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8/15/2019 Tema 4. Simplificacion
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Tema 4. SIMPLIFICACION
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 2
SIMPLIFICACIONSimplificación.
Propiedades del álgebra de Boole.
- Conmutativa
- Asociativa
- Distributiva- Complemento
- Elemento neutro
Teoremas.Simplificación algebraica
Simplificación por mapas de Karnaugh
Puertas universales
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 4
Propiedades (I)
• Propiedad conmutativa
abba
abba
⋅=⋅
+=+
• Propiedad asociativa
c bac bac ba
c bac bac ba
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅
++=++=++
)()(
)()(
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 5
Propiedades (II)
• Propiedad distributiva.
)()()(
)()()(
c abac ba
c abac ba
⋅+⋅=+⋅
+⋅+=⋅+
• Complemento
0
1
=⋅
=+
aa
aa
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 6
Propiedades (III)
• Elemento neutro
aa
aa
=⋅
=+
1
0
00
11
=⋅
=+
a
a
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 7
Teoremas (I)
• Teorema 1.
aaa
aaa
=⋅
=+
• Teorema 2.
abaaabaa=+⋅
=⋅+
)(
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 8
Teoremas (II)
• Teorema 3
babaa
babaa
•=+•
+=•+
)(
• Teorema 4
aa =
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 9
Teoremas (III)
• Teorema 5. Teoremas de DeMorgan
c bac ba
c bac ba
++=⋅⋅
⋅⋅=++
)(
)(
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SIMPLIFICACION
ALGEBRAICA
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 11
Ejemplo 1.
Simplificar la expresión:
C B AC B A +=
Obtenemos como factor común en ambos términosB A
)( C C B A X +=
Según la propiedad complemento 1=+ )( C C
B A1B A =•=
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 14
Ejemplo 3 (otra opción)
Simplificar la expresión:
) )( ( B AB A X ++=
Efectuamos la multiplicación algebraica
BBB A AB A A +++=
B0
BB1
B A A
=•
+ )(
La expresión simplificada es:
BBB0 =++=
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 15
Ejercicio 4
Simplificar la expresión:
BCD A ACD X +=
Obtenemos factor común ‘CD’
)( B A ACD X +=
Aplicamos propiedad distributiva: A+B
La expresión simplificada es:
BCD ACDB)CD(A X +=+=
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 16
Ejemplo 5
Simplificar la expresión:
C ABC A X +=
Obtenemos factor común C A
)( B1C A X +=
Aplicamos elemento neutro: 1
La expresión simplificada es:
C A X =
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 17
Ejemplo 6
Simplificar la expresión:
DC B ADC B A X +=
Obtenemos factor común DB A
)( C C DB A X +=
Aplicamos complemento: 1
La expresión simplificada es:
DB A X =
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 18
Ejemplo 7
Simplificar la expresión:
)( A AC ABBC C B A X +++=
Obtenemos factor común C B 1
La expresión resultante sería:
BC A AC B X ++= )(
Obtenemos factor común B 1
La expresión simplificada es:
B1C C B X =+= )(
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 19
Ejemplo 8
Simplificar la expresión:
)( BC BBC B A X +++=
1 Aplicamos complemento en B y B
La expresión resultante sería:
)( C BBC 1 A X ++=
Cuando en una suma lógica cualquiera de sus entradas
es ‘1’, la salida es ‘1’.
A X =
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 20
Mapas de Karnaugh (I)• Un mapa de Karnaugh es una representación
gráfica de una tabla de verdad, y por lo tantoexiste una asociación unívoca entre ambas.
• La tabla de verdad tiene una fila por cada
mintérmino, mientras que el mapa de Karnaughtiene una celda por cada mintérmino.
• Emplearemos mapas de Karnaugh para la
simplificación de ecuaciones de hasta cuatrovariables.
• El número de celdas del mapa es 2n.
– n = variables.
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 21
Mapas de Karnaugh (II)
• Mapas de Karnaugh de 2 variables.
