Tema 5. cinemática del punto material

Física e química 1º BacharelatoTema 5: Cinemática.

TEMA 5: CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL

1. Movimiento. Sistema de referencia.

Un cuerpo se mueve cuando cambia de lugar. El movimiento puede ser de traslación o de rotación:

Un cuerpo tiene movimiento de traslación cuando todo él, considerado como un punto, cambia de lugar o de posición.

Un cuerpo tiene movimiento de rotación cuando todo el cuerpo gira en torno a un eje fijo, sin desplazarse.

Para la localización de un punto en el espacio necesitamos un sistema de referencia, que es un punto, que consideramos fijo, que se toma como origen de los tres ejes de coordenadas.

Se dice que un sistema de referencia es inercial cuando está en reposo o se mueve con velocidad constante, respecto al cuerpo.

2. Posición, trayectoria y desplazamiento.

La posición de una partícula se determina respecto a un sistema de referencia cartesiano, y viene determinado por un vector, el vector posición:

→→→→++= ktzjtyitxtr )()()()(

Cuyo módulo se calcula: 222)()( zyxtrtr ++==

→

)(tx e )(ty son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

La trayectoria que describe un móvil es la línea formada por todas las posiciones que ocupa en el espacio.

En función de la forma de la trayectoria los movimientos se clasifican en rectilíneos, circulares, parabólicos, etc.

3. Desplazamiento y espacio recorrido.

El desplazamiento es el cambio de posición que experimenta un móvil en su movimiento. El desplazamiento depende de la posición inicial y final, y se trata de un vector que tiene origen en el punto inicial y su extremo en el final. Se obtienen por la diferencia entre los vectores de posición de ambos puntos:

IES Santa Irene - Nocturno P. Fraguela

1


→→→→→→−+−+−=−=∆ kzzjyyixxrrr )()()( 12121212

Cuando la partícula efectúa un desplazamiento tal que regresa al punto de partida, sea cual sea la distancia recorrida por la partícula, el desplazamiento es nulo.

Es espacio recorrido por un móvil en un intervalo de tiempo dado es la longitud del tramo de la trayectoria descrita. Es una magnitud escalar. En general, no coinciden el espacio recorrido y el desplazamiento; sólo coinciden en el movimiento rectilíneo, sin cambio de sentido.

4. Velocidad media e instantánea.

La velocidad es una medida de la rapidez que se desplaza una partícula entre dos posiciones. Se mide en m/s.

La velocidad media es el cociente entre el desplazamiento efectuado y el intervalo de tiempo transcurrido. Se mide en m/s.

12

12

tt

rr

t

rvm −

−=

∆∆=

→→→→

La velocidad instantánea es la velocidad que lleva el móvil en cada instante, y se define como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Se calcula como la derivada del vector de posición respecto del tiempo.

)(´

0tr

dt

rd

t

rlímvt

→→→

→∆

→==

∆∆=

El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en cada punto.

5. Aceleración media e instantánea.

La aceleración es la variación de a velocidad con el tiempo. La aceleración media es el cociente entre la variación de la velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido. Se mide en m/s2.

12

12

tt

vv

t

vam −

−=

∆∆=

→→→→

La aceleración instantánea es la aceleración del móvil en un instante

determinado: )(´

0tv

dt

vd

t

vlímat

→→→

→∆

→==

∆∆=

La aceleración instantánea es un vector que está dirigido hacia la parte cóncava de la trayectoria; si se exceptúan los movimientos rectilíneos, en los que es tangente.

6. Componentes intrínsecos de la aceleración.

Si se elige un sistema de referencia cartesiano cuyo origen se desplaza con la partícula, de modo que uno de los ejes se sitúa en la dirección tangente y otro en la dirección normal a la trayectoria en cada punto, se obtienen las componentes intrínsecos de la aceleración:

La aceleración tangencial es la componente en el eje tangencial a la trayectoria. Su módulo es la derivada del módulo de la velocidad respecto del tiempo.

