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FIABILIDAD DE SISTEMAS 1

TEMA 4: FIABILIDAD DE SISTEMAS. 1 MODELOS LÓGICOS Y REDUNDANCIA. 1.1 Los modelos lógicos para sistemas son modelos matemáticos que se construyen con objeto de calcular la fiabilidad de los mismos a partir del comportamiento de los dispositivos de nivel inferior. En el sentido más amplio se aspira a reunir en un modelo todos los posibles modos de avería del sistema, e incluso tratar de hallar la expresión de la fiabilidad como función explícita del tiempo. R(t) 1.2 Los modelos lógicos que se estudiarán verifican las condiciones que siguen: a) El modelo consta de una serie de bloques que representan un componente o combinación de componentes que realizan una función. b) Cada bloque o componente sólo tiene dos posibles estados, excluyentes entre sí: satisfactorio o averiado. c) La función representada por cualquier componente es crítica para el funcionamiento del sistema, pero si hay más de un componente realizando la misma función, el fallo del componente no implica el fallo del sistema. d) El modelo contiene todas las funciones críticas para el sistema y todos los dispositivos que realizan tales funciones. 1.3 Para poder utilizar un modelo lógico se han de conocer las probabilidades de fallo de todos sus componentes. Tales fallos pueden ser independientes entre sí, o bien dependientes, si existe al menos un componente cuyo fallo esté condicionado al estado de otro u otros bloques. 1.4 Se entiende por redundancia la existencia de más de un dispositivo o bloque para realizar una función dada. Los componentes que intervienen en una redundancia se llaman redundantes. Para que se pierda la función tiene que darse el fallo de más de uno de tales bloques. La redundancia se puede aplicar a cualquier nivel del sistema: piezas, conjuntos, equipos o sistemas completos. Existen varios tipos de redundancia, entre los cuales se estudiarán dos: redundancia activa y redundancia secuencial. 1.5 En la redundancia activa, los bloques o dispositivos que realizan la misma función se encuentran funcionando simultáneamente. Un ejemplo de redundancia activa se da en un avión trimotor, cuya propulsión está asegurada aunque falle uno cualquiera de los tres motores, pero no más de uno. 1.6 En la redundancia secuencial, existe un dispositivo primario, que es el único que realiza la función mientras no hay avería. Los dispositivos redundantes permanecen en reserva hasta que se produce el fallo del primario. Cuando esto ocurre, es necesario que


exista un elemento que detecte el fallo y conmute la función a un dispositivo redundante. 2 SISTEMAS EN SERIE. 2.1 Un sistema en serie es aquel en el que el fallo de uno cualquiera de sus componentes significa el fallo del sistema. En otros términos, un sistema en serie es el que carece de redundancia entre bloques, aunque éstos puedan contener dispositivos redundantes de nivel inferior. 2.2 Sea S un sistema en serie formado por componentes, . En el caso más general, puede existir dependencia entre los fallos de los bloques. Ya que el sistema funciona si y sólo si todos sus componentes lo hacen, la fiabilidad del sistema vendrá dada por:

n A,..,A n1

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

==II L

1

1121

1

n

iin

n

ii AAPAAPAPAP ,

siendo el suceso: "el componente funciona". Ai Ai

2.3 Si los fallos de los bloques son independientes, denotando por la fiabilidad del sistema, y por la del bloque , la expresión anterior queda como sigue

(t)RS

(t)Ri Ai

,n

iiS tR=(t)R ∏

=1

)(

que es la llamada REGLA DE LUSSER o del producto de fiabilidades. De aquí se deduce que la fiabilidad de un sistema en serie es menor o igual que la fiabilidad de cada uno de sus bloques. 2.4 Derivando respecto de t en la regla de LUSSER, resulta la función de densidad del tiempo hasta la falla del sistema, (t)f S

. tRtztR(t)R(t)f

=(t)f S

n

ii

n

ii

i

in

=1iS )()()(

11⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑∏∑==

Si se divide esta última expresión por , se obtendrá la tasa instantánea de averías del sistema,

(t)RS

,tz=(t)z i

n

=1iS )(∑

regla equivalente a la de LUSSER y conocida como la regla de adición de tasas de avería. Es obvio, por lo tanto, que la tasa instantánea de averías de un sistema en serie es mayor o igual que la de cada uno de sus bloques. 2.5 Si todos los bloques del sistema tienen idéntica función de fiabilidad y, R(t)


por tanto, la misma densidad del tiempo hasta el fallo , la regla de LUSSER se expresa de la siguiente forma:

f(t)

[ ] . R(t)=(t)R nS

Derivando respecto de t se obtiene la densidad del tiempo hasta el fallo del sistema,

,f(t)]n[R(t)=(t)f 1-nS

que es la función de densidadi del mínimo de los tiempos hasta el fallo de los bloques correspondientes. Finalmente, la tasa instantánea de averías del sistema es

n n

)()( tzntzS = .