ABABB
ABAB
AA
B0 2
1 3
Valor decimal
Variable menos
significativa
Variable mássignificativa
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 24
Mapas de Karnaugh (V)
• Una vez confeccionado el mapa, colocamosen cada celda el estado de la fila (mintérmino)asociada.
• Procedemos a la simplificación: – Agrupamos los unos (según criterios que se
indican a continuación).
– Obtenemos el término correspondiente a cadagrupo.
• Para simplificar, en cada grupo desaparece la variable
que cambia de nivel.
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 25
Mapas de Karnaugh (VI)
• Agrupamos los unos en bloques de.
– 8 unos
– 4 unos
– 2 unos
• Los que no puedan ser agrupados, se consideranunos aislados o independientes.
• Un uno puede formar parte de varios grupos.• Finaliza la agrupación cuando no queda ningún
uno libre.
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 26
Mapas de Karnaugh (VII)
• Agrupaciones de ocho unos:
CD
CD
CD
1
1
1
1
AB
0
8
12
41
1
AB
2
10
14
6
1
1
1
13
11
15
7
1
1
1
AB
1
9
13
5
1
1
AB
CD
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 27
Mapas de Karnaugh (VIII)
• Agrupaciones de cuatro unos:
CD
CD
CD
CD
1
1
1
1
AB
0
8
12
41
1
AB
2
10
14
6
1
1
1
1
AB
3
11
15
7
1
1
1
AB
1
9
13
5
1
1
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 28
Mapas de Karnaugh (IX)
• Agrupaciones de dos unos:
CD
CD
CD
1
1
1
AB
8
12
4
AB
10
14
6
1
1
1
AB
3
11
15
7
1
AB
13
5
1
1 1 10 2 1
9
CD 1 1
1 1
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 29
Mapa de Karnaugh (X)
• Unos independientes
CD
CD
CD
1
1
AB
0
8
12
4
AB
2
10
14
6
1
1
3
11
15
7
1
AB
1
9
13
5
AB
CD
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 30
Mapas de Karnaugh (XI)
• Ejemplo:
CD
CD
CD
1
1
AB
0
8
12
4
1
AB
2
10
14
6
1
3
11
15
7
1
1
AB
1
9
13
5
1
1
AB
CD
BC + AB + ACD + ABCD
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 31
Mapas de Karnaugh (XII)
• Simplificación de tablas de verdad concondiciones de ‘independencia’.
• Condición de independencia en las variables:
0010
1011
011X
110X
100X
SABC
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Mapas de Karnaugh (XIII)
1
11C
ABABAB
11
0010
1011
011X
110X
100X
SABC AB
C
C ABS +=
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Mapas de Karnaugh (XIV)• Condición de independencia en la salida
X001
0010
01111
011
1101
0110
X100
1000
SABC
XC
X1C
ABABABAB
11
C ABS +=
A efectos de simplificación, tomamos las X como ‘1’
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Puertas universales (II)
• Función NOT con puertas universales.
• Cuando el nivel de las variables de entrada
de las funciones NOR y NAND son iguales,
la salida es su complemento.
A AA A A A
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Puertas universales (III)
• Función OR con puertas universales (I).
• Con puertas NOR.
B AB AsF +=+=)(
A A+B
B
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Puertas universales (IV)
• Función OR con puertas universales (y II)
• Con puertas NAND
B AB AsF +=+=)(
Aplicamos De DeMorgan
B AB AsF =+=)(
A
B
A+B
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Puertas universales (V)
• Función AND con puertas universales (I)
• Con puertas NAND
AB ABsF ==)(
A AB
B
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Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 39
Puertas universales (VI)
• Función AND con puertas universales (y II).
• Con puertas NOR
AB ABsF ==)(
Aplicamos De DeMorgan
B A ABsF +==)(
A
B
AB
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Puertas Universales (Resumen)
AND
OR
NOT
NAND NOR
A A+BB
B
A A+B
A A A A
A
B
ABA
BAB