Es la causante del cambio en el módulo del vector velocidad: dt

dvat =


2


La aceleración normal o centrípeta es la componente en el eje normal a la trayectoria, y apunta hacia el centro de curvatura. Su módulo es el cuadrado de la velocidad dividido entre el radio de curvatura, ρ. La aceleración normal causa el

cambio en la dirección del vector velocidad: ρ

2van =

La aceleración se puede expresar como suma de ambas componentes:→→→→→

+=+= nv

dt

dvaaa nt ρ

τ2

Cumpliéndose entre los módulos que a2 = at2 + an

2.

7. Clasificación de los movimientos.

Los movimientos pueden clasificarse en función de su trayectoria y de su aceleración. Según a trayectoria se distinguen los movimientos rectilíneos y los curvilíneos (circular, parabólico, elíptico, etc.).

De acuerdo con la aceleración los movimientos pueden ser uniformes y acelerados. Los movimientos acelerados pueden ser uniformemente acelerados (con aceleración constante) y con aceleración variable.

Movimientos rectilíneos. Criterio de signos.

Debido a que la trayectoria es una línea recta, y por lo tanto no varía la dirección, este tipo de movimientos puedes ser descritos de manera escalar, utilizando el módulo de las magnitudes vectoriales y un signo para indicar el sentido.

Se considera que la dirección del movimiento es en el eje OX, y las magnitudes solo tienen componente en esta dirección: r = x; v = vx; a = ax.

La velocidad y la aceleración serán positivas cuando se muevan en dirección del eje X creciente (o el eje Y creciente, si el movimiento es en el eje OY).

8. Movimiento rectilíneo y uniforme. MRU.

Se trata de movimiento en línea recta sin aceleración. La velocidad media coincide con la velocidad instantánea. De la fórmula de la velocidad media despejamos la posición, lo que nos da la ecuación del MRU:

x = x0 + v·tDiagramas del MRU:

Gráfica x-t Gráfica v-t

9. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. MRUA.


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Se trata de movimiento en línea recta con aceleración constante. La aceleración media coincide con la instantánea. De la fórmula de la aceleración media despejamos la velocidad, lo que nos da la ecuación del MRU:

v = v0 + a·t

La ecuación que nos da la posición es: 200 ·

2

1· tatvxx ++=

Combinando ambas ecuaciones: )·(·2 020

2 xxavv −=−Diagramas del MRU:

Gráfica a-t Gráfica v-t

Gráfica x-t (a > 0) Gráfica x-t (a < 0)

10. Caída libre.

El movimiento es en el eje Y, y la aceleración es la de la gravedad a = -9,8 m/s 2. Las ecuaciones del movimiento son:

v = v0 – 9,8·t2

00 ·8,92

1· ttvyy −+=

)(8,9·2 020

2 yyvv −⋅−=−

11. Movimiento circular.


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11.1. Velocidad angular y aceleración angular.

El movimiento circular se determina por la variación del ángulo girado por el móvil en su desplazamiento. El ángulo se mide en radianes.

Un radián es un ángulo, medido en una circunferencia, cuyo arco coincide con el radio

La velocidad angular media es la variación en un intervalo de tiempo del ángulo girado por un móvil que se desplaza en movimiento circular uniforme. La velocidad angular instantánea es la derivada del ángulo girado con respecto al tiempo:

)(´

12

22 tdt

d

tttm θθωθθθω ==−−

=∆∆=

Se mide en rad/s.

La aceleración angular media e instantánea son:

)(´

12

22 tdt

d

tttm ωωαωωωα ==−−

=∆∆=

11.2. Movimiento circular uniforme. MCU.

Es el que describe un móvil que gira describiendo una circunferencia como trayectoria y que gira ángulos iguales en tiempos iguales.