3 SISTEMAS EN SERIE BAJO LA HIPÓTESIS EXPONENCIAL. 3.1 Supóngase que el sistema en serie posee componentes , de forma que la duración de vida del bloque sigue una distribución Como se sabe, la tasa instantánea de averías de cada bloque es

S n A,..,A n1

Ai . n1,..,=i ,)( iλExpAi .)( ii tz λ= En

consecuencia, la tasa instantánea de averías del sistema es también constante, en virtud de la regla de adición.

S

i

n

=1iS =(t)z λ∑

De la misma forma, por aplicación de la regla de LUSSER, la fiabilidad del sistema es

,tetRn

ii

n

i

tS

i ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−== ∑∏

==

−

11

exp)( λλ

por que resulta evidente que la vida del sistema sigue también una distribución exponencial de parámetro

S

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑ i

n

=1iS = λλ

3.2 Si todos los bloques tienen idéntica distribución de vida )(λExp , entonces

. n

= ; n= ; e=(t)R Ssnt-

Sθ

θλλλ


4 SISTEMAS EN PARALELO. 4.1 Un sistema en paralelo es aquel cuyo fallo se produce únicamente cuando fallan todos sus bloques, que funcionan simultáneamente. Por este motivo, un sistema en paralelo es también llamado sistema de redundancia activa total. 4.2 Sean S el sistema en paralelo compuesto por los bloques , y las funciones de mortalidad del sistema y de sus bloques, respectivamente. Puesto que la avería del sistema se produce si y solamente si fallan todos los bloques, suponiendo que tales fallos se producen de forma independiente entre sí, se obtiene la siguiente expresión, conocida como la regla del producto de mortalidades:

A,...,A n1 (t)F S

(t)F(t),...,F n1

. n

iiS tF=(t)F ∏

=1

)(

La expresión de la fiabilidad del sistema, es la que sigue (t)RS

( ) . n

ii

n

iiS tRtF=(t)R ∏∏

==

−−=−11

)(11)(1

4.3 Si todos los bloques tienen idéntica función de fiabilidad , entonces la función de fiabilidad del sistema es

R(t)S

. ]R(t)-[1-1=(t)R nS

Derivando respecto de t se obtiene la función de densidad de la vida del sistema

,0t ,f(t)]n[F(t)=(t)f 1-nS ≥

densidad que corresponde al máximo de los tiempos hasta la avería de los respectivos bloques que componen el sistema, . A,...,A n1

5 SISTEMAS EN PARALELO BAJO LA HIPÓTESIS EXPONENCIAL. 5.1 Sea S el sistema en paralelo cuyos bloques, , tienen todos ellos duración de vida exponencial de parámetros

A,...,A n1

λλ n1 ,..., , respectivamente. Por aplicación de la regla del producto de mortalidades, la función de mortalidad del sistema es

. )e-(1=(t)F t-n

=1iS

iλ∏


Por lo tanto, la fiabilidad del sistema tiene la expresión que sigue: S

. )e-(1-1=(t)R t-n

=1iS

iλ∏

Es evidente que la vida del sistema no es exponencial. 5.2 En el caso particular , la fiabilidad del sistema resulta 2=n

=)e-(1)e-(1-1=(t)R t-t-S

21 λλ ⋅

. e-ee= tt-t- 21 )( 21 λλλλ +−+

A partir de la expresión de la fiabilidad se calcula la vida media del sistema, θ S .

. dttRt SS21210

111)()(λλλλ

θ+

−+== ∫+∞

5.3 Si todos los bloques siguen idéntica distribución de vida )(λExp , entonces las funciones de fiabilidad y de densidad de la vida del sistema son, respectivamente:

,)e-(1-1=(t)R ntS

λ−

. 0t ,e)e-(1n=(t)f t-1-nt-S ≥λλλ

5.4 Si θ n denota la vida media de un sistema de n bloques )(λExp en paralelo, calculando la diferencia θθ 1-nn - , se obtendrá por recurrencia la expresión de θ n .

=- dttRdttR=- nn1-nn ∫∫+∞

−

+∞

01

0

)()(θθ

=]dt)e-(1+1-)e-(1-[1= 1-nt-nt-+

0

λλ∫∞

( )[ ] . n

=en

=dte)e-(1= ntt-1-nt-+

0 λλλλλ 111

0

+∞−

∞

−∫


Puesto que λθ /1=1 , entonces

. k1=

n++

2+=

n

=1kn ∑−1111 λ

λλλθ L

Evaluando los primeros términos

. 2.08=4

+= ,1.83=3

+= , =2

+= 34232 θλ

θθθλ

θθθλλλ

θ115.15.111

=

Es notable, pues, que la introducción del segundo componente aumenta la vida media en un y que, dado que la serie armónica es divergente, puede conseguirse una vida media tan

grande como se desee, sin más que aumentar el número de bloques. Sin embargo, el rendimiento económico de este procedimiento empeora muy rápidamente.

