Upload
cicely
View
95
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Tema 4. Polinomios. Operacións básicas. Factorización. Polinomios: definicións e operacións básicas. Bloques de Dienes. Monomios. Monomios enteiros. Chámase monomio enteiro a unha expresión alxébrica formada por produtos de números enteiros e letras elevadas a expoñentes enteiros. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Tema 4. PolinomiosOperacións básicas. Factorización.
Polinomios: definicións e operacións básicas
Bloques de Dienes
Monomios. Monomios enteirosChámase monomio enteiro a unha expresión alxébrica formada por produtos de números enteiros e letras elevadas a expoñentes enteiros.Ao número que aparece nesta expresión chámaselle coeficiente ou parte numérica e á expresión contendo as indeterminadas parte literal.
Parte numérica: coeficiente
Parte literal
Cando a parte literal ten unha única letra diremos que temos un monomio nunha indeterminada, por exemplo: 2x, 5y3, etc…Grao dun monomio
Chámase grao dun monomio á suma dos expoñentes das indeterminadas da parte literal.
2 x · y 2
O expoñente 1, non se escribe, por convenio
O expoñente da y é 2
O grao de 2xy2 é 2+1=3
Polinomios. Polinomios nunha indeterminada
Chámase polinomio enteiro á suma de monomios enteiros.
Un polinomio enteiro nunha indeterminada é un polinomio formado por monomios simples: que só teñen unha indeterminada.
Chámase grao dun polinomio ao grao do monomio de maior grao. Nos polinomios nunha indeterminada coincide co maior expoñente da indeterminada.
Maior grao =1
Grao 1
Maior grao =3
Grao 3
Cando contén termos de todos os graos ata o maior decimos que o polinomio é completo Completo IncompletoExemplos
Operacións cos polinomiosSuma e resta de polinomios:Para sumar os polinomios so poden sumarse os termos semellantes: os que son do mesmo grao.Para efectuar a suma,1. Ordenamos e completamos
os polinomios segundo a medra do seu grao:
2. Sumamos termos semellantes sumando os coeficientes e tomando común a parte literal.
Sumando:
A resta de polinomios efectúase sumando ao minuendo o oposto do sustraendo polo que non ten sentido falar unha vez máis do procedemento.
Produto de polinomios
O produto de monomios efectúase multiplicando as partes literais dunha banda e os coeficientes por outra:
Propiedades das potencias
Multiplicar un monomio por un polinomio é multiplicar o monomio por cada un dos termos do polinomio:
O produto de dous polinomios require do produto de cada un dos monomios de cada polinomio:
Que tamén pode efectuarse da seguinte forma:x2-x-1
2x+3
2x3- 2x2-2x
+3x2-3x-3
2x3+ x2- 5x-3
Este algoritmo é lixeiramente diferente do da multiplicación numérica, que podería tamén empregarse na multiplicación de polinomios. ¿Saberías explicar a razón de que o resultado sexa indiferente ao método empregado?
Identidades notables
Nicolo Tartaglia
Identidades notablesChámase identidades ou produtos notables ás potencias de expresións alxébricas simples, en particular sumas e restas de binomios.As expresións máis simples son:Cadrado da suma:
Cadrado da diferenza:
Suma por diferenza:
Por veces adoita incluírse entre estas expresións o cubo da suma
E da resta:
A veracidade de todas estas expresións pode comprobarse efectuando simplemente os produtos. O que xa non resulta tan simple é obter unha expresión xeral que permita obter o resultado da potencia: para calquera n,
Triángulo de Tartaglia
O método de Tartaglia baséase na obtención dos coeficientes mediante unha regra simple: binomio Coeficientes dos termos resultantes
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Os termos resultantes obtéñense empezando polo maior expoñente do primeiro sumando, que vai descendendo unha unidade en cada termo, multiplicado polo segundo, que comeza con expoñente cero e vai aumentando unha unidade en cada termo.