Se denomina período, T, al tiempo que tarda en dar una vuelta. La frecuencia, f,

es el número de vueltas que da en la unidad de tiempo: )(1 1 HzsT

f == −

Cuando el móvil da una vuelta completa, el ángulo girado es 2π rad y el tiempo

empleado es T, por lo que la velocidad angular es: sradT

/2πω =

La velocidad lineal del móvil en MCU es la longitud de la trayectoria dividido

entre el tiempo empleado: smt

sv /=

Como la relación entre un ángulo medido en radianes y el arco que describe es: arco igual a ángulo por radio, podemos establecer una relación entre las magnitudes angulares y las lineales:

RaRaRv tn αωω === ;; 2

12. Composición de movimientos. Lanzamiento de proyectiles.Si una partícula está sometida simultáneamente a varios movimientos

elementales independientes, el movimiento resultante se obtiene sumando vectorialmente duchos movimientos.

El movimiento de proyectiles es un caso de composición de movimientos. Un proyectil se puede lanzar de tres maneras: verticalmente (lo que constituye la caída libre), horizontalmente o formando un ángulo, el tiro oblicuo.

En el caso del tiro horizontal, si consideramos que no hay rozamiento de ningún tipo con el aire, el movimiento resultante es la suma de dos movimientos, uno horizontal uniforme y otro vertical de caída libre:

En el tiro oblicuo, la velocidad inicial de lanzamiento forma un ángulo α que se denomina ángulo de tiro o de elevación. Este ángulo afecta al alcance, siendo máximo cuando el ángulo forma 45 º con la horizontal.

Las ecuaciones de estos movimientos son:


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→→→+= jyixr

tvxx x ·00 +=

20 ·8,9

2

1· ttvyy oy −+=

→→→+= jvivv yx

α·cos00 vvv xx ==tsenvtvv yy ·8,9··8,9 00 −=−= α

ACTIVIDADES

1. El movimiento de una partícula viene dado por las ecuaciones x = 4t e y = 2t – 2, en donde, x e y se miden en metros y t en segundos. Calcula:

a. La posición de la partícula en cualquier instante.b. La posición en los instantes t = 0 y t = 2.c. ¿Dónde se encuentra la partícula a los 5 s?d. ¿A qué distancia del origen del sistema de referencia en encuentra la

partícula en ese instante?e. Calcula su desplazamiento entre t = 2 s y t = 5 s.

2. La posición en cualquier instante de una partícula que se mueve en el plano OXY viene dada por el vector

→→→−= jtittr 22)( . Se supone que inicia el

movimiento cuando empezamos a contar el tiempo. Calcula:a. En qué punto inicia la partícula el movimiento.b. Dónde se encuentra cuando ha transcurrido 1 s.c. La posición de la partícula en t = 2 s, t = 4 s.d. A qué distancia del punto de partida se encuentra la partícula cuando

han transcurrido 4s.e. Calcula su desplazamiento entre t = 2 s y t = 4 s.

3. Un ciclista acelera durante 10 s pasando de 5,0 m/s a 36 km/h. Calcula su aceleración media.

4. Una pelota de tenis llega a un jugador con una rapidez de 20 m/s. Este jugador golpea la pelota de manera que esta sale en la misma dirección, pero en sentido contrario, a 35 m/s. Si la pelota ha estado en contacto con la raqueta durante 0,20 s, calcula:

a. ¿Cuánto ha variado la rapidez de la pelota?b. ¿Cuánto vale el módulo de la aceleración media?


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5. Un automóvil que se mueve en línea recta acelera en un momento dado a razón de 2 m/s2. ¿Durante cuánto tiempo debe estar acelerando para que el velocímetro pase de 90 km/h a 120 km/h? (*)

6. Un automóvil, al pasar por un punto A, tiene una velocidad de 128 km/h, y cuando pasa por otro punto B, distante 120 m del anterior, la velocidad es de 35 km/h. Calcula:

a. El valor de la aceleración.b. Cuánto tiempo tarda en pasar de A a B.c. A qué distancia de A se detendrá el automóvil.

7. El movimiento de una partícula está descrito mediante el diagrama x-t de la figura. Calcula:

a. La velocidad media durante los dos primeros segundos.

b. La velocidad media en el intervalo de 0 a 5 s.

c. El desplazamiento total que ha experimentado la partícula.

8. Un automóvil parte del reposo. Al recorrer 200 m alcanza una velocidad de 108 km/h. Calcula el valor de la aceleración que se supone constante, y el tiempo que ha tardado en alcanzar dicha velocidad.