50%

6 COMBINACIONES DE SERIES Y PARALELOS. 6.1 Con las ideas anteriormente expuestas, es sencillo en general calcular la fiabilidad de sistemas en los que se combinen disposiciones en serie y en paralelo. 6.2 Para estudiar el caso de un sistema serie-paralelo, sea un sistema formado por subsistemas en serie, tal que cada subsistema es el montaje en paralelo de los componentes , . Para calcular la fiabilidad de se comienza calculando la de cada paralelo ,

Sn S,...,S n1 S j

A,...,A jm1j jn1,...,=j S

jS

[ ] . n1,...,=j ,)AP(-1-1=)SP( ij

m

=1ij

j

∏

Finalmente,

[ ] . )AP(-1-1=)SP(=P(S) ij

m

=1i

n

j=1j

n

j=1

j

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∏∏∏

6.3 Sea ahora S un sistema paralelo-serie, es decir, está formado por sub-sistemas en paralelo, , tal que cada es el montaje en serie de los componentes

S mS,...,S m1 Si

A,...,A ini i1 , . La fiabilidad de cada serie es m1,...,=i Si

,)AP(=)SP( ij

n

=ji

i

∏1

y la del paralelo S

[ ] . )AP(-1-1=)SP(-1-1=P(S) ij

n

j=1

m

=1ii

m

=1i

i

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∏∏∏


6.4 Como aplicación, el siguiente ejemplo muestra el rendimiento relativo de usar la redundancia a nivel de bloques o a nivel del sistema. Sea el sistema formado por los bloques

SA y B en serie, ambos con idéntica fiabilidad . Sea el

sistema que se obtiene aplicando redundancia a nivel bloques, y el sistema que resulta aplicando a redundancia a nivel sistema. La fiabilidad de cada uno de ellos es

p=P(B)=P(A) S1

S 2

S

; p=P(S) 2

[ ] ; )p+4p-(4p=)p-(1-1=)SP( 2221

2

( ) . )p-(2p=p-1-1=)SP( 2222

2

Si , , es decir, si se duplican todos los componentes del sistema, la fiabilidad es mayor que si se duplica el sistema completo, aunque lo primero no siempre es posible o práctico desde el punto de vista económico.

]0,1[p∈ P(S)>)SP(>)SP( 21

7 SISTEMAS CON REDUNDANCIA ACTIVA PARCIAL: SISTEMAS DE . k n 7.1 Como ya se ha indicado, en la redundancia activa, los componentes que realizan la misma función se encuentran funcionando simultáneamente. Si para que el sistema funcione es necesaria la supervivencia de, al menos, componentes, , tal sistema es un caso de redundancia activa parcial. Los sistemas con redundancia parcial son intermedios entre el paralelo y la serie .

k n<k<1

1)=(k n)=(k 7.2 En el caso en que todos los componentes son idénticos, la fiabilidad del sistema puede calcularse fácilmente mediante la distribución binomial. Efectivamente, siendo la fiabilidad de cada bloque, la probabilidad de que el sistema funcione correctamente es

p

. )p-(1px

n=k)p)P(Bin(n,=P(S) x-nx

n

k=x⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≥ ∑

Escribiendo la fiabilidad en función del tiempo, la expresión anterior resulta:

( ) ( ) .)(1)()))(,(()( xnxn

kxS tRtR

xn

ktRnBinPtR −

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≥= ∑

8 SISTEMAS CON REDUNDANCIA SECUENCIAL. 8.1 Los sistemas con redundancia secuencial requieren la existencia de un dispositivo de detección de fallo del componente primario y de conmutación a un componente de reserva. Debe notarse que el componente primario y el de reserva pueden no ser únicos. Por ejemplo, el sistema hidráulico primario de un avión (bombas movidas por los motores) puede estar apoyado por un primer sistema de emergencia (bomba movida por un motor eléctrico) y por un segundo sistema de emergencia (bomba de accionamiento manual).


