Tema 4A: Integración Dobleproyectomentor-upm.wdfiles.com/local--files/apuntes-1/ESA2_2012.pdfHallar, mediante integración doble, el volumen del sólido definido por las superficies:

APELLIDOS: NOMBRE: DNI:

_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de 2

Calificación:

CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje

Tema 4A: Integración Doble

FECHA: 28/05/12 TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora Puntuación/TOTAL: 2,5/10

ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

Halle el área total encerrada por la curva:

( ) ( )( ) Nota: Se recomienda realizar un dibujo-esquema del área pedida.

RESULTADOS

¡¡ BUEN TRABAJO !!

Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes



Ejemplo 3 (pp. 1024-1025) del Cap. 15 del Libro de Texto

Dado que en la curva aparecen términos del tipo , lo más juicioso es pasarla a polares, obteniéndose:

El área pedida viene dada por:

∫ ∫

∫

∫ ( )

[

]



Calificación:


Tema 4A: Integración Doble



Hallar, mediante integración doble, el volumen del sólido definido por las superficies:

y el cilindro cuya sección es una circunferencia de radio unidad y cuyo eje es la recta . Nota: Se recomienda realizar un dibujo-esquema del dominio de integración y del volumen pedido.

RESULTADOS

¡¡ BUEN TRABAJO !!

Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes



Ejemplo 4 (p. 1025) del Capítulo 15 del Libro de Texto

Las superficies que limitan el volumen pedido son el plano , el paraboloide y el cilindro ( ) .

El dominio de integración es la proyección sobre el plano del cilindro, es decir el círculo limitado por la circunferencia

y ( ) . Dada la geometría del dominio de integración, lo lógico es trabajar en polares, de manera que la

ecuación de la circunferencia queda:

Entonces, el volumen pedido viene dado por:

∬ ( ) ∫ ∫

∫ [ ]

∫

∫

∫ (

)

∫ (

( ))


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Calificación:

CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje 2

Tema 4b: Integrales Triples



Calcula la integral triple

E

z dV siendo E la cuña situada en el primer octante que resulta

de cortar el cilindro 2 2 1y z por los planos y 0y x x .

RESULTADOS

El sólido está limitado en su parte posterior por el plano x = 0 y al frente por el plano y = x. Sea R la proyección sobre el plano xy. Se integra primero sobre z. La integración sobre R se puede hacer primero sobre x y

luego sobre y. 2( , , ) / 0 1, 0 , 0 1E x y z y x y z y

2

21

2 21 1 1 1

0 0 0 0 0 0 00

1 12 3

0 00

1

2 2

1 1 11

2 2 8

yy y y y

E

y

z yz dV z dz dx dy dx dy dx dy

y x dy y y dy

También se puede proyectar sobre yz. 2( , , ) / 0 1, 0 1 , 0E x y z y z y x y

2

2 21

21 1 1 1 1 1

2

00 0 0 0 0 0 00

1 11

2 2 8

yy y y y

E

yzz dV z dxdz dy zx dz dy dy y y dy


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Calificación:

CÁLCULO II. Ejercicio de Seguimiento de Aprendizaje 2

Tema 4b: Integrales Triples



Mediante integral triple calcula el volumen del tetraedro acotado por los planos

0, 0, 0, 2 4x y z x y z

RESULTADOS

Fórmula: 2 2

1 1

( ) ( , )

( ) ( , )( , , ) ( , , ) / 0 2, 0 4 2 , 0 4 2

b g x u x y

a g x u x yE

dV dzdxdy E x y z x y z x y x z x y

2 4 2 4 2 2 4 2 2 4 24 2

00 0 0 0 0 0 0

4 2 22 3

2 22 2

0 00 0

Volumen (4 2 )

2 164 2 8 8 2 8 4

2 3 3

x x y x xx y

x

dzdxdy z dydx x y dydx

y xy xy dx x x dx x x

También se hubiese podido calcular como integral doble: Volumen bajo la gráfica de 4 2z x y y por encima de

( , ) / 0 2, 0 4 2D x y x y x

4 22

2 4 2 2

0 0 00

16( , ) (4 2 ) (4 2 ) 4 2

2 3

xx

D D

yV f x y dA V x y dydx x y dydx y xy dx

Finalmente de forma geométrica: 1

6

A B C

A B C

A B C

x x x

V y y y

z z z

2 0 01 32 16

0 4 06 6 3

0 0 4

V


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Calificación:


Tema 5A: Análisis vectorial



1.- Dado el campo de fuerzas 3 2( , ) 1,3 1F x y y xy

a) ¿Es F conservativo? Hallar la función potencial U del campo vectorial F (1 punto) b) Hallar el trabajo realizado al mover un objeto desde el punto (0,0) al punto (2,0) a lo largo de la

semicircunferencia 2 21 1 0x y con y (1 punto)

c) Hallar el trabajo realizado al mover el objeto a lo largo de la circunferencia completa (0,5 puntos)

RESULTADOS

Solución:

a) Al ser F conservativo la integral

F es de clase C1, R2 es estrellado y 21 23F F

yy x

. Luego F es conservativo. Al ser conservativo la integral no

depende del camino recorrido. Por tanto, se puede calcular la función potencial U a partir de F U

3 33

1

2 22

22

1 ( )1

(́ ) 1 ( )3 (́ ) 3 13 1

UU y dx xy x h yF y

xh y h y y CUU xy h y xy FF xy yy

Luego, 3,U x y xy x y C

b) Al ser el campo F conservativo el trabajo no dependerá

del camino seguido sino únicamente del punto inicial y final.

(2,0)

1 2 1 2

(0,0)

2,0 0,0 2 0 2C

W Fdx F dy Fdx F dy U U

c) Por ser F conservativo, por tratarse de una curva cerrada, el trabajo será nulo.

(2,0) (0,0)


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Calificación:


Tema 5A: Análisis vectorial



1.- Se considera el campo vectorial ),3(),( 2322 yyxxxyyxyxF . Calcular la circulación de F sobre la curva C

de la figura, que va del punto (0,0) al punto (2,3), por dos métodos diferentes: (2,5 puntos)

RESULTADOS

Solución:

Ahora, considerando que F=grad(U), siendo U la función potencial

2 2

2 2 2 2 31

3 2 3 2 3 22 2

3 3 ( )2

(́ ) ( )2

(́ )

U x yF x y xy U x y xy dx x y h y

yxh y y h y C

U UF x yx y x x y h y x yx y F

y y

(2,3)

1 2 1 2

(0,0)

32,3 0,0

2C

W F dx F dy F dx F dy U U

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