9. En un punto A de una carretera, un coche se desplaza a 120 km/h. En otro punto B de la misma carretera, su velocidad es de 90 km/h. Si ha tardado 5,0 s en desplazarse desde A hasta B, calcula:

a. El valor de la aceleración, que se supone constante.b. La distancia entre A y B.c. ¿A que distancia de A se detendrá el automóvil?

10. Un cuerpo que se mantiene en línea recta posee una velocidad que varía con el tiempo, según el diagrama de la figura. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas: (*)

a. Durante todo el recorrido ha tenido MRUA.

b. La velocidad media es 4 m/s2.c. La velocidad máxima es 72

km/h.d. La distancia recorrida en los

diez primeros segundos es de 100 m.

e. En el intervalo de 0 s a 5 s el cuerpo está parado.

f. En el intervalo de 10 a 15 s el cuerpo se mueve sin aceleración.11. Desde la terraza de un edificio de 20,0 m de altura dejas caer una pelota.

a. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?b. ¿Con qué velocidad llega al suelo?


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12. Desde una altura de 80 m cae un objeto. Exactamente 2,0 s más tarde se lanza otro desde el suelo hacia arriba en la misma vertical con una velocidad de 20 m/s. ¿A qué altura se cruzan?

13. En la figura está representado el diagrama v-t del movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo. Tomando para la gravedad el valor -10 m/s2, indica qué afirmaciones son falsas:

a. La aceleración cambia de sentido a los 2 s.

b. La velocidad cambia de sentido a los 2 s.

c. La altura máxima se alcanza a los 2 s.

d. El objeto se encuentra a 10 m del suelo a los 3 s.

e. La máxima altura alcanzada fue de 20 m.

f. Alos 4 s llega al suelo

14. Un avión que parte del reposo acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad de despegue de 75 m/s en 5,0 s. (*)

a. ¿Con qué velocidad en km/h despega el avión?b. ¿Cuál es su aceleración?c. ¿Qué longitud de pista ha recorrido hasta despegar?d. ¿Qué distancia recorre en el último segundo?

15. Teniendo en cuenta el diagrama de la figura, indica qué afirmaciones son correctas:

a. En el tramo AB el móvil está parado.

b. En el tramo BC la aceleración es 1 m/s2.

c. La distancia recorrida en el tramo BC es de 50 m.

d. En el tramo BC el movimiento es uniforme.

16. Dado el diagrama de la figura, indica qué afirmaciones son falsas:a. En el tramo OA la

velocidad ha sido 0,8 m/s.

b. En el tramo AB la velocidad es 0,8 m/s.

c. En el tramo BC la velocidad es -2 m/s.

d. En el tramo AB el móvil está parado.

17. Un vehículo viaja por una calle a 50 km/h. De repente un niño atraviesa corriendo la calzada. Si el conductor tarda 0,80 s en reaccionar y oprimir los frenos: (*)


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a. ¿Cuántos metros recorrerá antes de empezar a frenar?b. Una vez que pisa en freno ¿podrá parar en 0,50 m, supuesta una

aceleración de frenado de -20 m/s2?18. Un conductor que viaja de noche en un automóvil a 100 km/h ve de repente

las luces de señalización de una valla que se encuentra a 40 m en medio de la calzada. Tarda 0,75 s en pisar el pedal de los frenos y la deceleración máxima del automóvil es de 10 m/s2. calcula:

a. ¿Chocará con la valla? Si es así, a qué velocidad.b. ¿Cuál será la velocidad máxima a la que puede viajar el automóvil

sin que colisione con la valla?19. Un camión y un automóvil inician el movimiento en el mismo instante, en la

misma dirección y sentido desde dos semáforos contiguos de la misma calle. El camión tiene una aceleración constante de 1,2 m/s2, mientras que el automóvil acelera con 2,4 m/s2. El automóvil alcanza al camión después de que este ha recorrido 50 m. Calcula:

a. ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al camión?b. ¿Qué distancia separa los dos semáforos?c. ¿Qué velocidad posee cada vehículo cuando están emparejados?