8.1 En algunos casos los componentes de reserva permanecen totalmente inactivos mientras funcionan los primarios. Si es así, cabe admitir que no pueden fallar en esa situación. En otros casos, los componentes de reserva se mantienen parcial o totalmente "energizados", y por tanto sujetos a una ley de fallos más débil que cuando están funcionan-do. Por otra parte, el sistema de detección de fallo puede ser un indicador de aviso para que un ser humano realice la conmutación. También puede haber un sistema automático de detección-conmutación. La fiabilidad del detector y el conmutador no es, en general, la unidad. 8.2 En el caso más simple de redundancia secuencial, se considera un sistema de dos componentes conmutables, A y B . Sea el dispositivo que detecta cualquier fallo del bloque primario

DA y acciona el conmutador C que traslada la función al componente de

reserva B . La fiabilidad del sistema se estudia necesariamente teniendo el cuenta el tiempo. Para ello, sean , y las funciones de densidad de tiempo hasta el fallo del componente

(t)f A (t)f b (t)f B

A , del componente B en reserva y del mismo componente en funcionamiento, respectivamente. La fiabilidad de la combinación detector-conmutador se denotará por y representa la probabilidad de que conmute correctamente si falla el bloque primario. Para simplificar, se considera imposible que conmute indebidamente sin fallo del componente primario.

pDC

La supervivencia del sistema en el intervalo puede ocurrir de dos formas, mutuamente excluyentes:

t][0,

1º) El bloque primario no falla, lo que ocurre con probabilidad

. (t)R=P A1

2º) El componente primario falla, el detector-conmutador funciona correctamente y el bloque redundante, que no ha fallado mientras estaba en reserva, realiza la función el resto del período. La probabilidad de este suceso es

. dxxtRpxRxfPt

BDCbA∫ −=0

2 )()()(

En consecuencia, la fiabilidad del sistema es

. dxxtRxRxfptRtRt

BbADCAS ∫ −+=0

)()()()()(

8.3 En el caso particular en que B no puede fallar en reserva y el dispositivo detector-conmutador es perfecto, la fiabilidad se reduce a

. dxxtRxftRtRt

BAAS ∫ −+=0

)()()()(


Si, además, ambos componentes se distribuyen exponencialmente con parámetros y λ1 λ2 , se calcula explícitamente la fiabilidad del sistema:

=dxee+e=(t)R x-(t-x-t

0

t-S

11 )1

2λλλ λ∫

=−− ∫ dxee+te= )x(-t

0

t- 21 211

λλλλ λ

λλλλ λλ

21

t2

t-1

-e-e=

1 12 −

La vida media del sistema, es θ S

.1)( 2121

21122

2

1

21

θθλλλλλ

λλλ

λλ

λλθ +=

+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞

−=∫

∞=e t-

+

0-e t-

+

0dttR

+

0= SS

Esta última expresión demuestra que la fiabilidad es la misma tanto si el componente primario es el más fiable como si es el menos fiable de los dos. En caso de que el detector-conmutador no sea perfecto, es fácil demostrar que es preferible utilizar el componente más fiable como primario. 9 SISTEMAS COMPLEJOS. 9.1 A partir de los modelos lógicos que se han construido es posible determinar la fiabilidad de cualquier sistema complejo que combine series, paralelos y redundancias secuenciales. 9.2 Como ejemplo, sea el sistema que posee ocho componentes dispuestos de la forma que sigue: los bloques 1 y 2 son conmutables, siendo el bloque 1 el componente primario, y están montados en serie con el bloque 3, que a su vez se monta en serie con un subsistema en paralelo . Los dos componentes de son los subsistemas y . El subsistema es el montaje en paralelo del bloque 6 con los bloques 4 y 5 dispuestos en serie. Finalmente, el subsistema es la composición en serie de los bloques 7 y 8. Si denota la fiabilidad del componente i, calculando en primer lugar la de cada subsistema, es inmediata la expresión de la fiabilidad del sistema .

S

S1 S1 S 2 S3

S 2

(t)RiS3

SLa fiabilidad de la redundancia secuencial es

. dxxtRtf+(t)R 1

t

01 )()( 2 −∫

La correspondiente al subsistema es 2S

( )( )=(t)R(t)R-1(t)R-1-1 546

. (t)R(t)R(t)R-(t)R(t)R+(t)R= 654546

Como la fiabilidad del subsistema es , la de se obtiene inmediatamente (t)R(t)R 87S3 S1


[ ][ ]=(t)R(t)R(t)R+(t)R(t)R-(t)R-1(tR(t)R-1-1=(t)R 65454687S 1)

-(t)R(t)R(t)R-(t)R(t)R(t)R-(t)R(t)R+(t)R= 876654546

. (t)R(t)R(t)R(t)R(t)R+(t)R(t)R(t)R(t)R- 876548754

Finalmente, la fiabilidad del sistema complejo es S

. )()()()()()(13

0211 tRtRdxxtRtftRtR S

t

S ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= ∫

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