)

Bremsstrahlung: frenado de electrones por un blanco metálico (Rayos X)

Movimiento circular de partículas cargadas (Radiación sincrotrón-Rayos X de alta energía)

Radiaciones nucleares (rayos gamma)

Aniquilación positrón-electrón (rayos gamma)

Radiación del cuerpo negro