20. Dos jóvenes se mueven en la misma dirección, dirigiéndose el uno al encuentro del otro. Inician el movimiento al mismo tiempo desde las porterías de un campo de fútbol con velocidades medias respectivas v1 = 3,5 m/s y v2 = 5,0 m/s. Sabiendo que el encuentro tiene lugar a 28 m de la posición de partida del primero, determina: (*)

a. El tiempo transcurrido hasta que se encuentran.b. La longitud del campo de fútbol.

21. Un tren del metro sale de una estación A; acelera a razón de 0,50 m/s2

durante 10,0 s y luego con 2,0 m/s2 hasta alcanzar la velocidad de 54 km/h. El tren mantiene la misma velocidad hasta que se acerca a la estación B. En ese momento frena uniformemente hasta pararse en 10,0 s. El tiempo total desde A hasta B han sido 60,0 s. ¿Qué distancia hay entre las estaciones A y B?

22. Lanzas una piedra y observas que tarda 8,0 s en volver al suelo. ¿Con qué velocidad la lanzaste y qué altura alcanzó?

23. En una de las figuras está representado el diagrama v-t del movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo. Indica qué afirmaciones son falsas: (*)

A B

a. El diagrama que representa dicho movimiento es B.b. La aceleración cambia de sentido a los 2s.


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c. La velocidad cambia de sentido a los 2s.d. La altura máxima se alcanza a los 2 s.e. El móvil a los 3 s se encuentra a 10 m de altura.f. La altura máxima alcanzada fue de 20 m.g. A los 4 s llega al suelo.

24. Desde lo alto de una torre de altura h se deja caer un objeto. ¿A qué distancia del suelo tendrá una velocidad igual a la mitad de la que tiene cuando llega al suelo?

25. Lanzas un cuerpo verticalmente hacia arriba, de forma que tiene una velocidad de 8,0 m/s cuando ha alcanzado la mitad de la altura a la que puede subir:

a. ¿Con qué velocidad se lanzó?b. ¿A qué altura sube?c. ¿Qué velocidad posee un segundo después de ser lanzado?

26. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un puente situado a 35 m del agua. Si la piedra golpea el agua 4,0 s después de soltarla. Calcula: (*)

a. La velocidad con que se lanzó.b. La velocidad con que golpeó el agua.

27. Se lanza desde el suelo hacia arriba un objeto al mismo tiempo que se deja caer desde una altura de 45 m. ¿Con qué velocidad se debe lanzar el primero para que los dos lleguen al suelo al mismo tiempo?

28. Se deja caer una piedra desde el brocal de un pozo y tarda 2,3 s en percibirse el sonido producido por el choque con el agua. Si la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s, ¿a qué profundidad está el agua?

29. Desde un punto situado en el extremo de la terraza de un edificio de 55 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 30 m/s. Si despreciamos la resistencia del aire, tomamos g = 10 m/s2 como valor de la gravedad y el nivel de la calle como sistema de referencia, calcula:

a. Dónde se encuentra la pelota 2,0 s después de lanzarla.b. Qué velocidad posee en ese instante.c. Qué altura máxima alcanza.d. Cuánto tiempo tarda en alcanzar el punto más alto de la trayectoria.e. Qué velocidad posee cuando se encuentra a 20 m por encima del

punto de lanzamiento.f. Cuánto tiempo tarda en llegar a la calle.g. Con qué velocidad llega a la calle.h. Qué velocidad tiene la pelota cuando se encuentra a 10 m de la calle.

30. Desde un globo que se está elevando a 2 m/s se deja caer un paquete cuando se encuentra a 60 m de altitud. Calcula:

a. ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo?b. ¿Con qué velocidad llega?c. ¿Donde se encuentra el globo cuando llega al suelo el paquete?

31. Calcula la velocidad con la que se desplaza un automóvil sabiendo que sus ruedas tienen un diámetro de 80 cm y giran a 500 rpm.