+=
Binomio de NewtonChámase binomio de Newton a todo binomio da forma:Chámase factorial do número n, ao produto:
Defínense os números combinatorios como o resultado da seguinte serie de operacións:
Propiedades
PropiedadesPor definición:0!=1
Exemplos:
Exemplos:
A factorial e os números combinatorios resumen o procedemento do triángulo de Tartaglia mediante a expresión:
Suma desde k=0 ata n
Exemplo:
NOTA:No exemplo empregáronse os resultados:
BINO
MIO
DE
NEW
TON
División de polinomios
P(x) Q(x)R(x) C(x)
Sexan os polinomios:
Efectuando o cociente p(x) entre q(x) teremos un cociente e un resto.
x3 +0x2- 3x + 2 x2 - 2x
x + 2
-x3 +2x2
2x2 – 3x-2x2 +4x
x
Que deberán cumprir a propiedade fundamental: P(x)=Q(x)·C(x)+R(x)
Ordenamos e completamos os polinomios
Buscamos o monomio que ao multiplicar polo maior do cociente sexa idéntico ao de maior grao do dividendo
Multiplicamos e restamos:
Multiplicamos e restamos:
Resulta conveniente analizar o caso:x3 +0x2- 3x + 2 2 x2 - 2x
½ x + ½
-x3 +x2
x2 – 3x-x2 + x
-2x
x3 +0x2- 3x + 2 2x2 - 2x
O problema reside en atopar o número que multiplicado por 2 dá 1, que non é outro que o seu inverso
x3 +0x2- 3x + 2 2 x2 - 3x
½ x + 3/4
-x3 +3/2 x2 3/2 x2 – 3 x
-2/3 x2 – 3/2 x
-2x
Neste outro caso
Aplicamos fraccións:
Algoritmo de RuffiniO algoritmo de Ruffini emprégase na división dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a
Coeficientes do dividendo
Coeficientes do cocienteResto
aoa1a2an-2an-1an
RC1Cn-3Cn-2Cn-1 Co
a
012
21
1 ....)( axaxaxaxaxp nn
nn
nn
aCn-1
+
aCn-2
+ + + +
012
21
1 ....)( cxcxcxcxc nn
nn
aC2 aC1 aC0
x - a
P(x) x-aC(x)R
ExemploDivisión dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a
Coeficientes do dividendo
Coeficientes do cocienteResto
51-723
4819983
2
5723)( 234 xxxxxp
6
+
16
+ + +
19983)( 23 xxxxc
18 43
por
2 xax
Teoremas do resto e do factor. Raíces
Teorema do resto
Teorema do restoO resto da división dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a é igual ao valor numérico do polinomio para x=a
Noutras palabras )(xp ax
)(xcR)(aPR
Tomando o polinomio anterior:5723)( 234 xxxxxp
Tomando como divisor:2x 5723 234 xxxx 2x
)(xc
)(aPR 43522·72·22·3)2( 234 PR
RPodemos calcular o resto sen efectuar a división:
APLICACIÓN:
Teorema do factorSe o valor numérico P(a) para un deteminado número real “a” do polinomio p(x) é nulo, entón x-a é un factor de p(x)
)(xp ax
)(xc0R)()·()( xcaxxp
Rap )(Demostración
Polo teorema do resto, e polo tanto, se dividimos:
Factor 1
Factor 2
Exemplo
233 xx 1x)(xc0R
)()·1()( xcxxp Factor 1
Factor 2
Raíces dun polinomio
Raíz de mangle
Raíces dun polinomioChámase raíz dun polinomio p(x) ao número real “r” que anula o polinomio.
VOCABULARIO MATEMÁTICO: Anular o polinomio ou calquera outra expresión significa facer nulo o seu valor numérico
23)( 3 xxxP
1xO valor
É raíz do polinomio:
021·31)1( 3 PXa que:
ProposiciónSe “a” é unha raíz de p(x) entón x-a é un factor de p(x)
Demostración
)()·()(00)(/:)(0)(/
xcaxxpRapRaxxpaxpa
ConsecuenciaFactorizar un polinomio equivale a buscar as raíces do polinomio.