32. Calcula la aceleración centrípeta de un objeto que se mueve sobre una circunferencia de 10 m de radio a 90 km/h.

33. Una piedra se ata a una cuerda de 1 m de longitud y se hace girar describiendo circunferencias con una frecuencia exacta de 5 vueltas por segundo. Calcula:

a. La rapidez, en km/h, con que gira la piedra.


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b. La aceleración centrípeta a que está sometido el cuerpo.34. Un móvil describe una trayectoria circular de 1,0 m de radio 30 veces por

minuto. Calcula: (*)a. El período y la frecuencia.b. La velocidad angular.c. La velocidad tangencial y la aceleración centrípeta de este

movimiento.35. Una fuente tiene un caño a una distancia vertical del suelo de 70 cm. El

chorro del agua da en el suelo a 1 m del pie de la vertical. ¿Con qué velocidad sale el líquido?

36. Un jugador de golf lanza una pelota desde el suelo con un ángulo de 60º con respecto al horizonte y con una velocidad de 60,0 m/s. Calcula:

a. La velocidad de la pelota en el punto más alto de la trayectoria.b. La altura máxima alcanzada.c. El alcance máximo.

37. Un bombero trabaja en la extinción de un incendio en una casa. Para ello debe introducir agua por una ventana situada a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1,0 m del suelo apuntándola en un ángulo de 60º hacia la fachada, que dista 15 m, ¿con qué velocidad debe salir el agua? ¿Cuánto tiempo tarda el agua en llegar a la ventana?

38. Desde lo alto de una torre de 50 m se deja caer un objeto. En el mismo instante se dispara contra él una bala a 200 m/s desde un punto del suelo situado a 100 m de la base de la torre. ¿Hará blanco en la bala? En caso afirmativo, ¿en qué punto?

39. Un avión vuela horizontalmente a 900 m del suelo con una velocidad constante de 540 km/h. ¿A qué distancia de la vertical sobre un claro de la selva debe lanzar una caja de ayuda humanitaria para que llegue a su destino?

40. El récord mundial de salto de longitud está en 8,95 m. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima de un saltador, cuya trayectoria forma un ángulo de 45º respecto al suelo, para sobrepasar dicha distancia?

41. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 500 m/s batiendo un objetivo situado a 1200 m en la misma horizontal del punto de lanzamiento. Calcula el ángulo de elevación.

42. Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30º con la horizontal y cae en la terraza de un edificio situado a 30 m de distancia. Si la terraza está a una altura de 10 m, calcula la velocidad con la que se lanzó. (*)

43. Desde la cima de un acantilado se lanza horizontalmente un proyectil y se observa que tarda 3,0 s en tocar el agua en un punto que dista 60 m de la base del acantilado. Calcula:

a. La altura que tiene el acantilado.b. Con qué velocidad se lanzó el proyectil.c. Con qué velocidad llega al agua.

44. Una bola que rueda sobre una mesa horizontal de 0,90 m de altura cae al suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 1,5 m del borde de la mesa. ¿Qué velocidad tenía la bola en el momento de abandonar la mesa?

45. Una jugadora de baloncesto pretende realizar una canasta de tres puntos. Para ello lanza la pelota desde una distancia de 6,5 m y a una altura de 1,9 m del suelo. Si la canasta está situada a una altura de 2,5 m, ¿con qué velocidad debe realizar el tiro si lo hace con un ángulo de elevación de 30º? (*)


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46. Un alumno intenta encestar en la papelera una bola de papel. Teniendo en cuenta que está sentado a 5,0 m de ella y que la altura de su brazo estirado y vertical sobre el nivel de la boca de la papelera es de 1,5 m. Calcula:

a. La velocidad con que debe lanzar la bola.b. El ángulo con que incide la bola en la papelera.

47. Una pelota de béisbol abandona el bate a una altura de 1,0 m por encima del suelo y con un ángulo de elevación de 45º, con una velocidad tal que el alcance horizontal hubiera sido 100 m. A la distancia de 90 m del punto de lanzamiento se encuentra una valla de 8,0 m de altura. ¿Pasará la pelota por encima de la valla?


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