Raíces enteirasPROPOSICIÓN:As raíces enteiras dun polinomio son divisores do termo independente.
Para buscar as raíces enteiras dun polinomio comprobamos os valores numéricos do polinomio para os divisores do termo independente: os que o anulen serán raíces, os outros non
TEOREMA FUNDAMENTAL DO ÁLXEBRA.O número máximo de raíces dun polinomio é igual ao seu grao
23)( 3 xxxpDivisores e valores numéricos
162)2·(3)2()2(
222·32)2(
42)1·(3)1()1(
021·31)1(
3
3
3
3
p
p
p
p
A ùnica raíz de p(x) é x =1.Isto non é incompatible co teorema fundamental, xa que este establece unicamente un número máximo de raíces, non o mínimo.
23)( 3 xxxp
523)( 234 xxxxxq
35)( 2 xxxr
58)( 37 xxxs
13)( xxt
34271
Grado do polinomio = nº máximo de raíces
Factorización de polinomios
Factorización de polinomiosA factorización de polinomios
consiste en expresar un polinomio arbitrario p(x) como produto de outros máis simples, de menor grao.
EXEMPLO:Como xa vimos, o polinomio:
23)( 3 xxxpPode descompoñerse como produto de dous factores:
2 33
x x 1 x0 R
) ( )· 1 ( ) (x c x x p
Factor 1
Factor 2
)(xc
O polinomio máis simple é o polinomio da forma ax
De maneira que o noso obxectivo será expresar un polinomio xenérico:
012
21
1 ....)( axaxaxaxaxp nn
nn
nn
Como produto de factores: aax /
Esto é, buscamos a igualdade:
nkkkkondeaxaxaxax
axaxaxaxaxp
l
kl
kkk
nn
nn
nn
l
....)...()()()(
....)(
321
321
012
21
1
321 ai = raices de p(x)ki = multiplicidade de ai
E sendo neste caso os :
Método a seguir na factorización de polinomios
RAÍCES ENTEIRAS:Os factores da forma x-a da descomposición dun polinomio p(x) onde a é un número enteiro deben buscarse entre os divisores do termo independente.
Imos estudar a descomposición dun polinomio nunha indeterminada mediante exemplos.
)4)(2)(1(863)( 23 xxxxxxxp
Divisores do termo independente:8;4;2;1 x
Valores numéricos de p(x)x p(x)
1 0-1 102 -8
-2 04 0
-4 -808 280
-8 -648
Dos valores numéricos temos tres raíces e polo teorema fundamental do álxebra non pode haber máis
Outro método consiste en dividir sucesivamente:
863)( 23 xxxxpEXEMPLO:
8-6
-31
0-8
-211 1 -2 -8
-21
0-4
+8
-2
44
1
FACT
ORES
(X-1)
(X+2)
(X-4)
EXEMPLO 2Cando o número de raíces enteiras é menor có grao do polinomio:
FACT
ORES
1452)( 23 xxxxq
)12()1(1452)( 223 xxxxxxq
1 4
52
0 1
32-1 -2 -3 -1
-12
0 1
-1-2
(X+1)
(X+1)
(2X+1)
Tamén pode empregarse a veces, para determinar raíces reais non enteiras, a descomposición da ecuación de segundo grao:
23)( 23 xxxq
2 0
-3
1
0 -2
-211
1 -2 (X+1) -
2
E non volve dar exacto con ningún divisor de 2
)22)(1(23)( 223 xxxxxxq
Usando : ))(( 212 xxxxacbxax
Intentamos a descomposición do polinomio de segundo grao:
312322
2122
312322
2122
2)2·(1·4)2(2
2
1
2
x
x
x
))31())(31()(1(23)( 23 xxxxxxq
EXEMPLO 3: